图论第04讲
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图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
离散数学(微课版) 第4章
离散数学（微课版）第4章1. 引言在离散数学的第4章中，我们将讨论图论的基本概念和应用。
图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支，它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。
本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。
节点通常表示现实世界中的对象，而边则表示对象之间的关系。
图可以用于描述各种问题，如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。
2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系。
而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2.2 顶点和边图由顶点和边组成。
顶点是图的节点，用来表示对象。
边连接两个顶点，表示两个对象之间的关系。
2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。
环是一条路径，其起点和终点相同。
3. 图的表示方法在计算机中，图可以用不同的数据结构来表示。
常见的表示方法包括：3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。
对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，则不对称。
A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图，其中顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点C相连。
3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。
对于每个顶点，邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。
A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图，顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点A、C相连，顶点C与顶点B相连。
4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始，尽可能深地访问尚未访问的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他未访问的节点。
图论第四章答案
n ,n中不同完美匹配的个数 .
推论 4.1
解： (1.)对于K 2 n , 用归纳法 : n 1时完美匹配数为 1, n 2时不同完美匹配数为 3, 满足(2n 1)!! 设当n k时, 不同的完美匹配数为 (2k 1)!!, 则当n k 1时, 即向K 2 n中加入两点u , v, 则多出4k 1条边( K 2 n中有u1 , u 2 , , u 2 k 个点， u , v间有边uv, 而u , v和u1 , u 2 , , u 2 k 都存在边). a. 取K 2 n的一个完美匹配 M 1 , 则只加入边uv有M 1' 为K 2 k 2的一个完美匹配，无妨 设u1u 2 , u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k 为M 1中的边; b. 则去掉u1u 2 边添加u1u , u 2 v有另一个K 2 k 2 完美匹配M 1'' 或添加u1v, u 2 u有完美匹配M 1''' ; c. 对u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k同样的操作...(去掉u 3 u 4 , 添加u 3 u和 u 4 v; 去掉u 3 u 4 , 添加u 3 v和u 4 u )则共有2k种设法, 算上M 1' (将原来M中的匹配组合顺次与 uv进行变换重组)共有2k 1种; d . K 2 n的不同完美匹配有 (2k 1)!!每一种(指u1u 2 , u 3 u 4 , 做上述变换)均可增加为2k 1，所以K的不同的完美匹配共有 (2k 1)(2k 1)!! (2k 1)!! 种，得证. (2.)对于K n ,n , 记G ( X , Y , E )中x1 , x 2 , , x n X , y1 , y 2 , , y n Y 对x1 , 选取Y中点共有n种选法使x1与y1的边为完美匹配的一边 ，选定之后，去掉选 中的点和x1 ; 对x 2 有n 1种选法...,一直到x n只有一种，故而不同的 完美匹配有n!种.
推论 4.1
解： (1.)对于K 2 n , 用归纳法 : n 1时完美匹配数为 1, n 2时不同完美匹配数为 3, 满足(2n 1)!! 设当n k时, 不同的完美匹配数为 (2k 1)!!, 则当n k 1时, 即向K 2 n中加入两点u , v, 则多出4k 1条边( K 2 n中有u1 , u 2 , , u 2 k 个点， u , v间有边uv, 而u , v和u1 , u 2 , , u 2 k 都存在边). a. 取K 2 n的一个完美匹配 M 1 , 则只加入边uv有M 1' 为K 2 k 2的一个完美匹配，无妨 设u1u 2 , u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k 为M 1中的边; b. 则去掉u1u 2 边添加u1u , u 2 v有另一个K 2 k 2 完美匹配M 1'' 或添加u1v, u 2 u有完美匹配M 1''' ; c. 对u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k同样的操作...(去掉u 3 u 4 , 添加u 3 u和 u 4 v; 去掉u 3 u 4 , 添加u 3 v和u 4 u )则共有2k种设法, 算上M 1' (将原来M中的匹配组合顺次与 uv进行变换重组)共有2k 1种; d . K 2 n的不同完美匹配有 (2k 1)!!每一种(指u1u 2 , u 3 u 4 , 做上述变换)均可增加为2k 1，所以K的不同的完美匹配共有 (2k 1)(2k 1)!! (2k 1)!! 种，得证. (2.)对于K n ,n , 记G ( X , Y , E )中x1 , x 2 , , x n X , y1 , y 2 , , y n Y 对x1 , 选取Y中点共有n种选法使x1与y1的边为完美匹配的一边 ，选定之后，去掉选 中的点和x1 ; 对x 2 有n 1种选法...,一直到x n只有一种，故而不同的 完美匹配有n!种.
离散数学ch04图论根树(课件)
04
根树的性质与算法
根树的性质
根树的定义
根树的性质1
根树的性质2
根树的性质3
根树是一种有向无环图，其中 有一个节点被指定为根节点， 其他节点按层次结构排列，从 根节点出发，每个节点恰好有 一条有向边指向其子节点。
根树的节点数等于其子树的节 点数之和加一。
根树的深度等于其最深叶子节 点的深度加一。
路径与回路
总结词
路径与回路是图论中重要的概念，路径是指一系列连续的边和顶点，回路是指起点和终点相同的路径 。
详细描述
在图论中，路径是指从起始顶点到终止顶点的一系列连续的边和顶点。每个顶点和边在路径中只出现 一次，且顺序必须一致。回路则是指起点和终点相同的路径，即路径中存在一个顶点，通过一系列的 边回到该顶点。回路在图论中具有重要意义，如在欧拉路径。
图论的重要性
图论在计算机科学、电子工程、 交通运输、生物信息学等领域有
广泛应用。
图论为复杂系统提供了统一的数 学框架，使得可以运用数学方法 和计算机技术来分析和优化这些
系统。
图论在解决实际问题中发挥了关 键作用，如路由优化、社交网络 分析、蛋白质相互作用网络等。
算法效率和复杂性的优化
在解决实际问题时，算法的效率和复杂性是关键因素。如 何优化图论和根树的算法，提高其计算效率和降低其计算 复杂性，是一个具有挑战性的问题。
THANKS
感谢观看
低运输成本。
交通控制
03
根树可以用于构建交通信号灯的控制逻辑，提高道路的通行效
率。
06
总结与展望
图论与根树的重要性和发展前景
重要应用领域
图论和根树在计算机科学、电子 工程、交通运输、生物信息学等 领域有广泛的应用，对解决实际 问题具有重要意义。
图论讲稿
图论讲稿
选址问题--重心问题
图论讲稿
3．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征 定义 连通且不含圈的无向图称为树．常用T表示.
树中的边称为树枝. 树中度为1的顶点称为树叶. 孤立顶点称为平凡树.
平凡树
图论讲稿
定理2 设G是具有n个顶点的图，则下述命题等价： 1) G是树（ G无圈且连通）； 2) G无圈，且有n-1条边； 3) G连通，且有n-1条边； 4) G无圈，但添加任一条新边恰好产生一个圈; 5) G连通，且删去一条边就不连通了（即G为最
1)
是非空有限集，称为顶点集，
其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素对 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示.
用 也用 来表示边
表示图，简记
图论讲稿
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的 所有图都称为非平凡图.
图论讲稿
定义若图G中的边均为有序偶对
,称G为有向
图. 称边
为有向边或弧,称
是从
连接 ，称 为e的弧尾，称 为e的弧头.
若图G中的边均为无序偶对 ，称G为无向图.称
边
为无向边，称e连接 和 ，顶点 和 称
为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
1) 置
，对 ，
，
且.
2) 对每个 ，用
代替 ，计算
，并把达到这个最小值的
一个顶点记为 ，置
3) 若
，则停止；若
替i，并转2).
，则用 i+1 代
选址问题--重心问题
图论讲稿
3．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征 定义 连通且不含圈的无向图称为树．常用T表示.
树中的边称为树枝. 树中度为1的顶点称为树叶. 孤立顶点称为平凡树.
平凡树
图论讲稿
定理2 设G是具有n个顶点的图，则下述命题等价： 1) G是树（ G无圈且连通）； 2) G无圈，且有n-1条边； 3) G连通，且有n-1条边； 4) G无圈，但添加任一条新边恰好产生一个圈; 5) G连通，且删去一条边就不连通了（即G为最
1)
是非空有限集，称为顶点集，
其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素对 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示.
用 也用 来表示边
表示图，简记
图论讲稿
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的 所有图都称为非平凡图.
图论讲稿
定义若图G中的边均为有序偶对
,称G为有向
图. 称边
为有向边或弧,称
是从
连接 ，称 为e的弧尾，称 为e的弧头.
若图G中的边均为无序偶对 ，称G为无向图.称
边
为无向边，称e连接 和 ，顶点 和 称
为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
1) 置
，对 ，
，
且.
2) 对每个 ，用
代替 ，计算
，并把达到这个最小值的
一个顶点记为 ，置
3) 若
，则停止；若
替i，并转2).
，则用 i+1 代
程序员的数学4：图论入门
内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。 第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算 法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。 第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成 树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。 第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上 的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。 《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的 基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提 高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作 者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编 程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之 间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种 复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图 等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中， 节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。
图论4-4欧拉图和汉PPT课件
此定理是必要条件，可以用来证明一个图不是 汉密尔顿图。
如右图，取S={v1,v4}， 则G-S有3个连通分支，
不满足W(G-S)≤|S|，故 该图不是汉密尔顿图。
说明：此定理是必要条件而不是充分条件。有的图满足此必 要条件，但也是非汉密尔顿图。
所以用此定理来证明某一特定图是非汉密尔顿图并不是 总是有效的。例如，著名的彼得森(Petersen)图，在图中删 去任一个结点或任意两个结点，不能使它不连通；删去3个结 点，最多只能得到有两个连通分支的子图；删去4个结点，只 能得到最多三个连通分支的子图；删去5个或5个以上的结点， 余下子图的结点数都不大于6，故必不能有5个以上的连通分 支数。所以该图满足W(G-S)≤|S|，但是可以证明它是非汉密 尔顿图。
1 1
11 0 1
0
0
0
1
0
1
0
0
10
1d 0c 1b 1a
设有一个八个结点的有向图，如下图所示。其结点分别记为 三位二进制数{000，001，……，111}， 设ai{0,1}，从结点a1 a2 a3可引出两条有向边，其终点分别是a2 a30以及a2 a31。该两条边分别记为a1 a2 a30和a1 a2 a31。 按照上述方法，对于八个结点的有向图共有16条边，在这种图的 任一条路中，其邻接的边必是a1 a2 a3a4和a2 a3a4a5的形式，即是第 一条边标号的后三位数与第二条边的头三位数相同。
4-4 欧拉图
[教学重点] 无向欧拉图的定义、判定定 理和实际应用
[教学难点] 欧拉图判定定理的证明
1、哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡城有 一条横贯全城 的普雷格尔河， 城的各部分用 七桥联结，每 逢节假日，有 些城市居民进 行环城周游， 于是便产生了 能否“从某地 出发，通过每 桥恰好一次， 在走遍了七桥 后又返回到原 处”的问题。
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E*是重复边 集合
定理：设E* E是使W(E*)= e*c(e) 达到最小 E 的重复边集合，当且仅当对于Ga图的任一回 路 C ，恒有W( C∩E*)≤W(E( C *) )-E
v1 3 v3 4 2 3 2 v4 v2
Ga是加重复边以 后的Euler图
E*={(v2,v3)} E(C)={(v1,v2),(v1,v3)(v2,v3 )(v2,v4 )(v3,v4)}
最后利用Fleury算法求出一个Euler回路： v1-v2-v3-v4-v3-v7-v2-v7-v4-v5-v7-v6-v5-v6-v1 代价一共是：41
课堂练习
求下图中一条中国邮路：
3 v6 4 3 v1 2 v5 7 4 3 1 v7 2 2 v3
v2
v4
2
a k1
b
k2
k3 c k6
k4 k7
k5
e
§5
中国邮路问题
中国邮路问题(Chinese postman problem)，
是我国数学家管梅谷于1960年首次提出的。 问题描述： 设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的 每一条街道，将信件送到后返回邮局，求所 走的路径最短。
中国邮路问题的图论模型为： 设G=(V,E)是连通图，而且对于所有的 e∈E都赋以权c(e)≥0，求从点v0∈V出发，通 过所有边至少一次最后返回v0的回路C，使得 达到最小。 c (e)
求出下图中以v1为起点的一条中国邮路。
v2 1 v1 3 v6 v7 4 3 v5 5 3 2 5 2 2 v4 v3 3
v2
1 v1 3 v6 2
5 2 v7 4 3
v3 3 2 v4 5 3
v5
E(0)={(v2,v3),(v4,v5),(v6,v7)}
解：其中v2，v3，v4，v5，v6，v7顶点的度都是奇数， 引入重复边。 第一步：添加重复边： i从1到h，引从v2i-1到v2i的链Pi， 并对Pi的每条边附加1条重复边； 第二步：检查重复边：检查图G的每条边，使得每 条边最多有1条重复边，得到图G’，G’中重复边集 记为E(0)；
§1 §2 §3 §4 §5 §6 引论 图的概念 道路和回路 图的矩阵表示法 中国邮路问题 平面图
§4
图的矩阵表示法
§4
图的矩阵表示法
定义：对于图G=(V,E)，构造一个矩阵 A (aij )nn 其中n＝|V|；
aij
1
0
(vi,vj)∈E；
否则；
称A是图G的邻接矩阵。
置换矩阵：相当于将单位矩阵中相应的行与 行，或者列与列互换的矩阵。
v1 v3 v4 va
v2
vb
vc
vd
v1
v1<->va
v2<->vb
va
v2
v3
v4
图G1
1 A1＝ 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0
v3<->vc
v4<->vd
vb
vc
图G2
vd
a A2＝ 0 1 1 1
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0
＝ 2＋2＝4 ＞
eE ( C ) E ( 2 )
c(e) ＝3
∴
E(3)＝E(2) E( C )＝{(v2,v7),(v3,v4),(v5,v6)}
v2 1 v1 3 2
5 2
v3 3 2 v4 5 3 3 v5
v7 4 v6
E(3)= {(v2,v7),(v3,v4),(v5,v6)}
v2 1 v1 3 2
5 2
v3 3 2 v4 5 3 3 v5
v7 4 v6
E(0)={(v2,v3),(v4,v5),(v6,v7)}
下面看回路 C ：v2-v3-v7-v2 其中E( C )={(v2,v3),(v2,v7),(v3,v7)}
∵
eE ( 0 ) E ( C )
c(e) ＝ 5 ＞ c(e)＝2＋2＝4
中国邮路构造算法
设已经知道度为奇数的顶点为v1,v2,…,v2h
第一步：添加重复边：i从1到h，引从v2i-1到 v2i的链Pi，并对Pi的每条边附加1条重复边；
第二步：检查重复边：检查图G的每条边， 使得每条边最多有1条重复边，得到图G’，G’ 中重复边集记为E(0)； >>
第三步：设初值k＝0；
vi
vk
vj
•图的同构
定义：若两个图顶点数相同且相对应，对应 顶点之间的边也相对应，则称两个图同构。 G1＝(V1,E1)， G2＝(V2,E2)，G1<－>G2 若u1,v1∈V1， u2,v2∈V2，u1 <－>u2， v1 <－>v2，则(u1,v1) ∈E1<－> (u2,v2) ∈E2。
(a)若E(k)对于回路 C 有
eE ( k ) E ( C )
c(e) c(e) ，则
eE ( C ) E ( k )
E(k＋1)=E(k) E(C )，k＝k＋1，转(a)； (b)输出E(k)， E(k)便是最优集。
第四步：用Fleury算法求出Eluer回路。
例子1－2
(2) A=(αij)n×n中，第i列中非0元素的个数等于 顶点vi的入度，第i行中非0元素的个数等于顶点 vi的出度。(有向图)
(3) B=A2。
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann
图论
Graphic Theory
阙夏制作
内容回顾
握手定理及其推论； Euler回路： (1)判别定理（充要条件）及推论； (2)Fleury算法； Hamilton回路： (1) Hamilton道路判别定理（充分条件）； (2) Hamilton回路判别定理（充分条件）。
第一章 图的基本概念
判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存 在置换矩阵P，使得：A1＝PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。 如何判断两图同构是图论中一个困难问题。
课堂练习
1、判断下面两图是否同构，若同构写出对应关 系，若不同构则写出理由。
1
e1 e2 e3 4 e6 5 图1 图2 》》 e7 d e4 3 e5
B=A2=
×
＝(bij)n×n bij表示vi两步到达vj的路径数目
(4) 有向图中：C=AAT。
C= (cij)=
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
×
a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n …
an1 an2
ann
cij=∑αik αjk cij表示以vi,vj为始点的终点数目。
eE ( C ) E ( 0 )
>>
∴ E(1)＝E(0) E( C )＝{(v2,v7),(v3,v7),(v4,v5),(v6,v7)}
v2 1 v1 3 2
5 2
v3 3 2 v4 5 3 3 v5
v7 4 v6
E(1)= {(v2,v7),(v3,v7),(v4,v5),(v6,v7)}
v2 1 v1 3 2
5 2
v3 3 2 v4 5 3 3 v5
v7 4 v6
E(2)= {(v2,v7),(v3,v7),(v4,v7),(v5,v6)}
下面看回路 C ： v3-v4-v7-v3 其中E(C )={(v3,v4),(v4,v7),(v3,v7)} ∵
eE
( 2)
c(e)
E (C )
下面看回路 C ： v4-v5-v6-v7-v4 其中E( C )={(v4,v7),(v4,v5),(v5,v6 ),(v6,v7)}
∵
eE (1) E ( C )
c(e) ＝ 4＋3＝7 ＞ c(e) ＝ 2＋3＝5
eE ( C ) E (1)
∴ E(2)＝E(1) E( C )＝{(v2,v7),(v3,v7),(v4,v7),(v5,v6)}
eC
v1
3 5
v2
4 2
v3 5 3 1 邮局 v0
4 2
1
v4
v5
6
v6
问题分析： （1）如果道路正好是一个Euler图，则容易求 解，用Fleury算法求出一个Euler回路即可； （2）如果不是Euler图，则加上如干重复边， 使之变成Euler图，然后求Euler回路。
现在问题的关键：如何加重复边！ 中国邮路问题是Euler回路的近似求解。
1 0 0 0 0 1 0 1 0 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
P＝
A＝
PA ＝
a11 a12 a31 a32 a21 a22
a13 a33 a23
a11 a13 (PA)P ＝ a31 a33 a21 a23
a12 a32 a22
P就是一个置换矩阵
邻接矩阵中图的性质：
vi
vj
vkBiblioteka (5) 有向图中：D=ATA。a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n … an1 an2
ann
D= (cij)=
×
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
dij=∑αik αjk dij表示以vi,vj为终点的始点数目。
v1 v3 0 1 1 0