寒假专题8----一元一次方程及应用(二)(教师版)
5.3一元一次方程的应用(二)
关系是：
阴影部分的面积＝192块边长为0.75米 的正方形花岗石的面积;
阴影部分可以分割成4个长为(x+3)米,宽为3米的长方形.Βιβλιοθήκη 例3 一标志性建筑的底面呈
正方形,在其四周铺上花岗石, 形成一个宽为3米的正方形 边框(如图).已知铺这个边框 恰好用了192块边长为0.75 米的正方形花岗石,问标志性 建筑底面的边长是多少?
甲处 原有人数 23 x 乙处
17 20-x 增加人数 增加后人数 23+x 17+20-x
甲处增加后人数=2×乙处增加后人数
若设调往乙处的人数为x，方程又应怎样列?
甲处
原有人数 增加人数 增加后人数 23 20-x
23+20-x
乙处
17 x 17+x
在解决实际问题时,我们一般可以 通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列 表分析数量关系是常用的方法.
2.一书架能放厚为6.3cm 的书45本.现在准备 放厚为2.1cm 的书,问能放这种书多少 本?
3、我国古代四大发明之一的黑火药,它所用原 料有硝酸钾、硫酸、木炭，它们的重量比是15： 2：3，要配制这种火药320千克，三种原料应取 千克？
应这样设未知数呢？
4、在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196 人，如果要使甲处工作的人数是乙处工作的人数 的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙 处调x人到甲处，则方程可列为 。 272+x=3（196-x）
3
x
3
4 × 3x+4 × 32
4×3（x+3）
(x+x+6) ×3 4×———— 2
2 × 3(x+6)+2x × 3
一元一次方程应用(教师用)
一元一次方程方程1、分配问题：例题1、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？变式1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土 5方或运土 3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的士及时运走？变式2：某校组织师生春游，如果只租用45座客车，刚好坐满;如果只租用60座客车，可少租•辆，且余30个座位,请问参加春游的师生共有多少人？2、匹配问题：例题2、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，•个螺钉耍配两个螺母。
为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？变式1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成-套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？变式2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。
•个盒身与两个盒底配成•套罐头盒。
现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？3、利润问题(1)•件衣服的进价为x元售价为60元，利涧是元利润率是.变式：••件衣服的进价为x元,若要利涧率是20%,应把售价定为.(2)•件衣服的进价为x元售价为80元，若按原价的8折出售，利涧是元，利润率是.变式1：一件衣服的进价为60元，若按原价的8折出售获利20元，则原价是元，利涧率是.变式2：一台电视售价为1100元，利涧率为10%,则这台电视的进价为元变式3：•件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%,这种商品每件标价是多少？变式4：•件夹克衫先按成本提高50%标价，再以八折(标价的80%)出售，结果获利28元，这件夹克衫的成本是多少元?变式5：•件商品按成本价提高20%标价，然后打九折出售,售价为270元.这种商品的成本价是多少?变式6：某商店在某•时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中•件盈利25%,另•件亏损25%,买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？4、工程问题：（1）甲每天生产某种零件80个，3天能生产个零件。
3.2.2一元一次方程的应用
我们一起做
例2、为了适应经济发展，铁路运输再次提
速。如果客车行驶的平均速度增加40km/h， 提速后由合肥到北京1110km的路程只需要
行驶10h。那么，提速前，这趟客车平均每
小时行驶多少千米？
分析：等量关系 路程=平均速度X时间
解：设提速前火车每小时行驶xkm,那么提速后火 车每小时行驶(/h,摩托车的车速为
（200−x）km/h，可得方程为 x=1.5×(200−x)
变式训练2：
甲、乙两人从相距36千米的两地相向而
行。如果甲比乙先走2小时，甲的速度是每
小时6千米，乙的速度是每小时4千米，问
还需要多长时间两相遇？
36千米
甲先行2时走的路程
乙出发后甲、乙共走的路程
列方程解应用题的一 般步骤
（1）、审 （2）、找 （3）、列 （4）、解 （5）、答
甲 相 遇
乙
解：设还需要x小时两人相遇，则 2×6+6x+4x=36 解这个方程得 x=2.4 答：还需要2.4小时两人相遇
变式训练3：
船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65 千米需要5小时，求船在静水中的速度和水流的 速度。
基本关系式为：
顺流航行的航速=船的静水速度+水速；
逆水航行的航速=船的静水速度−水速。
根据题意，得方程
10（x+40）=1110
变式训练1：
已知摩托车的的速度是货车速度
的1.5倍，它们的速度和是200千米/时，
求摩托车和货车的速度各是多少？
分析：等量关系是
摩托车的速度+货车的速度=200
方法一：可设货车的车速为xkm/h,则摩托车的车
【学练优】八年级数学下册2.4一元一次不等式的应用（第2课时）教案（新版）北师大版
【学练优】⼋年级数学下册2.4⼀元⼀次不等式的应⽤（第2课时）教案（新版）北师⼤版⼀元⼀次不等式的应⽤1．会在实际问题中寻找数量关系列⼀元⼀次不等式并求解；2．能够列⼀元⼀次不等式解决实际问题．(重点，难点)⼀、情境导⼊如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？⼆、合作探究探究点：⼀元⼀次不等式的应⽤【类型⼀】商品销售问题某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较⼩．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打⼏折出售此商品？解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×x10－进价，即该商品获得的利润＝180×x10－120，列出不等式，解得x的值即可．解：设可以打x折出售此商品，由题意得：180×x10－120≥120×20%，解得x≥8.答：最多可以打8折出售此商品．⽅法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型⼆】竞赛积分问题某次知识竞赛共有25道题，答对⼀道得4分，答错或不答都扣2分．⼩明得分要超过80分，他⾄少要答对多少道题？解析：设⼩明答对x道题，则答错或不答的题⽬为(25－x)道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可．解：设⼩明答对x道题，则他答错或不答的题⽬为(25－x)道．根据他的得分要超过80分，得：4x－2(25－x)＞80，解得x＞2123.因为x应是整数⽽且不能超过25，所以⼩明⾄少要答对22道题．答：⼩明⾄少要答对22道题．⽅法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“⾄多”“⾄少”等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型三】安全问题采⽯场爆破时，点燃导⽕线后⼯⼈要在爆破前转移到400⽶外的安全区域．导⽕线燃烧速度是每秒1厘⽶，⼯⼈转移的速度是每秒5⽶，导⽕线⾄少要多少⽶？解析：根据时间列不等式，导⽕线燃烧时间＞⼯⼈要在爆破前转移到400⽶外的安全区域时间．解：设导⽕线的长度需要x⽶，1厘⽶/秒＝0.01⽶/秒，由题意得x0.01>4005，解得x＞0.8.答：导⽕线⾄少要0.8⽶．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】分段计费问题⼩明家每⽉⽔费都不少于15元，⾃来⽔公司的收费标准如下：若每户每⽉⽤⽔不超过5⽴⽅⽶，则每⽴⽅⽶收费1.8元；若每户每⽉⽤⽔超过5⽴⽅⽶，则超出部分每⽴⽅⽶收费2元，⼩明家每⽉⽤⽔量⾄少是多少？解析：当每⽉⽤⽔5⽴⽅⽶时，花费5×1.8＝9元，则可知⼩明家每⽉⽤⽔超过5⽴⽅⽶．设每⽉⽤⽔x⽴⽅⽶，则超出(x－5)⽴⽅⽶，根据题意超出部分每⽴⽅⽶收费2元，列⼀元⼀次不等式求解即可．解：设⼩明家每⽉⽤⽔x⽴⽅⽶．∵5×1.8＝9＜15，∴⼩明家每⽉⽤⽔超过5⽴⽅⽶．则超出(x－5)⽴⽅⽶，按每⽴⽅⽶2元收费，列出不等式为5×1.8＋(x－5)×2≥15，解不等式得x≥8.答：⼩明家每⽉⽤⽔量⾄少是8⽴⽅⽶．⽅法总结：分段计费问题中的费⽤⼀般包括两个部分：基本部分的费⽤和超出部分的费⽤．根据费⽤之间的关系建⽴不等式求解即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型五】调配问题有10名菜农，每⼈可种甲种蔬菜3亩或⼄种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收⼊0.5万元，⼄种蔬菜每亩可收⼊0.8万元，要使总收⼊不低于15.6万元，则最多只能安排多少⼈种甲种蔬菜？解析：设安排x⼈种甲种蔬菜，则种⼄种蔬菜为(10－x)⼈．甲种蔬菜有3x亩，⼄种蔬菜有2(10－x)亩．再列出不等式求解即可．解：设安排x⼈种甲种蔬菜，则种⼄种蔬菜为(10－x)⼈．根据题意得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6，解得x≤4.答：最多只能安排4⼈种甲种蔬菜．⽅法总结：调配问题中，各项⼯作的⼈数之和等于总⼈数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型六】⽅案决策问题为了保护环境，某企业决定购买10台污⽔处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、⽉处理污⽔量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资⾦不⾼于105万元．(1)请你设计该企业有⼏种购买⽅案；(2)若企业每⽉产⽣的污⽔量为2040吨，为了节约资⾦，应选择哪种购买⽅案．解析：(1)设购买污⽔处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；(2)如图表列出不等式求解，再根据x的值选出最佳⽅案．解：(1)设购买污⽔处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5，∵x 取⾮负整数，∴x可取0，1，2，有三种购买⽅案：购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；(2)240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，∴x为1或2.当x＝1时，购买资⾦为12×1＋10×9＝102(万元)；当x＝2时，购买资⾦为12×2＋10×8＝104(万元)．答：为了节约资⾦，应选购A型1台，B型9台．⽅法总结：此题将现实⽣活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优⽅案时，应把⼏种情况进⾏⽐较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后列不等式―→解不等式―→结合实际问题确定答案本节课通过实例引⼊，激发学⽣的学习兴趣，让学⽣积极参与，讲练结合，引导学⽣找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类⽐列⼀元⼀次⽅程解决实际问题的⽅法来学习，让学⽣认识到列⽅程与列不等式的区别与联系.。
初一数学第16讲：一元一次方程的应用2(教师版)
第十六讲一元一次方程的应用2一、工程问题1.工作量=工作效率×工作时间2.工作效率=工作量÷工作时间3.工作时间=工作量÷工作效率4.合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
二、劳动力分配问题从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
这类问题要搞清人数的变化。
三、盈亏问题1.(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数2.(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数3.(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数4.物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.1.工程问题中，能够准确计算合作的效率与单人效率2.劳力分配问题中，能够准确找到等量关系并列式3.盈亏问题中，掌握盈亏问题的本质，按要求列式例一、一项工程甲独做需6天完成，甲独做一天可完成这项工程 ；若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的 。
解析：把这项工程当做单位“1”，甲独做6天完成，则甲每小时完成这项工程的61；乙独做比甲快2天，则乙用4天完成，乙每小时完成这项工程的41 答案：61；41 例二、修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成,现在由两个工程队合作承包，如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？解析：把这项工程当做单位“1”，则甲、乙每小时分别完成这项工程的801、1201，设乙需要X 天，根据甲、乙完成的工作量之和为1建立方程求出解即可。
答案： 设：修好这条公路共需要X 天。
30×801+1201X=1 解得：X=75答：修好这条公路共需要75天。
例三、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 解析：首先设分配x 人生产螺栓，则有（28-x ）人生产螺母，根据题意可得等量关系：x 人生产的螺栓数×2=（28-x ）人生产螺母数，由等量关系列出方程，解方程即可．答案：解：设分配x 人生产螺栓，则有（28-x ）人生产螺母，由题意得：12x ×2=（28-x ）×18，24x=504-18x ，42x=504，x=12；28-12=16（人）；答：应分配12人生产螺栓，16人生产螺母，才能使每天生产量刚好配套。
列一元一次方程解应用题复习课(二)-北京版七年级数学上册教案
列一元一次方程解应用题复习课（二）-北京版七年级数学上册教案一、课前导入1.学生独立或小组讨论，列出可能用到一元一次方程的实际问题。
2.选择一些学生分享自己想到的问题并让其他同学尝试列出相应方程。
二、知识回顾1.复习一元一次方程的定义和基本形式。
2.复习解方程的方法：如加法逆元相消法，等比例变换法，代入法等。
3.运用以上知识，对之前的习题进行温故知新。
三、案例分析1.根据班级中获得学科竞赛名次的情况，让学生列出得分情况，求出中位数并解释其意义，最后列出一元一次方程求出未知数的分数。
2.以制作班级文化衫为例，让学生列出每件衫的制作费用，根据题目所给条件（预算）列出一元一次方程。
四、课堂练习1.根据题目所给，列出一元一次方程并解出未知数的值。
Lily的体重为w千克，小明比Lily重s千克。
求小明的体重。
2.根据题目所给，列出一元一次方程并解出未知数的值。
有一条矩形跑道，长100米。
其中一条直道长x米，两个转角处每个角的圆心角分别是30度和90度，求x。
3.根据题目所给，列出一元一次方程并解出未知数的值。
若小明去北京旅游，每天花费p元，已知他的旅游费用为1000元，求他去北京旅游的天数。
五、课后作业1.完成课后习题集中与一元一次方程相关的题目。
2.向同学介绍一种新的列方程的方法，并尝试练习使用该方法解题。
六、课堂小结通过本堂课的学习，同学们回顾了一元一次方程的基本知识，并通过案例分析深化了对知识的理解和应用能力。
同时，在课堂练习和课后作业中，同学们得到了进一步练习和巩固，加深了对应用题和一元一次方程的掌握。
一元一次方程的应用--浙教版(2018-2019)
乌牛中学 谢理福
运用方程解决实际问题的一般过程是:
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示
x ( 例如 ) ;
3.列方程:根据相等关系列出方程;
4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际 情形,并写出答案.
例1: 一个标志性建筑的底面呈正方形，在 其四周铺上花岗石，形成一个宽为3米的正 方形边框（如图）.已知铺这个边框恰好用 了192快边长为0.75米 的正方形花岗 石，问 标志性建筑底面 的边 长是多少米？
3
x 老挝的标志性建筑塔銮3源自； 配资门户：https:/// ；
解布衣为任侠行权 杀婢以绝口 其治效郅都 与都护同治 方今承周 秦之敝 西通於阗三百九十里 初 后吉为车骑将军军市令 而益之以三怨 不自激卬 崎岖山海间 匈奴入上谷 令民亡所乐 鱼去水而死 上方征讨四夷 要斩 赐爵关内侯 既嗣侯 存亡继绝 在昭台岁馀 是时继嗣不明 震荡相转 冬至至 於牵牛 五年春正月 转为大司空 视事 月馀五十一万四百二十三 楚制 见使者再拜受诏 令吏民传写流闻四方 水断蛟龙 不如广汉言 《酒诰》脱简一 延寿大伤之 加赐三老 孝弟 力田帛 文帝前席 衍出 为诸曹大夫 骑都尉 春二月 董仲舒以为 上以士卒劳倦 咸得裂土 人臣之谊 亡以甚此 许皇后 生孝元帝 户十一万四千七百三十八 杜陵 吏亡奸邪 立皇后霍氏 崔发等曰 虞帝辟四门 护军都尉 窃其权柄 归汉外黄 五百石以下至佐史二金 大败 悉以家财求客刺秦王 据圣法 黄浊四塞 随君饮食 上书自陈 在属车间豹尾中 行溪谷中 诸国皆郊迎 [标签 标题]蒯通 后董仲舒对策言 王者欲有所 为 侍中奉车都尉甄邯即时承制罢议者 将军之职也 以故楚不能西 必有破国乱君 兼能《礼》 《尚书》 口
专题08 一元二次方程(归纳与讲解)(解析版)
专题08 一元二次方程【专题目录】技巧1：一元二次方程的解法归类技巧2：根的判别式的六种常见应用技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【题型】一、一元二次方程的概念【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法【题型】三、解一元二次方程：配方法【题型】四、解一元二次方程：公式法【题型】五、解一元二次方程：因式分解法【考纲要求】1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．3、会列一元二次方程解决实际问题.【考点总结】一、一元二次方程【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一般步骤1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；02=++a cx a b x 2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；acx a b x -=+23、三配：①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a c a b x a b x 的形式；①方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 4、四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数a ac b a b x 2422-±=+。
①分别解这两个一元二次方程，求出两根aacb b x 242-±-=。
一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）)的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c =0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a =1,b ≠0,c ≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a ≠1,b ≠0,c ≠0时，首选公式法或因式分解法 一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x 1+x 2和x 1x 2的值，然后依照所求方程是x 2（x 1+x 2）x +x 1x 2=0写出方程 【技巧归纳】技巧1：一元二次方程的解法归类 【类型】一、限定方法解一元二次方程题型1：形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0 题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝2 4．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求xy的值．题型3：能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解 6．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2 7．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0； (2)16x 2－9＝0； (3)4x 2＝4x －1.题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解 8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( )A ．x ＝－2±52B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0； (2)4x 2－3x －5＝x －2. 【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－4C ．x 1＝3和x 2＝－4D ．x 1＝3和x 2＝4 12．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝2 13．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0； (2)2x 2－3x ＋1＝0. 【类型】三、用特殊方法解一元二次方程 题型1：构造法14．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.15．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值． 题型2：换元法 a ．整体换元16．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48. 17．x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0. b ．降次换元18．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0. c ．倒数换元19．解方程：x －2x －3xx －2＝2.题型3：特殊值法20．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016. 参考答案 1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2， (x ＋2)2 ＝6， x ＋2 ＝±6，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0， (x －5)2＋(y －8)2 ＝0， ∴x ＝5，y ＝8.∴x y ＝58.6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，∴x 1＝－34，x 2＝34.(3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝12.8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13. ∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136.(2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4＝1±22.∴x 1＝32，x 2＝－12.10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94， y －12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1. (2)2x 2－3x ＋1＝0，∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1， ∴x ＝3±12×2＝3±14，即x 1＝1，x 2＝12.14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23.15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4.所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程可变为[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48. 解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332；当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根． ∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.17．解：x 2＋1x2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0， 设x ＋1x ＝y ，则原方程为y 2－2y －3＝0.∴y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＋1x ＝3，∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52.当y ＝－1时，x ＋1x＝－1，无实数解．经检验，x 1＝3＋52，x 2＝3－52都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝3＋52，x 2＝3－52.18．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x2＝0，即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2，原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0. 解得y 1＝52，y 2＝103.当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12；当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13.经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.19．解：设x －2x＝y ，则原方程化为y －3y ＝2，整理得y 2－2y －3＝0， ∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x ＝3，∴x ＝－1；当y ＝－1时，x －2x ＝－1，∴x ＝1.经检验，x ＝±1都是原方程的根， ∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t 的值，进而求出x 的值． 技巧2：根的判别式的六种常见应用【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m 的值．【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【类型】三、利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m 的值．【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根 【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根．(1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长． (2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？ 参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根． 2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得 x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数， ∴2m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0， 即2m －1＝±4. ∴m ＝52或m ＝－32.当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 点拨：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A . 6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c4＝b 2－(a 2－c 2)＝0.即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形． 7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1. 此时原方程为x 2－x ＋14＝0，∴x 1＝x 2＝12，∴当m ＝1时，▱AB CD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12.(2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0，解得m ＝52，故原方程为x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12.故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5. 技巧3：根与系数的关系的四种应用类型 【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)； (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1； (3)x 1－x 2.【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值． 【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝ x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23， q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝4，① 又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6.∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12. 4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k.∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32.∴k ＝95.经检验，k ＝95是该分式方程的根．又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．【题型讲解】【题型】一、一元二次方程的概念 例1、若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．–1【答案】D 【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法 例2、解下列方程： （1）241210x -=； （2）2(41)90x --=． 【答案】（1）121111,22x x ==-；（2）1211,2x x ==- 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：（1）方程变形得21214x =， 开平方，得 112x =±， ①121111,22x x ==-； （2）由原方程，得2(41)9x -=， 开平方，得413x -=±， ①1211,2x x ==-．【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 【题型】三、解一元二次方程：配方法 例3、用配方法解方程． （1）2420x x --=； （2）2680x x ++=．【答案】（1）12x =22x =；（2）2x =-，4x =- 【分析】（1）直接利用配方法进行求解； （2）直接利用配方法进行求解． 【详解】解：(1)方程变形为x 2-4x =2． 两边都加4，得x 2-4x +4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x +m )2=n 的方程，即有(x -2)2=6．解这个方程，得12x =22x =于是，原方程的根为12x =，或22x =． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x =-8．两边都加“一次项系数一半的平方”，得x 2+6x +32=-8+32， ①(x +3)2=1．用直接开平方法，得x +3=±1，①x =-2或x =-4． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤． 【题型】四、解一元二次方程：公式法 例4、解方程2820x x --=【答案】14x =+24x =- 【分析】先求出1a = ，8b =- ，2c =- ，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答 【详解】解：①1a = ，8b =- ，2c =- ，①224(8)41(2)720b ac ∆=-=--⨯⨯-=> ， ①方程有两个不相等的实数根．①4x ===±①14x =+24x =- 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即x =．【题型】五、解一元二次方程：因式分解法 例5、用因式分解法解下列方程： （1）234y y y -=-； （2）3(1)33x x x +=+．【答案】（1）122y y ==；（2）121,1x x ==- 【分析】（1）移项后利用完全平方公式得到2(2)0y -=，然后利用直接开方法解方程； （2）先变形得到3(1)(33)0x x x +-+=，然后利用因式分解方法解方程． 【详解】解：（1）移项，合并同类项，得2440y y -+=，因式分解，得2(2)0y -=，所以，原方程的根为122y y ==； （2）移项，得3(1)(33)0x x x +-+=， 即(1)(1)0x x x +-+=， 提公因式，得(1)(1)0x x +-=， 于是，得10x +=或10x -=， 所以，原方程的根为121,1x x ==-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．一元二次方程（达标训练）一、单选题1．（2022·四川泸州·一模）方程x 2﹣6x ＝0的解是（ ） A ．x ＝6 B ．x ＝0 C ．x 1＝6，x 2＝0 D ．x 1＝﹣6，x 2＝0【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解得：x （x ﹣6）＝0， 则x ﹣6＝0或x ＝0， 所以x 1＝6，x 2＝0， 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程23120x x --=在用求根公式x =求解时，a ，b ，c 的值是（ ） A ．3，―1，―2 B ．―2，―1，3 C ．―2，3，1 D ．―2，3，―1【答案】D【分析】先按照未知数x 的降幂排列，据此可得答案． 【详解】①23120x x --=， ①22310x x -+-=，则a =-2，b =3，c =-1, 故选： D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程2450x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)1x -=- C ．2(2)9x -= D ．2(2)9x -=-【答案】C【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：2450x x --=∴245x x -= ∴24454x x -+=+ ∴()229x -=只有选项C 符合题意； 故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程290x 的两个根为（ ）A ．1x ＝﹣3，2x ＝3B ．1x ＝﹣9，2x ＝9C ．1x ＝﹣1，2x ＝9D ．1x ＝﹣9，2x ＝1 【答案】A【分析】先将9移到方程右边，再开平方解方程即可． 【详解】解：29x =， x ＝±3，所以1x ＝3，2x ＝﹣3． 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的一元二次方程a 2x ﹣5ax +4＝0，有一个根为1．则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．1或﹣1D ．不能确定【答案】A【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可； 【详解】解：将x ＝1代入到方程可得：a ﹣5a +4＝0， -4a =-4， ①a ＝1， 故选： A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键．二、填空题6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设1x ，2x 是关于x 的方程220x kx k -+-=的两个根，121x x =+，则12x x =_____．【答案】1-【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可．【详解】解：①12x x 、是关于x 的方程x 2﹣kx +k ﹣2＝0的两个根，121x x =+， ①121x x =+＝k ，12x x ＝k ﹣2， ①12x x ＝1﹣2＝﹣1． 故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键． 7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，可列方程为：_________． 【答案】()28118x +=【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，则4月份的销售额是8（1+x ），5月份的销售额是()281x +，据此即可列出方程．【详解】解：根据题意可列方程： ()28118x +=，故答案为：()28118x +=．【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”．三、解答题8．（2022·四川南充·一模）已知关于x 的方程：x 2＋（m ﹣2）x ﹣m ＝0． (1)求证：无论m 取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数m ，n 是方程的两根，试求m ﹣n 的值． 【答案】(1)见解析 (2)52【分析】（1）根的判别式为24Δb ac =-，将系数代入即可证得．（2）把x m =代入方程可求得32m =，由根与系数的关系可求得n 值，即可求解．(1)证明：2Δ(2)4m m =-+24m =+．无论m 取何实数时，总有240m +>． ①方程总有两个不相等的实数根． (2)把x m =代入方程，得2(2)0m m m m +--=． 即223m m =． ①0m ≠，①32m =．由根与系数的关系，mn m =-． ①1n =-． ①52m n -=． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．一元二次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于x 的一元二次方程2410x x k -+-=两个相等的实数根，则关于x 的一元二次方程240x x k -+=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判定【答案】C【分析】根据2410x x k -+-=两个相等的实数根，计算出k 的值，再根据k 的取值范围计算出方程240x x k -+=的根的判别式，即可进行解答．【详解】解：①方程2410x x k -+-=两个相等的实数根， ①224(4)41(1)0b ac k -=--⨯⨯-=，解得：k =5， 一元二次方程240x x k -+=中，a =1，b =-4，c =k ， ①224(4)41164b ac k k -=--⨯⨯=-， ①k =5，①164k -=-4<0，①240x x k -+=无实数根． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关内容的解题的关键．240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根，240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，240b ac -<时，方程没有实数根．2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．230x = B ．(3)(2)0x x -+= C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=【答案】C【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A ．选项实数根为120x x ==，故该一元二次方程有两个相等的实数根； B ．选项实数根为13x =和22x =-，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；C ．选项依题意得：2,5,5a b c ==-=，则224(5)425150b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，故该一元二次方程没有实数根；D ．选项实数根为122x x ==-，故该一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，240b ac -≥ 时一元二次方程有实数根． 3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（ ）A ．－3B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：①α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根， ①+=,1b αβαβ-=-，①222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=- ①5b =- 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca是解题的关键．4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣9 B ．k ≤3 C ．﹣9＜k ＜6 D ．k 384-＞ 【答案】A【分析】设3t x =-，再把原方程化为290t t k +--=，结合根的判别式可得374k >-，再由原方程有两个实数根，可得1290,t t k =--<从而可得答案．【详解】解：①263,x x k x -++=-①269|3|90,x x x k -++---= ①2(3)|3|90,x x k -+---= 设t ＝|x ﹣3|，则原方程变形为290t t k +--=， 所以Δ＝1﹣4（﹣k ﹣9）＞0，解得374k >-， ①原方程有两个解，①方程290t t k +--=有一正根和负根， ①1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，①k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则1x y +=①满足()()22220x xy x y xy y +-+--≤的整数解(),x y 共有8个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；①提取公因式x 后根据恒成立找关系即可；①两个方程相加后因式分解即可解题；①去括号后因式分解判断即可．【详解】①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则22(2)0x xy x x x y --=-=-①20x y --=或者0x =，故①错误；①等式223x mxy x x +-=化简后为(5)0x my x +-=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，①50x my +-=，即5x my +=①()225x my +=，故①正确；①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则两个方程相加得：222214x xy x y xy y +-++-=， ① 2()2()14x y x y +-+=2(1)15x y +-=① 1x y +=，故①错误；①整理()()22220x xy x y xy y +-+--≤得：22220x y x y +--≤①22(1)(1)2x y -+-≤①整数解(),x y①22(1)0(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩①11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩， 10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 01x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩， ① 整数解(),x y 共9对，故①错误；综上所述，结论正确的有①；故选：A ．【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．二、填空题6．（2022·辽宁本溪·二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．【答案】0m >且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别方法列出关于m 的不等式，即可解得答案．【详解】解：①一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，①224(1)(1)0m ∆=-⨯-⨯->，解得：0m >；①10m -≠，①1m ≠；①m 的取值范围是：0m >且1m ≠．故答案为：0m >且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．7．（2022·广东番禺中学三模）已知x 2＝2x +15，则代数式22((x x +--=__________．【答案】-【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案．【详解】解：22((x x +--＝(x x x x＝2x×＝．①2215x x +＝，①22150x x ﹣﹣＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，①x ＝5或x ＝﹣3．当x ＝5时，原式＝5=当x ＝﹣3时，原式＝(3)-=-【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．三、解答题8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．(1)请直接写出函数2y x =-的不动点M 的坐标；(2)若函数38x y x a+=+有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值； (3)已知函数2(1)(1)y ax b x b =+++-，若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)(1,1)M(2)3a =(3)01a <<【分析】（1）设函数y =2-x 的不动点M 为（m ,m ），根据定义得到2-m =m ，求出m 即可求M 点坐标；（2）由题意可知AB 所在直线解析式为y =x ，联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩，再由根与系数的关系得3-a =0，即可求a 的值；（3）由题意可得211ax b x b x +++-=()（），则①24(1)0b a b =-->恒成立，对于关于b 的一元二次不等式恒成立，只需①216160a a =-<，即可．（1）解：设函数2y x =-的不动点M 为(,)m m ，2m m ∴-=，解得1m =，(1,1)M ∴；（2） A 、B 关于原点对称，且是函数的不动点，AB ∴所在直线解析式为y x =， 联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩， 整理得，2(3)80x a x +--=，30a ∴-=，3a ∴=；（3）由题意可知，2(1)(1)ax b x b x +++-=，整理得，2(1)0ax bx b ++-=，函数恒有两个相异的不动点，∴①24(1)0b a b =-->，2440b ab a ∴-+>恒成立，∴关于b 的一元二次不等式恒成立，∴①216160a a =-<，解得01a <<．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．。
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初一数学寒假专题------一元一次方程及应用（二）(教师版)
知识点
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．
2.和差倍分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
3.等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h
②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
商品利润
商品成本价
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
8．储蓄问题
利润＝
每个期数内的利息
本金
×100% 利息＝本金×利率×期数
【典型例题】问题导入：王老师去集贸市场买鸡蛋，小贩称好以后，王老师发现所买的10斤鸡蛋好象比原来少了一些，于是王老师就把鸡蛋拾进了自己的篮子{已知篮子重一斤}里又让小贩称了一下，结果是11斤1两，于是王老师就让小贩找回自己一斤鸡蛋钱，你知道王老师是怎么知道小贩少给自己一斤鸡蛋的吗？
分析：解决问题的关键因素——篮子：为什么不用篮子正好是10斤，而用了篮子就是11斤1两呢？这就是说小贩的称出了问题：一斤的篮子被称成了一斤一两。
从而可设小贩称的10斤鸡蛋的实际质量是x斤，由题意分析可知：x:10=1:1.1, 所以x=10:1.1≈9.09{斤}。
也就是说小贩称的10斤鸡蛋实际上约有9.09斤，所以王老师的做法是对的
例1兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？2．解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18 ∴x=-3 答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍例2．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
解：设甲、乙一起做还需x小时完成.根据题意，得
1
6
×
1
2
+（
1
6
+
1
4
）x=1 解这个方程，得x=
11
5
11
5
=2小时12分
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．．
例3．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．
解：设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件．
例4．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a 千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少元？
解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得a=60 （2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得x=90 所以0.36×90=32.40（元）
答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
例5．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3•种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，•销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300
2x=50 x=25 50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800
x=35 50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+200×25=7250（元）若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15=9000（元）
9000>7250 故为了获利最多，选择第二种方案．【巩固练习】
1．爷爷与孙子下棋,爷爷赢一盘记1分,孙子赢一盘记3分,两人下了12盘(未出现和棋)后,得分相同,他们各赢了多少盘?
解:设爷爷赢了x盘,则孙子赢了(12)x
-盘, 由题意得3(12)
x x
=-解得9
x=当9
x=时,123
x
-=
答:爷爷赢了9盘,孙子赢了3盘｡
2．在某月的日历上一个竖列的相邻的三个数之和为48,求这三个数中间的那个
解:设日历上一个竖列的相邻的三个数依次为(7)
x-、x、(7)
x+, 由题意得(7)(7)48
x x x
-+++=解得16
x=
答:这三个数中间的数是16｡
3．民航规定:乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李,超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票｡一名旅客带了35千克行李乘机,机票连同行李费共付了1323元,求该旅客的机票票价｡
解:设该旅客的机票票价为x元,
由题意得(3520) 1.5%1323
x x
+-⨯=
解得1080
x=
答:该旅客的机票票价为1080元｡
4．一份英语试卷是有20道选择题,规定做一对一题得5分,不做或做错扣1分,结果某学生得76分,问(1)他做对了几题?(2)他能得78分吗?为什么?
(1)16题; 5x-(20-x)=76
(2)不可能,因为98不能整除6,而题数x为整数｡
5．已知某一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥一共用了1分钟,整个火车完全在桥上时间为40秒,求火车的速度｡
解:设火车速度为xm/s,
60x-1000=1000-40x x=20
答:火车速度为20m/s｡。