2008—2009学年度江苏省如东县第二学期期中四校联考高二数学试卷苏教版必修4

如东县2008—2009学年度第二学期期中四校联考高二数学试卷必做题部分注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上1、命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定 ▲ ． 2、计算234ii--= ▲ ． 3、设函数()2ln xf x x =-，则()f x '= ▲ ．4、以下几个说法：①由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理。

②2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理。

③当0,1,2,3,4n =时，211n n -+对应值都是质数，推测出对任意自然数n ，211n n -+对应值都是质数，这是运用的归纳推理。

其中正确的序号为 ▲ ．5、已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 6、设函数6()f x x =-在区间上1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的平均变化率分别为,a b ，则,a b 的大小关系为 ▲ ．7、将以下三段论补充完整：▲ .（大前提） a ⊥α , b ⊥α. （小前提）a ∥b （结 论） 8、如图：直线l 是曲线()y f x =在2x =处的切线， 设()()h x xf x =，则(2)h '= ▲ ．9、若“2230x x -->”是“20x m +<”成立的必要条件，则实数m 的范围为 ▲ ． 10、若函数32()(2)(0)f x ax ax a x a =-+-≠在R 上无极值，则实数a 的取值范围 为 ▲ ．11、设复数z 满足4z i z i -++=，则z i -取值范围为 ▲ ．12、有下列四个命题：①“若实数x ，y 满足x 2＋y 2≠0，则实数x ，y 不全为零”的否命题,②“若a b >，则22a b >”的否定；③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题，④“对顶角相等”的逆命题；其中真命题的个数为 ▲ ．13、一个表面积为S 的多面体，若它的内切球的半径是r,则该多面体的体积为 ▲ ． 14、如图质点M 从抛物线24y x =的顶点沿x运动，速度1v cm s =，过M 点作抛物线的内接等腰∆则当M 点在焦点处时等腰ABC ∆面积的瞬时变化率 为 ▲ 2cm二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本题满分14分）已知复数z 满足(1)3z z i =-+，且复数2()z mi -在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围. 16、（本题满分16分，第一小题8分，第二小题8分）（1）求函数1()sin 2f x x x =+在[]0,x π∈上的最值。

（2）求函数21()3x f x x +=+在[]4,4x ∈-上的极值。

17、（本题满分14分）设有两个命题：（1）关于x 的方程4(4)240xxa +-+=有解；（2）2()(2)xf x a a =-在定义域上是减函数。

当（1）和（2）至少有一个是真命题时，实数a 的取值范围。

18、（本题满分14分） 设f (x )=2x +a x +b,(a,b ∈R)且b ＜0（1）求证：方程f (x )=0有两个不等的实根。

（2）若︱a ︱+︱b ︱＜1, 求证：方程f (x )=0的两根中至少有一个根的绝对值小于1。

19、（本题满分14分） 设强度分别为8，1的两个点光源A,B,它们间的距离为3，试问在连接这两个光源的线段AB 上，何处的照度最小？（照度与光的强度成正比，而和这一点到光源的距离的平方成反比） 20、（本题满分18分，第一小题8分，第二小题4分，第二小题6分）已知函数1()x a f x a x-=+（0a ≠且1a ≠）．(1)试就实数a 的不同取值，写出该函数的单调递增．．区间；(2)已知当0x >时，函数在上单调递减，在)+∞上单调递增，求a 的值并写出函数()()F x x =的解析式；(3)记(2)中的函数()()F x x =的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l ，使得l 为曲线C 的对称轴？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．高二数学联考参考答案一、填空题1、2,10x R x x ∃∈++≤；2、2155i +；3、12ln 2x x-；4、①②③；5、1；6、a b ； 7、垂直于同一平面的两直线平行；8、6；9、2m ≥；10、3a ≥或0a ；11、[]1,3； 12、3；13、3rs；14、3 二、解答题15解：设z x yi =+ ,x y R ∈ 由(1)3z z i =-+13x yi i ∴-=+ （4分）13x y ⎧⎪=∴⎨-=⎪⎩（6分）43z i ∴=- （8分）22()678(3)z mi m m m i -=--+-+ （10分）由题意由26708(3)0m m m ⎧--+>∴⎨-+>⎩ （12分）73m ∴-<<- （14分）16解：（1）由1()cos 02f x x '=+= []0,x π∈ 23x π∴= （3分） 列表（略） （6分）由表知：min ()(0)0f x f ==（7分）max 2()()322f x f ππ==+ （8分）（2）由()22223()03x x f x x--+'==+ x ∴=1或—3 （11分）列表（略）（14分）由表知：()f x 的极小值为 1(3)6f -=- （15分）()f x 的极大值为1(1)2f =（16分）17、解：由4(4)240xxa +-+=得22(4)240xx a +-+=令2(0)xt t =>所以命题（1）为真，即关于t 的方程2(4)40t a t +-+=有正根，（3分）444()40a t t t t∴=--+=-++≤0a ∴≤，命题（1）为真； （5分）当命题（2）为真，则2021a a <-< （7分） 解得102a -<<或112a << 当（1）和（2）至少有一个是真命题，即（1）为真或（2）为真，0a ∴≤ 或112a << 18、（1）证明：24a b =-0b < 40b ∴-> 而20a ≥ 240a b ∴∆=->∴方程()0f x =有两个不等实根 （4分） （2）证明：假设方程两根的绝对值均大于等于1 （6分） 设两根为12,x x ，则11x ≥，21x ≥ 1212x x ax x b +=-⎧⎨=⎩ （8分）12121212a b x x x x x x x x ∴+=++≥++ 1211x x ≥++≥这与1a b +<矛盾 （12分） ∴方程()0f x =两根的绝对值均大于等于1 （14分） 19.设点P 在线段AB 上，且P 距光源A 为x ，则距光源B 为3x - （2分）P 点受A 光源的照度为228ka kx x =P 点受B 光源的照度为22(3)(3)kb kx x =--其中k 为比例常数，从而P 点的总照度为228()(3)k k I x x x =+- （6分） 由2333316212(2)(612)()0(3)(3)k k k x x x I x x x x x --+'=-+==-- （9分）解得2x =当02x <<时，()0I x '< 当23x <<时，()0I x '>因此，2x =时I 取得极小值，也是最小值 （12分） 答在两光源,A B 的连线段上，与光源A 的距离是2处的照度最小 (14分)20.由题设知：22211(1)'()a x a a f x a x ax ---=-= （2分）①当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(及，（4分） ②当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞及(0,)+∞，（6分）③当1a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,-∞及)+∞．8分）(2)由题设及(Ⅰ)=1a >，解得3a =， （11分）因此函数解析式为()F x +(0)x ≠． （12分） (3)假设存在经过原点的直线l 为曲线C 的对称轴，显然x 、y 轴不是曲线C 的对称轴，故可设l ：y kx =（0k ≠）， 设(,)P p q 为曲线C 上的任意一点，(,)P p q '''与(,)P p q 关于直线l 对称，且p p '≠，q q '≠，则P '也在曲线C 上，由此得22q q p p k''++=，1q q p p k '-=-'-，且q =+，q '=， （15分）整理得1k k -=k =或k =，所以存在直线y =及y =为曲线C 的对称轴． （18分）。