第4章_插值法
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计算方法第四章 插值法
《 计 算 方 法 》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
第4章插值法第2讲
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
第四章___插值法
x xi 1 x xi
xi 1 x xi
max
x xi 1 x xi xi xi 1 2
解得 n 825
1 4
1 4n 2
1 1 e 1 R1 x e 106 2 4n2 8n2 2
实际误差sin500-L1(500) 0.00596479
n =2
利用 x0 ,x1 ,x2计算
5 sin50 ≈ L 2 18
0
0.76543
R2 x
0.000443048 R2 x 0.000767382
f x x x x 3! 6 4 3 cos x x x x 3! 6 4 3
-0.5 -5
例：设 f x e ，在[0，1]上给出 f x 的n+1个等距节点xi 处的函数 值表，这时， 1
x
0 x0 x1
xn 1,xi xi 1 ,i 1,2, ,n n
若想用所给函数表的函数值用线性插值求 e x 0 x 1的近似值，使得 误差不超过
| f (4) ( x) | 1
h4 12 24 104
h4 1 4 | Rh ( x ) | 10 4!24 2
h 3.8 101 最大步长h应取0.38.
50 = 0.7660444…
500-L1(500) 0.0100979
利用 x1 , x2 4 3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
内外插值法——精选推荐
第四章 內外插值法(Inter /Extra-polations)首先我們是針對等間距之內插法來討論，因為這是較常見到的。
通常有兩種方法來執行此一種內插程序，它們是(a) 有限差分法：可直接作成差分表(b) Lagrangian方法：這是將高階差分在可忽略狀況下，捨位後所得之值。
這種忽略有時候正確。
有 時候則不然。
只有利用差分表來檢驗它的誤差。
4.1 有限差分法(Finite difference methods)(a) Newton-Gregory前向公式我們的目的是表示y(x+ph)而x代表任何參考點，那麼可得y(x+ph)=E P y(x)=(1+Δ)P y(x)利用二項式定理展開()()()()()()()P2p p-1y x ph 1y x y x p y x y x 2!+=+∆=+∆+∆()()()3p p-1p-2y x ...........3!+∆+ (4.1)範例4.1 :y=1/x ，利用Newton-Gregory 之前向公式。
計算y(3.15)到五位有效數字。
(解) 由式(4.1)令x=3.1 h=0.1 p=0.5()()()()()0.31746 0.31746 0.00005-161-0.0006181-0.01008-210.32258 3.15y ==+=正確解(b)Newton-Gregory 後向公式同樣地，將先前前向公式之E=(1+Δ)改成(1-▽)-1則y(x))-(1y(x)E ph)y(x -PP∇==+y(x)2!1)p(p y(x)p y(x)2∇++∇+= .........y(x)3!2)1)(p p(p 3+∇+++ (4.2)範例4.2：y=1/x ，利用Newton-Gregory 之後向公式，計算y(3.64)到5位有效數字(解) 令h=0.1 p=0.4 x=3.6()()()()()()()()()()0.274750.274730.000462.41.40.40.0004721.40.40.00730.40.277783.64y ==−++−+=正確解(c)高斯中央差分公式現在我們用1+δE 1/2來取代E 所以()()()()()()()()()x ....}y E δ3!2-p 1-p p E δ2!1-p p pδ{1 x y δE1x y E ph x y 3/2321/2P1/2P +++Ε+=+==+()()()()() (4.3) ...........23h x y 3!2-p 1-p p h x y 2!1-p p 2h x y p x y 32++δ++δ++δ+=現在利用中央差分符號來寫出差分表表4.1中央差分表y(x-2h) δ2y(x-2h)δy(x-h 23) δ3y(x-h 23)y(x-h) δ2y(x-h) δ4y(x-2h)δy(x-2h ) δ3y(x-2h )y(x) δ2y(x) δ4y(x)δy(x+2h ) δ3y(x+2h )y(x+h) δ2y(x+h) δ4y(x+h)δy(x+h 23) δ3y(x+h 23)y(x+2h) δ2y(x+2h)前述虛線之路徑即是方程式(4.3)所表示的。
数值计算方法第4章4-06反插值
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
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2 ( g ( x ) f ( x )) min i i i =1 n
2014-1-10
10
数值计算方法
y ● (x2 ,y2) ● (x0 ,y0) o x0 ● (x1 ,y1) x1 x2 ●
● (xn ,yn)
y=g(x)
xn
x
2014-1-10
11
数值计算方法
问题2：水深和流速的关系
n
以 F ( x ) cii ( x ) 作为插值函数。
i=0
n
即： span i ( x )i=0 ,
n
F ( x ) cii ( x )
i=0
n
2014-1-10
17
数值计算方法
代数插值：取 span i ( x )i=0 =span 1, x , x 2 , , x n ，
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
称l0 ( x )和l1 ( x )为以x0 , x1为节点的插值基函数
2014-1-10 28
数值计算方法
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x),使其满足 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 令 L2(x)=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 要求
对称式 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
y
y=L1(x) y=f(x)
x0
x1
x
2014-1-10
27
数值计算方法
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
记 x x1 l0 ( x ) , x0 x1 x x0 l1 ( x ) x1 x0
n
插值函数为F ( x )=Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
三角插值：取 span i ( x )i=0
n
=spansin x ,cos x ,sin 2 x ,cos 2 x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x ,cos x , F ( x ) a sin x b cos x
2014-1-10
18
数值计算方法
Pm ( x ) 有理插值：F ( x )= Qn ( x )
a0 a1 x a2 x 2 例：F ( x ) b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
一般地：F ( x ) cii ( x )
i=0
n
例：F ( x ) a bx c sin x span1, x,sin x ,
20
数值计算方法
定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x) 在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的， 那么存在唯一的次数≤n的多项式Pn(x)满足 Pn(xk)= yk, k=0,1,…,n。
只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an即可
2014-1-10
2014-1-10
3
5
7
9
11 12 13 14 15
1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
8
数值计算方法
2014-1-10
9
数值计算方法
（2）拟合法的基本思想 已知数据表
x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
xi
求一个经验函数y g( x )，使
n
x)
j
(4)
x
n
x
2 n
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方 程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。
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数值计算方法
证法二：假设另有多项式qn(x) 也满足条件,令 h(x)=pn(x)-qn(x), 则h(x)也是次数不超过n的多项式,且 h(xk)=pn(xk)-qn(xk)=0 ,k=0,1,...,n. 由于不高于n次的多项式不可能有n+1个根, 因此h(x)只能是零多项式.故
插值法:由实验或测量的方法得到所求函数
y=f(x) 在互异节点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 ,
y1 , … , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数
y=f(x) 的近似表达式，即
y= f(x) F(x)
使
F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn
2014-1-10
19
数值计算方法
代数插值
当插值函数是代数多项式时，插值问题 称为代数插值。 设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1)
n次代数插值问题为: 求次数≤n的多项式Pn(x),使满足插值条件 Pn(xi)=yi,
2014-1-10
i= 0,1,2,…,n, …… (2)
(a)
15
2014-1-10
数值计算方法
这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1 , ..., xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。
2014-1-10
16
数值计算方法
插值函数的类型
在函数类中，选取若干个 i ( x )i=0 函数，
xi
求一个经验函数y=g(x)，使
g(xi)=f(xi), i=1,…,n
2014-1-10 5
数值计算方法
插值的任务就是由已知（离散）的观测点
(xi,f(xi))为物理量(未知量)，建立一个简单的、 连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推 测该物理量在非观测点处的特性。
2014-1-10
6
令
l0 (x)=λ(x-x1)(x-x2)
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
利用 l0 (x0)=1 确定其中的系数λ，得到：
2014-1-10
30
数值计算方法
类似的可以得到 l1(x), l2(x)
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
qn(x)=pn(x).
2014-1-10 24
数值计算方法
但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶 数n越高，病态越严重。 为此从另一途径寻求获得Pn(x) 的方法----
Lagrange插值和Newton插值
（这两种方法称为基函数法）
插值误差估计
R( x ) f ( x ) F ( x ) f ( x ) c j j ( x )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。
L2 ( x ) ( x x1 ) ( x x2 ) ( x0 x1 ) ( x0 x2 ) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x2 x0 ) ( x2 x1 ) y0 y2 ( x x0 ) ( x x 2 ) ( x1 x0 ) ( x1 x2 ) y1
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数值计算方法
证明 由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列
n+1个代数方程构成的线性方程组
a0+a1x0+ a2x02 + …+anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + …+anx1n=y1 ……………………. a0+a1xn+ a2xn2 + …+anxnn=yn
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数值计算方法
n 次插值多项式 : 求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn ..(7)
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
i 0, i j
n
x xi x j xi
lj(x)(j=0,1,…,n)称为以x0 , x1,... , xn为节点 的Lagrange插值基函数。
(3)
数值计算方法
ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde
行列式：
1 V(x0 , x1 , , xn ) 1 ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
x x x
n 0 n 1 i 1
...
...
...
n n
(xi
i 1 j 0
0, i j l j ( xi ) 1, i j
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数值计算方法
容易求得
l j ( x) ( x x0 )( x x j 1 )( x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
在水文数据的测量中，不同水深的流速是
不同的。水文数据的测量是天天进行的，为了
减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间
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数值计算方法
y ● (x2 ,y2) ● (x0 ,y0) o x0 ● (x1 ,y1) x1 x2 ●
● (xn ,yn)
y=g(x)
xn
x
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数值计算方法
问题2：水深和流速的关系
n
以 F ( x ) cii ( x ) 作为插值函数。
i=0
n
即： span i ( x )i=0 ,
n
F ( x ) cii ( x )
i=0
n
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数值计算方法
代数插值：取 span i ( x )i=0 =span 1, x , x 2 , , x n ，
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
称l0 ( x )和l1 ( x )为以x0 , x1为节点的插值基函数
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数值计算方法
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x),使其满足 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 令 L2(x)=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 要求
对称式 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
y
y=L1(x) y=f(x)
x0
x1
x
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数值计算方法
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
记 x x1 l0 ( x ) , x0 x1 x x0 l1 ( x ) x1 x0
n
插值函数为F ( x )=Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
三角插值：取 span i ( x )i=0
n
=spansin x ,cos x ,sin 2 x ,cos 2 x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x ,cos x , F ( x ) a sin x b cos x
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数值计算方法
Pm ( x ) 有理插值：F ( x )= Qn ( x )
a0 a1 x a2 x 2 例：F ( x ) b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
一般地：F ( x ) cii ( x )
i=0
n
例：F ( x ) a bx c sin x span1, x,sin x ,
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数值计算方法
定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x) 在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的， 那么存在唯一的次数≤n的多项式Pn(x)满足 Pn(xk)= yk, k=0,1,…,n。
只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an即可
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3
5
7
9
11 12 13 14 15
1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
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数值计算方法
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数值计算方法
（2）拟合法的基本思想 已知数据表
x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
xi
求一个经验函数y g( x )，使
n
x)
j
(4)
x
n
x
2 n
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方 程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。
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数值计算方法
证法二：假设另有多项式qn(x) 也满足条件,令 h(x)=pn(x)-qn(x), 则h(x)也是次数不超过n的多项式,且 h(xk)=pn(xk)-qn(xk)=0 ,k=0,1,...,n. 由于不高于n次的多项式不可能有n+1个根, 因此h(x)只能是零多项式.故
插值法:由实验或测量的方法得到所求函数
y=f(x) 在互异节点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 ,
y1 , … , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数
y=f(x) 的近似表达式，即
y= f(x) F(x)
使
F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn
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数值计算方法
代数插值
当插值函数是代数多项式时，插值问题 称为代数插值。 设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1)
n次代数插值问题为: 求次数≤n的多项式Pn(x),使满足插值条件 Pn(xi)=yi,
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i= 0,1,2,…,n, …… (2)
(a)
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数值计算方法
这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1 , ..., xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。
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数值计算方法
插值函数的类型
在函数类中，选取若干个 i ( x )i=0 函数，
xi
求一个经验函数y=g(x)，使
g(xi)=f(xi), i=1,…,n
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数值计算方法
插值的任务就是由已知（离散）的观测点
(xi,f(xi))为物理量(未知量)，建立一个简单的、 连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推 测该物理量在非观测点处的特性。
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令
l0 (x)=λ(x-x1)(x-x2)
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
利用 l0 (x0)=1 确定其中的系数λ，得到：
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数值计算方法
类似的可以得到 l1(x), l2(x)
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
qn(x)=pn(x).
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数值计算方法
但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶 数n越高，病态越严重。 为此从另一途径寻求获得Pn(x) 的方法----
Lagrange插值和Newton插值
（这两种方法称为基函数法）
插值误差估计
R( x ) f ( x ) F ( x ) f ( x ) c j j ( x )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。
L2 ( x ) ( x x1 ) ( x x2 ) ( x0 x1 ) ( x0 x2 ) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x2 x0 ) ( x2 x1 ) y0 y2 ( x x0 ) ( x x 2 ) ( x1 x0 ) ( x1 x2 ) y1
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数值计算方法
证明 由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列
n+1个代数方程构成的线性方程组
a0+a1x0+ a2x02 + …+anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + …+anx1n=y1 ……………………. a0+a1xn+ a2xn2 + …+anxnn=yn
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数值计算方法
n 次插值多项式 : 求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn ..(7)
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
i 0, i j
n
x xi x j xi
lj(x)(j=0,1,…,n)称为以x0 , x1,... , xn为节点 的Lagrange插值基函数。
(3)
数值计算方法
ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde
行列式：
1 V(x0 , x1 , , xn ) 1 ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
x x x
n 0 n 1 i 1
...
...
...
n n
(xi
i 1 j 0
0, i j l j ( xi ) 1, i j
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数值计算方法
容易求得
l j ( x) ( x x0 )( x x j 1 )( x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
在水文数据的测量中，不同水深的流速是
不同的。水文数据的测量是天天进行的，为了
减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间