高考数学第1部分重点强化专题专题4立体几何专题限时集训8空间几何体表面积或体积的求解

专题限时集训(八)空间几何体表面积或体积的求解(对应学生用书第130页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图8­16所示，则其俯视图为( )图8­16C [根据正视图和侧视图知，正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，所以它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以一个实线画出的三角形，左上角是一个以实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图所示，故选C.]2．(2017·杭州学军中学高三模拟)已知某几何体的三视图如图8­17所示，则该几何体的表面积为( )图8­17A ．16B ．26C ．32D ．20＋2543C [由三视图可知该几何体的直观图如下，由图可知，该几何体的各个面都是直角三角形，故表面积为12×(4×5＋3×4＋4×3＋4×5)＝32，故选C.]3．在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( ) 【导学号：68334102】 A.253π B.252π C.833π D.832π D [由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝546，∴R 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D.]4．已知某几何体的三视图如图8­18所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )图8­18A. 3 B ．2 3C ．3 3D ．4 3B [分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1截去四棱锥A ­BEDC 得到的，故其体积V ＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.]5．如图8­19，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )图8­19A ．8＋82＋4 6B ．8＋82＋2 6C ．2＋22＋ 6D.12＋22＋64A [在正方体中还原出该四面体C ­A 1EC 1如图所示，可求得该四面体的表面积为8＋82＋4 6.]二、填空题6．某几何体的三视图如图8­20所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________ cm 2. 【导学号：68334103】图8­20π2 11π4 [由三视图知该几何体为一个半球被割去14后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12＝11π4.]7．三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ­ABE的体积为V 1，P ­ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14[如图，设S △ABD ＝S 1，S △PAB ＝S 2， E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面PAB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14.]8．(2017·浙江省新高考仿真训练卷(一))某简单几何体的三视图如图8­21所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________．图8­2124 25π [由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径为R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝25π.] 三、解答题9. 如图8­22，P 为正方形ABCD 外一点，PB ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2，E 为PD 的中点．图8­22(1)求证：PA ⊥CE ；(2)求四棱锥P ­ABCD 的表面积．[解] (1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥AD ∥BC ，即EF ，BC 共面．∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥BC ，又BC ⊥AB 且PB ∩AB ＝B ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA .3分∵PB ＝AB ，∴BF ⊥PA ，又BC ∩BF ＝B ，∴PA ⊥平面EFBC ，∴PA ⊥CE . 6分(2)设四棱锥P ­ABCD 的表面积为S ， ∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥CD ，又CD ⊥BC ，PB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC ，即△PCD 为直角三角形， 8分由(1)知BC ⊥平面PAB ，而AD ∥BC ，∴AD ⊥平面PAB ， 故AD ⊥PA ，即△PAD 也为直角三角形．S ▱ABCD ＝2×2＝4，S △PBC ＝S △PAB ＝S △PDA ＝12×2×2＝2， S △PCD ＝12×2×22＋22＝22，12分∴S 表＝S ▱ABCD ＋S △PBC ＋S △PDA ＋S △PAB ＋S △PCD ＝10＋2 2.15分10．如图8­23，一个侧棱长为l 的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC ，BC ，B 1C 1，A 1C 1的中点D ，E ，F ，G .图8­23(1)求证：平面DEFG ∥平面ABB 1A 1； (2)当底面ABC 水平放置时，求液面的高．【导学号：68334104】[解] (1)证明：因为D ，E 分别为棱AC ，BC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE ∥AB .又DE ⊄平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1.同理DG ∥平面ABB 1A 1，又DE ∩DG ＝D ，所以平面DEFG ∥平面ABB 1A 1.6分(2)当直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器的侧面AA 1B 1B 水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器的高，即侧棱长l ，当底面ABC 水平放置时，设液面的高为h ，△ABC 的面积为S ，则由已知条件可知，△CDE ∽△ABC ，且S △CDE ＝14S ，所以S 四边形ABED ＝34S .11分由于两种状态下液体体积相等，所以V 液体＝Sh ＝S 四边形ABED l ＝34Sl ，即h ＝34l .因此，当底面ABC 水平放置时，液面的高为34l .15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2017·杭州质量检测)如图8­24，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )图8­24A ．三棱台B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥B [根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．]2．某几何体的三视图如图8­25所示，则该几何体的体积为( )图8­25A.23B.43C.53D.73B [根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B.] 3．某几何体的三视图如图8­26所示，则该几何体的体积为( )图8­26A ．6π＋4B ．π＋4 C.5π2D ．2πD [由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×12×1＋12π×12×2＝2π，故选D.]4．从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若OP ＝3，则球的体积为( ) A.π3 B.2π3C.4π3D.8π3C [设OP 交平面ABC 于O ′，由题得△ABC 和△PAB 为正三角形， 所以O ′A ＝33AB ＝33AP . 因为AO ′⊥PO ，OA ⊥PA ， 所以OP OA ＝AP AO ′，AO ′AB ＝33，AO ′AP ＝33，所以OA ＝OP ·O ′A AP ＝3×33＝1， 即球的半径为1，所以其体积为43π×13＝43π.选C.] 二、填空题5．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为________. 【导学号：68334105】55π6 [由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1, 其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＝1＋14＝54，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫543π＝55π6.] 6．如图8­27，在三棱锥A ­BCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为4的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________．图8­27803π [取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，BF ，由题意知AF ⊥BF ，AF ＝BF ＝23，EF ＝12AF 2＋BF 2＝6，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上， 所以OE ＋OF ＝ 6.设外接球的半径为R ，连接OA ，OC ，则有R 2＝AE 2＋OE 2，R 2＝CF 2＋OF 2，所以AE 2＋OE 2＝CF 2＋OF 2，(6)2＋OE 2＝22＋OF 2，所以OF 2－OE 2＝2，又OE ＋OF ＝6，则OF 2＝83，R 2＝203，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝803π.]三、解答题7．如图8­28，矩形CDEF 和梯形ABCD 互相垂直，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12CD ，BE ⊥DF .图8­28(1)若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ； (2)若AB ＝2，求四棱锥E ­ABCD 的体积． [解] (1)证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， 因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC . 2分 又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF .4分(2)取CD 中点为G ，连接BG ，EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ， 7分 所以ED 的长即为四棱锥E ­ABCD 的高. 8分在梯形ABCD 中，AB ＝12CD ＝DG ，AB ∥DG ，所以四边形ABGD 是平行四边形，BG ∥AD ，所以BG ⊥平面CDEF . 又DF ⊂平面CDEF ，所以BG ⊥DF ，又BE ⊥DF ，BE ∩BG ＝B ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF ⊥EG .11分注意到Rt △DEG ∽Rt△EFD ，所以DE 2＝DG ·EF ＝8，DE ＝22， 所以V E ­ABCD ＝13S 梯形ABCD ·ED ＝4 2.15分8．如图8­29，在多面体ABCDM 中，△BCD 是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD ＝90°，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点，连接OM .图8­29(1)求证：OM ∥平面ABD ；(2)若AB ＝BC ＝2，求三棱锥A ­BDM 的体积．[解] (1)证明：∵△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD ＝90°，点O 为CD 的中点，∴OM ⊥CD . 1分∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD ∩平面BCD ＝CD ，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD .2分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴OM ∥AB .3分∵AB ⊂平面ABD ，OM ⊄平面ABD ， ∴OM ∥平面ABD .4分(2)法一：由(1)知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离. 5分过点O 作OH ⊥BD ，垂足为点H .∵AB ⊥平面BCD ，OH ⊂平面BCD ，∴OH ⊥AB .6分∵AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，AB ∩BD ＝B ，∴OH ⊥平面ABD .7分∵AB ＝BC ＝2，△BCD 是等边三角形，∴BD ＝2，OD ＝1，OH ＝OD ·sin 60°＝32. 9分∴V 三棱锥A ­BDM ＝V 三棱锥M ­ABD ＝13×12×AB ·BD ·OH＝13×12×2×2×32＝33.11分∴三棱锥A ­BDM 的体积为33. 12分法二：由(1)知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离. ∵AB ＝BC ＝2，△BCD 是等边三角形，∴BD ＝2，OD ＝1. 6分连接OB ，则OB ⊥CD ，OB ＝BD ·sin 60°＝ 3.7分 ∴V 三棱锥A ­BDM ＝V 三棱锥M ­ABD ＝V 三棱锥O ­ABD ＝V 三棱锥A ­BDO ＝13×12×OD ·OB ·AB＝13×12×1×3×2＝33.12分 ∴三棱锥A ­BDM 的体积为33.15分。