图论模型在实际中的应用
将士渡河——最短路径问题的实际应用
将士渡河——最短路径问题的实际应用引言最短路径问题是图论中的经典问题之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将讨论一个实际应用场景——将士渡河问题，并探讨如何使用最短路径算法来解决该问题。
问题描述将士渡河是一个经典的智力游戏，游戏规则如下：有一条河，河岸上有若干士兵和一艘船。
游戏目标是将所有士兵从一岸安全地运送到另一岸，而且船每次只能运送一定数量的士兵。
同时，游戏规定在任何一侧的岸边，士兵的数量不能超过敌军的数量，否则士兵将会被敌军消灭。
现在的问题是，如何通过最短路径算法确定士兵的最佳运输方案，以确保所有士兵都能安全渡河。
解决方案为了解决将士渡河问题，我们可以使用最短路径算法来确定士兵的最佳运输方案。
以下是解决该问题的步骤：1. 建立图模型：将河岸、士兵和船分别表示为图的节点，将船的运输能力表示为图的边。
根据游戏规则，我们可以将每一种状态（即河岸上士兵的分布情况）作为图的一个节点，并根据船的运输能力建立相应的边。
2. 权重设定：根据题目要求，我们需要找到最短路径来确保士兵的安全渡河。
因此，我们需要为图的每条边设定一个权重，使得最短路径算法能够在搜索过程中优先选择权重较小的路径。
可以根据士兵的数量、敌军的数量等因素来设定权重。
3. 应用最短路径算法：使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）来确定从起点到终点的最短路径。
算法将根据权重和图的拓扑结构来搜索最短路径，直到找到目标节点或者搜索完整个图。
4. 输出结果：根据最短路径算法的结果，我们可以得到士兵的最佳运输方案。
可以将路径中的边转化为实际操作，即哪些士兵应该上船、哪些士兵应该下船，以及船的运输方向等。
实际应用将士渡河问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 军事行动：在实际的军事行动中，士兵的运输和部署是非常重要的。
通过使用最短路径算法，可以确定最佳的运输方案，以确保士兵能够安全快速地到达目的地。
2. 物流管理：在物流管理中，货物的运输是一个重要的环节。
图论模型在程序设计过程中的应用
先分析求解 目标 ． 谓 的构 造 导线 排 布方 案 ， 所 也 就是找 出每根导线 两个端点 的编号 ； 而编号要 满 足的
条件就是导线交叉的情况． 接着分析编号与导线交叉
之 间的关系 ． 记第 ｉ 导线两 端 点 的标号 为 和 成 根
收 稿 日期 ：０５—０ —２ ： 订 日期 ：０５—１ ２０ ８ ０修 ２０ ０—１ ３
要 看 哪一个 不会 导 致无 解 ．
在 建 模 过程 中 ， 略原 型 中与 求解 目标 关 系不 忽 大 的要 素 ， 能够适 当 地 简化 问题 ． 简化 过 度 ， 而 但 反
作者简介 ： 李芳 Ｊ （９４ ， ， ￣ １７ 一） 女 河南鹤壁人 ， 郑州华信职业技术学 院助教 ， 主要从事计算 机科学技术方面 的研 究
摘
要： 在程序设计 中如何应用 图论模 型 ， 通过举例着重 介绍 了在建立 图论模 型时如何进行 要素 的取舍和选
择合适 的理论体系 ； 图论模 型的转 化时应用了点一边 、 在 点一 点 、 边一 边 ３种拆分 转化的方法 ． 图论算 法和理 论十分独特精妙 ， 图论模 型的建 立和转化十分灵活 ， 图论模型的研究需进一步 深入 ． 对
圈 １ 导 线 交 叉 编 号
用 图 中的有 向边 来 表示 偏 序关 系 ， 有 向边 构 若
导线均 有编号 ， 线的编 号是按端点 中编 号较小 的点 的
编号排序 的． 已知各 条线 之 间 的交 叉情 况 ， 出一 种 找
成 环 ， 问题 无解 ． 则 以上 ３种情况 对 应 的有 向图如 图
维普资讯
第２ ７卷第 １ 期
李芳菊等 ： 图论模型在程序设计过程 中的应用
数学建模的实例分析
数学建模的实例分析数学建模是一种将实际问题转化为数学模型进行求解的方法。
通过对问题的分析、建立适当的模型，运用数学方法进行求解，从而得到对实际问题的理解和解决方案。
本文将通过一个实例来具体分析数学建模在实际问题中的应用。
一、问题描述假设某城市的道路交通堵塞问题日益严重，市政府计划对交通信号灯进行优化。
为了合理地调配交通信号灯的时长，需要考虑到车辆流量、道路长度、红绿灯周期等多个因素。
具体问题如下：如何合理地设置交通信号灯的时长，以最大程度地提高交通效率并减少交通拥堵。
二、问题分析针对上述的问题，我们可以首先将道路网络抽象为一个图论模型。
将路口作为节点，道路作为边，通过各个路口之间的连接关系来描述交通情况。
而交通信号灯的时长则可以视为图论中边的权重，表示车辆通过该边所需要的时间。
基于上述分析，我们将问题进行数学建模：1. 定义变量：- $N$：路口数量- $G = (V, E)$：图，其中 $V$ 表示路口的集合，$E$ 表示道路的集合- $L$：红绿灯周期长度- $T(e)$：边 $e$ 的通过时间2. 建立模型：- 目标函数：最小化车辆的平均通过时间 $C$，即\[C = \frac{1}{N} \sum_{e \in E} \frac{T(e)}{T(L)}\]- 约束条件：- 路口的通过时间必须满足红绿灯周期长度 $L$，即对于任意路口 $i \in V$，有\[\sum_{e \in E(i)} T(e) = L\]其中 $E(i)$ 表示与路口 $i$ 相关联的道路集合。
3. 求解方法：- 利用优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，求解上述问题模型，得到最优的交通信号灯时长。
三、实例分析以某城市的一个交通繁忙的路口为例来具体分析。
1. 数据采集：- 通过交通监控摄像头，采集车辆通过路口的数据，并记录通过时间。
- 统计各个道路的车辆流量、道路长度等信息。
2. 建模过程：- 根据采集到的数据，构建图模型。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学是一门基础学科，其涉及许多数学工具和理论，能够应用于许多实际问题的建模和解决。
离散数学模型能够模拟现实世界中许多问题，并且能够进行有效的算法设计和优化，广泛应用于计算机科学、通信、运筹学等领域。
以下将介绍离散数学模型在不同领域的应用研究。
一、图论模型图论是离散数学中的一个重要分支，它研究图和网络结构方面的理论和应用。
在计算机科学中，许多问题都可以转化成图论问题进行研究，比如最小生成树问题、最优路径问题、最大流问题等。
此外，图也被广泛应用于通信网络中的路由算法、分布式系统中的资源分配和调度、社交网络分析等领域。
二、组合数学模型组合数学是研究离散对象组合问题的学科，其研究范围包括排列组合、图论、编码理论等诸多方面。
组合数学模型被广泛应用于计算机科学中的算法设计和分析。
比如，在密码学中，基于组合数学的公钥密码、哈希函数等算法被广泛应用于数据保护中。
三、布尔代数模型布尔代数是一种代数系统，其中所有变量都只有两个取值，常用于逻辑运算的表示和计算。
布尔代数模型在计算机科学中有着广泛的应用，如逻辑电路设计、计算机体系结构等领域。
四、离散优化模型离散优化是一种数学工具，它对约束条件和目标函数为离散或组合形式的优化问题进行建模和求解。
离散优化模型被广泛应用于运筹学、制造业、物流管理等领域。
比如，在制造业中，可以利用离散优化模型来进行生产排程、库存管理等工作。
总的来说，离散数学模型在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用，不仅可以用于计算机科学领域，还可以用于其他领域，如数学建模、经济学、社会学、工程科学等领域。
概率图模型在风险管理中的实际应用(八)
概率图模型在风险管理中的实际应用一、引言风险管理是企业经营中极其重要的一个方面，它涉及到人、财、物等各个方面的安全和稳定。
如何对风险进行有效的管理和预测一直是企业所面临的重要挑战。
而概率图模型作为一种强大的分析工具，正在被越来越多的企业用于风险管理中的实际应用。
二、概率图模型的基本原理概率图模型是一种用图论方法来描述复杂变量间关系的概率模型。
它通过图的形式来表示变量间的依赖关系，包括贝叶斯网络和马尔可夫网络两种主要类型。
贝叶斯网络使用有向无环图表示变量间的依赖关系，而马尔可夫网络则使用无向图来表示变量间的相关性。
三、概率图模型在风险管理中的应用1. 风险预测概率图模型可以根据历史数据和变量间的关联性，对未来可能发生的风险进行预测。
例如，利用马尔可夫网络可以对市场价格的波动进行建模，从而预测未来的价格变化趋势。
这对于金融行业的投资决策具有重要意义。
2. 风险评估概率图模型可以帮助企业对各种风险进行评估和量化。
通过构建贝叶斯网络，可以对不同风险因素的概率分布进行建模，从而计算出整体风险的概率分布。
这有助于企业在风险决策时更加客观和科学。
3. 风险控制概率图模型可以帮助企业设计出更有效的风险控制策略。
通过对风险因素的依赖关系进行建模，可以找到最具影响力的风险因素，并制定相应的控制策略。
这有助于企业在面临复杂的风险环境时更好地保护自身利益。
四、概率图模型在实际案例中的应用1. 金融行业概率图模型在金融行业的风险管理中得到了广泛的应用。
例如，一些银行和投资机构利用贝叶斯网络来对借款人的信用风险进行评估，从而制定出更有效的信贷政策。
另外，一些基金公司也利用马尔可夫网络来对股票价格的波动进行预测，以辅助投资决策。
2. 医疗保险行业在医疗保险领域，概率图模型也得到了广泛的应用。
通过对患者的病历和疾病间的关联性进行建模，可以更准确地评估患者的风险，并为其制定更合理的保险方案。
3. 供应链管理概率图模型在供应链管理中也有着重要的应用。
亲和图的主要用途有哪些
亲和图的主要用途有哪些亲和图是一种常用的图论模型，具有广泛的应用。
其主要用途如下：1. 社交网络分析：亲和图可以用于研究社交网络中的群体关系、人际关系的群体动态、消息传播、影响力扩散等问题。
通过亲和图可以分析社交网络的结构、中心节点、群体聚集等特征，帮助理解不同社交群体的组成与交互，进而进行社交网络分析与挖掘。
2. 网络推荐系统：亲和图可以用于构建个性化推荐系统，通过对用户的亲和度建模，将可能感兴趣的内容推荐给用户。
亲和图中的节点代表用户和物品，通过计算节点之间的亲和度，可以预测用户对某种商品、音乐或电影的偏好，从而实现个性化推荐。
3. 信息过滤与分类：亲和图可以用于信息过滤和分类，通过对节点之间的亲和度关系进行建模，可以准确地对信息进行过滤和分类。
例如，在垃圾邮件过滤中，可以构建一个亲和图，将垃圾邮件节点与正常邮件节点相连，然后基于节点之间的亲和度进行分类，从而将垃圾邮件过滤出去。
4. 生物学研究：亲和图在生物学研究中也有重要的应用。
例如，可以将蛋白质与蛋白质之间的相互作用表示为亲和图，从而研究蛋白质网络中的功能模块、信号传递和调控机制。
亲和图可以帮助生物学家理解细胞内各种生物分子之间的相互关系，从而推测它们的功能以及与疾病有关的变化。
5. 交通网络优化：亲和图可以用于交通网络的优化，例如城市交通拥堵的解决方案。
通过建立亲和图，将交通节点与交通流量联系起来，可以对交通网络中的瓶颈点和拥堵点进行分析，提出相应的优化方案，如增加道路容量、改善信号灯控制等，以改善交通流量，减少交通堵塞。
此外，亲和图还在其他领域中被广泛应用，如供应链管理、网站链接分析、医疗诊断等。
总的来说，亲和图是一种强大的分析工具，可以用于描述和分析各类复杂关系，并对相关问题进行求解。
初中数学模型分析大全!
初中数学模型分析大全!数学模型是对实际问题进行数学建模和分析的方法，通过模型能够更好地理解和解决实际问题。
下面是一些常见的初中数学模型分析。
1.几何模型分析几何模型分析是根据实际问题的几何特征建立数学模型，通过几何方法进行分析。
例如，求解正方形的对角线长度、计算圆的面积和周长等。
2.比例模型分析比例模型分析是根据实际问题中的数量比例关系建立数学模型，并通过比例关系进行计算和分析。
例如，求解比例尺、计算物体放大或缩小的尺寸等。
3.图论模型分析图论模型分析是通过图的结构和关系建立数学模型，解决实际问题。
例如，解决城市交通问题、计算网络拓扑结构等。
4.随机模型分析随机模型分析是对实际问题中的随机性进行建模和分析。
例如，通过骰子模型分析掷骰子的概率分布、通过抽样模型分析人口统计数据等。
5.线性规划模型分析线性规划模型分析是通过线性规划方法解决实际问题。
例如，通过线性规划分析最优化问题、资源分配问题等。
6.统计模型分析统计模型分析是根据概率统计理论建立数学模型，并通过统计方法进行分析和推断。
例如，通过回归分析模型分析变量之间的相关性等。
7.最优化模型分析最优化模型分析是通过最优化理论建立数学模型，解决实际问题中的最优化问题。
例如，通过最小二乘法分析数据曲线拟合、通过线性规划分析资源分配问题等。
8.动力系统模型分析动力系统模型分析是根据物体运动的动力学特征建立数学模型，并通过动力学分析解决实际问题。
例如，通过微分方程模型分析弹簧振动、分析物体运动规律等。
总结起来，初中数学模型分析包括几何模型分析、比例模型分析、图论模型分析、随机模型分析、线性规划模型分析、统计模型分析、最优化模型分析和动力系统模型分析等。
通过建立数学模型和使用相应的方法进行分析，可以更好地解决实际问题，并提高数学思维能力和解决问题的能力。
数学中的图论应用
在数学领域中，图论是一门重要的学科，它研究的是图及其在各个领域中的应用。
图论不仅在计算机科学领域中有广泛的应用，而且在数学的各个分支中都有它的独特地位。
本文将以“数学中的图论应用”为题，讨论一些图论在数学中的重要应用。
首先，图论在数学中的一个重要应用领域是网络分析。
网络分析是一个研究网络结构和网络行为的领域，它在社交网络、通信网络和交通网络等领域中有广泛的应用。
图论提供了一种用图形模型来表示和分析网络的方法，通过建立图论模型，可以研究网络结构、网络性质以及网络中的关键节点等问题。
比如，研究者可以通过图论分析社交网络中的人际关系，了解人们之间的联系以及信息传播的路径，有助于预测社交网络中的趋势和动态变化。
其次，图论在运筹学中有着广泛的应用。
运筹学是一门研究如何优化资源的分配和决策的学科，图论在其中扮演着重要的角色。
例如，在运输和物流管理中，通过建立图论模型，可以帮助寻找最短路径、最优路径和最优调度等问题。
另外，在项目管理中，图论也可以用来建立项目网络图，确定关键路径和关键活动，帮助优化项目进度和资源分配。
此外，图论在密码学中也有重要的应用。
密码学是一门研究如何保护信息和通信安全的学科，图论提供了一种用图的方法来分析和设计密码算法。
图论在密码学中的应用主要是基于图的同构性和同态性。
通过建立密码学模型中的图论结构，研究者可以设计出更加安全、鲁棒和高效的密码算法，提供更好的信息保护和安全性。
最后，图论在计算机科学中有着广泛的应用。
计算机科学研究的是如何利用计算和算法解决问题，图论是计算机科学中的核心理论之一。
图论可以用来描述和分析计算机网络、数据库、操作系统、人工智能等众多计算机科学中的问题。
例如，在计算机网络中，图论可以用来建立网络拓扑结构、路由算法和网络安全等。
在人工智能中，图论可以用来表示和学习知识结构、推理和决策等。
综上所述，图论在数学中的应用不仅局限于计算机科学领域，还在网络分析、运筹学、密码学和其他数学分支中发挥着重要作用。
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模型的建立
❖ G=(V,E)
❖ 每个车站：G的顶点
❖ 每条公交线路相邻两点的连线：G的边
❖ 边的权重：耗费时间 点的权重：换乘时间
❖ 并不是一个简单图，两点间可能有多条边
7 a
c 9
5
3
b(8)
与经典最短路径问题比较
21
1a12
212
b
234
567
67
32
21
1a12
212
b
234
8
5678
678
建模步骤的总结
❖ 模型的准备
提出问题，搜集数据。
❖ 模型的假设
根据实际情况，提出合理的假设简化问题。
❖ 模型的建立
根据所作的假设分析对象的因果关系，利 用对象的内在规律和适当的数学工具，构造 各个量间的等式关系或其它数学结构。
数学建模的定义
❖ 目前还没有统一的定义 ❖ 数学模型是为一种特殊目的而建立
的一个抽象的、简化的结构。 ❖ 描述现实世界的一部分特征 ❖ 表现事物之间的一部分客观联系
数学模型的分类
❖ 微分方程模型 ❖ 差分方程模型 ❖ 层次分析模型 ❖ 线性规划模型 ❖ 动态规划模型 ❖ 图论模型 ❖ 其它模型
主要内容
路中任意相邻的两站之间所花费的时间。 ❖ 并且给定乘客在任意站点换乘的耗时 ❖ 要求给出任意两公汽站点之间线路选择问
题的一般数学模型与算法，求出最佳的公 交线路.
模型的假设
❖ 对”最优”的理解有三个具有代表性的指标： ❖ 时间最短 ❖ 花费最少 ❖ 最方便（换乘次数最少） ❖ 不同的人群对最优的理解不同,需要根据实
❖ 从活结点表中选择下一扩展结点可能有 不同的方式
❖ 队列式分支限界法：先入先出的原则 ❖ 优先队列式分支限界法：选择优先级最
高的节点进行扩展 ❖ 最大效益问题：最大值堆 ❖ 最小耗费问题：最小值堆
一个简单的例子
❖ 印刷电路板将布线区域划分为n×m个方 格阵列
❖ 精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
• 它们之间的边(虚 线)的权值为换乘 花费的时间
•
调用M*M次Dijkstra算法才能得到最优解
•
M为公交线路的总数
7 a
c
Min(a,b)=5
6
Min(b,c)=3
5
3
b(8)
Min(a,c)=5+6=11
❖ 回顾上图
❖ 导致无法使用标准算法原因:
Min(a,b)和Min(b,c)之间需要计算附加耗时 不用换车的线路成为最佳路径
些其它的路径,就可以将其它路径删除.这样至
少
可以删除不少步行路径
考虑实际情况,可设定步行时间的上限.
算法的总结
❖ 关键在于如何解决换乘的耗时 ❖ 扩展节点的策略与经典算法不同 ❖ 算法实际用到了分支界限法的思想 ❖ 类似于回溯法，但是求解的目标不同。 ❖ 目标：找到使目标函数取极值的解。
分支界限法思想
❖ 改进的想法:一次性地处理不用换车的情况
模型的求解
❖ 标准算法: 每次选择一个新顶点进行扩展 所有顶点扩展完毕即为最优解
❖ 修改后的算法 每次对一个顶点所能选择的所有公交线路 扩展 所有不用换乘就能到达的顶点均在一次中 处理 所有顶点扩展完毕即为最优解.
算法描述
❖ 一次将扩展出多个顶点,用最小值堆保存
❖ 初始: 起点对应的节点S入堆；并赋予标志 信息Time(S)=0
❖ 取堆顶,对此定点,逐一枚举所有不用换乘 就能到达的顶点,更新堆中对应点的标志信 息.
❖ 不断重复取堆顶的过程,直到取出的顶点为 最终目标T
❖
Time(T)即为所求
举例说明算法步骤
c
12
2
9
d
a
3
4
9
22
5
9
b
6
5
20
1
考虑顶点b到顶点g的路径 e
思路一
只有6个人，人数非常少，可以枚举任意两人 之间的关系，然后判断每一种情况是否符合 题意。如果所有情况都满足，则命题成立。
虽然只有6个人，但是这样做的时间复杂度可 不低，枚举次数为215 只能借助计算机了。。。
有没有人可以直接证明的办 法呢？
思路二
有了图论这个强大的工具 我们还是像往常一样，以人为顶点，关系为边，建图 但是为了以后的直观，这里图的建立有一点小小的不同： 如果两个人之间相互认识，则在这两个人(顶点)间连一条红色边， 如果两个人不认识，则在这两个人(顶点)间连一条蓝色边(下面会 看到这样做的好处) 那么这样我们就得到了一个由红边和蓝边组成的6阶完全图 我们实际上要证明的就是这个图中或者存在一个红三角形(认识)， 或者存在一个蓝三角形(不认识)
建模步骤的总结
❖ 模型的分析与求解
已建立的模型是否有标准解法 转化成标准模型 对已有的标准解法修改，以适应模型的求
解
❖ 模型的检验
灵敏性，鲁棒性
❖ 模型的应用
图论模型的引入
引例
现有6个人，任意两人之间或者相互认识， 或者相互不认识，证明这6个人中，或者有3 个人彼此都认识，或者有3个人彼此不认识
❖ 建模的方法和步骤 ——汪瑜婧
❖ 图论模型的建立
——罗睿辞
❖ 图论模型的选择和关系的简化
——雷涛
❖ 其它数学模型举例
——王尧
建模的方法和步骤
❖ 模型准备 ❖ 模型假设 ❖ 模型的建立 ❖ 模型求解与分析 ❖ 模型检验 ❖ 模型应用
问题的提出
❖ 2007CUMCM B题 乘公交，看奥运 ❖ 给定若干条公交线路，以及在每条公交线
❖ 考虑a经过b到c的最短路径
❖ 由于有换乘的情况，只记录任意两点间的 最短路径是不够的。
❖ 并非一个标准的图论模型
7 a
c 6
5
3
b(8)
Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11
转化成标准的图论模型
• 每条公交线路抽象 为一层
• 层与层之间相连的 顶点均代表同一个 车站
❖ 布线时电路只能沿直线或直角布线。 ❖ 为避免线路相交，已布线方格做上封闭标
记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
a b
1
1a1
1
b
2
21
1a12
212
b
2
32
21
1a12212Fra bibliotekb23
32
21
1a12
212
b
234
32
21
1a12
212
b
234
5
32
21
1a12
212
b
234
56
6
32
❖ 以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树
❖ 从一个点开始，每次以一定的策略扩展 一些结点。每一个活结点一旦成为扩展 结点，就一次性产生其所有子结点，并 从活节点中移除。在产生 的子结点中， 导致不可行解或导致非最优解的子结点 被舍弃，其余的加入活结点表中。
选择扩展的节点
8
3 f
g2 15
11
问题重述
❖ 加入步行的因素,即任意两个车站之间人都 可能通过步行到达,并给出步行的时间代价.
20
7 a
5
c 加入步行的路径
6
并给定权值
❖ 由于每两点之间均有步行路径,每次扩展都将涉及 到所有顶点,复杂度增加不少
❖ 改进的办法
预处理 找到两个相邻顶点之间路径的最小值,
如果它加上两个顶点的权值之后后,仍然小于一