数学品质平台高一数学(上)期末考试辅导讲义 第二讲 数列综合问题
高中数学数列知识点解析(K12教育文档)
高中数学数列知识点解析(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学数列知识点解析(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学数列知识点解析(word版可编辑修改)的全部内容。
高中数学第三章数列考试内容:数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等Array比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a （2≥n ） ③b kn a n +=（k n ,为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列。
ii 。
acb =(ac ＞0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分。
高一数学学科：巩固基础与解题技巧培训课件
解三角形
掌握正弦定理、余弦定理 及其应用，能够解决简单 的三角形问题。
函数基础知识
函数的概念与性质
理解函数的基本概念，如定义域 、值域、单调性、奇偶性等，掌 握一次函数、二次函数、指数函
数、对数函数的性质。
函数的图像
能够画出常见函数的图像，并根据 图像分析函数的性质。
导数及其应用
理解导数的概念，掌握求导法则， 理解导数在研究函数中的应用。
图形性质理解
掌握基本图形的性质，如 三角形、四边形、圆等， 理解并能够应用这些性质 解决几何问题。
角度与长度计算
能够利用角度和长度之间 的关系，计算角度和长度 。
空间思维培养
通过几何题目的训练，培 养学生的空间想象能力。
函数题解题技巧
函数性质理解
01
理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质，并能
如何应对考试压力和挑战
调整心态
保持冷静、自信的心态，正确对待考试成绩，不因一次的失败而 气馁。
合理安排时间
提前规划复习进度，合理分配时间，避免考试前临时抱佛脚的压 力。
积极应对挑战
遇到难题或复杂问题时，保持积极的心态，尝试不同的解决方法 。
THANKS.
方程的解法和应用。
不等式求解
通过解一元一次不等式 、一元二次不等式等， 掌握不等式的解法和应
用。
集合运算
通过集合的交、并、补 等运算，掌握集合的基
本概念和运算规则。
几何综合练习与解析
01
02
03
04
平面几何
通过掌握点、线、面的基本性 质和定理，解决平面几何问题
。
立体几何
通过掌握空间几何体的基本性 质和定理，解决立体几何问题
高中数学名师讲义：第二章 2.1 数 列 Word版含答案
数列2．1.1 数列[新知初探]1．数列的概念(1)数列：按照一定次序排列起来的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…简记为{a n}．[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….2．数列的通项公式如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] 同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．3．数列与函数的关系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示．4．数列的分类(1)按项的个数分类：(2)按项的变化趋势分类：[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,1,1，…是无穷数列( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列( )(3)有些数列没有通项公式( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项 解析：选C ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 3．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.4．若数列{a n }的通项满足a nn＝n －2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由a n n＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ， 令n 2－2n ＝15，得n ＝5或n ＝－3(舍去)． 答案：5[典例] A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，…D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．[答案] C给出以下数列：①1，－1,1，－1，…；②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④①③②④①③[典例] (1)数列5，2，11，7，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，….[解析] (1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.[答案] a n ＝n ＋23n ＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1n ＋n ＋.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n(2n ＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n－1).[典例] n 2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．[活学活用]数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项解析：选B 把该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．层级一 学业水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式． 其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1n 是递增数列 D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋－nn是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝n －1nC ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12，n ＝2k －k ∈N ＋，n 2，n ＝2k k ∈N＋答案：a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12，n ＝2k －k ∈N ＋，n2，n ＝2k k ∈N＋7．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项． 答案：78．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192. ∵n ∈N ＋，∴n ≤9. 答案：99．已知数列2，74，2，…的通项公式为a n ＝an 2＋bcn，求a 4，a 5.解：将a 1＝2，a 2＝74代入通项公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋bc ＝2，4a ＋b 2c ＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，c ＝2a ，∴a n ＝n 2＋32n ，∴a 4＝42＋32×4＝198，a 5＝52＋32×5＝145.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．解：对于公式a n ＝nn 2＋1，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝12，a 2＝25，a 3＝310，a 4＝417，a 5＝526. 而a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n n ＋2＋n 2＋.因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n ＜0，所以a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，故该数列为递减数列．层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( )A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是( ) A ．a n ＝(－1)n n 2＋1 B ．a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1) C ．a n ＝(－1)n(n 2＋1)D ．a n ＝(－1)n ＋1(n 2－1)解析：选B 通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)．3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．4．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )A．3n－1 B．3nC．3n＋1 D．3(n＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，a n－a n－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，a n＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．解析：由数列2，5，8，11，…得通项公式为a n＝3n－1，令3n－1＝25，∴3n－1＝20，∴n＝7.答案：76．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．解析：我们把图案按如下规律分解：这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为a n＝6＋4(n－1)＝4n＋2.答案：a n＝4n＋27．已知数列{a n}的通项公式为a n＝p n＋q(p，q∈R)，且a1＝－12，a2＝－34.(1)求{a n}的通项公式；(2)－255256是{a n }中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N ＋，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.2．1.2 数列的递推公式(选学)[新知初探] 数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项( )(2)有些数列可能不存在最大项( )(3)递推公式是表示数列的一种方法( )(4)所有的数列都有递推公式( )解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项．(2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．(3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是( )A．1,2,3,4，… B．1，2，2,22，…C.2，2，2，2，… D．0，2，2,22，…解析：选B B中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n＝2a n－1.3．数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2－a n，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )A．－3 B．－11C．－5 D．19解析：选D 由a n＋1＝a n＋2－a n，得a n＋2＝a n＋a n＋1，则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.4．已知a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a5＝________.解析：由a1＝1，a n＝1＋1a n－1，得a2＝2，a3＝32，a4＝53，a5＝85.答案：8 5[典例] 数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a2n＋1－a n a n＋2＝(－1)n，求{a n}的前5项．[解] 由a2n＋1－a n a n＋2＝(－1)n，得a n＋2＝a2n＋1－－na n，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝a 22－－1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－－2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－－3a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.[活学活用]已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 017＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 017＝672×3＋1，所以a 2 017＝a 1＝67.答案：67题点一：累加法求通项公式1．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋，n ∈N ＋，求数列的通项公式a n .解：∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1n －n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n.题点二：累乘法求通项公式2．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .解：∵a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n. 又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n.[典例]已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫11n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[解] 法一：a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N ＋，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项D ．第7项解析：选B a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n －1432－1963， 当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N ＋，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12C.34D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析：选C ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( ) A ．15 B ．16 C ．31D ．32解析：选C ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.5．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝a b n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析：选C ∵b n ＝a b n －1，∴b 2＝a b 1＝a 2＝3，b 3＝a b 2＝a 3＝5，b 4＝a b 3＝a 5＝9，b 5＝a b 4＝a 9＝17，b 6＝a b 5＝a 17＝33.6．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n ，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n. 答案：23n7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－98．已知数列{a n }，a n ＝b n＋m (b <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：29．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)；(3)a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N ＋)．解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝9.猜想a n ＝2n －1＋1.10．已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式．解：∵f (x )＝x －1x ，∴f (a n )＝a n －1a n，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0.∴a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n .层级二 应试能力达标1．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34(n ∈N ＋)，且a 1＝1，则a 17＝( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：选A 由a n ＋1＝4a n ＋34⇒a n ＋1－a n ＝34，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13，故选A.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n ＋lg n解析：选A 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(an－a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg2×32×43×…×nn －1＝2＋lg n .3．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，6)解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N ＋恒成立．注意到当n ∈N ＋时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N＋，则a 2 015＋a 2 016等于( ) A ．4 B ．1 C.76D.116解析：选B a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝73－1＝43；a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43－1＝13；a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56；a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23；a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23－1＝13；即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 015＋a 2 016＝a 5＋a 3＝1.故选B.5．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________. 解析：由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050.答案：5 0506．对于数列{a n }，若存在实数M ，对任意的n ∈N ＋，都有a n >M ，则称M 为数列{a n }的一个下界，数列{a n }的最大下界称为下确界．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1n，按此定义，则数列{a n }的下确界是________．解析：由题意，a n ＝n ＋1n ＝1＋1n， 由于1n>0，所以对任意n ∈N ＋，都有a n >1，易知1是数列{a n }的最大下界． 故数列{a n }的下确界是1. 答案：17．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 22n (n ∈N ＋)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．解：存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝3223＝98，a 4＝4224＝1，a 5＝5225＝2532，….∵当n ≥3时，a n ＋1a n ＝n ＋22n ＋1×2nn2＝n ＋22n2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2<1， ∴a n ＋1<a n ，即n ≥3时，{a n }是递减数列． 又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝98.∴当n ＝3时，a 3＝98为这个数列的最大项．8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋…＋1n －个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ≥2)． 又∵n ＝1时，a 1＝12，符合上式，∴a n ＝1n ＋1.高中数学课程。
高中数列专题讲义
二、填空题 11．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S3＝6，S4＝12，则 S6＝________． 1 1 1 12．等差数列{an}中， a1＝ ， a ＝ ， a ＝ (m≠n)， 则数列{an}的公差 d 为________． 2 016 m n n m 3 13．已知等比数列{an}，其前 n 项和为 Sn，a1＋a2＝ ，a4＋a5＝6，则 S6＝________． 4 3 14．已知数列{an}是等比数列，若 a4＝ ，a6＝6，则 a10＝________． 2 三、解答题 15．已知等差数列{an}中，a1＝1，其前 n 项和 Sn 满足 (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)令 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan＋1 Sn＋4＋Sn ＝Sn＋2＋4(n∈N*)． 2
2
[变式 2] 两个等差数列{an}与{bn}的前 3 项分别为 2，6，10 与 2，8，14，由这两个 等差数列的公共项从小到大的顺序构成一个新数列{cn}． (1)求数列{cn}的通项公式； (2)若 n<m，且 c1，cn，cm 成等比数列，求 m 的最小值． an（an＋1） [变式 3] 已知数列{an}的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ ，n∈N*. 2 (1)求证：数列{an}是等差数列； 1 (2)设 bn＝ ，Tn＝b1＋b2＋„＋bn，求 Tn. 2Sn 1 [变式 4] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－ n2＋kn(其中 k∈N*)，且 Sn 的最大值为 8. 2 (1)确定常数 k，求 an； 9－2an (2)求数列 n 的前 n 项和 Tn. 2 [变式 5] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an. (1)求证：{an＋1－3an}是等比数列． (2)求数列{an}的通项公式． [变式 6] 数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．b1＝2a1＝2，b2－a2＝1，b3－ a3＝3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式． an (2)设 cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项之和 Sn. bn
高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件新人教B版必修
第十页，共38页。
【自主解答】 (1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列. 即 7，S4－7,91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2. ∴S4＝28.
第二十二页，共38页。
探究 2 在 1 和 16 之间插入三个正数 a，b，c 使 1，a，b，c,16 成等比数列， 则 a＋b＋c＝________，a·b·c＝________，若将“等比数列”改为“等差数列” 又应如何求解？
【提示】 若 1，a，b，c,16 成等比数列，则 1，b,16 成等比数列，所以 b ＝4；
若{an}为等比数列，则aa11qq25＝ ＝－ 6，6， 解得 a1＝－6，q＝－1，所以 an＝－6·(－ 1)n－1＝6(－1)n.
第二十一页，共38页。
法二：若{an}为等差数列，由 6＝－6＋3d 得 d＝4， 所以 an＝－6＋(n－3)×4 即 an＝4n－18. 若{an}为等比数列，由 6＝(－6)·q3 得 q＝－1，所以 an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.
【导学号：18082037】
第十四页，共38页。
【解析】
(1)根据题意得
S奇＋S偶＝－240， S奇－S偶＝80，
∴
S奇＝－80， S偶＝－160，
∴q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
(2) 设 S2n ＝ x ， S4n ＝ y ， 则 2 ， x － 2,14 － x ， y － 14 成 等 比 数 列 ， 所 以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14，
高一数学期末复习讲义3-AP,GP
四、课后作业
1、设 分别表示等差数列 的前n项和，已知 ，
则 ________
2、使数列 的前 项之积大于 ，则 的最小值是
3、 是等比数列 的前 项之和, , ,则
4、 是等差数列, 是等比数列,且 ,数列 前三项分别是1，1，2
且 ,则 的前10项之和为
5、设一等差数列，由三个数组成，三个数之和为9，三个数的平方和为35，则7、已知等差数列 ，则n的值为
8、 ，求数列 的前 项和 .
9、设数列 是等差数列， ，
（1）当 时，请在数列 中找一项 ，使 成等比数列；
（2）当 时，若自然数 满足 ，使得 成等比数列，求数列 的通项公式。
10、已知 为等差数列，且 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
数列（一）
一、知识要点
等差数列
等比数列
定义
通项公式
中项
前n项和公式
性质
二、填空题
1.已知等比数列 的前n项和为 ，则x的值为
2．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则
3.已知等比数列 的公比大于1，且 ，则
4.等差数列 中， 且 ，则 时， 5
5.已知等差数列 满足， ，则前n项和 取最大值时，n的值为21
（2）证明： .
11、已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．
12.设 是公比大于1的等比数列， 为数列 的前 项和．已知 ，且 构成等差数列．
（1）求数列 的通项．
（2）令 求数列 的前 项和 ．
6.已知等差数列 各项均不为0，公差大于0，并且 ，记数列 的前n项和为 ，则使 成立的正整数 的最小值为________15
高一数学最新课件-数列的综合问题001 精品
a3 a2 d
an an1 d
以上（n-1)个式子相加得：an a1 (n 1)d
若数列 an 满足 an an1 f n(n N )，其中 f n是
可求和数列，那么可用累差求和的方法求 an
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3数列的综合问题
高2008级数学复习课件
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]பைடு நூலகம்
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5. 1 1 ( a b) a b ab
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3数列的综合问题
数列通项公式的求法
§3.3数列的综合问题
高2008级数学复习课件
递推公式(突出转化成AP、GP)
(1)an1 an f (n)累差求和法
(2)an1 an f (n)累商求积法
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3数列的综合问题
高2008级数学复习课件
(3)an1 pan q构造等差或等比数列
重庆市万州高级中学 曾国荣wzzxzgr@ 2020年12月25日星期五
§3.3数列的综合问题
高2008级数学复习课件
杂数列的求和思路与方法 1.公式法：
即直接用有求和公式，求列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an
)
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 2 3 n 1 n(n 1)
到。
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
优质实用高中数学公开课课件精选人教版第2章数列2.4第2课时等比数列的性质
∴aa73＝＝146， 或aa73＝＝41.6， 当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4， 当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝54，∴q4＝14， ∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
《等比数列的性质》
执教教师：XXX
自主学习 新知突破
• 1．了解等比数列的性质的由来． • 2．掌握等比数列的性质并能综合运用．
等比数列的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1)an＝amqn－m(m，n∈N*)； (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)， 则am·an＝ap·aq＝a2k； (3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；
p，q∈N*)时am＋an＝ap＋aq p，q∈N*)时aman＝apaq
相同 (1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是
点 常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定
•积1组．成将新公的比数为列q的a1等a2比，数a2a列3，{aan3}a依4，次…取，相此邻数两列项是的(乘 ) • A．公比为q的等比数列 • B．公比为q2的等比数列 • C．公比为q3的等比数列 • D．不一定是等比数列
(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数) 与a1n仍然成等比数列．
•＝1_．__(1_)_在__等_.比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10 •项(2之)在积等等比于数__列__{_a_n_}_中．，若a7＝－2，则此数列的前13
解析： (1)方法一：设{an}的公比为q， 则aa11qq5＝＝21，2， 解得q4＝6， ∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72. 方法二：∵{an}是等比数列， ∴a26＝a2·a10， 于是a10＝aa226＝1222＝1424＝72.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 排列组合应用题的解法知识考点⎧⎪⎨⎪⎩两个原理：加法原理、乘法原理；两个优先：特殊元素优先、特殊位置优先排列组合综合应用：选、排、配的思想二项式定理：选项思路；二项式系数、系数的概念 排列组合应用题题量多，涉及面广，其解题方法既变换多端，又有一般的规律可循，还有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理，与我们已知的的模型相匹配。
下面通过一些例题来说明几种常见的模型及其解法和应用。
第一节 两个原理和两个优先一、加法原理、乘法原理：（两个原理）说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.加法原理：一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法有1m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法，…，在第n 类办法中用n m 种方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种方法．乘法原理：一件事，完成它需要n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种方法．那么完成这件事共有12n N m m m =种方法． 运用两个原理时，要特别注意二者的区别．加法原理的叙述中，用的是“n 类方法”，是指完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；乘法原理中，用的是“n 个步骤”，是指完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.可通过以下技巧来判断加法或乘法原理：思路：办事原则将排列组合题看作一件事情，而你的解答就看成是你在完成这件事情，也就是你的目的，此即为办事原则。
在解答办事原则时，有以下两个诀窍：一、单单元法则：将元素逐一考虑的法则。
若可用排列或组合一步表示，则可将此整体看成一个单元，即单单元的整体表示，此为排列组合综合大题的基础。
二、加法：一步到位；乘法：多步到位若经过一步就完成此任务，则用加法原则；若经过多步才完成此任务，则用乘法原则。
例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；另一类是从装白球的袋子里取一个球，这有60种取法。
因此取法种数共有 40＋60=100 （种）（评析：此题用办事原则来分析，目的就是取一个球，不管在哪个袋里取球，都能一步到位，用加法原理。
） 例2：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中取一个红球和一个白球，有多少种取法？解：取一个红球和一个白球可以分成两步来完成：第一步从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；对于这每一种取法，第二步从装白球的袋子里取一个球，都有60种取法。
因此取一个红球和一个白球的方法共有40×60=2400（种）（评析：此题用办事原则来分析，目的就是取两个球，用单单元法则考虑，不可能一步到位，所以用乘法原理。
）例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【评析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，都能一步到位，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，并没有一步到位，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：①9234=++=N②24234=⨯⨯=N③26232434=⨯+⨯+⨯=N说明：正确使用分类计数原理、分步计数原理的关键在于：明确事件需要“分类”完成还是“分步”完成.分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性——类类独立；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性——步步相连.例4：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n 1种结果，……；n 个人通过，有n n C 种结果。
所以一共有012n nn n n C C C +++= 种可能的结果。
（评析：此分析思路是单单元法则整体表示的典型，将n 个人看成一个整体，用组合数可以一步表示出来，且一步到位，用加法原理。
）解法2：用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
（评析：此分析思路是单单元法则非整体表示的典型，将第一个人第二个人逐一分析，且多步到位——每个人都分析完了才算考试结果，用乘法原理。
）例5：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是 N =10×10×10×10=104． 答：可以组成10000个四位数字号码．例6：5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)此题假想你是教导主任，他们都到你那儿报名（此即办事原则。
将问题转换为你所要处理的一件事），然后用单单元分析法分析，当第一个学生来到你面前时，他共有多少种选择？3种。
他报完名了，那是否完成这件事了呢？还没有，因为要5位同学都报了名才算完成，所以这是一步没到位，不是加法原理，是多步才到位，应用乘法原理。
然后第二名学生来了，他又有3种选择，同理分析第三名直至最后一名，所以得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)例7：如图，要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区 域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？此题可假想你是刷墙工人，站在A 面前，有3种选择，还没完，所以是 分步，用乘法原则。
刷B 有2种，刷C 有1种，刷D 有1种，共有 3×2×1×1=6(种)解：A 区域可以在3种色中任选一种来涂色，B 区域可以在剩下2种色中任选一种来涂色，C 区域可以在剩下1种色中任选一种来涂色，D 区域只可以于A 选同一种色来涂色，根据乘法原理，得到不同涂色方法总共有3×2×1×1=6(种)例8：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选出1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成：先选1名上日班，共有3种选法；再由剩下的2人中选一人上晚班，共有2种选法．根据分步计数原理，不同的选法种数是N =3×2=6．答：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有6种不同的选法．说明：当数字较小时，此类问题也可以用列表的方法（即写出全部可能的选法）求解：日班 甲 甲 乙 乙 丙 丙 晚班 乙 丙 甲 丙 甲 乙例9：班上有一名优秀生今年被保送到重点院校深造，有四所院校，每所院校有三个不同的专业可供他选择志愿。
但他的志愿表如下：法?此题假想你是那名学生，首先填第一志愿的学校，有4种选择，再填它的专业志愿，有3×2种选择，下一步再填第二志愿的学校，有3种选择，再填它的专业志愿，有3×2种选择，所以得到不同填报志愿方法总共有4×3×2×3×3×2=432(种)分析：这是一个分步问题用乘法原理．填第一志愿的学校，有4种选择，它的专业志愿有3×2种选择，下一步再填第二志愿的学校，有3种选择，它的专业志愿也有3×2种选择，所以得到不同填报志愿方法总共有4×3×2×3×3×2=432(种)例10：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有____。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有16C 种方法；（评析：此处将“双”看为单单元，用组合数可以一步表示出来，但还没到位，事情还没完成，后续步骤用乘法原理。
）（二）从剩下的十只手套中任选一只，有110C 种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有18C 种方法； （评析：此处将“只”看为单单元） （四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共121116108C C C ⨯⨯=240种。
（评析：此为后文球箱模型中的均分问题，详见后文）例11.（08湖北文9.）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案为（ ）A 100B 110C 120D 180 例12.（08辽宁理7．）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．43例13.（08四川文15）.从甲，乙等10名同学中选4名去参加某项公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的挑选方式共有例14.（08福建文9）某班级要从4明男生、2明女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 _________, 例15．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)例16.（08天津文16．）有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取4张卡片所标数字之和小于10，则不同的排法共有____________种（用数字作答）．二、两个优先：特殊元素（位置）优先有时题中会对指定的元素或位置有特定的要求，这时需对此特定位置或元素优先考虑，然后在考虑其它元素，又或者某些元素有一些特殊性（如数字“0”、多面手问题等），也应对其优先考虑。