2.4.2平面向量数量积的坐标表示,模,夹角(公开课课件).ppt
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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
栏目 导引
高效学习模型
第二章 平面向量
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
栏目 导引
第二章 平面向量
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
拓展
栏目 导引
第二章 平面向量
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
5t－452＋459. ∴当 t＝45时，|a＋tb|取得最小值75 5.
栏目 导引
第二章 平面向量
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第二章 平面向量
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
第二章 平面向量
精彩推荐典例展示
名师解题 平面向量坐标表示的综合应用 例4 已知向量 a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，
b＝(cos(π2－θ)，sin(π2－θ))， (1)求证：a⊥b； (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 x＝a＋(t2＋3)b， y＝－ka＋tb 满足 x⊥y，试求此时k＋t t2的最小值．
第二章 平面向量
方法感悟
1．由于两个非零向量 a、b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以 用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°； cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0 且 cos θ≠ －1，θ 为钝角；cos θ＞0 且 cos θ≠1，θ 为锐角． 2．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质， 可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有 关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件
那么
2.平面内两点间的距离公式:
(2 ) 如果表示向量 a 的有向线段的 点和终边的坐标分别为 (x (x 1, y 1), 2, y 2),
那么
| a | ( x x ) ( y y ) 1 1
2 2
2 2
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定:
设 a ( x , y ), b ( x , y ), 则 1 1 2 2
A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 12
讲授新课
探究：
已知两个非零向量 a(x 1, y 1), b(x 怎样用 a 和b 的坐标 2, y 2), 表示 ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量 a 和b ， 它们的 夹角为 ，我们把数量 | a||b| cos 叫做 a 与b 的数量积 (或内积 ).
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
记为： ab, 即 a b |a ||b |cos .
规定:
零 向 量 与 任 一 向量 量积 的数
为 0 ，即 a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a 、 b为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a 、 b为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
2.平面内两点间的距离公式:
(2 ) 如果表示向量 a 的有向线段的 点和终边的坐标分别为 (x (x 1, y 1), 2, y 2),
那么
| a | ( x x ) ( y y ) 1 1
2 2
2 2
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定:
设 a ( x , y ), b ( x , y ), 则 1 1 2 2
A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 12
讲授新课
探究：
已知两个非零向量 a(x 1, y 1), b(x 怎样用 a 和b 的坐标 2, y 2), 表示 ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量 a 和b ， 它们的 夹角为 ，我们把数量 | a||b| cos 叫做 a 与b 的数量积 (或内积 ).
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
记为： ab, 即 a b |a ||b |cos .
规定:
零 向 量 与 任 一 向量 量积 的数
为 0 ，即 a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a 、 b为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a 、 b为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．
(vip免费)【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
课件1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1e a a e | a | cos
2a b a b 0 3当a与b同向时，a b | a || b |；当a与b反向时，a b - | a || b |
4cos a b
| a || b | 5 | a b || a || b |
典型例题
例 ．求a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45的单位向量．
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
高中数学必修4·同步课件
复习回顾
1. 对于平面内的任一向量a，由平面向量基 y
本定理可得，有且只有一对实数x、y，使 得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做
yj
a
向量a的坐标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
引入课题
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
课堂练习
一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方 向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.
如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶 的速度，OC表示船实际速度，AOC 30，| OB | 5km / h
OACB为矩形，| OA || AC | cot 30 5 3 8.6（ 6 km / h） | OC | 5 3 10km / h
X
2.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 | OA OB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
2a b a b 0 3当a与b同向时，a b | a || b |；当a与b反向时，a b - | a || b |
4cos a b
| a || b | 5 | a b || a || b |
典型例题
例 ．求a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45的单位向量．
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
高中数学必修4·同步课件
复习回顾
1. 对于平面内的任一向量a，由平面向量基 y
本定理可得，有且只有一对实数x、y，使 得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做
yj
a
向量a的坐标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
引入课题
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
课堂练习
一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方 向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.
如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶 的速度，OC表示船实际速度，AOC 30，| OB | 5km / h
OACB为矩形，| OA || AC | cot 30 5 3 8.6（ 6 km / h） | OC | 5 3 10km / h
X
2.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 | OA OB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
2.4.2平面向量数量积的坐标表示_模_夹角 ppt课件
ER与EB共线,
2
设ER mEB m(a 1 b)
A
B
AR
AE
ER
1
b
2
m(a
1
b
)
ma
1
(1
m)b
n(a b) ma 12(1 m)b
AR 1 AC
2
3
2
2
n m
n
1 2
(1
m)
解得n m 1 3
同理TC 1 AC, RT 1 AC AR RT TC
3
3
练习：已知直角三角形的两直角边长为4和6,试用
2.设(x2 y2 )(a2 b2 ) (ax by)2 (ab 0),
求证：x y ab
2.已知x2 y2 3, a2 b2 4, x, y, a,b R, 求ax by的最值。
3.已知a 1 b2 b 1 a2 1,求证：a2 b2 1
4.已知y x2 1 (1 x)2 4,求y的最小值。
例2 .已知a (1, x),b （-3，1） (1)当x为何值时，2a＋b与a 2b平行？ (2)当x为何值时，2a＋b与a 2b垂直？
（1） 1 3
（2） 3或 3 2
例3 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)
同向的单位向量，在Rt△ABC中，AB=2i+j，
AC=3i+kj,则 k 的可能值个数是（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
设a=(1,2)，b=(-2,-3)，又c=2a+b，d=a+mb，
若c与d的夹角为450，求实数m的值。 m
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件.ppt
1．由于两个非零向量 a、b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以 用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°； cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0 且 cos θ≠ －1，θ 为钝角；cos θ＞0 且 cos θ≠1，θ 为锐角． 2．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质， 可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有 关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
→→ AO·AB →→
.
|AO||AB|
其中A→O·A→B＝－O→A·A→B＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.∴∠OAB＝45°
【名师点评】 根据向量的坐标表示求a与b的夹角时， 需要先求出a·b及|a||b|，再由夹角的余弦值确定θ.其中， 当a·b>0时，a与b的夹角为锐角；当a·b<0时，a与b的 夹角为钝角；当a·b＝0，a与b的夹角为直角．
第二章 平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
学习导航
学 习 目 标 实例 ―理―解→ 平面向量Fra bibliotek量积的坐标表示
―掌―握→
用平面向量坐标形式求 数量积、模、夹角
重点难点 重点：用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题． 难点：掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式．
【解】 (1)证明：∵a·b
＝cos(－θ)cos(π2－θ)＋sin(－θ)sin(π2－θ) ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0 1 ． ∴a⊥b.
→→ AO·AB →→
.
|AO||AB|
其中A→O·A→B＝－O→A·A→B＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.∴∠OAB＝45°
【名师点评】 根据向量的坐标表示求a与b的夹角时， 需要先求出a·b及|a||b|，再由夹角的余弦值确定θ.其中， 当a·b>0时，a与b的夹角为锐角；当a·b<0时，a与b的 夹角为钝角；当a·b＝0，a与b的夹角为直角．
第二章 平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
学习导航
学 习 目 标 实例 ―理―解→ 平面向量Fra bibliotek量积的坐标表示
―掌―握→
用平面向量坐标形式求 数量积、模、夹角
重点难点 重点：用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题． 难点：掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式．
【解】 (1)证明：∵a·b
＝cos(－θ)cos(π2－θ)＋sin(－θ)sin(π2－θ) ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0 1 ． ∴a⊥b.
初中数学：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角PPT
作业 课本Ｐ１１9Ａ组5（1），9，10，11.
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
C(-2,5)
B(2,3)
A(1,2) x
0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
y B A
O
x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 =（4，3），向量 是 垂直于 的单位向量，求 .
一、复习引入
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图， 是x轴上的单位向量， 是y
轴上的单位向量，
由于
所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
1.
1.
0.
o
x
下面研究怎样用 设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则
提高练习
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D (5，8)，则四边形ABCD的形状是 矩.形 3、已知 = (1，2)， = (-3，2)， 若k +2 与 2 - 4 平行，则k = - 1.
小结 １、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐 标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式，形成转化技能。
2.4.2《平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角》
教学目标
• 1.掌握平面向量数量积运算规律； • 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运
算规律解决有关问题； • 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会
证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. • 教学重点： • 平面向量数量积及运算规律. • 教学难点： • 平面向量数量积的应用
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
C(-2,5)
B(2,3)
A(1,2) x
0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
y B A
O
x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 =（4，3），向量 是 垂直于 的单位向量，求 .
一、复习引入
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图， 是x轴上的单位向量， 是y
轴上的单位向量，
由于
所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
1.
1.
0.
o
x
下面研究怎样用 设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则
提高练习
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D (5，8)，则四边形ABCD的形状是 矩.形 3、已知 = (1，2)， = (-3，2)， 若k +2 与 2 - 4 平行，则k = - 1.
小结 １、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐 标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式，形成转化技能。
2.4.2《平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角》
教学目标
• 1.掌握平面向量数量积运算规律； • 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运
算规律解决有关问题； • 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会
证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. • 教学重点： • 平面向量数量积及运算规律. • 教学难点： • 平面向量数量积的应用