高考数学考纲解读与热点难点突破专题22选择题填空题的解法热点难点突破文含解析

选择题、填空题的解法1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )A．(0,8) B．{3,5,7}C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}答案 D解析∵M＝{x|0<x<8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n－1＋1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式3．1设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S13>0，S14<0，若a k·a k＋1<0，则k等于( ) A．6 B．7 C．13 D．14答案 B解析因为{a n}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.4．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁R A)∩B为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 C解析 因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)，所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 5．若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 对于A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c在(1，＋∞)上单调递增， 则a >b >1⇒a c>b c ，故A 错； 对于B ：由于－1<c －1<0， ∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，∴a >b >1⇔ac －1<bc －1⇔ba c<ab c，故B 错；对于C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较aln c ln b 和bln c ln a ，只需比较ln c bln b 和ln caln a ，只需比较b ln b 和a ln a . 构造函数f (x )＝x ln x (x >1)， 则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1aln a <1bln b， 又由0<c <1，得ln c <0，∴ln c aln a >ln cbln b⇒b log a c >a log b c ，故C 正确； 对于D ：要比较log a c 和log b c ， 只需比较ln c ln a 和ln cln b，而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇒1ln a <1ln b， 又由0<c <1，得ln c <0，∴ln c ln a >ln cln b⇒log a c >log b c ，故D 错，故选C. 6．设有两个命题，命题p ：关于x 的不等式(x －3)·x2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3}；命题q ：若函数y ＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32<k <0，那么( ) A ．“p 且q ”为真命题 B ．“p 或q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题答案 C解析 不等式(x －3)·x2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3或x ＝1}，所以命题p 为假命题．若函数y ＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32<k ≤0，所以命题q 也是假命题，所以“綈p ”为真命题．7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≤0，3x －y≥0，x －2y≤0的解集记为D ，z ＝y ＋1x ＋1，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，z ≥1; p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，z ≥1； p 3：∀(x ，y )∈D ，z ≤2; p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，z <0.其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3 答案 D8．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立， 当a ≠0时，需满足错误! 解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C. 9．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 答案 B解析 依题意得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b ， 由a >0，b >0得10＋3b a ＋3a b ≥16，故m ≤16(当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时，等号成立)，即m 的最大值为16.10．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.故选C.11．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i 答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i2－i ＝错误!＝错误!＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.12．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13iB ．－13iC ．13＋12iD ．12＋13i答案 A解析 由题意得z 1＝2＋3i ， 故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.13．z ＝m ＋i1－i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 z ＝错误!＝错误!，由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．26．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010 C ．－1010 D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ， 由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C. 27．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255， 又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.28．设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π3－7π24，7k π3＋7π24(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π3－7π12，7k π3＋7π12(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π6＋7π24，7k π6＋21π24(k ∈Z ) 答案 A解析 方法一 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )．方法二 因为T ＝2πω，所以将y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移14T 个单位长度后，所对应的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω. 由图象知，ω⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋π2ω＝3π2，所以ω＝127，所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )．29．已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是( )A.π2 B.π6 C.π3 D.π4答案 B解析 已知f ()x ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f ()x ＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π3关于直线x ＝0对称，所以f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝±2，所以φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6，故选B.30．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )>0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B31．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________． 答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.32．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则b a ＋c 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析 因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a2＋c2－b22ac＝错误!＝错误! ＝错误!－5∈(0,1)，令t ＝b a ＋c ，t >0，则0<4t2－5<1， 解得23<t 2<45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.34．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]解析 ∵集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a (x －a)(x ＋a)<0， 若a<5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧a<3<5a ，a≥1，解得1≤a <53；若a>5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件．11 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 35．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．答案 S 21＋S 2＋S 23＝S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 2＋S 23＝S 24.36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31，所以输出的n 为32.。