培养数学解题能力的尝试

培养数学解题能力的尝试摘要：数学创造性思维和问题解决有密切的联系，即使是划时代的数学创造，也是诞生于数学家对某一相关问题的探索之中。

因而，数学创造性思维的培养就是培养学生创造性地解决问题的能力，即解题能力。

在数学教学中，就审题、解题计划的制定、解题结构的优化、解答的表达和解题后的反思等方面展开论述，使学生从中学会解决问题的能力。

关键词：解题解决能力培养方法正文数学技能的训练和能力的培养离不开解题。

解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验知识、运用知识的基本形式。

有效地培养数学解题能力，有助于独立的有创造性的认识活动，也可以促进数学能力的发展。

数学解题过程大致包括审题、解题计划的制定、解题结构的优化、解答的表达和解题后的反思等环节。

数学解题能力的培养也就可以根据这些环节进行。

下面就这些环节谈谈自己的一些见解和看法。

一、学会审题正确审题，理解题意，全面掌握已知条件和设问要求，是问题解决的奠基性工作。

审题能力如何，直接影响到解题的成败。

审题的基本要求主要是弄清题目的两个组成部分：条件和结论。

对一些简单的基本题，只要认真审题，弄清题意，一般说来是并不困难的。

然而对于某些要求综合或灵活运用知识来解答的题目，审题的要求就比较高了。

这类题目的特点是条件比较复杂，甚至隐蔽而不明显。

在审题时，对已知条件既不能遗漏，也不能随意外加。

对于结论，经过审题要转换表达成其他各种等价形式。

可见，提高学生的审题能力主要是培养分析隐蔽条件的能力，化简、转化已知和未知的能力。

例如：（高二代数）已知方程(sinB －sinC)x 2+(sinC －sinA)x+(sinA －sinB)=0有两个相等的实根，A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：三角形的三边成等差数列。

证法一：根据题中的条件，用一元二次方程根的判别式：△=（sinC-sinA ）2-4(sinB-sinC)(sinA-sinB)再用正弦定理，得到(c －a ）2－4(b －c) (a －b)=0。

因式分解得（a+c －2b ）2 = 0，即a+c=2b 。

可见，a 、b 、c 成等差数列。

证法二：在审题时挖掘隐含条件，发现方程的左边各项系数之和为零，表明x 1=1是这个方程的根。

根据已知条件，另一个根x 2也必为1，于是，由韦达定理，得：x 1〃x 21sin sin sin sin =--=C B BA再由正弦定理，可得a+c=2b 。

即a 、b 、c 成等差数列。

由此可见，在审题时，把条件和结论分析得透彻明确是发现解法的前提。

要提高审题能力，就要有意识地培养学生具有认真审题的习惯。

这就要求教师经常强调审题的重要性，对作业中由于审题失误而造成错误的典型事例，应及时进行分析讲解，以便让学生吸取教训。

二、解题计划的制定数学基本概念、基础知识和基本技能是解题思路的源泉，离开了它们，解题就成了无本之木，无源之水。

因此，审题之后首先要回顾题目中涉及哪些主要概念，这些概念是如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、法则有关，可否直接应用，题目所涉及的基本技能、方法是什么，……这样回顾之后，倘若仍不能解决问题，不妨思考是否有类似的原理、方法，或者有否类似的结论或命题。

还可以进行大胆的猜想，由一般想到特殊，特殊想到一般。

经过这样一番深入思索考虑之后，解题途径将会逐步明朗，解题计划便随之形成。

例如：（高一代数）求证任何面积等于1的凸四边形的两条对角线的长度之和不小于22。

证明：先考察特殊情形，面积为1的正方形和菱形。

在正方形中，刚好有对角线之和为22。

在菱形中，设两条对角线的长度分别为L 1、L 2，则因为S ABCD =21 L 1 L 2=1，故L 1+L 2≥22221=L L 。

上述特殊情形启示我们可以从“对角线与面积的关系”及“算术——几何平均不等式”入手。

设ABCD 是任意一个面积为1的凸四边形，其中e 、f 、g 、h 、α，如图所示，则有：1=S 四边形ABCD =21（eg+gf+fh+he ）sin α≤=21(e+f) (g+h) =21(2h g f e +++)2 。

所以，对角线长度之和e+f+g+h ≥22。

有些数学问题的解决，依赖于某种特殊情形，通过特殊和个别的分析去寻求一般，以获得关于所研究对象或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。

也就是解题时的“以退为进”的思维方法。

由此可见，所制定的证明计划是：第一步，考察面积为1的正方形和菱形；第二步，借助第一步得到启示“从对角线与面积的关系及算术——几何平均不等式入手”；第三步，计算凸四边形面积，由“算术——几何平均”得出不等式，进而计算、化简，得出结论。

三、解题结构的优化解题结构的优化，取决于对已知条件的整体、综合运用的程度，取决A e α f C DhOgB于对题意的整体把握程度，当然也取决于对求解（证）结论的理解和分析的程度。

不少学生对题意的理解，对条件的利用往往是片面的、孤立的和局部的，从而使解题的过程冗繁多错，因此，在解题教学中，要积极培养学生的整体意识，从而探索更优美的解法，更好的解题效果。

例如：（高二代数）求（x-1）-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数。

解本题可分别展开各个（x-1）n （n=2，3，4，5），通过合并同类项，求得x 2的系数，这显然比较冗繁。

如果对已知和式作整体观察，发现它们恰为（x-1）为首项，以-(x-1)为公比的等比数列前5项的和，利用求和公式可以化零为整，从而达到解题结构的优化。

解：设S=（x-1）-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5则S=x x x x x x ])1(1)[1(1)1(]1)1()[1(55-+-=-------上述展开式中x 2项的系数，即(x-1)6/ x 中产生，即(x-1)6中x 3的系数。

∴T 4=36C (-1)3=-20为所求。

四、解答的表达怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事，这有着较高的能力要求。

总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚。

把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求。

叙述要合理，对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性。

严密就是要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复。

任何数学题的解答都有一定的规格要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范。

这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体。

所有这些能力的培养有一个渐进的过程，非蹴而就。

在不同的学习阶段，应提出不同的要求。

尤其教师在教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，这样才能逐步培养严谨的表达能力。

五、解题后的反思解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。

解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。

1、善于进行总结解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。

这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。

例如，（高二代数）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1。

证法一：由已知条件，得a2+b2+ c2+d2=2。

根据算术平均与几何平均不等式，有2(ac+bd) ≤a2+b2+ c2+d2=2，∴ac+bd≤1。

这样从已知条件出发，借助基本不等式直接证得结论，显得简捷明了。

证法二：由已知条件可知a≤1，b≤1，c≤1，d≤1。

于是设a=sinα,c=sinβ,则b=cosα,d=cosβ。

∴ac+bd= sinαsinβ+ cosαcosβ=cos(α－β), ∴ac+bd≤1。

这一证法，使用问题转化的策略，将代数问题，转化为三角问题，使证法显得更为简明。

当然，无论哪种解法，都应将解题方法及时进行归纳总结，以促进解题能力的提高。

2、善于进行引伸解完一道题之后，要善于把它“改头换面”。

变成为多个与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，从而提高解题能力。

例如：（初中平面几何）边长为4的正方形CDEF ，截去一角成五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=1，P 是AB上一点，AP:PB=2（如图示），求矩形PNDM 的面积。

解：延长NP 交EF 于K ，延长MP 交CF 于G ，得PG=31AF=32，PK=32BF=32， ∴矩形PNDM 的面积=MP ×NP=（4－32）（4－32）=9111。

解完这道题后可以作如下引伸：去掉条件“AP:PB=2”。

于是矩形PNDM 的面积因P 点在AB 上的不同位臵而变化，可引伸为如下的题目：边长为4的正方形CDEF ，截去一角成五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=1，若P 是AB 上的一个动点，并将矩形PNDM 的面积记为S ，求S 的变化范围。

若条件不变又可引伸为：①S 的最大值、最小值分别是多少？②P 点在怎样的位臵时S 的值为10？这样从不同角度引伸，有助于培养学生的解题能力。

3、善于进行推广当一道数学题解完之后，如果将命题中的特殊条件一般化，从而推得更为普遍的结论，这就是数学命题的推广。

善于进行推广所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。

这有利于培养学生深入钻研的良好习惯，激发他们的创造精神。

例如：“求2549>49！”推广为“求证n n )21( >n ！(n ∈N)”；三角形中的余弦定理是直角三角形的勾股定理的实质推广。

又如，求 222之值。

解完这道题后，可以引导学生作如下推广：①求a a a 之值（a>0）；②求n n n 222之值（n>1,n ∈N ）；③求n n n a a a 之值（n>1,n ∈N 。

a>0）；④求32a a a 之值（a>0）。

这种推广对活跃思路，开阔视野，培养解题能力是大有裨益的。

培养学生的解题能力，对发展学生的辩证唯物主义数学观，有重要的教育意义。

在解题教学中，教师要引导学生在实践中演练，感知，体会解题的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解题策略，如，化繁为简，化生为熟，化整为零，化曲为直，以形论数，以数论形，等等。

在遇到新的问题情景时，能以有效的思维策略，去探索转化的途径。

参考文献：[1]田万海，《数学教育学》，浙江教育出版社，1991年。

[2]李一麟，《整体思维与数学解题》，《数学通报》1992年第5期。

[3]王林全、林国泰，《中学数学思想方法概论》，暨南大学出版社，2000年。

[4]周春荔，《数学解题中的构造思想与方法》，上海科学技术出版社，1987年。

[5]何小亚，《数论存在性问题解题思路》，《中学数学》1996年第6期。