13.4第1课时-最短路径问题(上课)
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八年级上学期数学134《最短路径问题》课件
A
O
B
Ｃ. .
E
D
M
N
G
H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
F
A
O
B
D ·
· C
E
G
H
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短
人教版数学八年级上册《13.4课题学习 最短路径问题》说课稿1
人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》这一节，是在学生学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识后，引入的一个新的课题。
本节内容主要介绍了最短路径问题的概念、求解方法以及应用。
通过本节内容的学习，使学生能够了解最短路径问题的背景，掌握解决最短路径问题的方法，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但是，对于最短路径问题，学生可能较为陌生，需要通过实例讲解和练习，使学生理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：了解最短路径问题的概念，掌握解决最短路径问题的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的概念、求解方法。
2.教学难点：如何运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、合作交流法。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入最短路径问题的概念。
2.讲解新课：讲解最短路径问题的求解方法，结合实例进行分析。
3.练习巩固：学生独立完成课后练习题，教师进行讲解和指导。
4.拓展延伸：引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.概念：从起点到终点的最短路线2.求解方法：b.动态规划法3.应用：实际问题解决八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
人教版数学八年级上册课件13.4课题学习-最短路径问题
模型二：线型，两点在直线同侧 作对称一连接 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,
连接A‘A″,与BC、CD的交点分别为M、N,此时△AMN的周长最小. ∵∠BAD=110°,∴∠A'+∠A″=180°-110°=70°, 由轴对称的性质得∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN, ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×70°=140°. 故选D.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'的什么位置时,A'N+NB最小?
图13-4-4 如图13-4-5,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b 的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是 最短的.
图13-4-1 分析 将题意用数学语言叙述如下:如图13-4-1所示,已知直线a和a同侧 的两点A,B.求作:点C,使点C在直线a上,并且AC+CB最小.此题实际上是 求最短路径问题,需要比较路径的长短,与之有关的内容是:两点之间,线 段最短.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-2(1)所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线a 于点C,则点C即为水泵站的位置. 理由如下:如图13-4-2(2)所示,在直线a上任取一点C'(异于点C),连接BC', A'C',AC'. ∵A与A‘关于直线a对称,∴AC=A'C,AC'=A'C'. ∴AC+CB=A'C+CB=A'B<A'C'+BC'=AC'+BC'.
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。
这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。
教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。
但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。
3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。
4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件
P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.
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A
转化成数学问题
探索3:（改变情景）将军的前方有一片草地，马儿吃完草 后去饮水，又回到原地，如图所示，将军怎么走路径最短？ A2
N
两点两线问题
Ｍ
Ｏ
B
A M
四边形AMNB的周长最小
A1
Ｎ
试试身手
如图，在△ABC中，ＡＢ＝３，ＡＣ＝４，ＥＦ垂直平分ＢＣ， 点Ｐ在ＥＦ上。则ＡＰ＋ＢＰ的最小值是 ４ ．
A1
则点B、C即为所求。
B
N
两线一点
A
C
为什么AB+BC+AC最小？
Ｏ
M
A2
证明：如图，在射线OM上任取非B点的一点B′， A1 在射线ON上任取非C点的一点C′， 连接A1B′、B′C′、C′A2、 AB′、AC′ ． 由轴对称的性质知:A1B =AB， A1B′= AB′ A2C=AC、A2C′=AC′． ∴AC +BC+CA= A1B +BC +A2C =A1 A2，
三、能力展示
阅读课本Ｐ８６
小组合作探究
问题2：如何确定点C位置？ 使AC +BC 最短． 两点一线 两′C
B
BC=B′C
l
连接AB′，交直线L于点C， C 点C即为饮马地点．
如何验证？
B′
点B′与点B关于直线l的对称.
三、能力展示
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
第1课时 将军饮马问题
制作：田放
学习目标
1、利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间线段 最短问题（重点） 2、如何利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间 线段最短问题（难点）
一、温故知新
1.我们以前学过那些有关最短路径问题？ （1）两点之间，线段最短. （2）垂线段最短. 2.观察这两个情景，你选择哪条路最近？理由是什么？
实际问题
转化
数学问题
A、B分别是直线L异侧两点，在 直线 l上求作一点P，当点P 的什 么位置时，AP+BP最小？
两点一线 两点在直线异侧
A
P
所以泵站建在点P可使输气管线最短
L
理由： 两点之间，线段最短.
PA+PB最短。
B
如何验证PA+PB最短？
你如何进一步验证PA+PB最短呢？
在L上任取非P点的一点P’，连接PA、PB 三角形三边关系：两边之和大于第三边；
图一 两点一线 两点分别在线异侧
A
图二
两点一线 两点分别线的同侧
B
l
C
B’
归纳：在解决点与直线的最短路径问题时，我们通常利用轴对称转 化为“线在两点之间”的问题进行求解。
归纳：在解决点与直线的最短路径问题时，我们通常利用轴对称 转化为“线在两点之间”的问题进行求解。 例：已知：如图，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON 的两边OM，ON上各取一点B，C，使AB+BC+AC最小.
B
A
l
二、自学、合作与交流
探究1：“将军饮马”：如图，将军从A地出发，到一 条笔直的河边 l 饮马，然后到B地马棚．将军到河边的 什么地方饮马，可使所走的路径最短？ AC +BC 最短？
A B A B
l 实际问题
转化
C
C
l
数学问题
问题1：把这个问题转化为数学问题？ 点A、B分别是直线L的同侧两点，在直线L上求作一点C， 当点C 的什么位置时，AC+BC最小？
C
C′ B′
l
三、能力展示
问题4：海伦到底是如何确定饮马地点的？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A C A′ B′ l B
AC+BC最短。
思考： 可以不可以作点A的对称点A ′？
对比下图一、图二，你能找到两个问题的相同点 与不同点吗？你有什么启示？
情景1：老虎到狐狸洞.
③路径最短
图1
理由： 线段公理：两点之间，线段最短.
一、温故知新
2.观察这两个情景，你选择哪条路最近？理由是什么？ 情景2：行人过人行道 ②路径最短
理由：
垂线段性质： 垂线段最短.
① ②
③
图2
2、如图，要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A、B两小区供 气，泵站P修在管道的什么地方，可使所用的输气管线PA+PB最短？
B′ B
A
C′ C
A2
∴ AB′+ B′C′+ AC′= A1B′ +B′C′+ C′A2 ． 根据“两点之间，线段最短” 则：A1 A2 ＜ A1B′ +B′C′+ C′A2 ，
∴ AC +BC+CA ＜ AB′+ B′C′+ AC′．
∴ AC +BC+CA最短．
探究2:（改变情景）将军的前方有一片草地，马儿吃完草 后去饮水，又回到原地，如图所示，将军怎么走路径最短？
Ｍ
Ｏ
A
Ｎ
转化成数学问题
探究2:（改变情景）将军的前方有一片草地，马儿吃完草 后去饮水，又回到原地，如图所示，将军怎么走路径最短？ A1
转化成数学问题
两线一点问题
N
C
Ｏ
A B
△ABC的周长最小
A2
M
探究3:（改变情景）将军的前方有一片草地，马儿吃完草 后去饮水，又回到马棚，如图所示，将军怎么走路径最短？
A P’
P’A+P’B>AB
P’A+P’B>PA+PB
所以PA+PB最短。
P
L
B
归纳：求线段和最短问题一般转化为“两点之间线段最短”。
最 短 路 径 问 题
“两点之间，线段最短” “两边之和大于第三边”
“垂线段最短”
“将军饮马问题”
故事欣赏
“将军饮马”的故事： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解 的问题： “亲爱的海伦先生：我想从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马， 然后到B 处的马棚．我想找一条最短的路线，苦思不得其解，请先生告诉我应 该到什么地方饮马？” 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问 题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．海伦是如何解决这个问题的？
A
３
B F
E P
４
C
课下思考
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处 接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请 画出旅游船的最短路径． C M 河岸 基本思路： Q P’ 线段PQ 为旅游船最短路径中的必 山
证明：如图，在直线l 上任取非C点的一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知:BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
B
A
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
(三角形任意两边之和大于第三边) ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．