06-1正弦交流三元件

U U u I I
i
RI RI U i
此式中包含 了幅值和相 位的信息
RI 欧姆定律的相量形式 U
3.3
正弦交流电路的电阻元件
三、相量电路
I
u
i
R
U
R
四、相量图
I
U
i u
3.3
正弦交流电路的电阻元件
五、瞬时功率p(t)
根据物理学中的法拉第电磁感应定律， d e 线圈中的感应电动势为
dt
3.4
正弦交流电路的电感元件
对于N匝线圈，其感应电动势为单匝线圈的N倍
d d e L N dt dt
其中：=N 称为磁通链。
当线圈中有电流 i 通过时， 或 与 i 成正比，即
i u

eL
N L i
XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
3.4
正弦交流电路的电感元件
8、储能WL(J)
电感从0 到t所储存的磁场能量为：
di WL p( )d uid L id 0 0 0 d t 1 2 Lidi Li 0 2
t t t
W L max
1 2 2 LI Lm LI L 2
正弦交流电路的电阻元件
结论： （1）U=RI
欧姆定律的有效值形式
i u （ 2）
u,i
电阻上电压、电流同相
0
t
3.3
正弦交流电路的电阻元件
二、相量分析
u 2U sin( t u ) 2 RI sin( t i ) i 2 I sin( t i )
3.4
正弦交流电路的电感元件
例
在单个电感元件的正弦交流电路中，L=100mH，f=50Hz， （1）已知 i 7 2 sin tA ，求电压 u ； 127 30V ，求 I ，并画出相量图。 （2）已知 U 解：
（）当 1 i 7 2 sin tA时 di u L LI m sin(t 90) dt 220 2 sin(t 90)V
1 T U 2 P 0 p (t )dt UI I R T R
2
7、电能WR(J)
WR

t
p( )d
实际应用中： WR P t
3.3
正弦交流电路的电阻元件
例
一100 电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上， 问流过电阻的电流是多少？工作8小时所消耗 的电能又是多少？若频率改为5000Hz呢？
3.4
正弦交流电路的电感元件
5、瞬时功率p(t)
p (t ) 2UI sin( t u ) sin( t i ) 2UI sin( t i ) cos(t i ) UI sin 2(t i )
u,i,p
0
t
3.4
正弦交流电路的电感元件
解
U 10 I 0.1A 100mA R 100 2 P I R 1W W Pt 8 W h
因电阻与频率无关，所以结果不变。
3.4
正弦交流电路的电感元件
3.4
正弦交流电路的电感元件
e

设一单匝线圈，当通过它的磁通 发生变化时，线圈中要产生感应 电动势。其大小为
d e dt
u,i,
0
t
令：XC= 1/(ωC)(Ω) XC为电容的电抗，简称容抗。
3.5
正弦交流电路的电容元件
关于容抗的讨论
容抗（XC =1/(ωC) ）是频率的函数， 表示电
容对电流的阻力情况，描述电容电路中电压、电流
有效值之间的关系，且只对正弦量有效。
UC IX C
3.5
正弦交流电路的电容元件
2、相量分析
复习题
2 3 j2A，I 2 3 j2A，I 2 3 j2A 3、 已知I 1 2 3 2 3 j2A，试写出i 、i 、i 、i 的瞬时表达式。 I
4 1 2 3 4
答案
i1 4 2 sin( t 30 )A i2 4 2 sin( t 150 )A i3 4 2 sin( t 30)A i4 4 2 sin( t 150 )A
-300
127 30V时 （2）当U X L 2fL 31.4 U I 4.04 120A jX L
I
U
3.5
正弦交流电路的电容元件
3.5
正弦交流电路的电容元件
根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的电 荷量也将发生变化，从而在电路中会引起电流
六、有功功率（平均功率）
七、电能
3.3
正弦交流电路的电阻元件
3.3
正弦交流电路的电阻元件
u i 2U sin( t u )
一、瞬时分析
设
2 I sin( t i )
u
i
R
根据 欧姆定律
u iR
则
u Ri 2RI sin （t i )
比较两个电压表达式得：
3.3
i
dq du i C dt dt
u
C
3.5
正弦交流电路的电容元件
♣
电容元件(Capacitance)
1、瞬时分析 2、相量分析 3、相量电路 4、相量图 5、瞬时功率 6、有功功率（平均功率）
7、无功功率
8、储能
3.5
正弦交流电路的电容元件
1、瞬时分析
u
i
2 U sin( t u ) 2 I sin( t i )
u
0
i
t
i
u
i
i u
i
u
u
p
+
可逆的 能量转换 过程
0
p <0
+
p >0
p <0
p >0
储存 能量
释放 能量
t
3.4
正弦交流电路的电感元件
6、平均功率P(W) ——有功功率
p i u UI sin 2(t i )
1 P T 1 T

T 0 T 0
p dt [UI sin 2( t i )]dt 0
p dt [UI sin 2( t u )]dt 0
结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）。
3.5
正弦交流电路的电容元件
7、无功功率Q(乏：Var)
Q 的定义：电容瞬时功率所能达到的最大值。用以 衡量电容电路中能量交换的规模。
p i u UI sin 2( t u )

2
)
U LI ( i ) j L I 2
令：ZL=jωL 其中ZL为电感的 复数阻抗（Ω）
=j LI 欧姆定律的相量形式 U
3.4
正弦交流电路的电感元件
3、相量电路
i u eL
L
I
U
L
4、相量图
IL
U
I
领先！ U
I
XL ωL jωL jXL ZL
U
1 I 欧姆定律的相量形式 jC
3.5
正弦交流电路的电容元件
3、相量电路
i u C
I
U
C
4、相量图
I
滞后！ U
XC 1/(ωC) 1/(j ω C) -jXC ZC
U
3.5
正弦交流电路的电容元件
5、瞬时功率p(t)
p (t ) 2UI sin( t u ) sin( t i ) 2UI sin( t u ) cos(t u ) UI sin 2(t u )
Q U I I X C
2 2 U
XC
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
3.5
正弦交流电路的电容元件
8、储能WC(J)
电容从0 到t所储存的电场能量为：
du WC p( )d uid C ud 0 0 0 dt t 1 2 Cudu Cu 0 2
u,i,p
0
t
结论：
1.
p 0（耗能元件）
2. p随时间变化
3. p 与 u 2、i 2 成比例
3.3
正弦交流电路的电阻元件
6、平均功率P(W) ——有功功率
由于瞬时功率随时间而变化，故实用意义不大，在电工技 术中，衡量元件消耗的功率是用瞬时功率在一个周期内的平均 值来表示的，此即为平均功率。
t t t
W C max
1 2 2 CU Cm CU C 2
3.5
正弦交流电路的电容元件
i
例
求电容电路中的电流
u

6 )V
C
已知： C ＝1μF
u 70.7 2 sin(314 t
求：I 、i、Q
解：
XC
1 1 3180 6 C 314 10
8、储能
3.4
正弦交流电路的电感元件
1、瞬时分析
设
u i 2 U sin( t u ) 2 I sin( t i )
i u eL L
由伏安关系
di u L dt
2 LI cos （ t i )
di u L dt
2 LI sin( t i
i 2 I sin( t i ) 2 CU sin( t u u 2U sin( t u )

2
)
U U u I I
i
I CU ( u ) j CU 2