-隐函数求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数是一种无法显式表达的函数，其表示为F(x,y)=0，其中x和y 是变量，F是一个用x和y表示的函数。
为了求解隐函数的导数，我们可以利用隐函数定理和导数的定义来推导隐函数的求导公式。
假设我们有一个由隐函数表示的方程F(x, y) = 0，并且y是x的函数，即y = f(x)。
我们要计算y关于x的导数dy/dx。
首先，根据隐函数定理，假设F(x, y)在一些区域内连续且可导，并且在该区域内F_y(x, y) ≠ 0，那么我们就能通过求F(x, y) = 0对x 求导来获得dy/dx的表达式。
1.对F(x,y)=0两边同时对x求导，利用链式法则，得到：
dF/dx = ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
2. 我们知道y = f(x)，所以dy/dx = df(x)/dx。
我们将这个表达式代入到上面的方程中，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
3. 然后我们可以将df(x)/dx移项，得到：
∂F/∂y * df(x)/dx = -∂F/∂x
4.最后，我们可以得到隐函数的求导公式：
df(x)/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y
这就是隐函数的求导公式，在满足隐函数定理的条件下，我们可以使用这个公式计算隐函数的导数。
需要注意的是，这个公式的前提是隐函数定理的条件成立，并且存在F_y(x,y)≠0。
如果不满足这些条件，就无法使用这个公式来求解隐函数的导数。
此外，公式中的∂表示对变量求偏导数。
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
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隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
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隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
第五节 隐函数求导公式
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隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
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隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
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隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
隐函数的求导法
F F x u G G x u
u F x v u G x v
v 0 x v 0 x
隐函数的求导公式
F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 求 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
F u G u
F v 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F v 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
F u G u
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隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F ( x, y ) 0
(1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
隐函数的求导公式
x dy Fx ye y. dx Fy xe
6
隐函数的求导公式
注意:
1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: Fx ( x, y ) dy 求高阶导时,利用复 dx Fy ( x, y ) 合函数的求导方法.
设u z 2z, 且z z( x, y )由方程xe ye ze
2 x y
z
( z 1)所确定, 求du.
解 法二 利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) xe x ye y ze z
隐函数求导法则
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z x
Fx Fz
x 2
z
,
2z x 2
dz dx
x 2
z
(2 z) x (2 z)2
z x
(2
z)
x
2
x
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v ( x0 , y0 ), 并有
u 1 (F,G) Fx Fv Fu Fv , x J (x, v) Gx Gv Gu Gv
v 1 (F,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv
解: 1) F(x, y,u,v) x x (u,v) 0
令
G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
则
两边对 x 求导 记作
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) x Fy
( Fx ) d y y Fy dx
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而与之紧密相关的隐函数求导公式则是解决众多问题的有力工具。
首先，让我们来明确一下什么是隐函数。
简单来说，如果方程 F(x, y) ＝ 0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
比如说，方程 x^2 ＋ y^2 ＝ 1 就确定了一个隐函数。
那为什么我们需要隐函数求导呢？这是因为在很多实际问题中，函数关系并不是直接给出的，而是以隐函数的形式存在。
为了研究这些问题，就需要对隐函数进行求导。
接下来，咱们就来探讨隐函数求导的公式。
对于一个由方程 F(x, y) ＝ 0 所确定的隐函数 y ＝ y(x)，其求导公式为：dy/dx ＝ F_x ／ F_y这里的 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
为了更好地理解这个公式，咱们通过一个具体的例子来看看。
假设我们有方程 x^2 ＋ y^2 4 ＝ 0，要求 y 对 x 的导数。
首先，我们对 F(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 4 分别求关于 x 和 y 的偏导数。
F_x ＝ 2x ，F_y ＝ 2y 。
然后，根据隐函数求导公式，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝－2x ／ 2y ＝x ／ y 。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程 xy ＋ e^y ＝ 0 。
先求偏导数，F_x ＝ y ，F_y ＝ x ＋ e^y 。
所以，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝ y ／（x ＋ e^y) 。
在运用隐函数求导公式时，有几个要点需要注意。
一是要准确求出偏导数，这就要求我们对常见的函数求导法则非常熟悉。
二是要注意符号的问题，确保计算过程中符号的正确性。
三是对于一些复杂的方程，可能需要多次运用求导法则和隐函数求导公式，要有耐心和细心。
隐函数求导公式在很多领域都有广泛的应用。
在物理学中，比如研究一些复杂的运动轨迹问题时，常常会遇到隐函数的形式，通过求导可以得到速度、加速度等重要物理量。
9.5隐函数的求导公式
y x
x y 0,
2 2
在J 0 的条件下， 解方程组，得
u y
u x x y u x
x u
v y u x , v x v x
u v x v y xu yv , 2 2 x y x x y x x y x y
2 2
则 (1)Fx 2 x, Fy 2 y 连续 ,
(2)F (0,1) 0,
(3)Fy (0,1) 2 y
( 0,1)
2 0,
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数
2 2
y 1 x
2
且f (0) 1.
(1,0)
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
Fu
Fv
Gu Gv
Fu Gu Fv , Gv
Fu v 1 (F ,G ) Gu y J ( u, y )
x
思考题解答 x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z y 1 x y ( y ) Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y ( ) z F z F z
作 业
p.89 习题9-5
Fy Gy
Fu Gu
Fv . Gv
例6
设 xu yv 0， yu xv 1，
u u v v 求 ， ， 和 . x y x y 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
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第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。
教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。
教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yx F F dx dy-= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得.yx F F dx dy-= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dx dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例 1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶和二阶导数yx F F dx dy-==y x -，00==x dx dy ;22dx y d =,1)(332222y y x y y y xx y y y x y -=+-=---='--1022-==x dx y d 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有xz ∂∂=zx F F -,yz ∂∂=zy F F -.(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得 x F +zF xz∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0。
因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z∂∂=zx F F -,y z ∂∂=z y F F -。
例2 设04222=-++z z y x ，求.22xz∂∂解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得 x z ∂∂=zx -2。
再一次x 对求偏导数，得22x z∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=.)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-= 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 ⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F(5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。
在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=vG u Gv F uF∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有xu∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u v u v xv xG G F F G G F Fxv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,vuv u x u x uG G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,v v v uv y v yG G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.vuv u u uG G F F G G F F y y这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。
由于 F [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, G [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, 将恒等式两边分别对x 求导，应用复合函数求导法则得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x vG x u G G x v F x u F F v u x v u x这是关于x u ∂∂, xv∂∂的线性方程组，由假设可知在点),,,(00000v u y x P 的一个邻域内，系数行列式=J vuvuG G F F ,0≠ 从而可解出x u ∂∂, xv ∂∂，得 x u ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂, xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂.同理，可得y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂, y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂. 例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv∂∂. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。
下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x ux 在022≠+=-=y x xyy x J 的条件下，.,2222y x xv yu xy y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22yx yv xu y v ++-=∂∂ 例4 设函数),(),,(v u y y v u x x ==在点(v u ,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又.0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),,(v u y v u x x (7)在点),,,(v u y x 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数),(),,(y x v v y x u u ==。
(2)求反函数),(),,(y x v v y x u u ==对y x ,的偏导数。
解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式 ⎩⎨⎧=-≡=-≡.0),(),,,(,0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x x u y x F则按假设 =∂∂=),(),(v u G F J .0),(),(≠∂∂v u y x由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。
(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(y x v v y x u u ==代入（7），即得⎩⎨⎧≡≡)].,(),,([)],,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂•∂∂=∂∂∂∂+∂∂•∂∂=.0,1x v v y x u u y x v v x x u u x由于J ≠0，故可解得,1v y J x u ∂∂=∂∂ .1uy J x v ∂∂-=∂∂ 同理，可得,1v x J y u ∂∂-=∂∂ .1ux J y v ∂∂=∂∂小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。
作业：89P 习题9-5 1、4、10（2）（4）、11．。