2017-2018南昌市莲塘一中高三文科月考试题

莲塘一中2017-2018学年上学期高三年级10月质量检测数学（文）试题命题人：邓云岗 审题人：殷亮亮一．选择题1.已知集合{|1}A x x =<，2{|0}B x x x =-<，则A B ⋂=（ ） A ．[﹣1，2] B ．[0，1] C ．（0，1] D ．（0，1）2.若复数1()z a i a R =+∈，21z i =-，且21z z 为纯虚数，则z 1在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D ．[﹣2，2]4.偶函数()(0)f x x ≠满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与[3,)+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为 （ ）A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,1)(1,4)--C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--5.已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知等比数列的前n 项和为，则x 的值为( )A ．B ．C ．D ．7.两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于( ) A.49 B. 837 C. 1479 D. 241498.各项互不相等的有限正项数列{}n a ，集合{},,2,1,...n a a a A = ，集合{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有（ ）个.Ａ．2)1(-n n Ｂ．121--n Ｃ． 2)1)(2(-+n n Ｄ．1-n9.在锐角三角形中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab 的取值范围是（ ）A．⎝⎭ B．)2C. D ．（0，2）10.设O 为ABC ∆的外心，且0=++OB OA ，则ABC ∆的内角C =（ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 11.已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e 12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)二．填空题13. 已知3332sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π,则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-35cos cos πx x =___________. 14. 在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =uu u r uu u r,P 为BE 上一点，()0,0AP mAB nAC m n =+>>uu u r uu u r uuu r ，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为_______.15. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如3]5.2[-=-，[2.5]2=，设函数]][[)(x x x f =．若函数)(x f 的定义域是)0[n ，，+∈N n ，则其值域中元素个数为_________．16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()(0)xf x e x =>的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．三．解答题17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c cos (2)cos C b A = （1）求角A 的大小；（2）求25cos()2sin 22CB π--的取值范围．18.设各项均为正数的数列{}n a 的前项和为n S ，且n S 满足：2222(332)3()0n n S n n S n n -+--+=，n N *∈． （Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设13nn n a b +=，求数列{}n b 的前n 项和nT19.．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当a =2时，求曲线y=f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的极值．20.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，且113,b a ==2339,b a b a ==（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设53log 32n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项的和n S ．21. 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦. （1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+， ,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22.已知函数f （x ）=λe x ﹣x 2，g （x ）=﹣x 2+2μx ﹣215（μ＞0），其中e=2.71828…是然对数底数．（Ⅰ）若函数f （x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，求实数λ的取值范围； （Ⅱ）当λ=1时，求使不等式f （x ）＞g （x ）在一切实数上恒成立的最大正整数μ．试卷答案1.D【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：﹣1＜x ＜1，即A=（﹣1，1）， 由B 中不等式变形得：x （x ﹣1）＜0， 解得：0＜x ＜1，即B=（0，1）， 则A ∩B=（0，1）， 故选：D ．2.A3.D4.D5.A6. C7.D 略8.A 略9.A 略 10.B 11.C 略 12． B解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫1x－a ＝ln x －2ax ＋1，假设函数f (x )只有1个极值点，则方程ln x －2ax ＋1＝0(x >0)只有一根，数形结合，即直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.又切线方程为y ＝2ax－1，对比得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1x 0，－1＝ln x 0－1，解得a ＝12，x 0＝1.故若要使直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x相交，即函数f (x )＝x (ln x －ax )有2个极值点，需满足0<a <12.13. --1 14.15，222n n -+ 16．答案： 12⎝⎛⎭⎫e ＋1e【解析】 设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)， 令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋xe x 2，则y ′＝－e x (x －1)＋(x －1)ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝⎛⎭⎫e ＋1e17.【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…18.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过令n=1，结合数列{a n}的各项均为正数，计算即得结论；（Ⅱ）通过对2S n2﹣（3n2+3n﹣2）S n﹣3（n2+n）=0变形可知，n∈N*，通过a n＞0可知，利用当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1计算即得结论；（Ⅲ）利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由可得：，又S1=a1，所以a1=3．（Ⅱ）由可得：，n∈N*，又a n＞0，所以S n＞0，∴，∴当n＞2时，，由（Ⅰ）可知，此式对n=1也成立，∴a n=3n．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，∴；∴；∴，∴=，∴．19.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．20.【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，由b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．可得，解出即可得出．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n=．|c n|=．当n≤6时，S n=﹣T n．当n≥7时，S n=T n﹣2T6．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．∴，解得d=3，q=3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n==．令c n≥0，解得n≥7．∴|c n|=．∴当n≤6时，S n=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣T n=．当n≥7时，S n=﹣T6+a7+a8+…+a n=T n﹣2T6=+174．∴数列{|c n |}的前n 项的和S n=．21. （1）m （274m ≤<. 【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +== ∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +=，()cos22cos 1f x x m x =-+ 22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =， ①当122m <即1m <时，当12t =时， min 112y m =-=-∴32m =舍， ②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2mt =时， 2min 12m y =-=-∴m ， ③当12m >即2m >是，当1t =时， min 221y m =-=-∴32m =舍， 综上，m .（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos7mx=或47m，∵()y g x=，,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos7mx=和4cos7mx=在,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴31274173477mmm m≤<≤<≠∴7637{84mmm≤<≤<≠∴764m≤<.22.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=λe x﹣2x，据题意得f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根x1，x2，对λ分类讨论：当λ≤0时，可得f（x）在R上递减，不合题意．λ＞0，令f″（x）=0，解得，可得函数f′（x）=λe x﹣2x在上递减，在上递增，f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根，则，解出即可得出．（2）当λ=1时，由题意可得：不等式对任意x恒成立，令，令h′（x）=0得，利用单调性可得，整理得φ（u）=，再研究其单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=λe x﹣2x，据题意得f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根x1，x2，当λ≤0时，f′（x）=λe x﹣2x≤0，因此f（x）在R上递减，不合题意，∴λ＞0，又f″（x）=λe x﹣2，令f″（x）=0，解得，∴函数f′（x）=λe x﹣2x在上递减，在上递增，∴f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根，则，即，，解得．（2）当λ=1时，求使不等式f（x）＞g（x）在一切实数上恒成立，即不等式对任意x恒成立，令，∴，令h′（x）=0得，∴函数h（x）在上递减，在上递增，∴，整理得．令，易得ϕ（μ）在（2，+∞）上递减，若μ=2e2∈（14，15），ϕ（2e2）=15﹣2e2＞0，若μ=15，，所以满足条件的最大整数μ=14．。