信息论与编码第四章
【例4.1】考虑二元无记忆对称信道的二次扩展信 道。二元对称信道如图所示。
Байду номын сангаас
对于二元无记忆信道的输入和输出随机变量 X 和 Y 都 取值于同一符号集0 , 1，因此，二次扩展信道的输 入、输出符号集为 00, 01, 10, 11 ，各有2 2 个。根据信 道的无记忆特性，求得二次扩展信道的传递转移概率
一般单符号信道的转移概率可用如下的信道转 移矩阵表示： b1 b2 … bs （输出）
若记 P(b j | ai ) pij 则信道转移矩阵可表示为：
P11 P P 21 Pr1 P12 P1s P22 P2 s Pr 2 Prs
p( k | h ) p( k h ) log p( k ) X NY N
p( h | k ) p( k h ) log p( k ) X NY N
N N ( k 1 , 2 , , r ) ( h 1 , 2 , , s ) 其中
说明信源符号经过有干扰信道传输后总要 残留一部分不确定性。根据条件熵总是不 大于无条件熵，因此同理有：
H(X | Y) H(X )
2、平均互信息 H(X ) 代表接收到输出符号以前关于信源 X 的 先验不确定性，而 H ( X | Y ) 代表接收到输出符号后 残存的关于X 的不确定性，两者之差即应为传输 过程获得的信息量。根据这个含义可得
且满足
Pij 0
及 Pij 1
j 1
s
(i 1,2,, r )
表示了转移矩阵 P中每一行之和等于1。 记信道输入与输出的联合概率为 P(ai b j )，则有：
P(ai b j ) P(ai ) P(b j | ai ) P(b j ) P(ai | b j )
1、信道疑义度
1 y f ( x) P( y | x ) 0 y f ( x)
（2）有干扰无记忆信道
这种信道存在干扰，为实际中常见的信道 类型，其输出符号与输入符号之间不存在 确定的对应关系，但信道任一时刻的输出 符号仅依赖于同一时刻的输入符号，是无 记忆信道。利用概率关系转换的方法可以 证明无记忆信道的条件概率满足：
X Y
定义 4.1 设离散信道的输入、输出分别为 X 和 Y 信道的后验概率为 P(ai | b j ),i 1,, r, j 1,, s， 定义条件熵为 H ( X | Y ) 该信道的信道疑义度。 如果信道是一一对应的无扰信道， H ( X | Y ) 0 一般情况下有 H ( X | Y ) 0
4.1 4.2 4.3
4.4 4.5
信道的数学模型及其分类 离散无记忆信道 信道的组合
信道容量 信源和信道的匹配
1〉什么是信道？
信道是传送信息的载体——信号所通过的通道。 信息是抽象的，信道则是具体的。比如：二人对 话，二人间的空气就是信道；打电话，电话线就 是信道；看电视，听收音机，收、发间的空间就 是信道。 2〉信道的作用 在信息系统中信道主要用于传输与存储 信息，而在通信系统中则主要用于传输。 3〉研究信道的目的 在通信系统中研究信道，主要是为了描述、度量、 分析不同类型信道，计算其容量，即极限传输能力， 并分析其特性。
y(t)
根据信道输入、输出的随机变量个数的多少划分： （1）单符号信道： -指信道的输入和输出端都只用一个随机变 量表示。 （2）多符号信道： -指信道的输入和输出端用随机变量序列 或随机矢量表示。 根据信道的统计特性可将信道分为： （1）恒参信道： -信道的统计特性不随时间而变化，
（2）随参信道 -信道的统计特性随时间而变化 根据信道用户数量的不同，可将信道分为： （1）两端（单用户）信道： -这是只是一个输入端和一个输出端的单 向通信的信道。
XN
P( k | k )
N 根据信道的无记忆特性，有 p( y | x ) p( y1 y 2 y N | x1 x2 x N ) p( yi | xi )
其信道转移矩阵为： 11 12 1s N 21 22 2 s N rN rN rNSN 12 11 kh p( k | k ) p(bh bh bh | ak ak ak )
P( y | x) P( y1 y N | x1 x N ) P( yi | xi )
i 1 N
（3）有干扰有记忆信道 这是更一般的情况。这种信道某一时刻的 输出不仅与当时的输入有关，还与其他时 刻的输入及输出有关，对它的分析也更复 杂。 本章所讨论的信道仅限于无记忆、 恒参、单用户的离散信道。它是进一 步研究其他各种类型信道的基础。
最后求得二元对称信道德二次扩展信道的信 道矩阵为： 2 2
pp p p p2 p pp p p
2 2
pp p p
2 2
pp
pp
p p pp 2 p
p
二元对称信道的二次扩展信道如图所示：
定理 4.1 ：设离散信道的输入序列 X＝ (X1X2…XN) 通过信道传输，接收到的随机序列为 Y=( Y1Y2…YN)，而信道的转移概率为p(y∣x)。 若信道是无记忆的，则有：
4.2 离散无记忆信道
4.2.1单符号离散无记忆信道
信道条件概率：
P( y | x) P( y b j | x ai ) P(b j | ai ) i 1,2,, r , j 1,2,, s
此时 P( y | x) 称为信道转移概率，且满足：
P(b
j 1
s
j
| ai ) 1
（2）有记忆信道： -此种信道的输出不仅与当前的输入 有关，而与过去的输入和输出有关。
一个实际信道可同时具有多种属性，根据信 道的统计特性（即条件概率）的不同，离散 信道又可分为 （1）无干扰（无燥）信道 信道中没有随机性的干扰，输出的信号 Y 与输入 信号 X 之间有确定的对应关系，即 y f ( x) ，故 条件概率 P( y | x)满足：
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X | Y )
信息= 先验不确定性－后验不确定性 = 不确定性减少的量
因此，平均互信息有叫做信道的信息传输 率，可记为 R 。
通过信道传输消除了一些不确定性,获得了一定的 信息。 0 I ( X ; Y ) H ( X ) 信源X 有扰信道 干扰源 信宿Y
1 (i 1,2,, r )
且满足
P
j 1
s
ij
则此无记忆信道的 N 次扩展信道的数学模型
(a1 a1 a1 ) 1 (a1 a1 a 2 ) 2 : a r a r a r） （ rN N个 1 (b1 b1 ) 2 (b1 b2 ) Y N N s (bs bs ) N个
I ( X ;Y ) I ( X i ;Yi )
i 1 N
若信源是无记忆的，则有：
I ( X ;Y ) I ( X i ;Yi )
i 1 N
若信源与信道都是无记忆的，则有：
I ( X ;Y ) I ( X i ;Yi )
i 1 N
4.3 信道的组合
前面几节分析了离散信道。实际中常常会 遇到两个或更多个信道组合在一起使用的情况 。在研究较复杂的信道时，往往也可以将它们 分解成几个简单的，已经解决的信道的组合， 这样，可以使问题简化。
H ( X | Y ) P(b j )H ( X | b j )
j 1 s r s
P (b j ) P (ai | b j ) log P (ai | b j )
i 1 j 1 r s
P(ai b j ) log P(ai | b j )
i 1 j 1
P( xy) log P( x | y)
（2）多段（多用户）信道：
-这是在输入端或输出端中至少有一端有两个 以上上的用户，并且还可以双向通信的信道。 目前实际的通信信道绝大数都是多端信道。 多端信道又可分为多元接入信道与广播信道。
根据信道的记忆特性，又可将信道划分为：
（1）无记忆信道： -此种信道的输出仅与当前的输入有 关，而与过去的输入和输出无关。
H(XY)
4.2.2离散无记忆信道的扩展
1、N次扩展信道数学模型
简单的离散无记忆信道，其输入和输出实际上 是单个消息符号。这种模型是讨论 N次扩展信 道的基础。
信道矩阵为：
P11 P 21 P Pr1 P12 P1s P22 P2 s Pr 2 Prs
4.1 信道的数学模型及其分类
4.1.1信道的数学模型
输入量X
X ( X 1 , X N ) xi {a1 , , ar }
p(Y|X) 信 道
输出量Y
Y (Y1 , YN ) yi {b1 , , bs }
这个数学模型也可用数学符号表示为
X
P(Y | X ) Y
4.1.2信道的分类
•根据输入、输出信号的时间特性和取值特性 （1）离散信道： –输入和输出的随机序列取值都是离散的信道 （2）连续信道：
–输入和输出的随机序列取值都是连续的信道
（3）半离散(半连续)信道：
–输入变量取值离散而输出变量取值连续
–输入变量取值连续而输出变量取值离散
（4）波形信道： -输入和输出都是时间的实函数x(t),
i 1,2,, r
a1 P(b1 | a1 ) P(b2 | a1 ) P(bs | a1 ) （输入） a 2 P(b1 | a 2 ) P(b2 | a 2 ) P(bs | a 2 ) a r P(b1 | a r ) P(b2 | a r ) P(bs | a r )
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信息论与编码_曹雪虹__第4章
以得到（ 4.5）式。 证毕。
30
例4.3 设试验信道输入符号 {a1, a2 , a3} ，概率
分别为1/3，1/3，1/3，失真矩阵如下所示，
2°绝对误差失真函数 d ( xi , yj ) = | xi - yj |
3°相对误差失真函数 d ( xi , yj ) = | xi - yj |/ | xi |
4°误码失真函数
0 i j
d( xi , y j ) 1 其他
失真函数1°,2°,3°用于连续信源 , 失真函数4°用
于离散信源 , 失真函数4°也称Hanmming失真函数
min
R ( D )0
D
因此可以得到R(D)的定义域为
D 0, Dmax
n
Dmax min j 1,2, ,m
pi dij
i 1
25
Dmax是这样来计算的。R(D)＝0就是I(X;Y)＝0， 这时试验信道输入与输出是互相独立的，所以条 件概率p(yj/xi)与xi无关。即
pij p( y j / xi ) p( y j ) p j
存储容量(如各种数据库、电子出版物、多媒体娱乐)
、传输时间(如数据通信和遥测)、或占有带宽(如多媒
体通信、数字音频广播、高清晰度电视)，要想方设法
压缩给定消息 集合占用的空间域、时间域和频率域资
源。
3
4.1.1 引 言
4.1 实际生活中的需要
基
实际生活中，人们一般并不要求获得完全无失真的消息 ，通常只要求近似地再现原始消息，即允许一定的失真
凡满足保真度准则的这些试验信道称为D失真许 可的试验信道。把所有D失真许可的试验信道 组成一个集合PD。
20
（2）信息率失真函数R(D)
信息论与编码 第四章
4. 信息率失真函数 R（D）
R( D) = min I ( X ; Y )
PD '
�
说明:
n pij ∈pD ' m
对于离散无记忆信源， R（D）函数可写成
R(D) = min ∑∑ p(xi ) p( y j / xi ) log
i=1 y j )
例4－1－2
�
说明: Dk是第k个符号的平均失真。
4.1.3 信息率失真函数 R（D）
�
1. 信息率失真函数R（D）问题产生? 对于信息容量为 C 的信道传输信息传输率为 R的信源时，如果R＞C，就必须对信源压缩， 使其压缩后信息传输率R 小于信道容量 C ，但 同时要保证压缩所引人的失真不超过预先规定 的限度,信息压缩问题就是对于给定的信源，在 满足平均失真
■
2. R(D)函数的下凸性和连续性
定理 R（D）在定义域内是下凸的 证明: 令
�
D = αD'+(1 − α)D' ' , 0 ≤α ≤1 R(D' ) = min I ( pij ) = I ( p'ij )
pij∈pD'
α
其中： p 是使I（Pij）达到极小值的 证D≤D’。
' ij
p ij ，且保
说明: (1) 由于xi和yj都是随机变量，所以失真函 数d(xi,yj)也是随机变量，限失真时的失真 值，只能用它的数学期望或统计平均值，因 此将失真函数的数学期望称为平均失真。
�
�
(2) p（xi,yj）, i=1,2,…,n， j=1,2,…,m是联合分布； p（xi）是信源 符号概率分布； p（yj ／xi），i= l， 2，…，n，j＝ l，2，…，m是转移概率 分布；d（xi,yj），i=1，2，…， n,j=1，2，… ，m是离散随机变量的 失真函数. (3)平均失真 D是对给定信源分布 p（xi） 在给定转移概率分布为 p（yj／xi）的信 道中传输时的失真的总体量度。
信息论与编码第四章课后习题答案
p( x2 | x1 ) = p ( x 2 ) p( x3 | x1 x 2 ) = p ( x3 ) …… p( x N | x1 x2 L x N −1 ) = p( x N ) 即 p( x1 x 2 ) = p ( x1 ) p( x 2 ) p( x1 x 2 x3 ) = p ( x1 ) p( x 2 ) p ( x3 ) …… p( x1 x 2 L x N ) = p ( x1 ) p( x2 )L p( x N ) 【4.8】设连续随机变量 X ，已知 X ≥ 0 ，其平均值受限，即数学期望为 A ，试求 在此条件下获得的最大熵的最佳分布，并求出最大熵。 解： 给定条件如下：
2 2 x1 + x2 2
− ∞ < x1 , x2 < ∞
求随机变量 Y1 = X 1 + X 2 的概率密度函数，并计算变量 Y 的熵 h(Y ) 。 解： 1 − p( x1 x 2 ) = e 2π
2 2 x1 + x2 2
1 − 21 = e 2π
x2
1 − 22 e = p( x1 ) p ( x 2 ) 2π
0 = − log λ + log et ln t 1 − log e ∫ dt
= − log λ + log e = log （2） e λ
h( X ) = − ∫ p ( x ) log p ( x)dx ∞ 1 1 −λ x −λ x = −∫ λe log λe dx −∞ 2 2 ∞ 1 = − ∫ λe −λx log λe −λx dx 0 2 ∞ ∞ 1 = − ∫ λe −λx log dx − ∫ λe −λx log λe −λx dx 0 0 2 e = log 2 + log λ 2e = log λ 注： （2）题直接借用了（1）的结论。
信息论与编码第三版 第4章
C max H ( X ) log 3
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】 该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离 散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】 该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离 散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log
信息论与编码课件(第四章)
• 信源编码：把信源符号si映射为码字Wi的过程。 • 无失真编码：映射是一一对应、可逆的。
• 信源编码基本思想：尽可能缩短出现概率大的信 源符号的码字
电气信息工程学院
4.1 编码器及码的分类
• 码的分类 • 二元码：若码符号集X＝{0，1}，所得码字为一
些二元序列，则称二元码。[在二元信道中传输]
• 允许错误概率越小，编码效率要求越高，则信源 序列长度N就必须越长。
• 实际情况下，要实现几乎无失真的等长编码，N 需要非常大。
电气信息工程学院
4.4 等长信源编码定理
• 例 设离散无记忆信源
S P(s)
s1 3
4
, ,
s2 1 4
• 信源熵 H (S)1lo4 g3lo4g 0.81 (b1istym ) bol • 自信息方差 4 4 3
• 编码的意义： • 通信的基本问题：如何高速、高质地传送信息。 • 高速和高质＝鱼和熊掌。 • 编码讨论的问题： • （1）质量一定，如何提高信息传输速度（提高
编码效率或压缩比）---- 信源编码（本章讨论 问题） • （2）信道传输速度一定，如何提高信息传输质 量（抗干扰能力）----信道编码（下一章讨论）
• 当进行二元编码时，r＝2，则：
等长编码时平均每个 信源符号所需的二元 码符号的理论极限
l H(S)
N
信源等 概分布
l log q N
时
• 一般情况下，信源符号并非等概率分布，且符号
之间有很强的关联性，故信源的熵H(S)<<logq。
电气信息工程学院
4.4 等长信源编码定理
• 从定理4.3可知，在等长编码中每个信源符号平 均所需的二元码符号可大大减少，从而使编码效 率提高。
• 信源编码基本思想：尽可能缩短出现概率大的信 源符号的码字
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4.1 编码器及码的分类
• 码的分类 • 二元码：若码符号集X＝{0，1}，所得码字为一
些二元序列，则称二元码。[在二元信道中传输]
• 允许错误概率越小，编码效率要求越高，则信源 序列长度N就必须越长。
• 实际情况下，要实现几乎无失真的等长编码，N 需要非常大。
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4.4 等长信源编码定理
• 例 设离散无记忆信源
S P(s)
s1 3
4
, ,
s2 1 4
• 信源熵 H (S)1lo4 g3lo4g 0.81 (b1istym ) bol • 自信息方差 4 4 3
• 编码的意义： • 通信的基本问题：如何高速、高质地传送信息。 • 高速和高质＝鱼和熊掌。 • 编码讨论的问题： • （1）质量一定，如何提高信息传输速度（提高
编码效率或压缩比）---- 信源编码（本章讨论 问题） • （2）信道传输速度一定，如何提高信息传输质 量（抗干扰能力）----信道编码（下一章讨论）
• 当进行二元编码时，r＝2，则：
等长编码时平均每个 信源符号所需的二元 码符号的理论极限
l H(S)
N
信源等 概分布
l log q N
时
• 一般情况下，信源符号并非等概率分布，且符号
之间有很强的关联性，故信源的熵H(S)<<logq。
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4.4 等长信源编码定理
• 从定理4.3可知，在等长编码中每个信源符号平 均所需的二元码符号可大大减少，从而使编码效 率提高。
信息论与编码技术第四章课后习题答案
解：（1） D =
∑ P(u,υ )d (u,υ ) = (1 − p)q
UV
（2）根据题4.5，可知R(D)的最大值为H(p),此时q=0,平均失真D=0; （3）R(D)的最大值为0,此时q=1,平均失真D=（1-p）; 4.7 设连续信源 X ，其概率密度分布为
p ( x) =
a − a | x| e 2
达到
D
min
的信道为
⎡1 ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 [ P (υ j | u i )] = ⎢ ⎢ 0 1 ⎥ , ⎢1 0 ⎥ 或 ⎢ 2 ⎢ ⎣0 1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1⎥ ⎦ ⎢0 ⎣
4.2 已知二元信源 ⎢
0⎤ 1⎥ ⎥ 2⎥ 1⎥ ⎦
1 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ 0, ⎡0 1⎤ =⎢ =⎢ 以及失真矩阵 ⎡ dij ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ，试求： ⎣ ⎦ ⎣ p ( x ) ⎦ ⎣ p, 1 − p ⎦ ⎣1 0 ⎦
g (θ ) 的傅立叶变换
G s(w) = ∫
+∞ −∞
g
s
(θ )e
− jwθ
dθ =
s
2
s
2 2
+w
, (3)
得: Q( w) = P ( w) + w2 P( w), (4)
2
s
求式（4）的傅立叶反变换，又根据式（2）得
p( y ) = p( x = y) − D 所以 p( y ) =
2
p ( x = y), (5)
⎡0 ⎢1 定义为 D = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1
解：
1 0 1 1
1 1 0 1
1⎤ 1⎥ ⎥ ，求 Dmax , Dmin 及信源的 R ( D ) 函数，并作出率失真函数曲线(取4到5个点)。 1⎥ ⎥ 0⎦
《信息论与编码》习题解答第四章(新)new
《信息论与编码》习题解答第四章 信息率失真函数-习题答案4.1解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=εεεε11)|(i j a b p 平均失真：εεεεε=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯==∑∑==0)1(2/112/112/10)1(2/1),()|()(2121j i i j i j i b a d a b p a p D4.2解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0210d ， 0min =D ,∑=⨯+⨯=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )102/122/1(2/112/102/1),()(min min max 舍去当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P当2/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第二列的max D 值，所以输出符号概率:,1)(,0)(21==b p b p ,,2221b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010P 4.3解：0min =D0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 当0min =D ，bit X H R D R 24log )()0()(min ==== 因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P 当4/3max =D ，0)(max =D R因为任何一列的max D 值均为3/4，所以取输出符号概率:0)(,0)(,0)(,1)(4321====b p b p b p b p ，即14131211,,,b a b a b a b a →→→→因此编码器的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P 4.4解： 依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/1014/110d ， 0min =D∑=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )2/12(4/1)4/12/14/12/1min(),()(min min max 个均为其它当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010001P 当4/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第三列的max D 值为1/4，所以取输出符号概率:1)(,0)(,0)(321===b p b p b p ，即3231,b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100100P 4.5解：(1)依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=q q P 101 )1(0)1()1(1)1(1001),()|()(11p q q p q p p p y x d x y p x p D n i mj j i i j i -⨯=⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯==∑∑==(2) 0min =D因为)(D R 是D 的递减函数，所以)1log()1(log )()()())(m ax (min min p p p p D H p H D R D R ----=-==当0=q 时可达到))(max(D R ，此时0=D(3) ∑-=⨯+⨯===iji i j j ，p p p p y x d x p D D )1(10),()(min min max 舍去更大另一个 因为)(D R 是D 的递减函数，所以0)()()())(m in(max max =-==D H p H D R D R当1=q 时可达到))(min(D R ，此时p D -=1(图略，见课堂展示)4.6解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞=1010d ，信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(u p u 0min =D ，∑⨯+⨯⨯+∞⨯∞⨯+⨯===iji i j j y x d x p D D )12/112/1,02/12/1,2/102/1min(),()(min min max )(1]1,,m in[舍去另二个，∞=∞∞=10≤≤D因为二元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中1,2==a n ，所以率失真函数为：D D R -=1)(4.7解：失真矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110d ，按照P81页方法求解。
信息论与编码(第四章PPT)
q
变长编码
l p( si )li (码元 / 信源符号).
i 1
编码速率:编码后每个信源符号所能承载的的最大信 息量
R l log m(比特 / 码符号).
编码效率:
H(X ) H(X ) . R l log m
码的多余度（剩余度）:
l H ( X ) / log m 1 . l
0级节点
0 1 1 2 2
1级节点
2 0 1 2
w1
0
0
w2 w3 w4 w8
w5
2
2级节点
1
0 1
3级节点
w6 w7
w9
w10
w11
26
4.3
r
变长编码
克拉夫不等式( L.G.Kraft, 1949) 长度为l1, l2,…,lr的m元 即时码存在的充分必要条件是：
li m 1 i 1
唯一可译码: 任意有限长的码元序列,只能被唯一地分割成一个一个的 码字,则称为唯一可译码,或单义可译码. 否则，就称为非 唯一可译码, 或非单义可译码. 例：码4是唯一可译码: 1000100 1000, 100 码3是非唯一可译码: 100010010, 00, 10, 0 或10, 0, 01, 00 或10, 0, 01, 00
麦克米伦定理(麦克米伦: B. McMillan, 1956). 长度为l1, l2,…,lr的m元唯一可译码存在的充分必要条件是:
li m 1 i 1 r
27
4.3
变长编码
例 对于码长序列1,2,2,2, 有 + + + = >1,
1 1 1 1 5 2 4 4 4 4 不存在这样码长序列的唯一可译码, 如码2,码3 1 1 1 1 15 对于码长序列1,2,3,4, 有 + + + = <1, 2 4 8 16 16 存在这样码长序列的唯一可译码！ 码4与码5都是唯一可译码！码5是即时码，但码4不是即时码！
变长编码
l p( si )li (码元 / 信源符号).
i 1
编码速率:编码后每个信源符号所能承载的的最大信 息量
R l log m(比特 / 码符号).
编码效率:
H(X ) H(X ) . R l log m
码的多余度（剩余度）:
l H ( X ) / log m 1 . l
0级节点
0 1 1 2 2
1级节点
2 0 1 2
w1
0
0
w2 w3 w4 w8
w5
2
2级节点
1
0 1
3级节点
w6 w7
w9
w10
w11
26
4.3
r
变长编码
克拉夫不等式( L.G.Kraft, 1949) 长度为l1, l2,…,lr的m元 即时码存在的充分必要条件是：
li m 1 i 1
唯一可译码: 任意有限长的码元序列,只能被唯一地分割成一个一个的 码字,则称为唯一可译码,或单义可译码. 否则，就称为非 唯一可译码, 或非单义可译码. 例：码4是唯一可译码: 1000100 1000, 100 码3是非唯一可译码: 100010010, 00, 10, 0 或10, 0, 01, 00 或10, 0, 01, 00
麦克米伦定理(麦克米伦: B. McMillan, 1956). 长度为l1, l2,…,lr的m元唯一可译码存在的充分必要条件是:
li m 1 i 1 r
27
4.3
变长编码
例 对于码长序列1,2,2,2, 有 + + + = >1,
1 1 1 1 5 2 4 4 4 4 不存在这样码长序列的唯一可译码, 如码2,码3 1 1 1 1 15 对于码长序列1,2,3,4, 有 + + + = <1, 2 4 8 16 16 存在这样码长序列的唯一可译码！ 码4与码5都是唯一可译码！码5是即时码，但码4不是即时码！
信息论与编码第四章课后习题答案
∫ =
− log λe−λx
∞ 0
+ log e
ln e−λx de−λx
∫ =
− log
λ
+
log
et
ln
t
0 1
−
log
e
dt
= −log λ + log e
= log e λ
（2）
h( X )
= −∫ p(x)log p(x)dx
∫ = − ∞ 1 λe−λ x log 1 λe−λ x dx
−∞ 2
2
∫ = − ∞ λe−λx log 1 λe−λxdx
0
2
∫ ∫ = − ∞ λe−λx log 1 dx − ∞ λe−λx log λe−λxdx
0
2
0
= log 2 + log e λ
= log 2e λ
注：（2）题直接借用了（1）的结论。
【4.3】设有一连续随机变量，其概率密度函数为：
sin
x
=
1 2
log
e∫
ln(1
+
sin
x)d
sin
x
+
1 2
log
e∫
ln(1
−
sin
x)d
sin
x
∫ ∫ ln(1+ sin x)d sin x
π
= (1 + sin
x) ln(1+ sin
x)
2 −π
−
2
1 + sin x d sin x 1 + sin x
= 2ln 2 − 2
∫ ln(1− sin x)d sin x
(信息论、编码及应用)第4章连续信源与连续信道
应用
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。