2018-2019学年河北省石家庄外国语学校(43中)八年级(上)期末数学试卷(含解析)印刷版

2018-2019学年河北省石家庄外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把正确的选项写在答题卡上）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．0C．﹣2D．x＝23．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）4．（3分）（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（3分）若有意义，则x满足条件是（）A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣36．（3分）如图，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论正确的有几个？（）①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．A．1B．2C．3D．47．（3分）下列变形正确的是（）A．＝B．C．D．8．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确9．（3分）下列变形从左到右一定正确的是（）A．B．C．D．＝10．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：511．（2分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有x人，结果每个同学比原来少分摊元车费（）A．B．C．D．12．（2分）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（）A．B．C．D．13．（2分）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③14．（2分）下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位：②在，，﹣||中，最小的数是③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角”⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点A．1B．2C．3D．415．（2分）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（1，2），则OE 的长为（）A．1B．C．D．16．（2分）如图所示，把多块大小不同的30°直角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3，按此规律继续下去，则点B2018的坐标为（）A．（﹣2×（）2018，0）B．（0，﹣2×（）2018）C．（2×（）2019，0）D．（0，﹣2×（）2019）二.填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）17．（3分）①＝．②＝．③写出﹣和之间的所有整数．18．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．19．（3分）如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值．20．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分66分）21．（19分）计算：（1）；（2）；（3）解分式方程：；（4）已知：；①当x＝+1时，先化简，再求值；②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．22．（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．23．（8分）如图，在10×10网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点A（3，4），则点C的坐标；（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为；（3）若将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣，请画出△A1OC1；（4）图中格点△AOC的面积是；（5）在x轴上找一点P，使得P A+PC最小，请画出点P的位置，并直接写出P A+PC的最小值是．24．（8分）已知点D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F在AF上有一点C，在AE的延长线上有一点B，使得CF＝BE．（1）过点D作DG⊥BC，连结CD、BD，求证：DG垂直平分BC；（2）当BC⊥AF时，若AE＝5，AC＝3，求BC的长．25．（11分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．（1）填表：（2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro 按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？26．（12分）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a＝时，AC∥FE．（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为；②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．2018-2019学年河北省石家庄外国语学校八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把正确的选项写在答题卡上）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．0C．﹣2D．x＝2【分析】根据分式的值为0的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：|x|﹣2＝0且x+2≠0，∴x＝2故选：A．3．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选：D．4．（3分）（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：（相邻两个1之间依次多一个0）中，，，010*******…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，故选：B．5．（3分）若有意义，则x满足条件是（）A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵有意义，∴x满足条件是：x+3≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣3且x≠1．故选：A．6．（3分）如图，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论正确的有几个？（）①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．A．1B．2C．3D．4【分析】由AD⊥BC，D为BC的中点，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质即可求证出②③④．【解答】解：∵AD⊥BC，D为BC的中点，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝BC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，即AD是△ABC的角平分线．故选：D．7．（3分）下列变形正确的是（）A．＝B．C．D．【分析】根据算术平方根和立方根及平方根的定义求解可得．【解答】解：A．＝，此选项错误；B．＝3，此选项错误；C．＝4，此选项错误；D．，此选项正确；故选：D．8．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE＝CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．9．（3分）下列变形从左到右一定正确的是（）A．B．C．D．＝【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；D、分子分母都除以x，分式的值不变，故D正确；故选：D．10．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，∴b2＝a2+c2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，则5x°＝75°，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．11．（2分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有x人，结果每个同学比原来少分摊元车费（）A．B．C．D．【分析】用总车费除以人数得每人分摊的车费数，两者相减，利用分式的通分进行加减并化简即可．【解答】解：∵原来参加旅游的同学共有x人时，每人分摊的车费为元，又增加了两名同学，租车价不变，则此时每人分摊的车费为∴每个同学比原来少分摊元车费：﹣＝＝故选：C．12．（2分）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（）A．B．C．D．【分析】根据题意分别求出选项A，B，C中的PC的长，即可解决问题．【解答】解：A、由题意PC＝BC﹣PB＝BC﹣（AB﹣AC）＝8﹣（10﹣6）＝4．B、连接P A，由题意P A＝PB，设，P A＝PB＝x．∵AC＝6、BC＝8，AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴P A2＝AC2+PC2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∴PC＝BC﹣PB＝8﹣＝．C、作PH⊥AB于H．由题意，P A平分∠BAC，∵PH⊥AB，PC⊥AC，∴PH＝PC，设PH＝PC＝x，∵S△ABC＝S△ABP+S△APC，∴•AC•BC＝•AB•PH+•AC•PC，∴6×8＝10x+6x，∴x＝3，∴PC＝3，故A，B，C中，PC能确定，故选：D．13．（2分）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【分析】顶角为：36°，90°，108°的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选：A．14．（2分）下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位：②在，，﹣||中，最小的数是③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角”⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点A．1B．2C．3D．4【分析】根据近似数、实数的大小比较、勾股定理、反证法、角平分线的性质定理判断即可．【解答】解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个纯角”，故本说法错误；⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本说法正确；故选：A．15．（2分）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（1，2），则OE 的长为（）A．1B．C．D．【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA，∵B（1，2），∴AD＝AB＝2，设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝2﹣x，在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，故选：B．16．（2分）如图所示，把多块大小不同的30°直角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3，按此规律继续下去，则点B2018的坐标为（）A．（﹣2×（）2018，0）B．（0，﹣2×（）2018）C．（2×（）2019，0）D．（0，﹣2×（）2019）【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律：OB＝2×，OB1＝2×，OB2＝2×，……，从而可以推算出点B2018的坐标．【解答】解：由题意可得，∵OB＝OA•tan60°＝2×＝2，∴B（0，2）∵OB1＝OB•tan60°＝2×＝2×，∴B1（﹣2×，0）∵OB2＝OB1•tan60°＝2×，∴B2（0，﹣2×）∵OB3＝OB2•tan60°＝2×，∴B3（2×，0）……∵2018＝504×4+2∴点B2018的坐标为（0，﹣2×）故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）17．（3分）①＝﹣2．②＝2．③写出﹣和之间的所有整数﹣2，﹣1，0，1，2，3．【分析】①先估算出的取值范围，再去绝对值符号即可；②利用二次根式的运算法则计算即可；③先估算出﹣、的取值范围，再找出符合条件的整数即可．【解答】解：①因为＞2，所以|2﹣|＝﹣2；故答案为：﹣2；②×＝＝＝2；故答案为：2；③因为﹣3＜﹣、＜4，所以﹣和之间的所有整数：﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：2，﹣1，0，1，2，3．18．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为2．【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．19．（3分）如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值2秒，4秒或14秒．【分析】如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC 长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G，在直角三角形BDC中，由勾股定理求得BC＝8cm，所以BF＝CG＝BH＝8cm，再在直角三角形OCG和直角三角形BEF和直角三角形BEH中，由勾股定理或常见的勾股数6，8，10，易求得OF，OG，OH的长，从而求得t的值．【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G∵点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），∴DC＝6cm，BD＝8cm，由勾股定理得：BC＝10cm∴在直角三角形COG中，OC＝2cm，CG＝BC＝10cm，∴OG＝＝（cm）当点P运动到点F或点H时，BE＝8cm，BH＝BF＝10cm，∴EF＝EH＝6cm∴OF＝8﹣6＝2（cm），OH＝8+6＝14（cm）故答案为：2秒，秒或14秒．20．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是2≤AD＜3．【分析】以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B 或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．【解答】解：以D为圆心，AD的长为半径画圆①如图1，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，∵∠ABC＝30°，∴DE＝BD，∵AB＝6，∴AD＝2；②如图2，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝3，∴AD的取值范围是2≤AD＜3．三、解答题（共6小题，满分66分）21．（19分）计算：（1）；（2）；（3）解分式方程：；（4）已知：；①当x＝+1时，先化简，再求值；②代数式A的值能不能等于3，并说明理由．【分析】（1）先化简各二次根式，再计算加减可得；（2）先利用完全平方公式计算、计算除法，再计算加减可得；（3）先去分母，解方程求出x的值，再检验即可得；（4）①先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；②假设A＝3，解之求出x的值，再根据分式有意义的条件判断即可得．【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣4＝﹣1；（2）原式＝4﹣2+2＝6﹣2；（3）两边都乘以x﹣1，得：1﹣x＝x﹣1，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，∴x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（4）①原式＝[﹣]•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝＝；②若代数式A的值为3，则＝3，解得x＝2，当x＝2时，原式没有意义，∴代数式A的值不可能为3．22．（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．【分析】（1）先证明BC＝EF，再根据SSS即可证明．（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．【解答】（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）结论：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．23．（8分）如图，在10×10网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点A（3，4），则点C的坐标（4，2）；（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为（﹣1，4）；（3）若将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣，请画出△A1OC1；（4）图中格点△AOC的面积是5；（5）在x轴上找一点P，使得P A+PC最小，请画出点P的位置，并直接写出P A+PC的最小值是．【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出C点坐标；（2）利用点平移的坐标变换规律求解；（3）将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣得到A1、C1的坐标，然后描点即可；（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△AOC的面积；（5）作C点关于x轴的对称点C′，然后计算AC′即可．【解答】解：（1）如图，点C的坐标（4，2）；（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为（﹣1，4）；（3）如图，△A1OC1为所作；（4）图中格点△AOC的面积＝4×4﹣×2×1﹣×4×2﹣×4×3＝5；（5）如图，点P为所作，P A+PC的最小值＝P A+PC′＝AC′＝＝．故答案为（4，2）；（﹣1，4）；5；．24．（8分）已知点D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F在AF上有一点C，在AE的延长线上有一点B，使得CF＝BE．（1）过点D作DG⊥BC，连结CD、BD，求证：DG垂直平分BC；（2）当BC⊥AF时，若AE＝5，AC＝3，求BC的长．【分析】（1）先证明：△BDE≌△CDF，再根据等腰三角形性质和线段垂直平分线判定和性质即可；（2）先证明：Rt△ADE≌Rt△ADF，可求得AE，AB，再运用勾股定理即可．【解答】解：（1）证明：如图1，连接CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝∠BED＝90°在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF（SAS）∴BD＝CD∵DG⊥BC，∴BG＝CG∴DG垂直平分BC；（2）如图2，由（1）知：DE＝DF∵AD＝AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF＝5∵AC＝3，∴BE＝CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2∴AB＝AE+BE＝5+2＝7在Rt△ABC中，∠ACB＝90°∴BC＝＝＝225．（11分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．（1）填表：（2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro 按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？【分析】（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解；（2）根据数量＝总价÷单价结合三、四月份华为P10plus手机的销售量相等，即可得出那样x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（3）设总利润为y元，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可求出获得的总利润．【解答】解：（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x ﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台．故答案为：（x﹣500）；；．（2）依题意，得：＝，解得：x＝4500，经检验，x＝4500是所列分式方程的解，且符合题意，∴x﹣500＝4000．答：三月华为P10plus手机每台售价为4500元，四月华为P10plus手机每台售价为4000元．（3）设总利润为y元，依题意，得：y＝（4000﹣3500﹣100）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝8000．答：若将这20台手机全部售出共获得8000元利润．26．（12分）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a＝45°时，AC∥FE．（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为2；②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．【分析】（1）根据HL证明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解决问题．（2）①想办法证明∠FCE＝∠FEC＝60°即可解决问题．②根据平行线的判定定理即可解决问题．（3）①连接EC，证明△AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题．②如图5中，连接AF，BD交于点O．首先证明EC＝BD，再证明OB＝OD，利用面积法求出OB即可解决问题．【解答】（1）证明：如图2中，∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），∴BM＝DM．（2）①证明：如图3中，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCE＝∠CDE＝120°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．②解：∵AC∥EF，∴∠CAE＝∠AED＝45°，∴当α＝45°时，AC∥EF．故答案为45°．（3）①解：如图4中，连接EC．∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形，∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴EC＝AE＝2．故答案为2．②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF，∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1，∵BC＝2，∴BF＝CF＝1，∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD．∵AB＝AD，FB＝FD，∴AF垂直平分线段BD，∴OB＝OD，在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1，∴AF＝＝＝，∵S△ABF＝•AB•BF＝•OB•AF，∴OB＝＝，∴BD＝2OB＝，∴EC＝BD＝．故答案为．。