2012年东南地区冬令营赛前培训题7套

测试题A
1、设ABCD 是一个直角梯形，其中AB ∥CD ，AB BC ⊥，E 是AD 上的一点，
,,BM CN EK 是EBC ∆的三条高，且AM AB =；
证明：,,AM DN EK 三线共点．
2、设a 为正数,如果以a 为首项的等比数列{}n a 满足:1231,2,3a a a +++也构成等比
数列,则称{}n a 为a 所对应的一个P -数列；若21
n n a a -=，1,2,3,n = ，是一个P -数列，
其中
112a <<,令1
n n n
x a a =-； 证明：对于数列{}n x 的任何三个连续项11,,n n n x x x -+（1n >）, 2
11n n n x x x -+-皆为常数．
3、将n 个互异质数12,,,n a a a 分别填写于一个凸n 边形12n A A A 的n 个顶点处，使
得n 边形的每条边上两端点的填数之和122311,,,,n n n a a a a a a a a -++++ 皆是完全平方数，称这样的一个n 边形12n A A A 为一个“优质n 边形”；
如果两个优质n 边形12n A A A 与12n B B B 顶点处所填的2n 个质数12,,,n a a a ，
12,,,n b b b 两两互异，且12121111,,,n n n n n n a a b b a a b b a a b b --+=++=++=+ ，
则称这两个n 边形是相互平等的；试确定：是否存在
0(1)、两个相互平等的优质四边形？ 0(2)、两个相互平等的优质六边形？
证明你的结论．
4、一位慈善家采用如下方式为其会所招募会员：每个会员可以忽悠其他两个人前来入会，其中，这两个人是未曾被其他人所忽悠过的；而每个的新的会员又可以忽悠其他两个人前来入会，等等．对于某个会员A ，被其忽悠过的会员，以及被其忽悠过的会员所忽悠的会员，等等，统称为A 的“下线”．如果某会员A 所忽悠来的两名会员12,B B 中的每一个人都至少有200名“下线”，则会员A 在年终可获得慈善家的一张餐宴卷作为奖励． 试确定：若总共有2012个人成了会员，则在年终时最多有几人能够享受慈善家的餐宴？
测试题B
1、如果正整数a 可表为：235(,,)m n k a m n k N =⋅⋅∈，就称a 为好数．证明：
存在2012个互异好数122012,,,a a a ，满足：
3333
1220112012
1111
a a a a +++= ． 2、设{}12,,,n M a a a = 为正整数集，12,,,m A A A 是其m (3)m ≥个子集；
证明：
113
424m i j i
i j k i j
i i j k
n A A A A A A n <=<<-≤+-∑
∑∑ ． 3、给定正数t 以及正整数,2m n ≥，证明：对于满足条件1,j j a a t --≤1,2,,,j n =
（约定00a =）的任意n 个正数12,,,n a a a ，成立不等式：
2
21
1112n
n m m j j j j mt a a --==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
∑∑． 4、不等边ABC ∆的外心为O ，重心为G ，111,,A B C 分别是边,,BC CA AB 的中点，
过点,B C 分别作OG 的垂线,b c l l ，若11b l A C E = ，11c l A B F = ；
证明：,,A E F 三点共线．
1
测试题C
1、设12,,,,n a a a 是一个由非负实数组成的有界无穷项数列，若对每个i a ，皆有
0i a c ≤≤，且对任意两项,()i j a a i j ≠，都有1
i j a a i j
-≥
+；证明：1c ≥． 2、凸四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于K ，,AC BD 的中点分别为,E F ，
且,,E F K 互不重合，EF 的延长线分别交,AD BC 于
,M N ；证明： ,,,,AME BNF CNE DMF EFK
∆∆∆∆∆这五个三角形的外接圆共点．
3、设4n ≥，若n 元正整数集合M 满足：对任何整数k ，都存在,a b M ∈，a b ≠，
使得a k +与b k +是不互质的数，就称M 为“好集”．
证明：若M 为“好集”，且M 中所有元素之和为2011，则存在c M ∈，使得从M 中删去元素c 后，所得到的集{}\M M c '=仍为“好集”．
4、对于给定的正整数集合{}122012,,,M x x x = ，如果其子集T 满足：T 中的任两数,x y （允许,x y 相等）之和皆不在T 中，就称子集T 是单纯的．
0(1)、若T 是{}1,2,,2012M = 的单纯子集，求T 的最大值；
0(2)、证明：对任一正整数集{}122012,,,M x x x = ，存在单纯子集T ，满足671T =．
测试题D
1、锐角ABC ∆中，以高AD 为直径的圆w ，交,AC AB 于,E F ，过点,E F 分别作
圆w 的切线，若两切线相交于点P ；
证明：直线AP 重合于ABC ∆的一条中线．
2、在平面第一象限任给2n 个点(,)1
,2,,2i i i P x y i n = ，证明：可以将其中的n 个点染成红色，其余的n 个点染成蓝色，使得红色i x 的和与蓝色i x 的和之差的绝对值不大于全体i x 中的最大数，并且红色的i y 的和与蓝色的i y 的和之差的绝对值也不大于全体i y 中的最大数．
3、设()T n 为正整数n
的正因数的个数，证明：()T n ≤ 4、某公司有17个人，每个人都正好认识另外的4个人，证明：存在两个人，他们彼
此不相识且没有共同的熟人．
P
F
E
D
C
B A
测试题E
1
、设实数a >
21p q aq <的有理数p
q
只有有限多个． 2、过等腰三角形ABC 的底边BC 所在直线上的任意一点D 作直线l ，分别交直线
,AB AC 于,E F ，过线段EF 的中点M 作平行于BC 的
直线，分别交直线,AB AC 于11,B C ，
证明：1111,,,AEF AB C B EM C FM ∆∆∆∆的外接圆共点；且此四个圆心共圆．
3、如果数集{}12,,,n A a a a = 满足条件：()1、 3 n ≥；() 2、A 中的全体元素可
以组成一个等差数列，则称集A 为算术集. 类似地，当集A 的子集B 满足上述条件时，则称B 为A 的算术子集.
试证：对于n 元算术集A ，其算术子集的个数()V n 满足等式：
()()()()()()()2233221V n n T n T T n T n =-+-++-+- .
（其中，()T k 为正整数k 的真因数个数，即小于k 的正因数个数）.
4、试求最大的S ，使得总面积为S 的任何有限多个小正方形，总可放入一个边长为1的正方形T 中，使其中任两个小正方形都没有公共的内点．
M
C 1
B 1F
E
D
C B A
测试题F
1、证明：对于每个正整数n ，存在唯一的一个n 位正整数n A ，它能被5n 整除，并且
它的每一位数字皆属于{}1,2,3,4,5．
2、已知X 是一个n 元集，Φ是由X 的具有下述性质的三元子集所构成的一个集簇：
其中任两个子集之间至多有一个公共元．
证明：存在X 的一个子集M ，满足：
0(1)、M 不包含Φ中的任何集合；
0(2)、M
的元素个数至少是．
3、P 是ABC ∆内的一点，,,D E F 分别是,,BC CA AB 上的点，且PD BC ⊥，
,PE CA PF AB ⊥⊥；ABC ∆内的另一点H 满足：,HAB PAC HCB PCA ∠=∠∠=∠
证明：DE EF ⊥当且仅当H 是BDF ∆的垂心．
4、求23225αβγδ⋅-=⋅ … ① 的所有正整数解(,,,)αβγδ．
D
测试题G
1、如果一直线l 将ABC ∆的周长分成相等的两部分，就称l 是ABC ∆的一条“周截线”；
过ABC ∆三边,,BC CA AB 的中点000,,A B C 分别作ABC ∆的周截线,,a b c l l l ；
0(1)、证明：,,a b c l l l 三线共点； 0(2)、设,,a b c l l l 三线的交点为D ，
记max ,,ABC AD BD CD BC AC AB λ⎧⎫
=⎨
⎬⎩⎭
， 对所有三角形，求min λ．
2、() 2n n n ⨯≥矩阵A 中，每行及每列的元素中各有一个1和一个1-，其余元素皆
为0；证明：可以通过有限次行与行的交换以及列与列的交换，化为矩阵B ，使得 0A B +=.（即A 与B 对应位置上的元素异号）
3、在一个九人小班中，已知没有4个人是相互认识的；
求证：这个班能分成4个小组,使得每个小组中的人是互不认识的.
4、对于函数f ，记号()k f 表示f 的k 次复合，即()()()()
k f f f f x = .
证明：对于确定的正整数,p k 存在*
*
: f N N →，使得对于任何正整数n ，均有
()()k f n n p =+成立的充要条件是k p .
D
C
B
A
C 0
B 0
A 0C 1
B 1A 1。