高中数学第三章三角恒等变换章末测试B新人教B版4.
数学人教B版必修4：第三章 三角恒等变换 综合检测 Word版含解析
综合检测(三) 第三章 三角恒等变换(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·新余高一检测)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是( ) A ．－32 B.12 C.32 D ．－12【解析】 原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－12.【答案】 D2．已知tan(π－α)＝2，则1sin αcos α等于( ) A.52 B.75 C ．－52D ．－75 【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2， ∴1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝－52. 【答案】 C3．(2019·德州高一检测)函数f (x )＝2sin(π4－x ) cos(π4＋x )－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2sin(π4－x )cos(π4＋x )－1 ＝2cos[π2－(π4－x )]·cos(π4＋x )－1＝2cos(π4＋x )·cos(π4＋x )－1＝2cos 2(π4＋x )－1 ＝cos 2(π4＋x )＝cos(π2＋2x )＝－sin 2x . ∴T ＝π，且f (x )是奇函数．故选B. 【答案】 B4．(2019·合肥高一检测)tan(α＋β)＝25，tan(α＋π4)＝322，那么tan(β－π4)＝( ) A.15 B.1318 C.14D.1322【解析】 tan(β－π4 )＝tan[(α＋β)－(α＋π4 )]＝tan (α＋β)－tan (α＋π4)1＋tan (α＋β)tan (α＋π4)＝25－3221＋25×322＝14. 【答案】 C5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]【解析】 f (x )＝2sin(x －π3)，x ∈[－π，0]， 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π ∴递增区间为[－π6，0]．【答案】 D6．(2019·江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13D.23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1－23＝13. 【答案】 C7．(2019·洋浦高一检测)在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( )A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 △ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， ∴A ＝B . 【答案】 A8．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x ，y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x ＞yC ．x ＜yD ．x ≥y【解析】 x －y ＝sin A sin B －cos A cos B ＝－cos(A ＋B )，因为△ABC 是锐角三角形，故π2＜A ＋B ＜π，∴－cos(A ＋B )＞0，∴x ＞y . 【答案】 B9．已知sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝15，则cos 2θ的值为( ) A ．－725B.725C ．－2425 D.2425【解析】 将sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝15两边平方得，1＋2sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝125，即1＋sin(π2－2θ)＝125，cos 2θ＝－2425. 【答案】 C10．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12 B.12 C ．2D ．－2【解析】 α是第三象限的角且cos α＝－45， ∴sin α＝－35.tan α2＝sin α1＋cos α＝－3515＝－3，∴1＋tan α21－tan α2＝－24＝－12. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若cos α＝45，α∈(0，π2)，则cos(α－π3)＝________. 【解析】 由题意知sin α＝35， cos(α－π3)＝cos α·cos π3＋sin α·sin π3.＝45·12＋35·32＝4＋3310. 【答案】4＋331012．tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan(π6－θ＋π6＋θ) ＝tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝3，∴3＝tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)． 【答案】313．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么log 5tan αtan β＝________.【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝12， sin αcos β－cos αsin β＝13，两式相加得sin αcos β＝512，两式相减得cos αsin β＝112. 则tan αtan β＝5，故log 5tan αtan β＝2.【答案】 214．(2019·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.【答案】 3三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简：3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2).【解】 原式＝3(sin 12°cos 12°－3)sin 12°×2(2cos 212°－1)＝3(sin 12°－3cos 12°)2sin 12°cos 12°cos 24°＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24°＝2×23sin (12°－60°)2sin 24°cos 24° ＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2， 即A ·cos π4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)． 由⎩⎪⎨⎪⎧f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85得⎩⎪⎨⎪⎧2cos (α＋π3＋π6)＝－3017，2cos (β－π6＋π6)＝85，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.17．(本小题满分12分)(2019·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2 x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2(π4－x )－3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )＜m ＋2在x ∈[0，π6]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝1－cos(π2－2x )－3cos 2x ＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1 ＝－2sin(2x ＋π3)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z可得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ－512π，kπ＋π12](k∈Z)．(2)∵x∈[0，π6]，∴π3≤2x＋π3≤23π，∴32≤sin(2x＋π3)≤1，∴当sin(2x＋π3)＝32时，f(x)取得最大值为1－3，即f(x)max＝1－ 3.要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，∴1－3＜m＋2，解得m＞－1－3，∴m的取值范围是(－1－3，＋∞)．。
高中数学第三章三角恒等变换章末综合测评含解析北师大版必修4.doc
章末综合测评(三) 三角恒等变形(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin (－2α)的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32B [∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32＝22sin α＋22cos α， ∴sin α＋cos α＝62， ∴等式两边平方可得：1＋sin 2α＝32，解得sin 2α＝12，∴sin (－2α)＝－sin 2α＝－12.故选B.]2．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．22cos αB ．2cos αC ．2sin αD ．sin αA [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α.]3．函数f (x )＝3cos x －3sin x 的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝－π3A [∵f (x )＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴函数的对称轴方程为x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z ，∴当k ＝1时，x ＝5π6是其中的一条对称轴方程．故选A.]4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A ．19B ．－19C ．－79D ．79A [向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，可得tan αcos α＝23，即sin α＝23.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝19，故选A.]5．已知0<A <π2，且cos2A ＝35，那么cos A 等于( )A ．425B ．45C ．55D ．255D [∵0<A <π2，∴cos A >0，∵cos 2A ＝35＝2cos 2A －1，整理可得：cos 2A ＝45，∴cos A ＝255.故选D.]6．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A ．15B ．55C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B.]7．已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2<2α<π，tan (α－β)＝12，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211A [∵π2<2α<π，∴cos 2α＝－45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－34－121－34×12＝－2.]8．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2＝1交点的横坐标为14，则cos α2等于( )A ．104 B ．－104C ．－64D ．64A [由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则cos α2＝1＋cos α2 ＝1＋142＝104.] 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin (A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，所以2cos 2A ＋B2＝1，所以cos(A ＋B )＝0. 从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．]10．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A ．33B ．－33C ．539D ．－69C [因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π4，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223；因为－π2＜β＜0，所以π4＜π4－β2＜π2，得sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4· sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.] 11．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin x ，则函数f (x )满足( ) A ．最小正周期为T ＝2π B ．图像关于点⎝⎛⎭⎫π8，24对称C ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π8上为减函数 D ．图像关于直线x ＝π8对称D [因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin x ＝22(sin x ·cos x －sin 2x )＝24(sin2x －1＋cos 2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－24，当x ＝π8时取最大值，故x ＝π8是对称轴，应选D.]12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sinαcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．0 [cos 89° cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]14．已知tan α＝12，tan (α－β)＝15，则tan (2α－β)＝________．79 [∵tan α＝12，tan (α－β)＝15，则tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan （α－β）1－tan α·tan （α－β）＝12＋151－12·15＝79.] 15．若sin (π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________． 425 [∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝35，因此，sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α)＝2×45×35－12×⎝⎛⎭⎫1＋35 ＝2425－45＝425.] 16.3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________． －43 [原式＝3·sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18.可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又因为π4＜α＜π2，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0. 所以cos α－sin α＝－32. (3)因为α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3·sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3 ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3 ＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.18．(本小题满分12分)(1)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 160°－1－sin 220°；(2)已知：tan α＝3，求2cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解] (1)原式＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos 20°sin 20°－|cos 20°|＝（cos 20°－sin 20°）2sin 20°－cos 20°＝|cos 20°－sin 20°|sin 20°－cos 20°＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1.(2)原式＝2sin α＋3cos α4cos α－sin α＝2tan α＋34－tan α＝2×3＋34－3＝9.19．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． [解] (1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，所以tan α＝43.(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝1－2sin 2α＋cos α＝1－3225＋35＝825. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin ωx －sin 2ωx 2＋12(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f (x )的单调增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的取值范围． [解] (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6， k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，1. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求tan (α＋β)的值． [解] (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6 ＝A cos π4＝22A ＝2，∴A ＝2.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4α＋43π＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， ∴sin α＝1517.∵f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4β－23π＋π6 ＝2cos β＝85，∴cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385， sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1517×45＋817×35＝8485. ∴tan (α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝8485－1385＝－8413.22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A (2，0)，B (0，2)，C (cos α，sin α). (1)若(OA →＋OC →)2＝7(O 为原点)，求向量OB →与OC →夹角的大小； (2)若AC →⊥BC →，求sin 2α的值．[解] (1)∵OA →＋OC →＝(2＋cos α，sin α)，(OA →＋OC →)2＝7， ∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7， ∴cos α＝12.又B (0，2)，C (cos α，sin α)， 设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝2sin α2＝sin α＝±32，∴OB →与OC →的夹角为π6或5π6.(2)∵AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)， AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0， 即cos α＋sin α＝12，∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，即sin 2α＝－34.。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高中数学第三章三角恒等变换学业水平达标检测新人教B版必修4(2021学年)
2017-２018学年高中数学第三章三角恒等变换学业水平达标检测新人教Ｂ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１7-2018学年高中数学第三章三角恒等变换学业水平达标检测新人教B版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章三角恒等变换学业水平达标检测时间:１２0分钟满分:1５０分一、选择题：本大题共１2小题，每小题5分,共６0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．错误!=（）A．1 Ｂ．2C。
＼ｒ(2) D。
错误!解析:原式＝错误!=＼f(ｃoｓ10°+sin10°,cｏｓ３5°)＝错误!＝错误!．答案：C２．函数y=２sin错误!-ｃos错误!(ｘ∈R)的最小值等于（ )A．-３ B.－2C．－1 Ｄ．-错误!解析:y=２cos错误!-cos错误!=cos错误!≥－1.答案：Ｃ３．函数y=ｓin x cosｘ＋＼ｒ(3)coｓ２x－＼r(3)的图象的一个对称中心是( )A.错误!B.错误!C.错误!Ｄ。
错误!解析:ｙ＝错误!siｎ２ｘ＋错误!(1+cos2x)－错误!=错误!sin2ｘ＋错误!cos2x－错误!=sin 错误!－错误!，令２x+＼f（π,３）=kπ,得x＝错误!-错误!，当k＝2时,x=错误!.∴函数图象的一个对称中心是错误!。
答案:B4．在△ＡＢC中，∠C=9０°,则函数y＝sｉｎ2A＋2siｎB的值的情况是( )A.有最大值,无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值也有最小值A.①B.②C．①和③D．②和④解析：ｙ＝siｎx＋coｓｘ=＼ｒ(2)sin错误!在错误!上不是单调函数，所以①不是，排除A 和Ｃ;y=错误!=tanｘ在错误!上为单调增函数，所以④是，排除B，故选D。
高中数学 第三章 三角恒等变换检测B 新人教B版必修4
第三章三角恒等变换检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 76°cos 16°+cos 14°cos 74°-2cos 75°cos 15°等于()A.0B.C.1D.-解析:原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°-2sin 15°cos 15°=cos(76°-16°)-sin 30°=cos 60°-sin 30°==0.答案:A2.函数f(x)=cos-cos是()A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数解析:f(x)=cos x cos-sin x sin-cos x cos-sin x sin=-sin x,它是周期为2π的奇函数.答案:D3.已知tan θ+,0<θ<,则tan 2θ的值等于()A.B.C.-D.-解析:由tan θ+可解得tan θ=2或,但由于0<θ<,所以tan θ∈(0,1),故tan θ=,因此tan 2θ=.答案:B4.在△ABC中,若cos A cos B=-cos2+1,则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由已知,得 [cos(A+B)+cos(A-B)]=1- (1+cos C),即cos(A-B)=,于是A-B=0,A=B,即△ABC是等腰三角形.答案:C5.函数f(x)=(1+tan x)cos x的最小正周期为()A.2πB.C.πD.解析:依题意,得f(x)=cos x+sin x=2sin,因此其最小正周期是2π.答案:A6.已知cos+sin α=,则sin等于()A.-B.C.-D.解析:由cos+sin α=cos α+sin α=,得sin,所以sin=-sin=-.答案:C7.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于()A.-B.-C.D.解析:∵sin α+sin β=2sin cos,cos β-cos α=-2sin sin,∴cos sin,∴tan.∵α∈(0,π),β∈(0,π),∴-,∴,α-β=.答案:D8.已知=tan β,且β-α=,则m等于()A.1B.-1C.D.-解析:由于=tan β=tan,因此m=1.答案:A9.若函数f(x)=sin cos+cos·sin(ω>0)的最小正周期为24π,则f(π)等于()A.B.C.D.解析:∵f(x)=sin=sin 2ωx的最小正周期为24π,∴T==24π,∴ω=,则f(π)=sin=sin=sin cos-cos sin.答案:A10.已知向量a=,b=,且x∈.若|a+b|=2a·b,则sin 2x+tan x等于()A.-1B.0C.2D.-2解析:|a+b|==2cos x.又a·b=cos 2x,由|a+b|=2a·b,得2cos x=2cos 2x,所以2cos2x-cos x-1=0,解得cos x=1或cos x=-(舍去).当cos x=1时,sin x=0,tan x=0,所以sin 2x+tan x=0,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若sin,则sin=.解析:由已知得cos α=,于是sin=-cos 2α=1-2cos2α=1-2×.答案:12.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=-,则tan α=.解析:由已知得tan 2α=-,即=-,解得tan α=2或-.又α是第二象限的角,tan α<0,故tan α=-.答案:-13.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x的最小正周期为.解析:f(x)=(1+cos 2x)sin2x=(1+cos 2x)·(1-cos22x)=cos 4x,其最小正周期T=.答案:14.函数f(x)=2sin2cos 2x的最大值为.解析:f(x)=2·cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=2sin+1.因为≤x≤,所以≤2x-,所以当2x-时,f(x)取最大值3.答案:315.已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,则sin(α+β)的值为.解析:两式等号两边分别平方并相加,得132+130(sin αcos β+cos αsin β)+52=92+152,即130sin(α+β)=112,故sin(α+β)=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f,求cos α的值.解:(1)由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为.(2)f(x)==sin x+cos x=sin,f sin cos α=,所以cos α=.17.(8分)求证:.证明左边=====右边.故原等式成立.18.(9分)已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈,f=-,f,求cos(α+β)的值.解:(1)由=10π,得ω=.(2)∵f=2cos=2cos=-2sin α=-,∴sin α=.∵f=2cos=2cos β=,∴cos β=.∵α,β∈,∴cos α=,sin β=.故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==-.19.(10分)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,求tan及β的值.解:∵α∈,cos α=,∴sinα=.tan=.又α+β∈,cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.又α∈,α+β∈,∴-<-α<0,则0<β<π,∴β=.20.(10分)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到的,求y=g(x)的单调递增区间.解:(1)f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin 2ωx+1+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+2=sin+2.依题意得,故ω=.(2)依题意得g(x)=sin+2=sin+2.由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z).。
高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4(2021学年)
高中数学第三章三角恒等变换3．２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换 3.２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第三章三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4的全部内容。
3.２ 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值:(１)c ｏｓ12πc ｏs 125π； （2)(ｃos 12π－s ｉn 12π）（c ｏs 12π+sin 12π);(3）21－ｃos 28π；（４)-32+34cos 215°．思路分析：本题考查倍角公式的变形及应用。
(1）题添加系数２，即可逆用倍角公式;（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式;（3）中提取系数21后产生倍角公式的形式;(4）则需提取系数32. 解:(1)cos 12πc ｏｓ125π=cos 12πsin 12π＝21×2cos 12πsin 12π=21s ｉn 6π=41; (2)(cos12π—s ｉn 12π)（co ｓ12π+s ｉn 12π)＝ｃos 212π-si ｎ212π=c ｏs 6π=23； （3)21-ｃos28π＝－21(2c ｏｓ２8π－1)=—21co ｓ4π=—42；(4）-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1）＝32ｃos ３0°=33。
绿色通道：根据式子本身的特征,经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积点，提高推理、运算能力．1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．【自主测试1－1】函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解析：∵y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝12⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎭⎪⎬⎪⎫⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴函数的最小正周期为π. 答案：B【自主测试1－2】sin 37.5°cos 7.5°＝__________.解析：si n 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin 30°)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin 105°＋sin 15°等于( )A ．32B ．22C ．62D ．64解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 答案：C【自主测试2－2】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最小值为________．解析：∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2cos x cos π4＝2cos x ，∴f (x )min ＝－ 2.答案：－ 21．和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：①这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系； ②三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解．(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算．(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值. 正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法．在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式．往往这样就能发现解决三角函数问题的思路．为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把12－cos α化为积的形式，可将12看作cos π3，再化为积．2．教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式．如图所示，作单位圆，并任作两个向量OP＝(cos α，sin α)，OQ＝(cos β，sin β)． 取PQ 的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ .∠xOM 和∠QOM 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP ，ON ，OQ之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.剖析：如图所示，P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，又M 为PQ的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 又N 为OM 与PQ 的交点，则N 必为PQ 的中点，∠NOQ ＝α＋β2－β＝α－β2.①由N 为线段PQ 的中点，则N 点的坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋cos β2，sin α＋sin β2. ②在Rt△ONQ 中， |ON |＝|OQ |cos∠NOQ ＝cos α－β2.所以点N 的横坐标x ＝|ON |cos∠MOx ＝cos α－β2·cos α＋β2.点N 的纵坐标y ＝|ON |sin∠MOx ＝cos α－β2·sin α＋β2.由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β2＝cos α－β2cos α＋β2，sin α＋sin β2＝cos α－β2sin α＋β2.也就是cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.题型一 求值问题【例题1】(1)求sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值；(2)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．分析：解答本题利用积化和差公式和和差化积公式，对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解．解：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.题型二 化简问题【例题2】化简：4sin(60°－θ)sin θsin(60°＋θ)．分析：观察(60°－θ)与(60°＋θ)的和为特殊角，所以可用积化和差公式化简． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.反思此题依然是直接考查公式应用的题，对于这种题，解题公式的选取是关键． 题型三 证明三角恒等式【例题3】在△AB C 中，求证：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ． 分析：先用降幂公式，再利用和差化积公式．证明：原式左边＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2－1－cos 2C 2＝12＋12cos 2C －12(cos 2A ＋cos 2B )＝cos 2C －cos(A ＋B ) cos(A －B )＝cos C[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin A sin B cos C ＝右边． 故原式成立.题型四 恒等变换公式的综合应用【例题4】已知A ＋B ＝23π，求cos 2A ＋cos 2B 的最值．分析：将cos 2A ＋cos 2B 利用降幂公式、积化和差公式与和差化积公式化为正弦函数形式或余弦函数形式．解：原式＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝12(2＋cos 2A ＋cos 2B ) ＝12[2＋2cos(A ＋B )cos(A －B )] ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )．所以当cos(A －B )＝－1时，原式取最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取最小值12.反思考查一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等问题，一般要化简为正弦函数或余弦函数形式，再进行求解．题型五 易错辨析【例题5】化简：cos 2θ＋cos 2(60°－θ)＋cos 2(60°＋θ)．错解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋2×2cos 60°·cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)．错因分析：解题过程中由于没有发现60°－2θ与120°＋2θ是互补关系，从而没有消去cos(60°－2θ)和cos(120°＋2θ)这两个值，得出的结果并未化简彻底．正解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12×2cos 60°cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos[180°－(60°－2θ)]＝32.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的最小正周期是( )A ．π2 B ．2πC ．π4 D ．π答案：D2．在△AB C 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则这个三角形必是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B3．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcosθ；⑤sin x sin y ＝12[cos (x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②③④均不正确，⑤正确． 答案：B4．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的结果为( )A ．tan x2B ．tan 2xC ．tan xD ．－tan x解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos π4sin －x 2sin π4cos －x＝－tan x .答案：D5．sin 57°－sin 33°＋22cos 81°sin 69°＝__________.答案：226．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值－34. 答案：－347．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋sin 20°cos 50°＝1－12(cos 40°－cos 100°)＋12[sin 70°＋sin(－30°)]＝1－12×(－2)sin 70°sin(－30°)＋12sin 70°－14＝1－12sin 70°＋12sin 70°－14＝34.。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末测试B 新人教B版必修4
第三章三角恒等变换测评B(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013江西高考)若sin2αcos α＝( )A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．232．(2013课标全国Ⅱ高考)已知sin 2α＝23，则cos 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．233．(2013浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α，则tan 2α＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34 D ．－434．(2012四川高考)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝( )A ．10 B ．10 C ．10 D ．155．(2012重庆高考)sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒︒＝( )A B ．－12 C ．12D 6．(2012重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．(2012陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A ．2 B ．12C ．0D ．－1 8．(2012江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．129．(2012大纲全国高考)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．1225D ．242510．(2012山东高考)若θ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin 2θ＝8，则sin θ＝( )A ．35 B ．45 C D ．34二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．(2013上海高考)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．12．(2013江西高考)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________． 13．(2013山东烟台适应性练习)已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________．14．(2013四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________． 15．(2012江苏高考)设α为锐角，若cos 6a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，则sin 212a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)(2013广东高考)已知函数f (x )cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．(本小题6分)(2013湖南高考)已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝2sin 2x2．(1)若α是第一象限角，且f (α)＝5，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．18．(本小题6分)(2013北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x ． (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)＝2，求α的值．19．(本小题7分)(2012四川高考)已知函数f (x )＝cos 22x －sin 2x cos 2x －12． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)，求sin 2α的值．参考答案一、选择题1．解析：cos α＝1－2sin 22α＝1－2×2⎝⎭＝13．故选C ． 答案：C2．解析：由半角公式可得，cos 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1cos 222a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝1sin 22a -＝2132-＝16． 答案：A3．解析：由sin α＋2cos α得，sin α－2cos α．① 把①式代入sin 2α＋cos 2α＝1中可解出cos α＝10或10，当cos α＝10时，sin α＝10； 当cos α时，sin α所以tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝－34． 答案：C4．解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1， 所以∠AED ＝4π． 在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin∠BEC＝5，cos∠BEC＝5． sin∠CED ＝sin 4BEC π⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭＝cos∠BEC－sin∠BEC＝55⎛- ⎝⎭＝． 答案：B5．解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30cos17sin17cos30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒︒＝sin 30°＝12，故选C ． 答案：C6．解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tanα·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-g ＝312-＝－3，故选A ．答案：A7．解析：由a ⊥b 可得，－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0． 答案：C8．解析：因为tan θ＋1tan θ＝4，所以sin cos θθ＋cos sin θθ＝4． 所以22sin cos cos sin θθθθ+＝4，即2sin 2θ＝4．所以sin 2θ＝12． 答案：D9．解析：因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α45． 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2425．故选A ． 答案：A 10．解析：由θ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得2θ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又sin 2θ＝8，故cos 2θ＝－18．故sin θ34． 答案：D 二、填空题11．解析：cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13⇒cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79． 答案：－7912．解析：因为y ＝sin 2x －cos 2x )＝2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以T ＝22π＝π． 答案：π13．解析：由cos 4α－sin 4α＝23，得cos 2α＝23，又α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 2α＝3．所以cos 23a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12cos 2α－2sin 2α＝12×23－．14．解析：因为sin 2α＝－sin α， 所以2sin αcos α＝－sin α． 所以cos α＝－12． 又因为α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＝2．所以sin 2αcos 2α＝2cos 2α－1＝－12．所以tan 2α＝sin 2cos 2aa15．解析：因为α为锐角，cos 6a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45， 所以sin 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝35， 所以sin 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2sin 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2×35×45＝2425， 且0<α＋6π<4π，故0<α<12π，所以26a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2α＋3π∈,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以cos 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝725， 所以sin 212a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 234a ππ⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 23a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos4π－cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 4π＝sin 26a π⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos4π－cos 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 4π＝2425×2－725×2＝1750．答案：1750三、解答题16．解：(1)f 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 612ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4π＝1．(2)f 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭2312ππθ⎛⎫+-⎪⎝⎭24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ． 因为cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin θ＝－45． 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725． 所以f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ ＝－725－2425⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1725． 17．解：f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝2sin x －12cos x ＋12cos x ＋2sin x x ， g (x )＝2sin 22x＝1－cos x ．(1)由f (α)＝5得sin α＝35． 又α是第一象限角，所以cos α>0．从而g (α)＝1－cos α＝1＝1－45＝15．(2)f (x )≥g (x )sin x ≥1－cos x ，x ＋cos x ≥1． 于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12． 从而2k π＋6π≤x ＋6π≤2k π＋56π，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z ． 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．18．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为2π．(2)因为f (α)＝2，所以sin 44a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1． 因为α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4α＋4π∈917,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以4α＋4π＝52π．故α＝916π．19．解：(1)由已知，f (x )＝cos22x －sin 2x cos 2x －12＝12(1＋cos x )－12sin x －124x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎡⎢⎣⎦．(2)由(1)知，f (α)＝2cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝10， 所以cos 4a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝35． 所以sin 2α＝－cos 22a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 24a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1－2cos 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1－1825＝725．。
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6．(2012重庆高考)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7．(2012陕西高考)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos 2θ等于( )
A． Байду номын сангаас． C．0 D．－1
(1)求f 的值；
(2)若cosθ＝ ，θ∈ ，求f ．
17．(本小题6分)(2013湖南高考)已知函数f(x)＝sin ＋cos ，g(x)＝2sin2 ．
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝ ，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
18．(本小题6分)(2013北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋ cos 4x．
A． B． C． D．
3．(2013浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝ ，则tan 2α＝( )
A． B． C．－ D．－
4．(2012四川高考)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝( )
A． B． C． D．
5．(2012重庆高考) ＝( )
所以tan 2α＝ ＝ ．
答案：
15．解析：因为α为锐角，cos ＝ ，
所以sin ＝ ，
所以sin ＝2sin cos ＝2× × ＝ ，
且0<α＋ < ，故0<α< ，
所以2 ＝2α＋ ∈ ，
所以cos ＝ ，
所以sin ＝sin
＝sin cos －cos sin
＝sin cos －cos sin
第三章三角恒等变换
测评B
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013江西高考)若sin ＝ ，则cosα＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．(2013课标全国Ⅱ高考)已知sin 2α＝ ，则cos2 ＝( )
所以原式＝
＝sin 30°＝ ，故选C．
答案：C
6．解析：因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ ＝－3，故选A．
答案：A
7．解析：由a⊥b可得，－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0．
答案：C
8．解析：因为tanθ＋ ＝4，所以 ＋ ＝4．
8．(2012江西高考)若tanθ＋ ＝4，则sin 2θ＝( )
A． B． C． D．
9．(2012大纲全国高考)已知α为第二象限角，sinα＝ ，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C． D．
10．(2012山东高考)若θ∈ ，sin 2θ＝ ，则sinθ＝( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
答案：C
4．解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，
所以∠AED＝ ．
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，
所以sin∠BEC＝ ，cos∠BEC＝ ．
sin∠CED＝sin ＝ cos∠BEC－ sin∠BEC＝ ＝ ．
答案：B
5．解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，
＝ × － × ＝ ．
答案：
三、解答题
16．解：(1)f ＝ cos
＝ cos ＝ cos ＝1．
(2)f ＝ cos
又α∈ ，所以sin 2α＝ ．
所以cos ＝ cos 2α－ sin 2α
＝ × － × ＝ ．
答案：
14．解析：因为sin 2α＝－sinα，
所以2sinαcosα＝－sinα．
所以cosα＝－ ．
又因为α∈ ，
所以sinα＝ ＝ ．
所以sin 2α＝－ ，cos 2α＝2cos2α－1＝－ ．
答案：C
2．解析：由半角公式可得，cos2
＝ ＝ ＝ ＝ ．
答案：A
3．解析：由sinα＋2cosα＝ 得，sinα＝ －2cosα．①
把①式代入sin2α＋cos2α＝1中可解出cosα＝ 或 ，当cosα＝ 时，sinα＝ ；
当cosα＝ 时，sinα＝－ ．
所以tanα＝3或tanα＝－ ，所以tan 2α＝－ ．
14．(2013四川高考)设sin 2α＝－sinα，α∈ ，则tan 2α的值是__________．
15．(2012江苏高考)设α为锐角，若cos ＝ ，则sin 的值为__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)(2013广东高考)已知函数f(x)＝ cos ，x∈R．
11．(2013上海高考)若cosxcosy＋sinxsiny＝ ，则cos(2x－2y)＝________．
12．(2013江西高考)函数y＝sin 2x＋2 sin2x的最小正周期T为________．
13．(2013山东烟台适应性练习)已知cos4α－sin4α＝ ，α∈ ，则cos ＝__________．
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈ ，且f(α)＝ ，求α的值．
19．(本小题7分)(2012四川高考)已知函数f(x)＝cos2 －sin cos － ．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝ ，求sin 2α的值．
参考答案
一、选择题
1．解析：cosα＝1－2sin2 ＝1－2× ＝ ．故选C．
二、填空题
11．解析：cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝ ⇒cos 2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－ ．
答案：－
12．解析：因为y＝sin 2x＋ (1－cos 2x)
＝2sin ＋ ，
所以T＝ ＝π．
答案：π
13．解析：由cos4α－sin4α＝ ，得cos 2α＝ ，
所以 ＝4，即 ＝4．
所以sin 2θ＝ ．
答案：D
9．解析：因为sinα＝ ，且α为第二象限角，
所以cosα＝－ ＝－ ．
所以sin 2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－ ．故选A．
答案：A
10．解析：由θ∈ ，得2θ∈ ．
又sin 2θ＝ ，故cos 2θ＝－ ．
故sinθ＝ ＝ ．
答案：D