中考数学总复习习题 第18讲 锐角三角函数及其应用
【2020中考专题复习】6.第18讲 锐角三角函数及其实际应用
第四单元 三角形第18讲 锐角三角函数及其实际应用基础过关1. (2019怀化)已知∠α为锐角，且sin α＝12，则∠α＝( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 将Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值( ) A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 不能确定3. 从点A 看点B 的仰角为36°30′，则从点B 看点A 的俯角为( ) A. 53°30′ B. 43°30′ C. 36°30′ D. 63°30′4. (2020原创)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列结论正确的是( ) A. b ＝a ·sin A B. b ＝a ·tan A C. c ＝a ·sin A D. a ＝c ·cos B5. 如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )A.BD BC B. BC AB C. AD AC D. CDAC第5题图 第6题图6. (2019宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )A. 43B. 34C. 35D. 457. 如图，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，如果OA ＝5，tan α＝2，那么点A 的坐标是( )第7题图A. (1，2)B. (2，1)C. (1，5)D. (2，5)8. (2019乐山)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，AC ＝2，cos C ＝35.则AB 边的长为________．第8题图 第9题图9. (2019孝感)如图，在P 处利用测角仪测得某建筑物AB 的顶端B 点的仰角为60°，C 点的仰角为45°，点P 到建筑物的距离PD ＝20米，则BC ＝________米．(结果用根式表示)10. 一艘海监船从A 点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿(设N 、M 为该岛屿的东西两端点)最近距离为15海里(即MC ＝15海里)，在A 点测得岛屿的西端点M 在点A 的东北方向，航行4海里后到达B 点，测得岛屿的东端点N 在点B 的北偏东62°方向(其中N 、M 、C 在同一条直线上)，求该岛屿东西两端点MN 之间的距离．(精确到0.1海里．参考数据：sin62°＝0.88，cos62°＝0.47，tan62°＝1.87)第10题图11.(2019常德)图①是一种沐浴喷头，图②是图①的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25 cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处沐浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50 cm，CE＝130 cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)第11题图能力提升1. (2019北京)如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB＋∠PBA＝________°(点A，B，P是网格线交点)．第1题图2. 读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sin α＝BC AC ，cos α＝AB AC ，tan α＝BC AB.一般地，当α、β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β例如sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30° ＝22×32－22×12＝6－24. 根据上述材料内容，解决下列问题： (1)计算：sin75°＝________；(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝90°，AB ＝4，请你求出AC 和BC 的长．满分冲关1.(2019岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度A B.第1题图参考答案第18讲 锐角三角函数及其实际应用基础过关1. A 【解析】∵∠α为锐角，sin30°＝12，∴∠α＝30°.2. A3. C 【解析】从点A 看点B 的仰角与从点B 看点A 的俯角互为内错角，大小相等．∴从点B 看点A 的俯角为36°30′.4. D5. C 【解析】在Rt △ABC 中，cos α＝BC AB ；在Rt △BCD 中，cos α＝BDBC ；∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∠DBC＋∠DCB ＝∠ACD ＋∠DCB ，∴∠ACD ＝∠DBC ＝α，∴在Rt △ADC 中，cos α＝cos ∠ACD ＝CDAC.6. D 【解析】如解图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，AD ＝3，CD ＝4，∴由勾股定理得AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5.∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝45.第6题解图7. A 【解析】过A 作AB ⊥x 轴于点B ，在Rt △OAB 中，OA ＝5，tan α＝ABOB ＝2，∴AB ＝2OB ，∵OA 2＝OB 2＋AB 2，∴5＝OB 2＋4OB 2，∴OB ＝1，AB ＝2，∴A (1，2)．8.165 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ADC 中，AC ＝2，cos C ＝35，∴CD ＝AC ·cos C ＝2×35＝65，AD ＝AC 2－CD 2＝22－（65）2＝85.在Rt △ADB 中，∠B ＝30°，AD ＝85，∴AB ＝2AD ＝2×85＝165.第8题解图9. 203－20 【解析】由题意得，在△BDP 中，∠BDP ＝90°，∠BPD ＝60°，PD ＝20米，∴BD ＝PD ·tan ∠BPD ＝20×3＝203米．在△CDP 中，∠CDP ＝90°，∠CPD ＝45°，∴CD ＝PD ＝20米，∴BC ＝BD －CD ＝(203－20)米．10. 解：在Rt △ACM 中，tan ∠CAM ＝tan45°＝CM AC ＝1，∴AC ＝CM ＝15(海里)，∴BC ＝AC －AB ＝15－4＝11(海里)．在Rt △BCN 中，tan ∠CBN ＝tan62°＝CNBC ＝1.87.∴CN ＝1.87BC ＝20.57(海里)．∴MN ＝CN －CM ＝20.57－15＝5.57≈5.6(海里)． 答：该岛屿东西两端点MN 之间的距离约为5.6海里．11. 解：如解图，过点B 作BM ⊥DE 于点M ，过点C 作CQ ⊥AD 于点Q ，交BM 于点F ，过点A 作AP ⊥BM 于点P ，则四边形DECQ 、AQFP 是矩形，∴DQ ＝CE ＝130 cm ，CQ ＝DE ＝50 cm ，AQ ＝PF ，AP ＝QF ， ∵BM ∥AD ，∠D ′AB ＝37°， ∴∠ABP ＝∠D ′AB ＝37°， 在Rt △ABP 中，∵AB ＝25 (cm)，∴AP ＝AB ·sin ∠ABP ＝25×sin37°＝15，BP ＝AB ·cos ∠ABP ＝25×cos37°＝20 cm ， ∴CF ＝CQ －QF ＝CQ －AP ＝50－15＝35 cm ， ∵∠ABC ＝72°，∴∠FBC ＝∠ABC －∠ABP ＝35°， 在Rt △FBC 中，∠BFC ＝90°，∴tan ∠FBC ＝CF BF ，即BF ＝35tan 35°＝50 cm ，∴AQ ＝PF ＝BF －BP ＝50－20＝30 cm ， ∴AD ＝AQ ＋DQ ＝30＋130＝160 cm ，答：安装师傅应将支架固定在离地面约160 cm 的位置．能力提升1. 45 【解析】如解图，延长AP ，则AP 经过格点C ，连接BC .设网格中小正方形的边长为1，则由勾股定理得PC ＝BC ＝12＋22＝5，PB ＝12＋32＝10.∵PC 2＋BC 2＝(5)2＋(5)2＝10，PB 2＝(10)2＝10，∴PC 2＋BC 2＝PB2.∴△PBC 是等腰直角三角形．∴∠CPB ＝45°.∵∠CPB 是△ABP 的外角，∴∠P AB ＋∠PBA ＝∠CPB ＝45°.第1题解图2. 解：(1)2＋64； 【解法提示】sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝12×22＋32×22＝2＋64. (2)在Rt △ABC 中，∵sin ∠A ＝sin75°＝BC AB ＝2＋64，AB ＝4， ∴BC ＝AB ×2＋64＝2＋6， ∵∠B ＝90－∠A ，∴∠B ＝15°，∵sin ∠B ＝sin15°＝AC AB ＝6－24， ∴AC ＝AB ×6－24＝6－ 2. 满分冲关1. 解：(1)根据题意得BD ＝CG ，BF ＝HE ＝a ，BH ＝EF ＝1.5米，BG ＝CD ＝1.7米， 在Rt △AEH 中，∵HE ＝a ，∠AEH ＝62.3°， ∴tan ∠AEH ＝AH HE，即AH ＝a ·tan62.3°≈1.9a . ∴AB ＝AH ＋BH ＝(1.9a ＋1.5)米．在Rt △ACG 中，∵∠ACG ＝45°，∴∠CAG ＝45°.∴CG ＝AG .∵AG ＝AB －BG ＝1.9a ＋1.5－1.7＝(1.9a －0.2)米，∴CG ＝1.9a －0.2.∴BD ＝CG ＝(1.9a －0.2)米．答：小亮与塔底中心的距离BD 约为(1.9a －0.2)米；(2)根据题意，得BD ＋BF ＝52，∴(1.9a－0.2)＋a＝52，解得a＝18.∴AB＝1.9a＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7(米)．答：慈氏塔的高度AB约为35.7米．。
中考数学总复习全程考点训练18锐角三角函数与解直角三角形(含解析)
2019-2020年中考数学总复习全程考点训练18锐角三角函数与解直角三角形（含解析）一、选择题1．在Rt△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 等于(D ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50°【解析】 ∵tan B ＝ACBC，∠B ＝90°－∠A ＝50°， ∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan 50°.故选D.2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是(D )A.31010B.12C.13D.1010(第2题)(第2题解)【解析】 如解图，过点A 作AC ⊥OB 交OB 延长线于点C ，则AC ＝2，AO ＝22＋42＝20＝25， ∴sin ∠AOB ＝AC AO ＝225＝1010.故选D.(第3题)3．如图，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP ＝α，地球半径为R，则航天飞船距地球表面的最近距离AP以及P，Q两点间的地面距离分别是(B)A.Rsin α，παR180B.Rsin α－R，（90－α）πR180C.Rsin α－R，（90＋α）πR180D.Rcos α－R，（90－α）πR180【解析】连结OQ，则AQ⊥OQ，AO＝OQsin α＝Rsinα，∴AP＝Rsin α－R，lPQ︵＝（90－α）πR180.4．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(D)同学甲乙丙丁放出风筝线长140 m100 m95 m90 m线与地面夹角30°45°45°60°A．甲 B．乙C．丙 D．丁【解析】h甲＝140sin 30°＝70，h乙＝100sin 45°＝50 2，h丙＝95sin 45°＝9522，h丁＝90sin 60°＝453，∴h丁>h乙>h甲>h丙．(第5题)5．周末，身高均为1.6 m的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处(A，B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A，B两点的距离为30 m．假设她们的眼睛离头顶都为10 cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(D) A．36.21 m B．37.71 mC．40.98 m D．42.48 m【解析】设塔高为x，则x－1.6＋0.1tan β－x－1.6＋0.1tan α＝AB，即x＝30tan 30°·tan 45°tan 45°－tan 30°＋1.5≈42.48(m)．二、填空题6．某水库大坝的横断面是梯形，其中坝内斜坡的坡度i＝1∶3，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为75°．【解析】∵tan α＝i＝13，∴α＝30°.∵tan β＝i＝1，∴β＝45°，∴α＋β＝75°.7．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，用它把物体送到离地面10 m高的地方，那么物体所经过的路程为__26__m.(第7题解)【解析】如解图．由题意，得AE⊥BD，i＝AEBE＝12.4，AE＝10，∴BE＝24.∴在Rt△ABE中，AB＝AE2＋BE2＝26(m)．(第8题)8．如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD，一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的点P.如果MC＝n，∠CMN＝α，那么点P到点B的距离为m－n tan αtan α．【解析】由题意，得∠MNC＝∠BNP，∠B＝∠C，∴∠NPB＝∠NMC＝α.又∵CN＝CM·tanα＝n tan α，∴BN＝m－n tan α，∴PB＝m－n tan αtan α.(第9题)9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是5－12，cos A的值是5＋14(结果保留根号)．【解析】易得AD＝BD＝BC，△ABC∽△BCD，则ABBC＝BCCD.设BC＝x，则1x＝x1－x，得x＝－1±52.∵x＞0，∴x＝5－12，∴AD＝5－12.过点B作BH⊥CD于点H，在Rt△ABH中，cos A＝AHAB＝AD＋CD2AB＝5＋14.(第10题)10．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D处与点C，B 在同一条直线上．已知AC＝32 m，CD＝16 m，则荷塘的宽BD为39m(3≈1.73，结果保留整数)．【解析】依题意，得∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AC·tan∠BAC＝32·tan 60°＝32 3(m)，∴荷塘宽BD＝BC－CD＝32 3－16≈39(m)．三、解答题(第11题)11．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向我国领海区域B处有一可疑渔船正以12海里/时的速度向西北方向航行，我国渔政船立即沿北偏东60°方向航行追赶.1.5 h 后，在我国领海区域的C 处截获可疑渔船．问：我国渔政船的航行路程是多少海里(结果保留根号)?【解析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵南北方向⊥AB ，∴∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°. 在Rt△BCD 中，BC ＝12×1.5＝18(海里)， ∴CD ＝18sin 45°＝9 2(海里)． 在Rt△ACD 中，CD ＝AC ·sin 30°， ∴AC ＝18 2海里．(第12题)12．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．【解析】 ∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴tan A ＝CD AD ＝6AD ＝32， ∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝12－4＝8.在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝90°，BD ＝8，CD ＝6， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10， ∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45， ∴sin B ＋cos B ＝35＋45＝75.(第13题)13．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值．(2)如果CD ＝5，求BE 的值．【解析】 (1)∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD . ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°. 又∵∠BCD ＋∠ACH ＝90°，∴∠CAH ＝∠BCD . ∴∠B ＝∠CAH .∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理，得AC ＝5CH ， ∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55. (2)∵CD ＝5，∴AB ＝2 5. 在Rt △ABC 中，∵sin B ＝AC AB ＝55，∴AC ＝2. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAH ＝CH AH ＝12， ∴CE ＝AC ·tan ∠CAH ＝1.在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB 2－AC 2＝4， ∴BE ＝BC －CE ＝3.(第14题)14．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB ＝3 m ，已知木箱高BE ＝3m ，斜面坡角为30°，求木箱顶点E 距地面AC 的高度EF .【解析】 连结AE .在Rt△ABE 中，∵AB ＝3，BE ＝3， ∴AE ＝AB 2＋BE 2＝2 3. 又∵tan∠EAB ＝BE AB ＝33，∴∠EAB ＝30°. 在Rt△AEF 中，∠EAF ＝∠EAB ＋∠BAC ＝60°， ∴EF ＝AE ·sin∠EAF ＝23×sin60°＝23×32＝3(m)． 答：木箱端点E 距地面AC 的高度是3 m.23986 5DB2 嶲/31046 7946 祆NPQ 1Q27474 6B52 歒32916 8094 肔26050 65C2 旂24348 5F1C 弜。
2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数(含解析)
2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数1．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC 的高度，甲同学在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，乙同学从A 点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为26.7°，且斜坡AF 的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A 到点D 的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC 的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）2．如图，在中，D 是上一点，，以为直径的经过点C ，交于点E ，过点E 作的切线交于点F.（1）求证：.（2）若，，求的长.3．如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，BC=a ，AD=h ．（1）求正方形PQMN 的边长（用a 和h 的代数式表示）；ABC BC BD AD =AD O AB O BD EF BC ⊥5CD =2tan 3B =DF（2）如图2，在△ABC 中，在AB 上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC 边上，N'在△ABC 内，连接BN 并延长交AC 于点N ，画NM BC 于点M ，画NP ⊥NM 交AB 于点P ，再画PQ ⊥BC 于点Q ，得到四边形PQMN ，证明四边形PQMN 是正方形；（3）在（2）中的线段BN 该线上截取NE=NM 连接EQ ，EM （如图3)，当∠QEM=90°时，求线段BN 的长（用a ，h 表示）4．如图，在直角坐标系中有，O 为坐标原点，，，将此三角形绕原点O 顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A ，B ，C 三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线与二次函数图象相交于M ，N 两点.①若，求k 的值；②证明：无论k 为何值，恒为直角三角形.5．如图，四边形ABCD 内接于，的半径为4，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作于点E ，于点F.（1）求证：四边形为正方形；（2）若，求正方形的边长；（3）设PC 的长为x ，图中阴影部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出y 的最大值.6．如图，已知一次函数的图象经过，两点，且与轴交于点，二次函数的图象经过点，，连接．Rt AOB ()03A ，()10B -，90︒Rt COD 2y ax bx c =++3l y kx k =-+：2PMN S = PMN O O 90ADC AB BC ∠=︒=，PE AD ⊥PF CD ⊥DEPF 2AD CD=DEPF 1y kx m =+()15A --，()04B -，x C 224y ax bx =++A C OA（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求的正弦值．（3）在点右侧的轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形.（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ.当AB ＝，AD ＝，tan ∠ABC ＝2时，求CQ 的最小值.8．如图1，在矩形中，，.P ，Q 分别是，上的动点，且满足，E 是射线上一点，，设，.OAB ∠C x D BCD OAB D ABCD 4AB =30ACB ∠=︒AC CD 35DQ CP =AD AP EP =DQ x =AP y =（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当中有一条边与垂直时，求的长.（3）如图2，当点Q 运动到点C 时，点P 运动到点F.连结，以，为边作.①当所在直线经过点D 时，求的面积；②当点G 在的内部（不含边界）时，直接写出x 的取值范围.9．等边中，是中线，一个以点D 为顶点的30°角绕点D 旋转，使角的两边分别与，的延长线相交于点E ，F ．交于点M ，交于点N ．（1）如图①，若，求证：．（2）如图②，在绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长．10． 在平面直角坐标系中，对于和点不与点重合给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．（1）已知，若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；PQE AC DQ FQ FQ PQ PQFG GF PQFG ABC ABC CD AC BC DF AC DE BC CE CF =DE DF =EDF ∠CD CE CF 6CE =2CF =DM xOy OAB (P O )OA OB M N O P MN P OAB ()30A，(0.B ①M A N B OAB P ②AB P OAB AP（2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．11． 如图，在中，边绕点顺时针旋转得到线段，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点．（1）以点为对称中心，作点关于点的对称点，连接，．依题意补全图形，并证明；求证：；（2）若，且于，直接写出用等式表示的与的数量关系．12．如图1，菱形的边长为，，，分别在边，上，，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动不与点 C 重合 ；的外接圆与相交于点，连接交于点设点的运动时间为ts.（1） ；（2）若与相切，判断与的位置关系；求的长；（3）如图3，当点在上运动时，求的最大值，并判断此时与的位置关系； （4）若点在的内部，直接写出的取值范围.13．如图，已知菱形ABCD ， E 为对角线AC 上一点.3(0)4y x b b =-+>x y A B AB 2OAB b ABC AB B α(0α180)︒<<︒BD AC C 180α︒-CE DE F DE F C F G BG DG ①AC DG =②DGB ACB ∠=∠α60=︒FH BC ⊥H FH BC ABCD 12cm B 60∠=︒M N AB CD.AM 3cm =DN 4cm =P M MB BC -1cm /s C ()APC O CD E PE AC F.P APE ∠=︒O AD ①O CD ② APCP BC CF PE AC N O t（1）[建立模型]如图1，连结BE，DE.求证：∠EBC=∠EDC.（2）[模型应用]如图2，F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交AB于点G.①判断△FBG的形状，并说明理由.②若G为AB的中点，且AB=4，∠ABC=60°，求AF的长.（3）[模型迁移]F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交射线AB于点G，且sin∠BAC=，BF//AC.求的值. 14．小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．（参考数据：，，，，，）（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）15．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.45ABBG BC AB3m2m()AD63.4︒BC10︒100.17sin︒≈100.98cos︒≈100.18tan︒≈63.40.89sin︒≈63.40.45cos︒≈63.4 2.00tan︒≈2.3mBC0.1m（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O ，圆上有一点A ，折叠圆形纸片使得A 点落在圆心O 上，折痕交于B 、C 两点，求的度数.（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M 是弧上一动点.①如图2，当点M 是弧中点时，在线段、上各找一点E 、F ，使得是等边三角形.试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.②在①的条件下，取的内心N ，则 .③如图3，当M 在弧上三等分点S 、T 之间（包括S 、T 两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心N ，请问的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度.16．已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．（1）请直接写出，的值；（2）直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．17．如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA ＝6，斜边OB ＝10，点P 为线段AB 上一动点．O BAC ∠PQ PQ OP OQ EFM EFM EFM ON =PQ EFM EFM ONON )2y x bx c =++yA (4B(C -b c BC y DE )2y x bx c =++AB E AB F EF AEF ABC ∠E（1）请直接写出点B 的坐标；（2）若动点P 满足∠POB ＝45°，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若点E 为线段OB 的中点，连接PE ，以PE 为折痕，在平面内将△APE 折叠，点A 的对应点为A′，当PA′⊥OB 时，求此时点P 的坐标；18．如图，在菱形中，对角线相交于点O ，，．动点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E ．设运动时间为，解答下列问题：（1）当点M 在上时，求t 的值；（2）连接．设的面积为，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；（3）是否存在某一时刻t ，使点B 在的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．19．在矩形中，点E 为射线上一动点，连接．ABCD AC BD ，10cm AB=BD =AB 1cm /s AD 2cm /s AP AQ ，APMQ PM AC ()()s 05t t <≤BD BE PEB ()2cm S PEC ∠ABCD BC AE（1）当点E 在边上时，将沿翻折，使点B 恰好落在对角线上点F 处，交于点G ．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C 的对应点为C ′，当点E ，C ′，D 三点共线时，求的长．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 在直线AB 上，连结DE ，过点A 作AF ⊥DE 交直线BC 于点F ，以AE 、AF 为邻边作平行四边形AEGF.直线DG 交直线AB 于点H.（1）当点E 在线段AB 上时，求证：△ABF ∽△DAE.（2）当AE=2时，求EH 的长.（3）在点E 的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH 为等腰三角形.若存在，求AE 的长.21．如图1，等边三角形纸片中，，点D 在边上（不与点B 、C 重合），，点E 在边上，将沿折叠得到（其中点C ′是点C 的对应点）．BC ABE AE BD AEBD BC =AFD ∠=4AB EF EC =BC ABCD ABCD AE BE ABC 12AB =BC 4CD =AC CDE DE 'C DE（1）当点C ′落在上时，依题意补全图2，并指出C ′D 与的位置关系；（2）如图3，当点C ′落到的平分线上时，判断四边形CDC ′E 的形状并说明理由；（3）当点C ′到的距离最小时，求的长；（4）当A ，C ′，D 三点共线时，直接写出∠AEC ′的余弦值．22．如图，四边形是菱形，其中，点E 在对角线上，点F 在射线上运动，连接，作，交直线于点G.（1）在线段上取一点T ，使，①求证：；②求证：；（2）图中，.①点F 在线段上，求周长的最大值和最小值；②记点F 关于直线的轴对称点为点N.若点N 落在的内部（不含边界），求的取值范围.AC AB ACB ∠AB CE ABCD 60ABC ∠=︒AC CB EF 60FEG ∠=︒DC BC CE CT =FET GEC ∠=∠FT CG =7AB =1AE =BC EFG AB EDC ∠CF答案解析部分1．【答案】（1）解：作DH ⊥AE 于H ，如图所示：在Rt △ADH中，∵，∴AH ＝2DH ，∵AH 2+DH2＝AD 2，∴（2DH ）2+DH 2＝（）2，∴DH ＝6（米）．答：乙同学从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为6米；（2）解：如图所示：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝45°，∴AC ＝BC ＝x ，由（1）得AH ＝2DH ＝12，在矩形DGCH 中，DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，在Rt △BDG 中，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，∵tan ∠BDG ＝，∴，解得：x≈24，12DH AH =BG DG626.70.512x tan x -=︒≈+答：大树的高度约为24米．【解析】【分析】（1）作DH ⊥AE 于H ，利用勾股定理可得AH 2+DH 2＝AD 2，再结合AH ＝2DH ，可得（2DH ）2+DH 2＝（2，最后求出DH=6即可；（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，则DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，再结合tan ∠BDG ＝， 可得，最后求出x 的值即可。
中考专题复习-锐角三角函数的应用
第8题解图
答: 旗杆AB的高度约为18米．
感谢聆听!
答：A.B间的距离约为115.5海里．
3. (2019内江)如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得
CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC
为多少米？ (结果保留根号)
Rt△ABE
Rt△ACE
120
30° 45°
列方程
第3题图
解: 如解图，作FG⊥AB于点G，AG＝AB－GB＝AB－FD＝AB－1.8，
由题意知，△ABE和△FDE均为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，DE＝FD＝1.8米，
∴FG＝DB＝DE＋BE＝AB＋1.8.
在Rt△AFG中，
即
A B －1.8 A B ＋1.8
∴AB≈18.2≈18.
AG＝tan∠AFG＝tan39.3°， FG
模型一 解一个直角三角形
基本图形及所作辅 助线
总结
作BE⊥AC，构造Rt△ABE和矩形BDCE，根据已知条件求解
针对训练
1. (2019吉林)墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm，花洒AC的长为30 cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离 CE(结果精确到1 cm)．(参考数据: sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)
tanα
3.方向角
锐角三 角函数 的实际 应用
1.方向角:如图4, A点位于O点的北偏东30°方向, B点位于O点的南偏东60° 方向, C点位于O点的北偏西45°方向（或西北方向）
图4
图5
2021年中考数学考点总动员第18讲 锐角三角函数及其应用
第18讲 锐角三角函数及其应用1．锐角三角函数：如图，在Rt △ABC 中，设∠C＝90°，∠A 、∠B、∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，则：∠a 的正弦sinA＝ac ；∠a 的余弦cosA ＝_b c _；∠a 的正切tanA ＝ab.2．特殊角的三角函数值30°，45°，60°的三角函数值，如下表：正弦 余弦 正切 30°12323345°22 22160°32 1233.解直角三角形的常见类型及解法已知条件图形解法一直角边和一锐角(a ，∠A)∠B＝90°－∠A，c ＝a sinA ，b ＝atanA已知斜边和一个锐角(c ，∠A)∠B＝90°－∠A，a ＝c·sinA, b ＝c·cosA已知两直角边(a，b)c ＝a2＋b2，由tanA ＝ab求∠A，∠B ＝90°－∠A已知斜边和一条直角边(c ，a)b ＝c2－a2，由sinA ＝ac求∠A，∠B ＝90°－∠A4．锐角三角函数的实际应用中的常见概念 (1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl ＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.考点1：直角三角形的边角关系【例题1】如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．【解析】：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3. ∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22. 归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角． 2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解．4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具． 考点2：锐角三角函数的实际应用【例题2】（2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC ＝40cm ，灯罩CD ＝30cm ，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝DFCD＝1530＝12，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．归纳：解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形”，进而利用直角三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示：(1)构造一个直角三角形：(2)构造两个直角三角形：①不同地点测量：②同一地点测量：一、选择题：1. （2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米。
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、特殊角的三角函数值5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。
1、解直角三角形的概念：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的概念。
2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边C③坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l =。
坡度一样写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。
④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角别离是：45°、135°、225°。
⑤指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角别离是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
锐角三角函数练习一、选择题一、把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ．sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ．2sinA ＝sinA ′ D ．不能确信二、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 433、如图，△ABC 的极点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（ ） A ．23 B ．55C ． 105D ．134、若是∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COS α的值是（ ）Ａ．12 Ｂ．22Ｃ．1Ｄ．25、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（ ）Ａ．5Ｂ．55 Ｃ．306 Ｄ．6:i h l=hlαDCBA六、计算tan 602sin 452cos30+-的结果是（ ）A ．2B．2C ．1D ．2313-．7、如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（ ） A ． 25 B ． 26 C ． 27 D ． 28．8、如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为 （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）A ．（81035+）m B ． C ． 103m D ．103835⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m九、如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB 等于（ ）A ．sin αB ．COS αC ．tan αD ．1tan α二、填空题10． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 别离是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．11． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3，c ＝4，则a ＝_______．12． 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α=______ ． 13．已知：α是锐角，tan α=724，则cos α=_______． 14．在Rt △ABC 中，两边的长别离为3和4，求最小角的正弦值为 15．tan 230°+2sin60°-tan45°·sin90°-tan60°+cos 230°=____________．16．如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角极点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，如此一直做下去，取得了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C 三、解答题17、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求tan α的值．E DC B A 第8题图 αPD CA 第9题图 αy xP(2,3)O A1八、先化简，再求值:+1，其中，tan 60x = ．1九、如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 别离为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b＞a ），若tan ∠DCE=12，求a b 的值．20、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，tanA 的值．2一、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30 的斜坡前进400米到D 处（即︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度AB 。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—锐角三角形及其应用
【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：
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一、选择题
1．sin 60°的值等于( C ) A .12 B .22 C .3
2 D .
3 2．
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( D ) A .34 B .43 C .35 D .45
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )
A ．6 cm
B ．7 cm
C ．8 cm
D ．9 cm
4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )
A ．sin
B ＝AD
AB
B ．sin B ＝AC
BC
C ．sin B ＝AD
AC
D ．sin B ＝CD
AC
5．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B ) A ．2 3 m B ．2 6 m
C ．(23－2) m
D ．(26－2) m
第5题图
第6题图
6．)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动．如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)( A ) A ．8.1米 B ．17.2米 C ．19.7米 D ．25.5米
二、填空题
7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝7，则sin B ＝__7
13__．
第7题图
第8题图
8．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了__100__米．
9．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为__208__米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)
第9题图
第10题图
10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米．．
观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC.若∠B ＝56°，∠C ＝45°，则游客中心到观景长廊BC 的距离AD 的长约为__60__米．(sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)
三、解答题 11．编)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE. (1)求线段BE 的长； (2)求∠ECB 的余弦值．
解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，
∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°，
∴AE ＝AD·cos 45°＝2，
∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2. (2)如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，
在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，∴EH ＝BH ＝EB·cos 45°＝2， 又∵BC ＝3，∴CH ＝1，
∴EC ＝EH 2＋CH 2＝BC －BH ＝5， 在Rt △ECH 中，cos ∠ECB ＝
CH EC ＝15＝55
，即∠ECB 的余弦值是55
12．如图，天星山山脚下西端A 处与东端B 处相距800(1＋3)米，小军和小明同时分别从A 处和B 处向山顶C 匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的
行走速度为
2
2米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴AD＝CD＝x，∴AC＝2x，
在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，
∴BC＝
CD
sin30°
＝
x
1
2
＝2x，
∵小军的行走速度为
2
2米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，
∴2x
2
2
＝
2x
a，解得a＝1米/秒．
答：小明的行走速度是1米/秒
13．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)．(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732，3＝1.732，2＝1.414)
解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D
∵∠BAC＝75°－30°＝45°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴BD ＝AD ＝
2
2
×20＝102(海里)， 延长CB 交向北轴线于点E ，
∵∠ABE ＝60°，∠BAC ＝45°， ∴∠C ＝15°，
在Rt △BCD 中，∠C ＝15°， ∴∠CBD ＝75°，
∴tan ∠CBD ＝CD
BD
，即CD ＝102×tan 75°，
则AC ＝AD ＋DC ＝102＋102×tan 75°≈66.92≈67(海里)， 答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里 14．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则BD ＝CD ＝9米．
在Rt △ACD 中，CD ＝9米，∠ACD ＝37°， 则AD ＝CD ·tan 37°≈9×0.75＝6.75(米)．
所以，AB ＝AD ＋BD ＝15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75－2.25＝13.5(米)，因为耗时45秒， 所以上升速度v ＝13.5
45＝0.3(米/秒)．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升。