圆复习

nπR l = 180
S 扇形
nπR = 0 360
2
S 扇形
1 = Rl . 2
2. 半径为R的圆中,n°的圆心 半径为R的圆中,n° ,n 角所对的扇形面积 扇形面积. 角所对的扇形面积.
十二、圆锥的侧面积(扇形) 十二、圆锥的侧面积(扇形)
如图, 设圆锥的母线长为l 底面半径为r, 那么, r,那么 1. 如图 , 设圆锥的母线长为 l, 底面半径为 r, 那么 , 这个扇 形的半径(R) 圆锥的母线l 扇形的弧长(L) (R)为 (L)为 形的半径 (R) 为 圆锥的母线 l, 扇形的弧长 (L) 为 圆锥底面 的周长(L= πr), 因此圆锥的侧面积(S (L=2 的周长 (L=2πr), 因此圆锥的侧面积 (S 侧 ) 为 圆锥的母线 与扇形弧长积的一半;若圆锥的底面半径为r,母线长为l r,母线长为 与扇形弧长积的一半;若圆锥的底面半径为r,母线长为l, 则它的侧面积(S 圆锥的母线与底面周长积的一半. 则它的侧面积(S侧)圆锥的母线与底面周长积的一半.
R
●
r
O
●
O1
外离
R
●
O
r
●
O1
外切
2
2
两圆外离
R
●
d > R+r; 两圆外切
r
●
d = R+r;
Rr
● ●
R
O
O1
相交
r
2
● ●
O O1
内切
O1 O
内含
2
2
两圆相交 两圆内切 两圆内含
R-r < d < R+r. d = R-r; d < R-r;
十一、 弧长与 十一、 弧长与扇形面积
半径为R的圆中,n ,n° 1. 半径为R 的圆中 ,n°的圆心角 所对的弧长 弧长的计算公式 所对的弧长的计算公式
3.直线与圆的位置关系量化揭密. 3.直线与圆的位置关系量化揭密. 直线与圆的位置关系量化揭密
圆心到直线的距离为d,圆的半径为r. 圆心到直线的距离为d,圆的半径为r. d,圆的半径为
r
●
r O ┐d
●
r O
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
d < r; d = r; d > r;
6.圆上任意两点间的线段叫做弦 6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦 圆上任意两点间的线段叫做 称为直径 圆心到弦的距离称为弦心距 直径, 弦心距. 称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距. 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 半圆. 分圆为两条相等的弧,称为半圆 分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称 优弧,小于半圆的弧称为劣弧 劣弧. 为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 圆心相同,半径不同的圆称为同心圆 同心圆. 8. 圆心相同,半径不同的圆称为同心圆. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆 等圆. 9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆. 10.在同圆或等圆中 能够重合的弧称为等弧 在同圆或等圆中， 等弧. 10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧. 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 顶点在圆心的角称为圆心角 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 12.顶点在圆上 顶点在圆上, 12.顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交 像这样的角,叫做圆周角 圆周角. 点,像这样的角,叫做圆周角. 13.顶点在圆上 一边和圆相切, 顶点在圆上, 13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交 的角称为弦切角 弦切角. 的角称为弦切角.
一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组 1.平面上到定点的离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆 其中,定点称为圆心 圆心, 成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长 称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆 称为半径的长(通常也称为半径).以点O 半径的长 ).以点 心的圆记作⊙ 读作“ 心的圆记作⊙O,读作“圆O”. . 2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大 圆心确定圆的位置 2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大 小. 3.圆是轴对称图形 圆是轴对称图形, 3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 4.圆也是中心对称图形 圆也是中心对称图形, 4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是 圆心. 圆心. 5.圆具有旋转不变性. 圆具有旋转不变性 5.圆具有旋转不变性.
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d ＞r d ＝r d ＜r
包含１定理１０推论） １０推论 三、垂径定理（包含１定理１０推论）
1.定理 垂直于弦的直径平分弦, 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧. 弦所的两条弧. C
A
M└ └
●
B O
若 ① CD是直径 是,
十、圆与圆的位置关系
1.外离、外切、相交、内切、内含. 1.外离、外切、相交、内切、内含. 外离
相切
●
相交
●
相离
●
O
O1
●
O
2
O1
●
O
●
O1
2
2
外切 相交
● ●
外离
● ●
O O1
2
O1 O
内含
内切
2
上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、 上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相 离三类
3.圆与圆的位置关系量化揭密
1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对 一条弧所对的圆周角 圆周角等于它所对 1.定理 1 即 ∠ABC = ∠AOC. 圆心角的一半 的一半. 的圆心角的一半. D
B E
●
C
2
C
O A C
●
O
BA
●
O
B
2.推论 A 推论1: 2.推论1:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中, 相等. 相等. 3.推论 推论2: 直径所对的圆周角是直角. 3.推论2: 直径所对的圆周角是直角. 4.推论 推论3: 90°的圆周角所对的弦是直径. 4.推论3: 90°的圆周角所对的弦是直径.
3.垂径定理的推论： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 3.垂径定理的推论： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论
四、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 圆心角 弦 弦心距之间的关系定理 1.定理 同圆或等圆中 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等所对的弦相等, 所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦 心距相等. 心距相等.
二、点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有三种： 1.点与圆的位置关系有三种： 点与圆的位置关系有三种 点在圆外 点在圆上 点在圆内 点在圆外,点在圆上,点在圆内. 2.点与圆的位置关系的数量[点 2.点与圆的位置关系的数量[ 点与圆的位置关系的数量 到圆心的距离(d)与半径 关系： 与半径(r)]关系 到圆心的距离 与半径 关系：
七、切线的性质和判定定理
1.性质定理 1.性质定理 圆的切线垂直于 性质 B 过切点的半径(直径). 过切点的半径(直径). B
● ●
O D
O C D ┓ A
2.判定定理 经过半径(直径) 2.判定定理 A 经过半径(直径)的外 并且垂直于这条半径(直径) 端,并且垂直于这条半径(直径)的直 线是圆的切线. 线是圆的切线.
可推得
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
⌒ ⌒ ④AC=BC,
D
重视：模型“垂径定理三角形” 重视：模型“垂径定理三角形”
2.垂径定理的逆定理 在下列五个条件中: CD是直 2.垂径定理的逆定理 在下列五个条件中:① CD是直 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. CD⊥AB,③ 径, ② CD⊥AB,③ AM=BM, 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
八、三角形与圆 三角形与圆
1.切线长定理及其推论: 1.切线长定理及其推论: 切线长定理及其推论 从圆外一点向圆面积所引的两条切线的长相等; ⑴从圆外一点向圆面积所引的两条切线的长相等; ⑵并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 A 直角三角形的内切圆半径与三边关系. 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系. 3.三角形的内切圆半径与圆面积 三角形的内切圆半径与圆面积. 3.三角形的内切圆半径与圆面积.
九年级下册
第三章 ＜圆＞复习
第三章： 第三章：圆 理解圆 有关概念，了解弧 ① 理解 圆 及 有关概念 ， 了解 弧 、 弦 、 圆心 的关系，探索并了解点与圆 直线与圆以 点与圆、 角 的关系 ， 探索并了解 点与圆 、 直线与圆 以 及圆与圆的位置关系。 圆与圆的位置关系。 的位置关系 圆的性质， 圆周角与圆心角的 探索圆的性质 了解圆周角与圆心角 ②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的 关系、直径所对圆周角的特征 的特征。 关系、直径所对圆周角的特征。 了解三角形的内心和外心 三角形的内心和外心。 ③了解三角形的内心和外心。 了解切线 的概念，探索切线与过切点 切线的概念 切线与过切点的 ④ 了解 切线 的概念 ， 探索 切线与过切点 的 半径之间的关系 之间的关系； 半径 之间的关系 ； 能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线。 的切线，会过圆上一点画圆的切线。 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥 弧长及扇形的面积 ⑤ 会计算 弧长及扇形 的面积 ， 会计算 圆锥 的侧面积和全面积。 的侧面积和全面积。
C
┓
八、三角形与圆 三角形与圆
不在一条直线上的三个点确定一 1.定理 不在一条直线上的三个点确定一 个圆. 个圆. 2.三角形的三个顶点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆, 2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做 三角形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接 外接圆. 三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接 三角形. 三角形. 3.与三角形三边都相切的圆 与三角形三边都相切的 3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的 内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形 外切三角形. 内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线 4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线 外心. 的的交点,叫做三角形的外心 的的交点,叫做三角形的外心. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 5.内切圆 5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点,叫做三角形的内心 内心. 交点,叫做三角形的内心.