北京市东城区届九年级上学期期末测验数学试卷
北京市东城区九年级上册期末考试数学试题(有答案)
北京市东城区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题〔此题共16分，每题2分〕1. 以下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．应选：A．【点评】此题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两局部重合．边长为2的正方形内接于⊙M，那么⊙M的半径是〔〕A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，那么OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC= ．应选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，此题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3. 假设要得到函数y=〔+1〕2+2的图象，只需将函数y=2的图象〔〕先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=〔+1〕2+2的顶点坐标为〔﹣1，2〕，抛物线y=2的顶点坐标为〔0，0〕，∴将抛物线y=2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=〔+1〕2+2．应选：B．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4. 点A〔1，y1〕，B〔2，y2〕都在反比例函数的图象上，假设1＜2＜0，那么∴〔〕∴A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0∴【分析】由=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．∴解：∵=2＞0，∴∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随的增大而减小，∴∵1＜2＜0，∴∴点A〔1，y1〕，B〔2，y2〕位于第三象限，∴y2＜y1＜0，应选：C．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5. A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，那么∠AOB的度数是〔〕A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，应选：B．【点评】此题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，假设△DEF的面积是2，那么△ABC的面积是〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知= ，由位似图形性质得=〔〕2，即= ，据此可得答案．解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，=，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴=〔〕2，即=，解得：S△ABC=8，应选：D．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7.函数y=﹣2+b+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是〔〕A.B．C．D．【分析】根据条件“a＜0、b＞0、c＜0〞判断出该函数图象的开口方向、与y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b＞0，c0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是=﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；应选：D．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=a2+b+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与轴交点的个数．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数〔n〕成活数〔m〕成活率移植棵数成活数〔m〕成活率〔m/n〕〔n〕〔m/n〕50 47 1500 1335270 235 3500 3203400 369 7000 6335750 662 14000 12628下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③假设小张移植10000棵这种树苗，那么可能成活9000棵；④假设小张移植20000棵这种树苗，那么一定成活18000棵．其中合理的是〔〕A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，这种树苗成活的概率不一定是，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，故正确；③假设小张移植10000棵这种树苗，那么可能成活9000棵，故正确；④假设小张移植20000棵这种树苗，那么不一定成活18000棵，故错误．应选：C．【点评】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题〔此题共16分，每题2分〕在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC中，∠C=90°，cosA=，cosA=，AB=6，AC=AB=2，故答案为2．【点评】此题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.假设抛物线y=2+2+c与轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2．【分析】根据抛物线y=2+2+c与轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=2+2+c与轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c ＜0，解得：c＞1，c=2，故答案为：2．【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，能根据得出关于c的不等式是解此题的关键．如图，在平面直角坐标系Oy中，假设点B与点A关于点O中心对称，那么点B的坐标为〔2，﹣1〕．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B点位置即可．解：∵A〔﹣2，1〕，点B与点A关于点O中心对称，∴点B的坐标为〔2，﹣1〕，故答案为：〔2，﹣1〕．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．假设CD=1，AB=4，那么⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．解：连接OA，∵C是AB的中点，AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA22+AC2 ，即OA2〔﹣〕2 +22，=OC = OA1解得，OA=，故答案为：．13.【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是14.解答此题的关键．15.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上〔如图〕．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为，，观测点O到旗杆的距离OE为6m，那么旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，那么正确结论的序号是②⑤．①AB=AD；②BC=CD；③；④∠BCA=∠DCA；⑤．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本结论错误；②∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a时，函数的最小值是﹣4，那么实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=2﹣2﹣3的图象和性质，及中当﹣1≤≤a时函数的最小值为﹣4，可得实数a的取值范围．解：函数y=2﹣2﹣3=〔﹣1〕2﹣4的图象是开口朝上且以=1为对称轴的抛物线，当且仅当=1时，函数取最小值﹣4，∵函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a时，函数的最小值是﹣4，a≥1，故答案为：a≥1【点评】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．如图，在平面直角坐标系Oy中，A〔8，0〕，C〔0，6〕，矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y=的图象上运动，的值为12，OM长的最小值为．【分析】先根据P〔4，3〕，求得=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，OM最短，即当=y时，=，解得=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A〔8，0〕，C〔0，6〕，矩形OABC的对角线交于点P，∴P〔4，3〕，代入函数y=可得，=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，OM最短，当=y时，=，解得=±2，又∵＞0，=2，M〔2，2〕，∴OM= =2，故答案为：12，2．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题〔此题共68分，第17-24题，每题5分，第25题6分，第26-27，每题5分，第28题8分〕17．〔5分〕计算：2cos30°﹣2sin45+3tan60°°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，﹣+3+﹣1，=4 ﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．〔5分〕等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．解：〔1〕圆心O在△ABC外部，在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；AB=AC，∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC〕÷2=25°；2〕圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，AB=AC，∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC〕÷2=65°．【点评】此题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决此题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．〔5分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．1〕求证：△ADE∽△BEC．2〕假设AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】〔1〕由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；〔2〕根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB=AE+BE即可求出AB的长度．1〕证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．2〕解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴∴BE=，∴∴AB=AE+BE=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：1〕利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；〔2〕利用相似三角形的性质求出BE的长度．20．〔5分〕在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．1〕求△ABC的面积；2〕求AC的长．【分析】〔1〕延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；〔2〕等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：〔1〕延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；2〕∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】此题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．〔5分〕北京2021新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化〔生物和化学〕、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化〔生物和化学〕五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．〔〕1写出所有选考方案〔只写选考科目〕；〔〕2从〔1〕的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】〔1〕根据题意可以写出所有的可能性；〔2〕根据〔1〕中的所有可能即可求得从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：〔1〕由题意可得，所有的可能性是：〔物理、历史、地理〕、〔物理、历史、思想品德〕、〔物理、历史、生化〕、〔物理、地理、思想品德〕、〔物理、地理、生化〕、〔物理、思想品德、生化〕、〔历史、地理、生化〕、〔历史、思想品德、生化〕、〔地理、思想品德、生化〕；〔2〕从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】此题考查列表法与树状图法，解答此题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．〔5分〕如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C的对应点．〔〕1作出△A'BC'〔要求尺规作图，不写作法，保存作图痕迹〕；〔〕2连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】〔1〕直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（（〔2〕直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：〔1〕如下列图：△A'BC'即为所求；（（（（2〕在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，（∵△A′B′由C△′ABC旋转所得，∴△A′B′≌△C′ABC，（∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，（∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，（∴∠BA′A=60，°（∴∠C′A′∠A=BA′C+′∠BA′A=150．°（（（（（（（（（（（（（（（（（（【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解（题关键．（23．〔5分〕如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是（一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h〔单位：m〕与飞行时间t〔单位：s〕2．（之间具有函数关系h=20t﹣5t（1〕小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2〕小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】〔1〕将函数解析式配方成顶点式可得最值；〔2〕画图象可得t的取值．解：〔1〕∵h=﹣5t2+20t=﹣5〔t﹣2〕2+20，∴当t=2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；2〕由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，那么小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．【点评】此题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．〔5分〕在平面直角坐标系Oy中，直线y=2+4与反比例函数y=〔≠0〕的图象交于点A〔﹣3，a〕和点B．〔1〕求反比例函数的表达式和点B的坐标；〔2〕直接写出不等式＜2+4的解集．【分析】〔1〕把A〔﹣3，a〕代入y=2+4，可得A〔﹣3，﹣2〕，把A〔﹣3，﹣2〕代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；2〕在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的局部对应的自变量的取值范围就是不等式＜2+4的解集．解：〔1〕把A〔﹣3，a〕代入y=2+4，可得a=﹣2，∴A〔﹣3，﹣2〕，A〔﹣3，﹣2〕代入y=，可得=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B〔1，6〕；〔2〕在平面直角坐标系中画出直线y=2+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2+4的解集为﹣3＜＜0或＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．〔6分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于点D，E．DF是⊙O的切线，交AC于点F．1〕求证：DF⊥AC；2〕假设AE=4，DF=3，求tanA．【分析】〔1〕连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；〔2〕过O作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．〔1〕证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；〔2〕过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由〔1〕可知：四边形ODFG为矩形，OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．〔7分〕在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m+n〔m≠0〕与轴交于点A，B，点A的坐标为〔﹣2，0〕．1〕写出抛物线的对称轴；2〕直线y=﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y=+a和l2：y=﹣+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．【分析】〔1〕由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；2〕①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．解：〔1〕∵抛物线所对应的函数表达式为y=m2﹣2m+n，∴抛物线的对称轴为直线=﹣=1．2〕①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B关于直线=1对称．∵点A的坐标为〔﹣2，0〕，∴点B的坐标为〔4，0〕．∵抛物线y=m2﹣2m+n过点B，直线y=﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣2++4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为〔4，0〕，∴点C的坐标为〔﹣3，﹣〕．当直线l2：y=﹣+b1过点B时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣+4，当=1时，y=﹣+4=3，1，3〕；∴点P1的坐标为〔当直线l2：y=﹣+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，y=﹣﹣，当=1时，y=﹣﹣=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为∴点P2的坐标为〔1，﹣〕．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】此题考查了二次函数的性质、一次〔二次〕函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点，解题的关键是：〔1〕利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；〔2〕①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时点P的坐标．27．〔7分〕如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．1〕求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；2〕假设点P在AB上时，①在图2中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；3〕点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？假设有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；假设没有，请说明理由．【分析】〔1〕①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出=，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；2〕①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；3〕先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：〔1〕①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，= =，，P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；〔2〕①如图1所示；②如图2，由〔1〕知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P在AB上，BP=，AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'==；〔3〕由〔1〕知，△AP'C∽△BPC，∴，∴AP'=1是定值，∴点P'是在以点A为圆心，半径为AP'=1的圆上，①如图3，点P'在BA的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC是解此题的关键．28．〔8分〕对于平面直角坐标系Oy中的点M和图形G，假设在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，那么称M为图形G的和睦点．〔1〕当⊙O的半径为3时，在点P1〔1，0〕，P2〔，1〕，P3〔，0〕，P4〔5，0〕中，⊙O的和睦点是P2、P3 ；〔2〕假设点P〔4，3〕为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；〔3〕点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．点E〔，〕，假设线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标A的取值范围．【分析】〔1〕分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，假设与⊙O有交点，那么P是，⊙O 的和睦点；〔2〕如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；〔3〕分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：〔1〕如图1中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，假设与⊙O有交点，那么P 是，⊙O的和睦点，观察图象可知，⊙O的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．〔2〕如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．P〔4，3〕，∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．〔3〕①如图3中，当点O到C′D的′距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤A≤﹣3时，满足条件；②〕①如图3中，当点O到A′B的′距离OM=1时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标﹣1，为∴﹣1≤A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤A≤﹣3或﹣1A≤1．【点评】此题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2024届北京市东城区名校数学九上期末检测模拟试题含解析
2024届北京市东城区名校数学九上期末检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AC ＝4，则sin B 的值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．432．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A ．12个 B ．16个 C ．20个 D ．25个3．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ） A ．45 B ．48 C ．50 D ．554．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜12），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．4或5B ．4或7C ．4或5或7D ．4或7或95．对于反比例函数2y x=，下列说法中不正确的是（ ） A ．点()2,1--在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小6．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）A ．23y x =-B ．2y ax =C ．23y x =D ．2(1)y a x =-7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．8．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．20πD ．40π9．如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为（ ）A ．4:1B ．3:2C ．2:1D ．3:110．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）A ．21m y x +=B ．1m y x +=C ．m y x =D ．m y x-= 二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图,从一块直径是2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么圆锥的底面圆的半径为___________m ．12．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5sin 13B =，点P 为边BC 上一点，3PC =，将ABC 绕点P 旋转得到A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C AB ''，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G'的长等于__________.13．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是______．14．如果关于x 的一元二次方程x 2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a 的值为 ．15．若正多边形的每一个内角为135，则这个正多边形的边数是__________．16．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是 ．17．如图，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x （k≠0）在第一象限的图象经过顶点A(m ，2)和CD 边上的点E(n ，23)，则点D 的坐标是_____．18．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则BP AP=________． 三、解答题(共66分) 19．（10分）某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+． （1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？20．（6分）已知2222212a b a A a ab b b a a ab⎛⎫-=+÷ ⎪-+--⎝⎭ （1）化简A ；（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y ＝﹣2x的图象上，求A 的值． 21．（6分）（1）问题发现：如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：如图2，在Rt △ABC 与Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 的延长线上时，连接EC ，写出此时线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系，并证明；（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝45°．若BF ＝13，CF ＝5，请直接写出AF 的长．22．（8分）《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高3丈的标杆BC 和DE ，两竿之间的距1000BD =步，D B H 、、成一线，从B 处退行123步到F ，人的眼睛贴着地面观察A 点，A C F 、、三点成一线；从D 处退行127步到G ，从G 观察A 点，A E G 、、三点也成一-线．试计算山峰的高度AH 及HB 的长． (这里1步6=尺，1丈10=尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段AH 及HB 的长呢？请你试一试!23．（8分）先化简，再求值：22231()111a a a a --÷+-+，其中1012cos30()(3)2a π-=︒+-- 24．（8分）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，连接AC ，BC ．（1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）点M 是线段BC 上一点（不与B ，C 重合），过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，连接CN ．若点M 关于直线CN 的对称点'M 恰好在y 轴上，求出点M 的坐标；（3）在平面内是否存在一点P ，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆（点'A ，'O ，'C 分别是点A ，O ，C 的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（10分）如图，一次函数y kx b +＝的图象与反比例函数m y x=的图象相交于(1)A n ﹣，、(21)B ，﹣两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；（3）若1122)((M x y N x y ，、，)是反比例函数m y x=上的两点，当120x x ＜＜时，比2y 与1y 的大小关系． 26．（10分）在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1234、、、，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x -+=的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程27120x x -+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【题目详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝2222435AB BC +=+=， ∴sinB ＝AC AB ＝45故选：A ．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、B【解题分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【题目详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2， 解得：x=16，故选：B ．．【题目点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系3、A【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．【题目详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：9，∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个），故选A．4、D【解题分析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．【题目详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵D为BC中点，∴BD=2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE=4cm，可得t=4；当∠DEB=90°时，∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BE BDBC AB=，即8248t-=，解得t=7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；综上可知t的值为4或7或9，故选：D．【题目点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．5、C【解题分析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k＞0时，函数图象在第一、三象限，当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，由此进行判断．【题目详解】A、把点（-2，-1）代入反比例函数y=2x得-1=-1，本选项正确；B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，本选项正确．故选C．【题目点拨】考查了反比例函数y=kx（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6、C【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．【题目详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，故选：C．【题目点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键．7、A【解题分析】试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.考点：概率.8、B【分析】利用圆锥面积=Rr计算.【题目详解】Rr =2510，故选：B.【题目点拨】 此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.9、A【分析】根据3AB BD =，//DE BC 得到AC=3EC ，则AE=2EC ，再根据//DE BC ，//EF AB 得到△ADE ∽△EFC ，再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.【题目详解】∵//DE BC ，∴AB ：BD=AC ：EC ，又∵3AB BD =∴AC=3EC ，∴AE=2EC ，∵//DE BC ，//EF AB∴∠AED=∠C ，∠ADE=∠B=∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC又AE=2EC∴:ADE EFC S S ∆∆=（2：1）2=4:1故选A.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10、A【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k ＞0，对各选项逐一判断即可．【题目详解】解：A 、∵m 2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；B 、不确定；C 、不确定；D 、不确定．故选：A ．【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、24 【分析】根据题意可知扇形ABC 围成圆锥后的底面周长就是弧BC 的弧长，再根据弧长公式和圆周长公式来求解. 【题目详解】解：作OD AC ⊥于点D ,连结OA 、BC,∵∠BAC=90°∴BC 是直径，OB=OC,45, 2OAD AC AD ∴∠==,222AC ∴=÷=90221802ππ⨯∴= ∴圆锥的底面圆的半径()22224ππ=÷= 故答案为：24【题目点拨】本题考查了扇形围成圆锥形，圆锥的底面圆的周长就是原来扇形的弧长，找到它们的关系是解题的关键. 12、2013【分析】如图，作PH ⊥AB 于H ．利用相似三角形的性质求出PH ，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．【题目详解】如图，作PH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513， ∴AC AB =513， ∴AB=13，2222135AB AC -=-，∵PC=3，∴PB=9， ∵∠BPH ∽△BAC ， ∴PH PB AC AB ， ∴9513PH =， ∴PH=4513， ∵AB ∥B′C′，∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，∴四边形PHGC′是矩形，∴CG′=PH=4513， ∴A′G=5-4513=2013， 故答案为2013． 【题目点拨】此题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13、()214y x =+-【分析】先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可．【题目详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线1x =∴某定弦抛物线过点(0,0),(2,0)∴该定弦抛物线的解析式为22(2)2(1)1y x x x x x =-=-=--将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是2(12)13y x =-+--即()214y x =+-故答案为：()214y x =+-．【题目点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．14、﹣1或1【解题分析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根列出关于a 的方程，求出a 的值即可． ∵关于x 的一元二次方程x 1+1ax+a+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a 1﹣4（a+1）=0，解得a=﹣1或1．考点：根的判别式．15、八（或8）【解题分析】分析：根据正多边形的每一个内角为135，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数.详解：根据正多边形的每一个内角为135，正多边形的每一个外角为：18013545,︒-︒=︒ 多边形的边数为：3608.45︒=︒ 故答案为八.点睛：考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键.16、59． 【解题分析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数， ∴任取一个数是奇数的概率是：59． 故答案是59． 考点：概率公式．17、 (3，2)【分析】根据题意和函数图象，可以用含m 代数式表示出n ，然后根据点A 和点E 都在改反比例函数图象上，即可求得m 的值，进而求得点E 的坐标，从而可以写出点D 的坐标，本题得以解决．【题目详解】解：由题意可得，n ＝m+2，则点E 的坐标为（m+2，23）， ∵点A 和点E 均在反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象上， ∴2m ＝2(2)3m +， 解得，m ＝1，∴点E 的坐标为（3，23）， ∴点D 的坐标为（3，2），故答案为：（3，2）．【题目点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．【解题分析】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ）， ∴BP AP AP AB ==12．故答案为12． 点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．【题目详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．∵要抢占市场份额∴8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．∵要继续保持扩大销售量的战略∴10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【题目点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．20、（1）ab ；（1）A ＝﹣1【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；（1）把P 点代入解析式，求得ab ＝﹣1，即可求得A ＝﹣1．【题目详解】解：（1）2()()1[]()()a b a b a A a b b a a a b +-=+÷--- []()a b a a a b a b a b +=---- ()b a a b a b=-- ＝ab ，（1）∵点P （a ，b ）在反比例函数2y x=-的图象上， ∴ab ＝﹣1，∴A ＝﹣1．【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．21、（1）BD ＝CE ，BD ⊥CE ；（2）2AD 2＝BD 2+CD 2，理由详见解析；（3）【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△BAD ≌△CAE ，得到BD=CE ，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF ≌△CAG ，得到CG ＝BF ＝13，证明CFG ∆是直角三角形，根据勾股定理计算即可.【题目详解】解：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴454590BCE ∠=︒+︒=︒，故答案为BD ＝CE ，BD ⊥CE ；（2）2AD 2＝BD 2+CD 2，理由是：如图2，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝45°+45°＝90°，∴DE 2＝CE 2+CD 2，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴2DE AD ＝，∴2AD 2＝BD 2+CD 2；（3）如图3，将AF 绕点A 逆时针旋转90°至AG ，连接CG 、FG ，则△FAG 是等腰直角三角形，∴∠AFG ＝45°，∵∠AFC ＝45°，∴∠GFC ＝90°，同理得：△BAF ≌△CAG ，∴CG ＝BF ＝13，Rt △CGF 中，∵CF ＝5，∴FG ＝12，∵△FAG 是等腰直角三角形，∴622AF =＝ 【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.22、BH=18450丈，AH=753丈．【分析】根据“平行线法”证得△BCF ∽△HAF 、△DEG ∽△HAG ，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解．【题目详解】∵AH ∥BC ，∴△BCF ∽△HAF ，∴BF BC HF AH=， 又∵DE ∥AH ，∴△DEG∽△HAG，∴DG DE HG AH=，又∵BC=DE，∴BF DG HF HG=，即123127 1231271000HB HB=+++，∴BH=30750(步)，30750步=18450丈，BH=18450丈，又∵BF BCHF AH=，35BC==丈步，∴AH=()()3075012353087351255123123BH BF BCHF BCBF BF++⨯⨯====(步)，1255步=753丈，AH=753丈．【题目点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．23【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．【题目详解】原式=[2223(1)(1)(1)(1)a aa a a a---+-+-]•（a+1）=1(1)(1)a a+-•（a+1）=11 a-，当a=2cos30°+（12）-1-（π-3）0时，原式【题目点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂．24、（1）(1,0)A -,(3,0)B ,(0,3)C ；（2）(3M -；（3）存在点115(,)48P 或13(,)22-，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆恰好有两个顶点落在该抛物线上．【分析】（1）分别令y=0，x=0，代入2y x 2x 3=-++，即可得到答案； （2）由点'M 与点M 关于直线CN 对称，且点'M 在y 轴上，//MN y 轴，得MN CM =，易得直线BC 的解析式为：3y x =-+，设点M 的横坐标为t ，则(,3)M t t -+，2(,23)N t t t -++，列出关于t 的方程，即可求解； （3）根据题意，''A O 平行于x 轴，''O C 平行于y 轴，''1A O =，''3O C =，点'A 在点'O 的右边，点'C 在点'O 的下方，设点'O 的横坐标为m ，则'A 的横坐标为1m +，点'C 的横坐标为m ，分三种情况讨论：①若'A 、'O 在抛物线上，②若'A 、'C 在抛物线上，③'O ，'C 不可能同时在抛物线上，即可得到答案．【题目详解】（1）令y=0，代入2y x 2x 3=-++，得2023x x =-++，解得：1213x x =-=，， 令x=0，代入 2y x 2x 3=-++，得: y=3，∴(1,0)A -,(3,0)B ,(0,3)C ；（2）∵点'M 与点M 关于直线CN 对称，且点'M 在y 轴上，∴'M CN MCN ∠=∠，∵//MN y 轴，∴'M CN CNM ∠=∠，∴MCN CNM ∠=∠，∴MN CM =，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把(3,0)B ,(0,3)C ，代入y kx b =+，得：033k b b =+⎧⎨=⎩， ∴13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，设点M 的横坐标为t ，则(,3)M t t -+，2(,23)N t t t -++，∴22(23)(3)3MN t t t t t =-++--+=-+，CM ==，∴23t t -+=，解得：13t =20t =（舍去），∴(32,2)M -； （3）根据题意，''A O 平行于x 轴，''O C 平行于y 轴，''1A O =，''3O C =，点'A 在点'O 的右边，点'C 在点'O 的下方，设点'O 的横坐标为m ，则'A 的横坐标为1m +，点'C 的横坐标为m ．①若'A 、'O 在抛物线上，则2223(1)2(1)3m m m m -++=-++++∴12m = ∴115'(,)24O ∵点O 与O ′关于点P 中心对称，即点P 是OO ′的中点，∴115(,)48P ； ②若'A 、'C 在抛物线上，则22(1)2(1)3233m m m m -++++=-+++，解得：1m =-，∴'(1,3)O -同①可得：13(,)22P -；③'O ，'C 不可能同时在抛物线上，综上所述存在点115(,)48P 或13(,)22-，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆恰好有两个顶点落在该抛物线上．【题目点拨】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握几何图形的特征与二次函数的性质，是解题的关键．25、（1）一次函数的解析式为1y x +＝﹣，反比例函数的解析式为2y x=-；（2）3ABD S ∆＝；（3）12y y ＜． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D 坐标，发现BD ∥x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【题目详解】解：（1）反比例函数m y x=经过点21B （，﹣）， 2m ∴＝﹣，点1A n （﹣，）在2y x=-上， 2n ∴＝，12A ∴（﹣，）， 把A B ，坐标代入y kx b +＝，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得11k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为1y x +＝﹣，反比例函数的解析式为2y x=-． （2）直线1y x +＝﹣交y 轴于C ， 01C ∴（，）， D C ，关于x 轴对称，0121D B ∴（，﹣），（，﹣）//BD x ∴轴，12332ABD S ∆∴⨯⨯＝＝． （3）1122M x y N x y （，）、（，）是反比例函数2y x=-上的两点，且120x x ＜＜， 12y y ∴＜．【题目点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26、（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【题目详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程27120x x -+=得：1234x x ==，，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种， 因而小明赢的概率是：21126=， 小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是： 小亮赢的概率是：21126=， 两人赢的机会相等，因而双方公平．【题目点拨】本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．。
2020-2021学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市东城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣34．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．17．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r二、填空题（共8小题）.9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为（不增加其它未知数）．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为．三、解答题（共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝°（）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝°．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是，∠BCE与∠A的数量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，A、函数y＝的图象在一、三象限，满足条件；B、函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；C、函数y＝﹣x2﹣1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；D、函数y＝﹣3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；故选：A．3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，∴a+2a+1＝0，∴3a+1＝0，解得a＝﹣，故选：C．4．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，xy＝S，∴y＝，而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，所以y是x的反比例函数，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣，0）对称，所以C选项不符合题意；D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；故选：D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．1解：由题意得，＝，解得n＝10，故选：B．7．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD解：如图，连接AB．∵∠DBP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，∴△APB∽△DPC，∴AP：DP＝AB：DC．∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．故选：C．8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r解：扇形的弧长是：＝，圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，即：R＝4r，R与r之间的关系是R＝4r．故选：D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2﹣2x﹣1．解：二次函数y＝ax2+bx+c，①开口向下，∴a＜0；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；∴只要满足以上两个条件就行，如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为4．解：连接OC，∵BC⊥OA，∴∠ODC＝90°，BD＝CD，∵OD＝AD，∴OD＝OA＝＝2，∴CD＝＝＝2，∴BC＝2CD＝4，故答案为4．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，则取出的2个球都是白球的概率是．故答案为：．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为3000（1+x）2＝5000（不增加其它未知数）．解：设这种商品的年平均增长率为x，3000（1+x）2＝5000．故答案为：3000（1+x）2＝5000．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2或y＝x2﹣2．解：将抛物线y＝x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2；将抛物线y＝x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2﹣2；故答案是：y＝x2+2或y＝x2﹣2．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为30°．解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AC'，∴∠AC'B＝＝60°﹣，∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．故答案为：30°．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为3．解：把x A＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，y＝1+2+c＝3+c，∴A（﹣1，3+c），∵抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，∴B的纵坐标为3+c，把y＝3+c代入y＝x2﹣2x+c得，3+c＝x2﹣2x+c，解得x＝﹣1或x＝3，∴点B的横坐标x B的值为3，故答案为3．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为2．解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，故答案为：，2．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（0，﹣1），B（1，4），C（﹣2，1）代入得，解得，∴二次函数解析式为y＝2x2+3x﹣1；（2）∵y＝2x2+3x﹣1＝2（x+）2﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值为﹣，∵x＝﹣1时，y＝2x2+3x﹣1＝﹣2；x＝0时，y＝﹣1，∴当﹣1≤x≤0时，y的取值范围为﹣≤y≤﹣1．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．【解答】证明：（1）∵AM平分∠BAD，∴∠BAM＝∠DAM，∵BF∥AD，∴∠BFA＝∠DAM，∴∠BAM＝∠BFA，∴AB＝BF；（2）∵AB＝1，∴AB＝BF＝CF＝1，∵BF∥AD，∴△CEF∽△DEA，∴＝（）2＝．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2；（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．∴△＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得n＜4；②∵n＜4，∴n可以是3，此时方程为x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得x1＝3，x2＝1．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），∴k＝1×1＝1；（2）解得或，∴B（﹣，﹣2），C（，2）；（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．理由：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴⊙D与AB相切．（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．∵AB，AC是⊙D的切线，∴AC＝AE＝2CD＝2r，∵∠ACB＝∠BED＝90°，则有，解得，∴⊙D的半径为3．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），∴4+4b+1＝﹣2，解得b＝﹣；（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；（3）∵点A（m，m）和B（n，n），∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，∴或，解得b＞或b＜﹣，由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，∴m、n同号，∵|m|＞2，|n|＜2，∴当m＞n＞0时，m+n＞，∴2b+1＞，解得b＞当0＞m＞n时，m+n＜﹣，∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是CE＝CB，∠BCE 与∠A的数量关系是∠BCE＝2∠A；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．解：（1）①如图1中，∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，∴CA＝CB，∠ADC＝90°，∵CD＝，∴AC＝＝＝．故答案为：．②连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，∴CE＝CB，∵CA＝CB，∴∠A＝∠CBA，∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．（2）①图形如图2所示：②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．∵CA＝CT，CH⊥AT，∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，∴∠ZCH＝∠CAB，∴CH∥AB，∴∠CHA＝∠HAB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCH是矩形，∴CD＝AH＝HT＝，∴AT＝2AH＝2，∵∠ACT＝∠ECB，∴∠ACE＝∠TCB，∵CA＝CT，CE＝CB，∴△ACE≌△TCB（SAS），∴AE＝BT，∵BT＝＝＝2，∴AE＝BT＝2．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为B（﹣5，0）或（7，0）；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，∴M（﹣，0），∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，故答案为：．②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，∴M（﹣3，0）或（3，0），∵MA＝MB，∴B（﹣5，0）或（7，0）．故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．∵OE＝4，OF＝3，∴EF＝＝＝5，∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，∴OH＝，观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5+1＝6，∴3≤d2≤6．。
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) x 220x x m -+=0m A. 2 B. 1C. 0D.1-【答案】C 【解析】【分析】将代入方程，即可求解．0x =220x x m -+=【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， x 220x x m -+=0∴， 0m =故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 0x =2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 正五边形 【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A 、是中心对称图形，本选项正确； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、不是中心对称图形，本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） 22(4)6y x =-+A. 有最大值4 B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6 【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数22(4)6y x =-+有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， 22(4)6y x =-+∴函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球【答案】A 【解析】【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球， 故必然事件是至少有一个黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x ）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x ）2=442【答案】B 【解析】【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2=461， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D 在圆上，且， 则O AB AC 30ADC ∠=︒O 的半径为（ ）A. B. 5C. D.2.57.510【答案】B 【解析】【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． BC 30ABC ADC ∠=∠=︒Rt ACB 【详解】连接,BC30ABC ADC ∴∠=∠=︒在中，是直径， O AB ，90ACB ∴∠=︒在中，Rt ACB ，，90ACB ∠=︒30ABC ∠=︒5AC =210AB AC ==5OA =故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．30︒7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若，⊙O 的半径为6cm ，则图中的120P ∠=︒ CD长为（ ）A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm【答案】B 【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和90OCP ODP ∠=∠=︒求得，再利用弧长公式求得答案． 60COD ∠=︒【详解】连接OC 、OD ，分别与相切于点C ，D ，,AC BD Q O ∴，90OCP ODP ∠=∠=︒，120360P OCP ODP P COD ∠=︒∠+∠+∠+∠=︒， ∴，60COD ∠=︒的长， CD∴6062(cm)180ππ⨯==故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为ABCD O 20cm cm x ，阴影部分的面积为．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，cm y 2cm S 则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系 C .二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系【答案】B 【解析】【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据152y x π=-+得到，由此即可得到答案．S S S =-阴影正方形圆2215254S x x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边ABCD O 20cm cm x 长为， cm y ∴， 4220y x π+=∴， 152y x π=-+∵，S S S =-阴影正方形圆∴，22222211552524S y x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题 (每题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为xOy 245y x x =-+_________． 【答案】 (0,5)【解析】【分析】令，代入抛物线，得到点C 的纵坐标，即可得解． 0x =245y x x =-+【详解】解：依题意，令，得到，0x =5y =故抛物线与y 轴交于点C 的坐标为， 245y x x =-+(0,5)故答案为 ：(0,5)【点睛】本题考查了二次函数与y 轴交点问题，令，即可得到抛物线与y 轴交点的纵0x =坐标． 10. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线2112y x =+的解析式为_______． 【答案】 21(1)22y x =+-【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 ()211132y x =++-即 ()21122y x =+-故答案为：． ()21122y x =+-【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．11. 请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程有两个不相等的实数根，则220x x c ++=c 的值可以是____________．【答案】0，（答案不唯一，即可）． 1c <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 220x x c ++=所以 2Δ240c =->解得1c <故答案为：0，（答案不唯一，即可）1c <【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵）87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）【答案】0.9【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．【答案】（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D ，连接CD ．若∠B=50°，则∠OCD 的度数等于___________．【答案】20°##20度 【解析】【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°， ∴∠ADC=∠AOB=20°， 12∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°． 故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所12=围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米120︒．）21.73≈【答案】 8.92【解析】【分析】由题意可知于D ，交圆弧于C ，由题意得米，解得OC AB ⊥4AO =120AOB ∠=︒米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得122OD OA ==CD AD AB 出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），120AOB ∠=︒AB CD ⊥4OA OB ==， 30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒12AD BD AB ==（米）122OD OA ∴==（米）422CD OC OD ∴=-=-=AD ∴===（米）2AB AD ∴==弧田面积 ∴()212AB CD CD =⨯+()21222=⨯+2=+（平方米）8.92≈故答案为：8.92【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O ，在矩形外有一点P ，，,4,2ABCD AB AD ==3OP =当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为__________．【答案】 32d ≤≤【解析】【分析】根据题意分别求出当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的OP AB ABCD 连线中，；当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，；d PE =OP ABCD d PA =当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，即OP AD ABCD d PF =可求解．【详解】解：如图，当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AB ABCD ，， d PE =112OE AD ==∴；2d PE OP OE ==-=如图，当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，OP ABCD d PA =矩形，中心为O ，,4,2ABCD AB AD ==∴，2,90BC AD B ==∠=︒∴， AC ==∴ 12OA AC ==∴；3d AP OP OA ==-=-如图，当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AD ABCD ，， d PF =122OF AB ==∴；1d PF OP OF ==-=综上所述，点P 到矩形的距离d 的取值范围为．32d ≤≤故答案为：32d ≤≤【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d 的值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在上．O 求作：的切线．O AB作法： ①作射线；OA ②以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C 和点D ；OA ③分别以点C ，D 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B ； 12CD ④作直线．AB 则直线即为所求作的的切线.AB O 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接，．BC BD 由作图可知，， ．AC AD =BC =∴ ．BA OA ∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．AB O 【答案】（1）见解析；（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BD ⊥【解析】【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【小问1详解】补全图形如图所示，【小问2详解】证明：连接，．BC BD由作图可知，，．AC AD =BC BD =∴，BA OA ⊥∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，AB O 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线BD ⊥【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18. 如图，是的直径，弦于点E ，，若，求的AB O CD AB ⊥2CD OE =4AB =CD 长.【答案】.CD =【解析】【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即CE DE =CE OE =Rt COE △可求解.【详解】解：如图，连接． OC∵是的直径，弦于点E ，AB O CD AB ⊥∴．CE DE =又∵，2CD OE =∴．CE OE =∵，4AB =∴．2OC =在中，，Rt COE △222CE OE OC +=∴CE =∴．CD =【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．19. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，2240x x p --=()0p >解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得：．①224x x p -=二次项系数化为1，得：．② 222p x x -=配方，得．③ 2212p x x -+=即. 2(1)2p x -=∵，0p >∴ 1x -=∴ 11x =+11x =（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（2）不正确，解答从第③步开始出错， 1x =2x =【解析】【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【小问1详解】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；【小问2详解】不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③ 22112p x x -+=+即 22(1)2p x +-=∵，0p >∴．④ 1x -=∴．⑤ 1x =2x =此方程的解为． 1x =2x =【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．20. 如图，已知抛物线L ：y ＝x 2+bx+c 经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标；【答案】（1），；（2）交点M 的坐标为（2，-3）．4b =-5c =-【解析】【分析】（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB 的解析式为：，将点A 、点B 坐标代入函数解析式求解确()0y kx b k =+≠定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 50255c b c -=⎧⎨=++⎩解得：， 45b c =-⎧⎨=-⎩∴，；4b =-5c =-（2）设直线AB 的解析式为：，()0y kx b k =+≠将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 505b k b-=⎧⎨=+⎩解得：， 15k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：，5y x =-由（1）得二次函数解析式为：，245y x x =--对称轴为：， 22b x a=-=直线与的交点为M ，5y x =-2x =∴当时，，2x ==3y -∴交点M 的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每A B O 个小正方形的顶点叫做格点)．（1）作点关于点的对称点；A O 1A （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，1AB 1A B 1A 90︒11A B B 1B 画出旋转后的线段；11A B （3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．1AB 1BB 1ABB 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8【解析】【分析】（1）根据网格的特点作出点关于点的对称点；A O 1A（2）根据题意，画出旋转后的线段，即可求解；11A B （3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．【小问1详解】解：如图所示，点即为所求；1A 【小问2详解】解：如图所示，线段即为所求；11A B 【小问3详解】解：如图所示，． 118282ABB S =⨯⨯= 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】 13【解析】【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种． 则小明和小亮选择相同模块的概率为， 3193P ==答：小明和小亮选择相同模块的概率为． 13【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．23. 已知关于x 的一元二次方程． ()22120x m x m +++-=（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）见解析 （2），m =122,1x x =-=【解析】【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m 的值，再解一元二次方程即可．【小问1详解】证明：∵，22(21)4(2)49m m m ∆=+-⨯-=+∵，20m ≥∴．2Δ490m =+>∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意可知，当时，的值最小．0m =249m ∆=+将代入，得0m =2(21)20x m x m +++-=220x x +-=解得：．122,1x x =-=【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：y m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两x 2()y a x h k =-+(0)a <次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：x y 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10竖直距离y/m 1.67 2.632.95 2.63 1.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；2()y a x h k =-+(0)a <（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离近似满足函数关系x ．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点20.09( 3.8) 2.97y x =--+1d 的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．2d 1d 2d 【答案】（1），2.9520.08(4) 2.95y x =--+（2）＞【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．1d 2d 【小问1详解】解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， (42.95)，所以实心球竖直高度的最大值为，2.95设抛物线的解析式为：，2(4) 2.95y a x =-+将点代入，得， (01.67)，1.67162.95a =+解得，0.08a =-∴抛物线的解析式为：；20.08(4) 2.95y x =--+【小问2详解】解：第一次抛物线解析式为，20.08(4) 2.95y x =--+令，得到（负值舍去）， 0y =4x =+第二次抛物线的解析式为，20.09( 3.8) 2.97y x =--+令，得到（负值舍去）0y = 3.8x =+， 4 3.8+>+ ，12d d ∴>故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点D ，交于点E ，C AB O CD ACB ∠O AB 过点D 作交F ．DF AB CO（1）求证：直线是的切线；DF O（2）若°，DF 的长．30A ∠=AC =【答案】（1）见解析 （2） FD =【解析】【分析】（1）连接，证明可得结论；OD DF OD AB OD ⊥⊥，，（2）再中，，，得到，，再在Rt ACB △30A ∠=︒AC =4AB =2OD =Rt ODF △中，由，继而求得；60F ∠=︒FD 【小问1详解】证明：连接． OD∵ 是的直径，平分，AB O CD ACB ∠ AD DB∴=∴ .90AOD BOD ∠=∠=︒又∵ ，FD AB ∥∴ ．90ODF BOD ∠=∠=︒即 ．OD DF ⊥∴ 直线为的切线．DF O 【小问2详解】解：∵ 是的直径，AB O ∴．90ACB ∠=︒又∵，，30A ∠=︒AC =∴ ．4AB =∴ ．2OD =∵ ，AO CO =30ACO A ∴∠=∠=︒∴ .60COB A ACO ∠=∠+∠=︒∵ ，DF AB ∴ ,60F ∠=︒，30FOD ∴∠=︒设则，,FD x =22OF FD x ==又，2OD =在中，由勾股定理得：，Rt ODF △22224x x +=解得：， x =故 FD =【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．26. 已知二次函数． ()2430y ax ax a =-+≠（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点都在该二次函数图象上，()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；1y 2y 1y 2y >=<②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．1y 2y 3y 4y 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为，对称轴()0,32x =（2）①； ② =3154a -≤<-【解析】【分析】（1），可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可0x =求解；（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点()()12,3,1,y y 2x =在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，当时，即可求解．0a >a<0【小问1详解】解：令，则，0x =3y =∴抛物线与y 轴交点的坐标为 ．()0,3对称轴． 422a x a-=-=【小问2详解】解：① ∵函数图象的对称轴为直线，2x =∴点关于直线对称，()()12,3,1,y y 2x =∴，12y y =故答案为：；=②∵函数图象的对称轴为直线，，2x =3112>>->-∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，0a >∴，不合题意．1234y y y y =<<当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则，a<01234y y y y =>>，，，四个函数值可以满足，1y 2y 3y 4y 12340y y y y >=≥>∴，340,0y y ≥<即当时，，当时，．=1x -3430y a a =++≥2x =-44830y a a =++<解得 ． 3154a -≤<-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，ABC 90ACB AC BC ∠=︒=，D AC 连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，BD BD D 90︒DE E EFAC ⊥F 连接． AE（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；AF CD （3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量BE G BE CG CD CG BC ，，关系，并证明．【答案】（1）见解析 （2），见解析AF CD =（3），见解析BC CD =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示【小问2详解】解：，理由如下：AF CD =∵EF AD ⊥∴90EFD ∠=︒∵90ACB ∠=︒∴EFD BCD ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CBD CDB ∠∠=︒＋由题意可知，90BDE ∠=︒∴90EDF BDC ∠∠=︒＋∴EDF CBD ∠=∠在和中EFD △DCB △EDF CBD EFD DCB ED BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌EFD △()AAS DCB ∴EF CD DF BC ==，∵BC AC =∴AC DF =∴AF CD =【小问3详解】解： 理由如下：BC CD =连接，DGFG∵ ，为的中点，DE BD =G BE 90BDE ∠=︒∴EG BG DG ==，90DGB ∠=︒∵90EFD DGE ∠=∠=︒∴GEF CDG ∠=∠在和中EFG DCG △EF DC GEF CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌ EFG SAS DCG （）∴，FG CG =EGF DGC ∠=∠∴90EGF EGC DGC EGC ∠+∠=∠+∠=︒即90CGF ∠=︒∴为等腰直角三角形CGF △∴CF =∵ ，BC AC AF CF ==+AF CD ＝∴BC CD =+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线上某一点P 顺时xOy 3x =针旋转，再关于直线对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次90︒3x =关联图形．已知点．()0,1A （1）若点P 的坐标是，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标________；()3,0（2）若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合． O O 若线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P 点1AB =O 坐标及点B 的纵坐标的取值范围．B y 【答案】（1）()2,3（2）()3,2-（3），， ()3,3-12102B y ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，可A 'A ''A 'A D x '⊥证得，从而得到，即可求解；AOP PDA ' ≌1,3OA PD OP A D '====（2）根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，过点P 作轴于点PE y ⊥E ，过点作轴交延长线于点F ，坐标为m ，表达点的坐标，可得出结论；A 'A F x '⊥EP A '（3）由（2）可知，点的坐标，由A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合A ''O 可得出点的坐标，由线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及A ''1AB =O 其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B 的坐标，即可得出的取值B ''B ''B y 范围．【小问1详解】如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，A 'A ''A 'A D x '⊥∴90A DP AOP '∠=∠=︒由旋转可知，，90,APA AP A P ''∠=︒=∴，90APO A PD A PD PA D '''∠+∠=∠+=︒∴，APO PA D '∠=∠∴，()AAS AOP PDA ' ≌∴，1,3OA PD OP A D '====∴，()4,3A '∵点和关于直线对称，A 'A ''3x =∴点，()2,3A ''即点A 关于点P 的二次关联图形的坐标为；()2,3故答案为：()2,3【小问2详解】解：根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，如图，过点P 作轴于点E ，过点作轴交延长线于点F ，PE y ⊥A 'A F x '⊥EP由（1）得： ，AEP PFA ' ≌∴，1,3AE PF m EP A F '==-==∴，()4,3A m m '-+根据题意得：点A 和点关于直线对称，A '3x =∴，46m -=解得：，2m =-∴点P 的坐标为，()3,2-【小问3详解】解：设点P 的纵坐标为n ，由（2）得：，()4,3A n n '-+∴，()2,3A n n ''++∵在上，A ''O ∴，()()22231n n +++=解得：（舍去）或，2n =-3-∴点P 的坐标为，()3,3-∵，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，1AB =AB O 此时点是一个临界点，连接，如图， B ''OB∵，1OA A B OB ''''''''===∴是等边三角形，OA B '''' 过点作轴于点M ，则， B ''B M x ''⊥12A M OM ''==∴ B M ''=∴， 1,2B ⎛''- ⎝∴， 13,2B ⎛' ⎝∴， 12B ⎫⎪⎭由对称性得：另一个点的坐标为， 12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴的取值范围为． B y 102B y ≤≤【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．。
2019-2020年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案[精编]
![2019-2020年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案[精编]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ecd23b971fe910ef12df8e4.png)
北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．关于的一元二次方程2+4+=0有两个相等的实数根，则的值为 A ．=4 B ．=﹣4 C ．≥﹣4 D ．≥4 2．抛物线y =2+2+3的对称轴是A ．直线=1B ．直线=﹣1C ．直线=﹣2D ．直线=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是 A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =--先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是A ．2(1)1y x =++ B ．2(3)1y x =-+ C ．2(3)5y x =-- D ．2(1)2y x =++ 6．已知点A （2，y 1），B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（＜0）的图象上，则y 1，y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是y8. 如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的 侧面积为A ．30πcm 2B ．48πcm2 C ．60πcm 2D ．80πcm 29. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是 ．12．已知m 是关于的方程2﹣2﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m = ． 13. 二次函数242y x x =--的最小值为 ．14. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 米．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半 径画弧，与AB 边交于点D ,将BD 绕点D 旋转°180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），菱形的对角线的交点D 的坐标为 ；菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为 .三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程： 22410x x --=.18. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，∠B =∠DAC ，若BC =8，求AC 的长.E F DB CABC19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =8，CD =6，求BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ABO 的边AB 垂直于轴，垂足为点B ，反比例函数11k y x=（＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ， OB =4，AB =3． （1）求反比例函数11k y x=（＞0）的解析式； （2）设经过C ，D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当21y y ＞时， 的取值范围．21．列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，求原正方形空地的边长．1m22． 按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点为点A 1，B 1，C 1．画出旋转后的△A 1B 1C 1；（2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系Oy 中，对称轴为直线=1的抛物线y = -2+b +c 与轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 的坐标为（0，1），点P 是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，求点P 的坐标．25. 如图，AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接BD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若BD DE =AD =，求CE 的长．图2CBA图3CBAD图1CBA26. 问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC=．（1）如图1，若AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是△ABC 的一条等积线段，求AD 的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27． 在平面直角坐标系O y 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最 小，求点P 的坐标；（3）将抛物线在B ，C 之间的部分记为图象G （包含B ，C 两点），若直线y=5+b 与图象G 有公共点，请直接写出b 的取值范围．28. 点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．在平面直角坐标系Oy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值，则称直线l 与图形W 成“相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为.（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =+2，l 2：y =+1，l 3：y = --3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标Qy 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心位于轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心的横坐标K x 的取值范围.备用图北京市东城区第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题8分） 17．解方程：22410x x --=解： 2122x x -=. …………1分 212112x x -+=+ . …………2分 23(1)2x -=. …………3分1x =±∴1211x x =+=- …………5分 18. 解：∵ ∠B =∠DAC ，∠C =∠C ，∴ △ABC ∽△DAC . …………2分 ∴AC BCCD AC=. ∴ 2AC CD BC =⋅． …………3分 ∵ AD 是中线， BC =8，∴ 4CD =. …………4分 ∴AC = …………5分 19. 解：连接OC . …………1分∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴ 点E 是CD 的中点. …………2分 在Rt △OCE 中，222OE CE OC +=， ∵ AB =8，CD =6， ∴可求OE =…………4分∴4BE = …………5分20.（1）由题意可求点C 的坐标为（2，32）. …………1分 ∴ 反比例函数的解析式为13y x=（＞0）. …………2分（2）可求出点D 的坐标为（4，34）. …………3分 ∴ 可求直线CD 的解析式 239-84y x =+. …………4分 当2＜＜4时， 21y y ＞. …………5分.BC21．解：设原正方形空地的边长为m．…………1分根据题意，得()()1220x x--=．…………2分解方程，得126,3(x x==-舍）…………4分答：原正方形空地的边长为6m．…………5分22．解：（1）旋转后的△A1B1C1如下图：C1B1A1…………3分（2）根据题意画图如下：符合其中的两种即可．…………5分23．解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；………3分（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13．∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．…………5分24. 解：（1）由题意可求点A 的坐标为（3,0）．将点A （3,0）和点B （-1,0）代入y = -2+b +c ， 得 0=-9+3,01.b c b c +⎧⎨=--+⎩解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式223y x x =-++． …………3分 （2）可求出点C 的坐标为（0,3）．由题意可知 满足条件的点P 的纵坐标为2． ∴ 223=2x x -++．解得 1211x x ==∴ 点P 的坐标为(12)+或(12)． …………5分25.（1）证明：连接OD ．∵ OA =OD ，∴ ∠BAD =∠ODA ． ∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC ． ∴ ∠ODA =∠DAC ．∴ OD ∥AE ． ∵ DE ⊥AE ， ∴ OD ⊥DE ．∴ DE 是⊙O 的切线． …………2分（2）解：∵ OB 是直径，∴ ∠ADB =90°． ∴ ∠ADB =∠E ．又∵ ∠BAD =∠DAC ，ECBAHG CBA∴ △ABD ∽△ADE ． ∴AB BD AD DE ==∴ 10AB =．由勾股定理可知BD =连接DC ，∴BD DC == ∵ A ,C ,D ,B 四点共圆. ∴ ∠DCE =∠B. ∴ △DCE ∽△ABD ． ∴AB BDDC CE=. ∴ CE =2.…………5分26. 解：（1）在Rt △ADC 中，∵AC ==45C ∠°，∴ 2AD =． …………1分（2）符合题意的图形如下所示：为AC中点，BE =EGH ∥BC，GH =.…………5分意可得，43m -=- .27.解：（1）由题1.m ∴=∴ 抛物线的解析式为：223y x x =--.…………2分（2）点A 关于抛物线的对称轴对称的点是B ，连接BC 交对称轴于点P ，则点P 就是使得PA+PC 的值最小的点. 可求直线BC 的解析式为3y x =-.∴ 点P 的坐标为（1,-2）. …………5分 （3）符合题意的b的取值范围是-15≤b ≤-3. …………7分 28.解：（1）OE =OF . …………1分（2）补全图形如右图. …………2分OE =OF 仍然成立. …………3分 证明：延长EO 交CF 于点G . ∵ AE ⊥BP ， CF ⊥BP ，∴ AE ∥CF . ∴ ∠EAO =∠GCO.又∵ 点O 为AC 的中点，∴ AO =CO. ∵ ∠AOE=∠COG ， ∴ △AOE ≌△COG.∴ OE =OF.…………5分（3）CF OE AE =+或CF OE AE =-. …………7分 29.解：（1）① 1l 和2l . …………2分② 符合题意的直线如下图所示. …………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为 .y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==-.∴ 11Q y -≤≤ …………6分（2）33K x -≤≤- …………8分。
2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案
东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。
北京市东城区九年级上期末考试数学试题(有答案)(精)
九年级数学期末试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣x 2+bx +c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax 2+bx +c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1 ．【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当x=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，k的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，k=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当x=y时，x=，解得x=±2，又∵x＞0，∴x=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB 的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得k=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=x+a 和l2：y=﹣x+b 组成图形G．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线x=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣x+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1 时，y=﹣x+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣x+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x﹣，当x=1时，y=﹣x﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤x A≤﹣3时，满足条件；②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤x A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤x A≤﹣3或﹣1 ≤x A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京市东城区九年级(上)期末数学试卷
北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k=4B．k=﹣4C．k≥﹣4D．k≥42．（3分）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2 3．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2+1B．y=（x﹣3）2+1C．y=（x﹣3）2﹣5D．y=（x+1）2+2 6．（3分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定7．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2 9．（3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°10．（3分）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A．4.8B．5C．5.2D．5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是．12．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．13．（3分）二次函数y=x2﹣4x﹣2的最小值为．14．（3分）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为米．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）18．（5分）如图，在△ABC中，AD是中线，∠B=∠DAC，若BC=8，求AC的长．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，求BE 的长．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AB=3．（1）求反比例函数y1=（x＞0）的解析式；（2）设经过C，D两点的一次函数解析式为y2=k2x+b，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围．21．（5分）列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．22．（5分）按照要求画图：（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1；（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．（5分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若=，AD=4，求CE的长．26．（5分）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y=5x+b 与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．28．（7分）点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC 的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由A（﹣2，﹣1），B（﹣2，1），C（2，1），D（2，﹣1）顺次连线而成的矩形：①l1：y=x+2，l2：y=x+1，l3：y=﹣x﹣3这三条直线中，与图形W成“相关”的直线有；②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”；③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=x平行，与y 轴交于点Q，求点Q纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y=x+与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x K的取值范围．北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．A；2．B；3．A；4．D；5．A；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．y=﹣（答案不唯一）；12．6；13．﹣6；14．38；15．；16．（1，1）；（﹣1，﹣1）；三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．l1和l2；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑵画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并求出 的长．
．
１7．已知二次函数ｙ＝x２+bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
－1
０
1
23Leabharlann 4…y…
８
３
0
－1
0
3
…
(1）求该二次函数的解析式；
(2)当x为何值时,y有最小值，最小值是多少？
（３)若A（ｍ,y1），B(ｍ＋2,y2）两点都在该函数的图象上,计算当ｍ取何值时，
10.将抛物线 向左平移2个单位,再向上平移１个单位后，得到的抛物线的解析式为．
11．如图，⊙O是△ＡＢC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OＣ为2,则弦ＢＣ的长为.
12．如图，在Rt△ABＣ中，∠AＣB=90°,∠ＡBC＝3０°,直角∠MON的顶点O在AＢ上,OM、ON分别交ＣA、CＢ于点Ｐ、Ｑ,∠MON绕点Ｏ任意旋转.当 时, 的值为;当 时, 的值为.(用含n的式子表示)
A.（2,1）ﻩＢ.(-2,-1）ﻩﻩC.（-2,１）ﻩD.（2，－1)
２．下列图形中,是中心对称图形的是
ﻩ
AＢCD
3．如图,在△ＡBC中,若ＤE∥ＢC，AＤ=5，BD=1０，DＥ=4，
则BＣ的值为
Ａ.8Ｂ.9
Ｃ．10D.1２
４.下列事件中,属于必然事件的是
A.随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上
北京市东城区届九年级上学期期末测验数学试卷
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
东城区２01４—2015学年第一学期期末统一检测
初三数学试题 201４．8
学校班级姓名考号
考生须知
1.本试卷共5,共五道大题,２5道小题，满分120分.考试时间1２0分钟.
2．在试卷上准确填写学校名称、姓名和考号.
3.选择题答案一律填涂或书写在答题卡,在试卷上作答无效。
4．在答题卡上选择题、作图题用２B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束,将机读卡和答题纸一并交回.
一、选择题（本题共３２分,每小题４分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．抛物线 的顶点坐标是
在点B的左侧），与y轴交于点C（0,4),Ｄ为ＯC的中点．
(1）求m的值;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点Ｅ，在直线AD上是否存在点Ｆ,使得以点A、B、F为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在,请说明理由;ﻩ
Ｂ.打开电视任选一频道，正在播放北京新闻
C.一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
D．某种彩票的中奖率是１0%,则购买该种彩票100张一定中奖
5．如图，若ＡB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦,∠AＢD=58°, 则∠C的
度数为
A.１16°B.５8°C.４2°Ｄ.32°
６．已知x=１是方程x2+bx+b-3＝0的一个根,那么此方程的另一个根为
A.-2B.-1C．１Ｄ.2
7.如图,直径ＡB为6的半圆Ｏ，绕A点逆时针旋转60°，此时点B
到了点 ，则图中阴影部分的面积为
A.6πB.5π
C.4πＤ.3π
8．已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
９．已知关于x的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是.
18.为了测量校园水平地面上一棵树的高度,数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上,此同学眼睛距地面1．6米,标杆为3.1米,且ＢＣ=1米,CD=5米,请你根据所给出的数据求树高ED.
四、解答题（本题共2０分,每小题5分）
1９．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6ｍ.若矩形的面积为４ｍ２，请你计算ＡB的长度（可利用的围墙长度超过６m）.
23.已知：关于 的方程 .
（1）当a取何值时，方程 有两个不相等的实数根;
(２)当整数a取何值时，方程 的根都是正整数.
24.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠AＣＢ=∠ADE=9０°，点F为BE中点,连结DF、CF.
（１)如图1,当点D在ＡＢ上，点E在AC上,请直接写出此时线段ＤF、CＦ的数量关系和位置关系（不用证明）；
（1)求口袋中红球的个数;
（２）若摸到红球记０分,摸到白球记1分，摸到黄球记2分,甲从口袋中摸出一个球不放回,再摸出一个．请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.
22．李经理在某地以10元／千克的批发价收购了2０00千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉,而且仓库允许存放时间最多为6０天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
(2)如图２,在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1）中的结论是否仍然成立,并证明你的判断；
(3）如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点Ａ顺时针旋转90°时，若AD=1,AC＝ ,求此时线段ＣF的长(直接写出结果).
ﻬ２5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线 与x轴交于A、B两点(点A
三、解答题(本题共３0分，每小题5分)
13．解方程：.
1４.已知排水管的截面为如图所示的圆 ，半径为10,圆心 到水面的距离是６,求水面宽 .
1５．如图,在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACＤ＝∠ABC,若AC= 2，AD＝ 1,求DB的长.
１6.在平面直角坐标系xoｙ中,已知 三个顶点的坐标分别为
20．如图,已知直线 交⊙O于Ａ、Ｂ两点,AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点,且AC平分∠ＰＡE，过Ｃ作 ，垂足为Ｄ.
(1) 求证：ＣD为⊙Ｏ的切线；
(2） 若CD=2AD,⊙Ｏ的直径为1０,求线段AC的长．
2１.在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同),其中有白球2个，黄球１个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 .
(１）存放x天后，将这批核桃一次性出售,如果这批核桃的销售总金额为y元,试求出y与x之间的函数关系式;
（２)如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元，李经理要想获得利润2２5０0元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本－各种费用)
五、解答题(本题共22分,第23题7分，第24题７分，第2５题8分）