5_第三章_平稳时间序列建模
时间序列分析建模步骤及Python实现
时间序列分析建模步骤及Python实现平稳时间序列的意义根据数理统计学常识，要分析的随机变量获得的样本信息越多，分析的结果就会越可靠，但由于时间序列分析的特殊数据结构，对随机序列{...,X1,X2...,Xt,...}⽽⾔，它在任意时刻 t 的序列值 Xt 都是⼀个随机变量，⽽且由于时间的不可重复性，该变量在任意⼀个时刻都只能获得唯⼀的样本观察值，通常是没有办法分析的。
在平稳序列场合⾥，序列的均值等于常数，意味着原本含有可列多个随机变量的均值序列变成了⼀个常数序列，原本每个随机变量的均值只能依靠唯⼀的⼀个样本观察值去估计，现在每⼀个样本观察值都变成了常数均值的样本观察值，这极⼤的减少了随机变量的个数，并增加了待估参数的样本容量。
平稳性校验⼀种是根据时序图和⾃相关图显⽰的特征做出判断的图检验⽅法（⾃相关图是⼀个平⾯⼆维坐标悬垂线图，⼀个坐标轴便是延迟时期数，另⼀个坐标轴表⽰⾃相关系数，通常以悬垂线表⽰⾃相关系数的⼤⼩。
⾃相关图进⾏平稳性判断的标准：随着延迟期数 k 的增加，平稳序列的⾃相关系数会很快的衰减向零；反之，⾮平稳序列的⾃相关系数衰减向零的速度通常⽐较慢）import numpy as npimport pandas as pdfrom datetime import datetimeimport matplotlib.pylab as pltfrom statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf#读取原始时间序列数据df=pd.read_csv('wq.csv',encoding='utf-8', index_col='datatime') #从csv⽂件中读取时间序列数据，index_col列定义为索引对象df.index=pd.to_datetime(df.index)ts=df['dataColumn'] #指定时间序列中对应的数据列ts.head()ts.head().indexts=ts.dropna() #去除掉时间序列中的空值，否则⽆法绘制出正常的acf图#输出原始序列f = plt.figure(facecolor='white')ts.plot(color='blue', label='Original')plt.title('TimeSeries Original Data')plt.show()#输出ACF（⾃相关图）、PACF（偏⾃相关图）f = plt.figure(facecolor='white')ax1 = f.add_subplot(211)plot_acf(ts, lags=31, ax=ax1)ax2 = f.add_subplot(212)plot_pacf(ts, lags=31, ax=ax2)plt.show()另⼀种是构造检验统计量进⾏假设检验的⽅法（⽬前最常⽤的平稳性统计校验⽅法是单位根检验，DF检验和ADF检验）DF检验只适合1阶⾃回归过程的平稳性检验，ADF检验是对DF检验做了⼀个修正，得到增⼴DF检验（augrmented Dickey-Fuller）。
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。
时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。
通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。
平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。
平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。
以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。
可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。
收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。
步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。
为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。
选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。
步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。
在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。
平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。
如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。
步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。
模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。
ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。
第3章 作业答案
第3章 单元测验一、单项选择题1. 的阶差分是（ C ）t X k A Bkt t t k X X X -∇=-11kk k t t t k X X X ---∇=∇-∇C D111kk k t t t X X X ---∇=∇-∇1112k k k t t t X X X ----∇=∇-∇2. MA(2)模型，则移动平均部分的特征根是（ A ）121.10.24t t t t X εεε--=-+A ， B ，10.8λ=20.3λ=10.8λ=-20.3λ=C ， D ，10.8λ=-20.3λ=-10.8λ=-20.2λ=3. AR(2)模型，其中，则（ B ） 121.10.24t t t t X X X ε--=-+0.04t D ε=t t EX ε=A B 00.04C D0.140.24. 若零均值平稳序列，其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性，则对可能建立（ B{}t X {}t X ）模型。
A. MA(2)B.ARMA(1,1)C.AR(2)D.MA(1) 5. 对于一阶滑动平均模型MA(1): ，则其一阶自相关函数为( C )。
15.0--=t t te e Y A. B. C. D. 5.0-25.04.0-8.06. 关于平稳时间序列模型，说法正确的是（ B ）A. 可以对未来很长一段时间的序列值进行精确预测。
B. 当前观测序列时间为t,MA(q)模型对大于t+q 时间点序列值的预测值恒为常数。
C ．自相关系数具有非唯一性，偏自相关系数不具有非唯一性 D ．均值非平稳的序列，可以通过对数变换将其变成平稳的。
二、多项选择题1. 关于延迟算子的性质，下列表示中正确的有 ( AD )A B10=B n-=（1-）tt n tx x B x -C∑=-=-ni n in nnB C B 0)1()1(D 对任意两个序列和，有{}t x {}t y 11()t t t t B x y x y --+=+2. ARMA 模型可逆性条件是（ CD ）A 的特征根都在单位圆内B 的根都在单位圆内 （）0t B εΦ=（）0B Θ=C 的特征根都在单位圆内D 的根都在单位圆外 0=Θt B ε）（（）0B Θ=3. 关于平稳可逆的ARMA 模型的序列预测问题，下列公式正确的有（ ABCD ）A12(|,,,)(0)t l t t t t lE x x x x x l +--+=≤ B12ˆ(|,,,)()(0)t l t t t t E x x x x xl l +--=>C 12(|,,,)(0)t l t t t t lE x x x l εε+--+=≤ D12(|,,,)0(0)t l t t t E x x x l ε+--=> 4. 对平稳时间序列模型矩估计方法评价正确的是 （ BCD ）A 估计精度高B 估计思想简单直观C 不需要假设总体分布D 计算量小5. 下列属于模型优化方法的有（ ABC ）A 残差方差图定阶法B F 检验定阶法C 最佳准则函数定阶法D 最小二乘估计法 6. 下列关于说法正确的是（ ABCDE ） A AR 模型总是可逆的B 平稳MA 模型的均值就等于模型的截距项参数C 偏自相关系数用来描述时间序列值间的直接影响D 只要ARMA 模型的AR 部分的系数的绝对值和小于1，该模型一定平稳。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
计量经济学：平稳时间序列分析-差分方程与延迟算子
f (t)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
, , 给出初值y-1， y-2，…，y-p以及 0 1
t 的值，即可得到yt。
定理：矩阵F的特征根满足的特征方程为
p 1 p1 2 p2 p1 p 0
1、具有相异特征根的p阶差分方程的通解
如果矩阵F的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵
1
0
0
F 0 1 0
0 0 0
p1 p
0
0
0 0 ,
1 0
t
0
Vt
0
0
则原p阶差分方程变为一阶向量差分方程
t Ft1 Vt
参照一阶向量差分方程的递归解法有
t
F
t
1 1
F tV0
F t1V1
F t2V2
FVt1 Vt
即
yt
yt 1
y1
y2
0
0
t 21
1
2 1 2 3
1 p 2 p
t p1
1
p 1 p 2
p p1
将此结果代入 ci t1iti1 即得
ci
p
p1 i
k1(i k )
k i
如果从t期开始迭代，则有
yt j
f ( j1)
11
yt 1
f y ( j1)
12
t2
f y ( j1)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
其中
f ( j)
11
c11j
c22j
cppj
第三章平稳时间序列分析
欢迎共阅t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
线性平稳时间序列模型
第二节 建立线性时序模型旳原理 ——动态性
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动态性：就是指时间序列各观察值之间旳 有关性。
从系统旳观点看：动态性即指系统旳记忆 性，也就是某一时刻进入系统旳输入对 系统后继行为旳影响，图示如下：
输入
系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，假如当日旳反应 是疼痛 0 ，而后来没有其他反应，那么系统 旳输入、输出如下：
假如一种时间序列是纯随机旳，得到一种 观察期数为 n旳观察序列，那么该序列旳 延迟非零期旳样本自有关系数将近似服 从均值为零，方差为序列观察期数倒数 旳正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
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2.假设条件
原假设：延迟期数不大于或等于m 期旳序 列值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
这种情况可用模型概括为：xt 1at1
（3）假如当日旳反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种情况可用模型概括为：xt 0at 1at1
（4）假如打针后来各个时刻都存在相应旳反 应，那么，有关该刺激旳总旳概括为：
原则正态白噪声序列纯随机性检验
样本自有关图
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检验成果
延迟
延迟6期 延迟12期
Q统计量检验
Q统计量值
P值
4.3435
0.63
14.171
0.29
因为P值明显不小于明显性水平 ，所以该序列不能
拒绝纯随机旳原假设。
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3.3 平稳时间序列建模3.3.1 时间序列建模的一般步骤怎样判断序列的平稳性？● 什么是平稳性？这里的平稳指宽平稳。
如果序列满足下列条件，则称为是平稳的：1.2. 3.性质3的一个推论是，记为，称为延迟为的自相关系数(ACF),其中.平稳性的直观含义是“序列的前二阶矩不随时间的推移而改变”，这使得我们可以把不同时间点的数据放在一起作统计推断.观察时序图根据平稳性的定义，平稳序列具有常数均值和常数方差的性质，因此其时序图应该在一个常数值附近波动，且波动的范围有界；具有明显趋势性和周期性的序列通常不是平稳序列；例如1964-1999年中国纱年产量时序图1962年至1975年每头奶牛月产量时序图北京市每年的最高温度时序图自相关图检验前面的课程里面我们知道平稳序列通常只具有短期的自相关，即自相关函数(ACF) 往往很快的衰减到零。
因此衰减很慢的序列很可能是非平稳的.例如前面三个例子里面对应的自相关图分别如下：中国纱产量自相关图Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 21741.103 1.00000 | |********************| 01 19869.670 0.91392 | . |****************** | 0.1666672 18336.945 0.84342 | . |***************** | 0.2723613 16679.644 0.76719 | . |*************** | 0.3371964 15119.827 0.69545 | . |**************. | 0.3826235 13234.768 0.60874 | . |************ . | 0.4162576 11822.365 0.54378 | . |*********** . | 0.4402927 10355.425 0.47631 | . |********** . | 0.4585688 8597.171 0.39543 | . |******** . | 0.4721109 6977.227 0.32092 | . |****** . | 0.48122310 5262.589 0.24206 | . |***** . | 0.48713111 3185.458 0.14652 |. |*** .| 0.49046112 1257.065 0.05782 |. |* .| 0.49167513 -717.129 -.03298 |. *| .| 0.49186414 -2356.762 -.10840 |. **| .| 0.49192615 -3657.864 -.16825 |. ***| .| 0.49258916 -4675.021 -.21503 |. ****| .| 0.49418217 -5645.938 -.25969 |. *****| .| 0.49677518 -6662.959 -.30647 |. ******| .| 0.50053119 -7523.279 -.34604 |. *******| .| 0.50571720 -8300.856 -.38180 |. ********| .| 0.51225221 -9068.912 -.41713 | ********| | 0.52009722 -9409.375 -.43279 | *********| | 0.529308"." marks two standard errors每头奶牛每月平均产量自相关图Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 10383.588 1.00000 | |********************| 01 9257.734 0.89157 | . |****************** | 0.0771522 8080.289 0.77818 | . |**************** | 0.1241593 6440.643 0.62027 | . |************ | 0.1504154 5053.314 0.48666 | . |********** | 0.1649395 4445.713 0.42815 | . |********* | 0.1732756 3904.890 0.37606 | . |******** | 0.1794627 4306.827 0.41477 | . |******** | 0.1840938 4716.761 0.45425 | . |********* | 0.1895749 5833.655 0.56181 | . |*********** | 0.19594610 7128.946 0.68656 | . |************** | 0.20531011 7980.333 0.76855 | . |*************** | 0.21854912 8773.234 0.84491 | . |***************** | 0.23408513 7735.639 0.74499 | . |*************** | 0.25158314 6621.269 0.63767 | . |************* | 0.26438915 5084.621 0.48968 | . |**********. | 0.27339016 3775.004 0.36355 | . |******* . | 0.27856217 3176.849 0.30595 | . |****** . | 0.28137218 2646.859 0.25491 | . |***** . | 0.28334519 2984.458 0.28742 | . |****** . | 0.28470720 3328.659 0.32057 | . |****** . | 0.28642921 4324.928 0.41652 | . |******** . | 0.28855722 5489.933 0.52871 | . |***********. | 0.292113"." marks two standard errors北京市最高气温自相关图Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 2.569604 1.00000 | |********************| 01 -0.449960 -.17511 | . ****| . | 0.1414212 -0.0091078 -.00354 | . | . | 0.1456933 0.463204 0.18026 | . |**** . | 0.1456954 0.059232 0.02305 | . | . | 0.1500895 -0.421428 -.16400 | . ***| . | 0.1501606 0.253512 0.09866 | . |** . | 0.1537017 -0.067559 -.02629 | . *| . | 0.1549628 -0.0083274 -.00324 | . | . | 0.1550519 -0.057247 -.02228 | . | . | 0.15505310 0.148917 0.05795 | . |* . | 0.15511711 0.095461 0.03715 | . |* . | 0.15554912 -0.267799 -.10422 | . **| . | 0.15572713 0.260969 0.10156 | . |** . | 0.15711514 0.011069 0.00431 | . | . | 0.15842315 -0.069243 -.02695 | . *| . | 0.15842516 -0.110643 -.04306 | . *| . | 0.15851717 0.118249 0.04602 | . |* . | 0.15875118 -0.213603 -.08313 | . **| . | 0.15901719 -0.330938 -.12879 | . ***| . | 0.15988420 0.467098 0.18178 | . |**** . | 0.16194521 -0.156538 -.06092 | . *| . | 0.16597622 -0.128454 -.04999 | . *| . | 0.166423"." marks two standard errors怎样做白噪声检验？●什么是白噪声？如果序列满足：为白噪声序列(White Noise),记为如果还服从正态分布，则称为高斯白噪声.●白噪声是纯随机性序列，它具有性质因此我们可以通过检验下列假设来检验序列是否是白噪声使得检验统计量为LB(Ljung-Box)统计量在原假设成立的条件下，LB近似服从自由度为的卡方分布，因此时拒绝原假设.例如：对前面的北京市最高温度数据做白噪声检验，结果如下：Autocorrelation Check for White NoiseTo Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------6 5.58 6 0.4713 -0.175 -0.004 0.180 0.023 -0.164 0.09912 6.71 12 0.8760 -0.026 -0.003 -0.022 0.058 0.037 -0.10418 8.36 18 0.9727 0.102 0.004 -0.027 -0.043 0.046 -0.083注：为什么只需要检验前6期，12期或者前18期的自相关呢？这是因为一个平稳序列通常只存在短期的自相关，如果短期之间都不存在显著的自相关，则更长期的延迟之间就更不会存在自相关了；相反的，如果存在显著的短期自相关，则该序列必然不是白噪声；怎样计算自相关系数和偏自相关系数？● 样本自相关系数(SACF)● 样本偏自相关系数(SPACF)其中，怎样识别模型？，也就是模型的定阶；● ARMA 模型的理论ACF 和理论PACF模型自相关系数 （ACF ）偏自相关系数 （PACF ）模型 模型 模型 拖尾 阶截尾 拖尾 阶截尾 拖尾拖尾理论上讲，我们可以根据上述特点确定模型的阶；但在实际操作中具有下列的障碍 a) SACF,SPACF 不会出现理论上的完美截尾情况；本应截尾的SACF 和SPACF 仍会出现小值震荡的情况；b)平稳序列通常只具有短期相关性，当足够大时，SACF和SPACF总会衰减到零值附近做小值震荡；现在我们的问题是：当SACF和SPACF衰减到零时，什么时候认为它是属于ACF和PACF 截尾？什么时候认为它是正常衰减到零？●什么时候认为近似服从标准正态分布，因此当时，于是有因此，当SACF落在2倍标准差的范围内时，我们认为；●怎样判断截尾还是拖尾？如果有SACF在最初的阶明显大于2倍标准差，而后几乎95%的SACF都落在2倍标准差内，且这种过程很突然，则可以视为是“截尾”；反之，如果超过5%的SACF落在2倍标准差范围之外，或者SACF衰减到零的过程比较缓慢连续，则通常不是截尾；实际建模中往往依靠分析人员的主观经验；下面要看一些例子：【例2.5】1950年-1980年北京市城乡居民定期储蓄的占比定期储蓄占比时序图AutocorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 30.725523 1.00000 | |********************| 01 21.583411 0.70246 | . |************** | 0.1428572 18.293557 0.59539 | . |************ | 0.2013683 14.684303 0.47792 | . |********** | 0.2345584 10.080193 0.32807 | . |******* . | 0.2536545 10.931717 0.35579 | . |******* . | 0.2621716 9.318240 0.30327 | . |****** . | 0.2718467 8.944975 0.29113 | . |****** . | 0.2786658 4.927541 0.16037 | . |*** . | 0.2848059 1.842114 0.05995 | . |* . | 0.28664210 -1.151434 -.03747 | . *| . | 0.28689711 -2.369343 -.07711 | . **| . | 0.28699712 -1.130247 -.03679 | . *| . | 0.287420 "." marks two standard errorsPartial AutocorrelationsLag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 0.70246 | . |************** |2 0.20124 | . |**** . |3 0.00512 | . | . |4 -0.12611 | . ***| . |5 0.22698 | . |*****. |6 0.01190 | . | . |7 0.03000 | . |* . |8 -0.26241 | .*****| . |9 -0.06206 | . *| . |10 -0.10468 | . **| . |11 0.07879 | . |** . |12 0.05519 | . |* . |Autocorrelation Check for White NoiseTo Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------6 75.46 6 <.0001 0.702 0.595 0.478 0.328 0.356 0.303 12 82.87 12 <.0001 0.291 0.160 0.060 -0.037 -0.077 -0.037因此，我们可以考虑用如下的AR(1)模型来拟合该数据【例3.8】对美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列建模OVERSHORT序列时序图AutocorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 3416.350 1.00000 | |********************| 01 -1720.868 -.50372 | **********| . | 0.1324532 416.631 0.12195 | . |** . | 0.1626243 -720.027 -.21076 | . ****| . | 0.1642214 271.977 0.07961 | . |** . | 0.1689005 63.982656 0.01873 | . | . | 0.1695576 399.283 0.11687 | . |** . | 0.1695937 -738.754 -.21624 | . ****| . | 0.1710008 859.881 0.25170 | . |***** . | 0.1757329 -659.957 -.19318 | . ****| . | 0.18194710 191.094 0.05594 | . |* . | 0.18551011 -353.922 -.10360 | . **| . | 0.18580612 41.967115 0.01228 | . | . | 0.18681613 744.903 0.21804 | . |**** . | 0.18683014 -201.885 -.05909 | . *| . | 0.191243 "." marks two standard errorsPartial AutocorrelationsLag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 -0.50372 | **********| . |2 -0.17658 | .****| . |3 -0.31456 | ******| . |4 -0.26277 | *****| . |5 -0.15323 | . ***| . |6 0.04263 | . |* . |7 -0.19105 | .****| . |8 0.12067 | . |** . |9 0.05047 | . |* . |10 -0.06996 | . *| . |11 -0.15282 | . ***| . |12 -0.24937 | *****| . |13 0.09607 | . |** . |14 0.10302 | . |** . |Autocorrelation Check for White NoiseTo Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------6 20.24 6 0.0025 -0.504 0.122 -0.211 0.080 0.019 0.11712 31.37 12 0.0017 -0.216 0.252 -0.193 0.056 -0.104 0.012 因此，我们可以选取如下的MA(1)模型来对该数据建模【例3.9】对1880-1985年全球气表平均温度改变值差分序列(原数据不平稳，已经做过平稳化处理了)原数据的实序列图差分后的时序图AutocorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 0.020061 1.00000 | |********************| 01 -0.0050732 -.25289 | *****| . | 0.0975902 -0.0022778 -.11354 | . **| . | 0.1036443 -0.0031786 -.15845 | .***| . | 0.1048224 0.00089372 0.04455 | . |* . | 0.1070785 -0.0019930 -.09935 | . **| . | 0.1072556 0.0043177 0.21523 | . |**** | 0.1081287 -0.0040567 -.20222 | ****| . | 0.1121348 0.0021045 0.10490 | . |** . | 0.1155559 -0.0021195 -.10566 | . **| . | 0.11645810 0.0020664 0.10301 | . |** . | 0.11736811 -0.0002314 -.01154 | . | . | 0.11822612 0.00086729 0.04323 | . |* . | 0.11823613 -0.0015514 -.07733 | . **| . | 0.11838714 0.0021955 0.10944 | . |** . | 0.11886715 -0.0013739 -.06849 | . *| . | 0.11982316 0.00070155 0.03497 | . |* . | 0.12019517 -0.0013574 -.06766 | . *| . | 0.12029218 -0.0000845 -.00421 | . | . | 0.12065419 -0.0021001 -.10469 | . **| . | 0.12065520 0.0027179 0.13548 | . |*** . | 0.12151721 -0.0002430 -.01211 | . | . | 0.12294722 0.00087534 0.04363 | . |* . | 0.12295923 0.00073761 0.03677 | . |* . | 0.12310624 -0.0038475 -.19179 | .****| . | 0.123211 "." marks two standard errorsPartial AutocorrelationsLag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 -0.25289 | *****| . |2 -0.18963 | ****| . |3 -0.26659 | *****| . |4 -0.13025 | .***| . |5 -0.24134 | *****| . |6 0.05558 | . |* . |7 -0.23049 | *****| . |8 -0.03122 | . *| . |9 -0.15970 | .***| . |10 -0.04892 | . *| . |11 -0.01493 | . | . |12 -0.05320 | . *| . |13 -0.00372 | . | . |14 0.04443 | . |* . |15 0.04637 | . |* . |16 0.03166 | . |* . |17 0.00799 | . | . |18 -0.02622 | . *| . |19 -0.13657 | .***| . |20 -0.00620 | . | . |21 -0.03672 | . *| . |22 -0.01598 | . | . |23 0.10546 | . |** . |24 -0.23220 | *****| . |Autocorrelation Check for White NoiseTo Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------6 17.67 6 0.0071 -0.253 -0.114 -0.158 0.045 -0.099 0.21512 26.43 12 0.0093 -0.202 0.105 -0.106 0.103 -0.012 0.04318 29.97 18 0.0377 -0.077 0.109 -0.068 0.035 -0.068 -0.00424 39.39 24 0.0248 -0.105 0.135 -0.012 0.044 0.037 -0.192上面的SACF和PACF均没有明显的截尾性，因此我们可以考虑用ARMA模型来拟合，例如下面的ARMA(1,1)模型3.3.4 怎样估计未知参数？在确定所采用的模型之后，下一步就是估计模型中的未知参数，主要有两种方法：极大似然估计和最小二乘估计，这里只是简单介绍它们的基本原理；对于下列一般的ARMA(p,q)模型，其中，的估计由于是序列的均值，因此我们用样本均值来估计它,.我们需要估计下列参数，共计未知参数；●极大似然估计似然原则：样本来自使得该样本出现概率最大的总体.方法：找出样本的联合密度函数(即似然函数)，找使得该函数达到最大的参数值.，服从多元正态分布；则似然函数为然后对上式求最大值得;上面我们不能求出的显示表达式，但是可以用数值迭代的办法求得；●最小二乘估计最小化下面的准则显然上述优化也只能借助数值算法来求得；●条件最小二乘法实际中用得最多的是所谓的条件最小二乘法，它的想法如下：回顾ARMA模型的逆转形式：我们假设则条件最小二乘法最小化下列准则在SAS软件里，只需要在ARIMA过程里面添加如下语句即可自动得到未知参数的估计Estimate p=* q=*;【例2.5续】1950-1998年北京市城乡居民定期储蓄比例estimate p=1method=ml;estimate p=1 ;极大似然估计的结果如下Maximum Likelihood EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 81.55159 1.76807 46.12 <.0001 0 AR1,1 0.69141 0.10293 6.72 <.0001 1Constant Estimate 25.16639Variance Estimate 16.17266Std Error Estimate 4.021525AIC 278.047SBC 281.8306Number of Residuals 49条件最小二乘估计的结果如下Conditional Least Squares EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| LagMU 81.73874 1.76532 46.30 <.0001 0 AR1,1 0.70407 0.10379 6.78 <.0001 1Constant Estimate 24.18924Variance Estimate 16.20287Std Error Estimate 4.025278AIC 277.4882SBC 281.2719Number of Residuals 49* AIC and SBC do not include log determinant.因此估计的模型为【例3.8续】美国科罗拉多州某加油站连续57天的OVERSHORT数据estimate q=1method=ml;estimate q=1;极大似然估计的结果如下Maximum Likelihood EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| LagMU -4.79475 1.03255 -4.64 <.0001 0 MA1,1 0.84764 0.07874 10.77 <.0001 1Constant Estimate -4.79475Variance Estimate 2093.205Std Error Estimate 45.75156AIC 600.8384SBC 604.9245Number of Residuals 57条件最小二乘估计的结果如下Conditional Least Squares EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| LagMU -4.40915 1.18720 -3.71 0.0005 0 MA1,1 0.82083 0.07799 10.53 <.0001 1Constant Estimate -4.40915Variance Estimate 2181.637Std Error Estimate 46.70799AIC 601.9294SBC 606.0155Number of Residuals 57* AIC and SBC do not include log determinant.因此，估计得到的模型为【例3.9续】1980-1985年全球气表平均温度改变差分值序列estimate p=1q=1;estimate p=1q=1method=ml;极大似然估计的结果如下Maximum Likelihood EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| LagMU 0.0053321 0.0024472 2.18 0.0293 0 MA1,1 0.88758 0.06182 14.36 <.0001 1 AR1,1 0.39253 0.11958 3.28 0.0010 1Constant Estimate 0.003239Variance Estimate 0.015952Std Error Estimate 0.126302AIC -132.713SBC -124.751Number of Residuals 105条件最小二乘估计的结果如下Conditional Least Squares EstimationStandard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 0.0050393 0.0022219 2.27 0.0254 0 MA1,1 0.90009 0.05509 16.34 <.0001 1 AR1,1 0.40697 0.11624 3.50 0.0007 1Constant Estimate 0.002988Variance Estimate 0.015999Std Error Estimate 0.126487AIC -133.266SBC -125.304Number of Residuals 105* AIC and SBC do not include log determinant.因此，所得的模型为模型的有效性检验模型的有效性是看模型是否充分地从数据中提取了信息，因此在这里，一个有效的好的模型应该几乎提取了数据中所有的信息，使得剩下的残差中不再蕴含任何相关信息，即残差应该是纯随机的序列，即白噪声序列。