第四章 插值与拟合新修改第一部分(11.26)
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研究生数值分析-第4章 插值与拟合
第四章插值与拟合插值法插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。
刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。
插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。
由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。
§4.1 引言§4.2 拉格朗日插值§4.3 均差与牛顿插值公式§4.4 差分与等距节点插值§4.5 埃尔米特(Hermite)插值与分段插值§4.6 曲线拟合§4.1 引言问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b ]上给出一系列点的函数值y i = f (x i )–或者给出函数表y=f (x )y =p (x )x x 0x 1x 2……x n yy 0y 1y 2……y n插值法的基本原理设函数y =f (x )定义在区间[a,b ]上,是[a,b ]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f (x )的一个插值函数, f (x )为被插函数, 点x i 为插值节点, 称(4.1)式为插值条件, 而误差函数R (x )=称为插值余项, 区间[a, b ]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插n x x x ,,,10)(,),(),(10n x f x f x f )(i i x f y )(x ),,2,1()()(n i x f x i i )(x (4.1))()(x x f插值函数在n+1 个互异插值节点(i =0,1,…,n )处与相等,在其它点x 就用的值作为f (x ) 的近似值。
这一过程称为插值，点x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
插值与拟合.
y/x
1200 1600 2000 2400 2800
3200 3600 4000
返回
五、拟合的使用及求解
5.1 引言
对于情况较复杂的实际问题（因素不易 化简，作用机理不详）可直接使用数据组建 模，寻找简单的因果变量之间的数量关系， 从而对未知的情形作预报。这样组建的模型 为拟合模型。 拟合模型的组建主要是处理 好观测数据的误差，使用数学表达式从数量 上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组 建是通过对有关变量的观测数据的观察、分 析和选择恰当的数学表达方式得到的。
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
四、插值的使用及求解
4.1 引言 当数据量不够，需要补充，且认定已有数 据可信时, 通常利用函数插值方法。
实际问题当中碰到的函数 f (x) 是各种各 样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数 学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某 些点上的函数值和导数值。
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法 缺省时, 双线性插值
第四章插值和曲线拟合
第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往
没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一
系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较
复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知
的数据去寻求某个简单的函数φ (x)来逼近f(x),即用φ (x)
作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
φ (xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ (x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ (x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2)
(xn-1,yn-1)
三、n次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 n n n x x k P ( x ) L ( x ) y y n i i i x x i 0 i 0 k 0 , k i i 或 k
线性插值举例
例 解 或 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往
没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一
系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较
复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知
的数据去寻求某个简单的函数φ (x)来逼近f(x),即用φ (x)
作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
φ (xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ (x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ (x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2)
(xn-1,yn-1)
三、n次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 n n n x x k P ( x ) L ( x ) y y n i i i x x i 0 i 0 k 0 , k i i 或 k
线性插值举例
例 解 或 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
插值与拟合
Cubic:三次插值 三次多项式插值
一 维 插 值 matlab 求 解
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插值 结果
插值节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。
数据插值与拟合
在工程实践与科学实验中,常常需要从一组试 验数据之中找到自变量与因变量之间的关系， 一般可用一个近似函数表示。函数产生的办法 因观测数据的要求不同而异，数据插值与拟合 是两种常用的方法。
一维插 值
在离散数据的基础上补插连续函数，使得 这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 插值是离散函数逼近的重要方法，利用它 可通过函数在有限个点处的取值状况，估 算出函数在其他点处的近似值。插值：用 来填充图像变换时像素之间的空隙。
X Y
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600
1200
1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
一 维 插 值 matlab 求 解
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插值 结果
插值节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。
数据插值与拟合
在工程实践与科学实验中,常常需要从一组试 验数据之中找到自变量与因变量之间的关系， 一般可用一个近似函数表示。函数产生的办法 因观测数据的要求不同而异，数据插值与拟合 是两种常用的方法。
一维插 值
在离散数据的基础上补插连续函数，使得 这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 插值是离散函数逼近的重要方法，利用它 可通过函数在有限个点处的取值状况，估 算出函数在其他点处的近似值。插值：用 来填充图像变换时像素之间的空隙。
X Y
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600
1200
1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
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i 0 i
i
1 i k li ( xk ) 0 i k
i, k=0,1….n
现在我们的任务是求出满足上式的li（x） 当 i固定时 li(x)有n个零点x0 , x1,…x i-1, x i+1…xn 依照前面可设: li(x) =A(x-x0）(x-x1)…(x-x i-1)(x-x i+1)…(x-xn) 因为li (xi) =1代入上式 求得
Rn ( x ) = f ( x ) - Pn(x) 为插值余项
定理1 (p67)
满足 Pn( xi ) = f ( xi ) = yi (i=0,1,...n) 的 n 次插值 多项式 Pn(x) 是存在唯一的 Pn (x)=a0+a1x+a2x2.....+a nx n
设Pn(x)=a0+ a1x+……+anxn
也即
l0(x1)=0 l1(x1)=1 l2(x1)=0
l0(x2)=0 l1(x2)=0 l2(x2)=1
1 i k i, k=0,1,2 li ( xk ) 0 i k
下面求 l0(x), l1(x) ,l2(x)
先看l0(x)
因为l0(x)是以 x1, x2为零点的二次多项式
1、公式：当n=1时，给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1
的值,
x y
x0 y0
x1 y1
y
y1
过这两点的插值函数p1(x)可由直线的 两点式方程给出：即 y=?
p1 (x) y0 y1 y0 x x0 x1 x 0
y1 y0 p1 (x) y0 (x x 0 ) x1 x 0
i, k=0,1
l0(x) , l1(x)各有一个零点 x1, x0 P1(X) = l0(x) y0 + l1(x)y1 =
l (x) y
i 0 i
1
i
-----称为lagrange型线性插值多项式，记为L1（x）
L1（x）=
l (x) y
i 0 i
1
i
因用L1（x）近似代替 f (x) , 所以插值余项为： R1（x) = f(x) - L1（x）
则 l0(x)一定可写成
l0(x) =A(x-x1)(x-x2） 其中 A为待定参数 又因 l0(x0) =1 所以A（x0-x1）(x0-x2)=1
1 A (x 0 x1 )(x 0 x 2 )
代入得：
(x x1 )(x x 2 ) l0 (x) (x 0 x1 )(x 0 x 2 )
L1(x)=2.3979（12-x) +2.4849(11-x)
因此：ln11.75 L1 (11.75)=2.4632
2、线形插值的几何意义
二、三点式的抛物线插值（二次插值）
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数 多项式插值之一。 当 n=2时，设已知函数f(x) 的三个互异插值 基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
p( xi ) f ( xi ) yi (i 0,1,n) * * 再用 p ( x) 计算插值，即 y p( x ).
yn ..
y1 y0
y
*
常用简单函数是： 代数多项式， ----代数插值法
x0 x1 x*
..xn
定义1 （p66)
已知函数 y = f(x)在区间 [a, b]上有定义，且已知点
j 0 j i
n
(x x j ) (x i x j )
L n(x)=
yi = l (x) y i i i0 j0 (xi x j )
i 0
j i
n
n
n
(x x j )
显然L n(x)满足 L n(x i) =yi
记：n1 (x) (x x0 )(x x1 )(x x n )
例1：已知结点（x0,y0) , (x1,y1)
x y 11 12 2.3979 2.4849
y=lnx
试利用插值函数求y=ln11.75的近似值(2.46385)
解 （1）利用lagrange线形插值 L1(x)= l0(x) y0+ l1(x) y1 其中
所以：
x x1 x x0 l0 ( x) 12 x l1 ( x) x 11 x0 x1 x1 x0
已知 n+1个节点 ( xi , yi ) (i 0,1,n, 其中
xi 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一被插值点
x (
*
* 处的插值 y . xi )
yn ..
y0
y1
y
*
x0 x1 x*
..xn
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y p( x), 通过全部节点, 即
问题背景
实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，
x y …… ……
（2）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重 复计算时，计算量会很大，有时也以表格形式给出， 如三角函数表，对数表等； 对于这两种情况，我们都需要寻找一个： 计算方便且表达简单的函数来近似代替原函数，这 就是函数数值逼近（插值和拟合）问题。
解此方程组就能确定P2(x)
二次插值的几何意义是用经过三点 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x)
下面我们仍仿照线形插值，利用插值基函数构造 二次插值 L2(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 + l2(x) y2 这里的 li(x) 应是二次多项式且满足条件 l0(x0)=1 l1(x0)=0 l2(x0)=0
y0
x0
x
x1
x x0 x x1 P y0 y1 1 ( x) x0 x1 x1 x0
-----因用直线近似代替曲线，所以叫线性插值 记
则
x x1 l0 ( x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
P1(X) = l0(x)y0+ l1(x)y1
同理可推
(x x 0 )(x x 2 ) l1 (x) (x1 x 0 )(x1 x 2 )
(x x 0 )(x x1 ) l2 (x) (x 2 x 0 )(x 2 x1 )
则所求得的二次式为:
(x x 0 )(x x 2 ) (x x1 )(x x 2 ) L2 (x) y0 y1 (x 0 x1 )(x 0 x 2 ) (x1 x 0 )(x1 x 2 )
(x x 0 )(x x1 ) (x 11)(x 12) l2 (x) (x 2 x 0 )(x 2 x1 ) (13 11)(13 12)
L2 (x) 2.3979 (x 12)(x 13) (x 11)(x 13) (x 11)(x 12) 2.4849 2.5649 (11 12)(11 13) (12 11)(12 13) (13 11)(13 12)
式，却很复杂无法实用。
为此，我们设法通过这张表，用一个简单函数 p(x)满足 :
p(x i) = f(x i) = yi (i=0,1….n)-------代替f(x)。
这就是插值法的基本思想，也即： 根据给定的函数表找一个近似函数 ,
由这个函数即可求不在函数表上的点的函数值
插 值 问 题 的 提 法
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
现要构造一个二次函数
φ(x)=Pn (x)=P2(x) =a0+a1x+a2x2
近似地代替f(x),并满足插值原则
P2(xi)=yi i=0,1,2,…
由上式得
a0+a1x0+a2x02 = y0
a0+a1x1+a2x12 = y1
a0+a1x2+a2x22 = y2
ln11.75 L2(11.75)=2.4638 (其精确值为：2.46385)
三、 一般lagrange 插值多项式 此时，已知n+1 个点
x y
Ln(x)应满足
Байду номын сангаас
x0 y0
n
x1 y1
xn yn
Ln(x) = y i (i=0, 1….n)
仿照前面 L n(X)= 基函数 li(x)应具有:
l (x) y
（xi，y i) ( i=0,1….n )
这里
a≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤b
若存在一个次数不超过n次的代数多项式： Pn (x)=a0+a1x+a2x2.....+a nx n 满足 Pn( xi ) = f ( xi ) = y i (i=0,1,...n) , 则称： Pn (x)为 f (x)的插值函数（插值多项式） f (x ) 为被插值函数 [ a , b ]为插值区间 x i (i=0,1,....n) 为插值节点
提问： L2(x)和前面的P2(x)的关系？
例2、给定函数表如下
x y=ln(x) 11 (x0) 2.3979 (y0) 12 (x1) 2.4849 (y1) 13 (x2) 2.5649 (y2)
分别用线性插值和二次（抛物）插值 求ln(11.75)的值 （2. 463853） 解： （2）抛物插值 L2（X）= l0(x) y0 + l1(x) y1 + l2(x) y2
i
1 i k li ( xk ) 0 i k
i, k=0,1….n
现在我们的任务是求出满足上式的li（x） 当 i固定时 li(x)有n个零点x0 , x1,…x i-1, x i+1…xn 依照前面可设: li(x) =A(x-x0）(x-x1)…(x-x i-1)(x-x i+1)…(x-xn) 因为li (xi) =1代入上式 求得
Rn ( x ) = f ( x ) - Pn(x) 为插值余项
定理1 (p67)
满足 Pn( xi ) = f ( xi ) = yi (i=0,1,...n) 的 n 次插值 多项式 Pn(x) 是存在唯一的 Pn (x)=a0+a1x+a2x2.....+a nx n
设Pn(x)=a0+ a1x+……+anxn
也即
l0(x1)=0 l1(x1)=1 l2(x1)=0
l0(x2)=0 l1(x2)=0 l2(x2)=1
1 i k i, k=0,1,2 li ( xk ) 0 i k
下面求 l0(x), l1(x) ,l2(x)
先看l0(x)
因为l0(x)是以 x1, x2为零点的二次多项式
1、公式：当n=1时，给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1
的值,
x y
x0 y0
x1 y1
y
y1
过这两点的插值函数p1(x)可由直线的 两点式方程给出：即 y=?
p1 (x) y0 y1 y0 x x0 x1 x 0
y1 y0 p1 (x) y0 (x x 0 ) x1 x 0
i, k=0,1
l0(x) , l1(x)各有一个零点 x1, x0 P1(X) = l0(x) y0 + l1(x)y1 =
l (x) y
i 0 i
1
i
-----称为lagrange型线性插值多项式，记为L1（x）
L1（x）=
l (x) y
i 0 i
1
i
因用L1（x）近似代替 f (x) , 所以插值余项为： R1（x) = f(x) - L1（x）
则 l0(x)一定可写成
l0(x) =A(x-x1)(x-x2） 其中 A为待定参数 又因 l0(x0) =1 所以A（x0-x1）(x0-x2)=1
1 A (x 0 x1 )(x 0 x 2 )
代入得：
(x x1 )(x x 2 ) l0 (x) (x 0 x1 )(x 0 x 2 )
L1(x)=2.3979（12-x) +2.4849(11-x)
因此：ln11.75 L1 (11.75)=2.4632
2、线形插值的几何意义
二、三点式的抛物线插值（二次插值）
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数 多项式插值之一。 当 n=2时，设已知函数f(x) 的三个互异插值 基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
p( xi ) f ( xi ) yi (i 0,1,n) * * 再用 p ( x) 计算插值，即 y p( x ).
yn ..
y1 y0
y
*
常用简单函数是： 代数多项式， ----代数插值法
x0 x1 x*
..xn
定义1 （p66)
已知函数 y = f(x)在区间 [a, b]上有定义，且已知点
j 0 j i
n
(x x j ) (x i x j )
L n(x)=
yi = l (x) y i i i0 j0 (xi x j )
i 0
j i
n
n
n
(x x j )
显然L n(x)满足 L n(x i) =yi
记：n1 (x) (x x0 )(x x1 )(x x n )
例1：已知结点（x0,y0) , (x1,y1)
x y 11 12 2.3979 2.4849
y=lnx
试利用插值函数求y=ln11.75的近似值(2.46385)
解 （1）利用lagrange线形插值 L1(x)= l0(x) y0+ l1(x) y1 其中
所以：
x x1 x x0 l0 ( x) 12 x l1 ( x) x 11 x0 x1 x1 x0
已知 n+1个节点 ( xi , yi ) (i 0,1,n, 其中
xi 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一被插值点
x (
*
* 处的插值 y . xi )
yn ..
y0
y1
y
*
x0 x1 x*
..xn
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y p( x), 通过全部节点, 即
问题背景
实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，
x y …… ……
（2）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重 复计算时，计算量会很大，有时也以表格形式给出， 如三角函数表，对数表等； 对于这两种情况，我们都需要寻找一个： 计算方便且表达简单的函数来近似代替原函数，这 就是函数数值逼近（插值和拟合）问题。
解此方程组就能确定P2(x)
二次插值的几何意义是用经过三点 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x)
下面我们仍仿照线形插值，利用插值基函数构造 二次插值 L2(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 + l2(x) y2 这里的 li(x) 应是二次多项式且满足条件 l0(x0)=1 l1(x0)=0 l2(x0)=0
y0
x0
x
x1
x x0 x x1 P y0 y1 1 ( x) x0 x1 x1 x0
-----因用直线近似代替曲线，所以叫线性插值 记
则
x x1 l0 ( x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
P1(X) = l0(x)y0+ l1(x)y1
同理可推
(x x 0 )(x x 2 ) l1 (x) (x1 x 0 )(x1 x 2 )
(x x 0 )(x x1 ) l2 (x) (x 2 x 0 )(x 2 x1 )
则所求得的二次式为:
(x x 0 )(x x 2 ) (x x1 )(x x 2 ) L2 (x) y0 y1 (x 0 x1 )(x 0 x 2 ) (x1 x 0 )(x1 x 2 )
(x x 0 )(x x1 ) (x 11)(x 12) l2 (x) (x 2 x 0 )(x 2 x1 ) (13 11)(13 12)
L2 (x) 2.3979 (x 12)(x 13) (x 11)(x 13) (x 11)(x 12) 2.4849 2.5649 (11 12)(11 13) (12 11)(12 13) (13 11)(13 12)
式，却很复杂无法实用。
为此，我们设法通过这张表，用一个简单函数 p(x)满足 :
p(x i) = f(x i) = yi (i=0,1….n)-------代替f(x)。
这就是插值法的基本思想，也即： 根据给定的函数表找一个近似函数 ,
由这个函数即可求不在函数表上的点的函数值
插 值 问 题 的 提 法
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
现要构造一个二次函数
φ(x)=Pn (x)=P2(x) =a0+a1x+a2x2
近似地代替f(x),并满足插值原则
P2(xi)=yi i=0,1,2,…
由上式得
a0+a1x0+a2x02 = y0
a0+a1x1+a2x12 = y1
a0+a1x2+a2x22 = y2
ln11.75 L2(11.75)=2.4638 (其精确值为：2.46385)
三、 一般lagrange 插值多项式 此时，已知n+1 个点
x y
Ln(x)应满足
Байду номын сангаас
x0 y0
n
x1 y1
xn yn
Ln(x) = y i (i=0, 1….n)
仿照前面 L n(X)= 基函数 li(x)应具有:
l (x) y
（xi，y i) ( i=0,1….n )
这里
a≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤b
若存在一个次数不超过n次的代数多项式： Pn (x)=a0+a1x+a2x2.....+a nx n 满足 Pn( xi ) = f ( xi ) = y i (i=0,1,...n) , 则称： Pn (x)为 f (x)的插值函数（插值多项式） f (x ) 为被插值函数 [ a , b ]为插值区间 x i (i=0,1,....n) 为插值节点
提问： L2(x)和前面的P2(x)的关系？
例2、给定函数表如下
x y=ln(x) 11 (x0) 2.3979 (y0) 12 (x1) 2.4849 (y1) 13 (x2) 2.5649 (y2)
分别用线性插值和二次（抛物）插值 求ln(11.75)的值 （2. 463853） 解： （2）抛物插值 L2（X）= l0(x) y0 + l1(x) y1 + l2(x) y2