【教育资料】上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期 高一数学月考二试卷学习精品
2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x ＜2”是“x 2＜4”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数f （x ）={1x <0−1x>0，则(a+b)+(a−b)⋅f(a−b)2（a ≠b ）的值为（ ）A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象（ ）A.B.C.D.4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______． 6. 设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______． 7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8. 若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______． 9. 若f(x)=x 13−x −2，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．10. 已知f （x ）={a x ,x ≥1(7−a)x−4a,x<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______． 11. 定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R上的零点个数为______． 12. 设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）={(x −a)2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞0，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+√x2+1)，g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1＜018.设a∈R，函数f(x)=3x+a3x+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若f(x)＜a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. 已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1，6]上的最小值．21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数” （3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[7，7)6【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f（x）+f（2-x）=0，结合条件可得f（x）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：(log 2x)2+(a +1a )log 12x +1＜0，即 (log 2x)2-（a +1a ）log 2x +1＜0，即（log 2x -a ）•（log 2x -1a）＜0． 当a ＞1a 时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，1a ＜log 2x ＜a ，21a ＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |21a ＜x ＜2a }．当a =1a 时，即a =±1时，不等式即(log 2x −a)2＜0，显然它无解，即解集为∅． 当a ＜1a 时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，1a ＞log 2x ＞a ，21a ＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |21a ＞x ＞2a }．【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题． 18.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=3x +a 3x +1，其定义域为R ，若f （x ）为奇函数，则f （0）=30+a 30+1=0，解可得a =-1； 故a =-1；（2）根据题意，f(x)＜a+33，即3x +a 3x +1＜a+33， 变形可得：a−13x +1＜a 3，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3a−3a ＜3x +1， 若3a−3a ＜3x +1恒成立，必有3a−3a ≤1，解可得a ≤32， 此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3a−3a ＞3x +1，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为[0，32]．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a（3x+1），分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C（0）=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)（Ⅱ）f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f'（x）=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+e x-1（3分）≥2√e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3-x=e x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2={f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系令F1（x）=|x-2a+1|，F2（x）=|x-a|+1，G（x）={F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）【解析】（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3-x+e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=2x 2+9x+11x+2-（2x +5）=1x+2， 可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜1x+2≤12，可得存在p =12，函数y 的值域为（0，12]， 则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （2）证明：f （x ）-g （x ）=（12）x -12x ，由y =（12）x ，y =-12x 在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =12-12=0，x =2时，y =14-1=-34＜0，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”， 可得y =x +√x 2+1-ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y ′=1-a +√x 2+1≤0在[0，+∞）恒成立，可得a -1≥√x 2+1，由x ＞0时，√x 2+1=√1+1x 2≤1，则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +√x 2+1-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，则√x 2+1＞（a -1）x ，x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜√1+1x 2，可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ） A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y ->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<，因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象，要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或． 综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当2k =时，原不等式的解集为∅；当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x ， 则1003l x x=+，2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+.（1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1()1x f x lgx -=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【详解】 （1）由21101x y =-+得1101x y y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+， 因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x g x l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lg lg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-） 21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---， 1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（， 12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式； （2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证.【详解】 （1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+， 因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数， 当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-， 22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+，2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x=-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x =与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，22221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x =+-， 因为函数1y x =在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数），又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x+-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围；（2）对正实数a ，b ，如果1a a +比1b b +接近2，求证：当0x >时，1x x a a +比1x x b b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性．【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--. （2）1a a+比1b b +接近2， 11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b+…， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+， 11|2||2|x x x x a b a b ∴+-<+-，当0x >时，1x x a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2017-2018年上海市交大附中高一上期末
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学期终试卷2018.1一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 若关于x 的不等式01x a x -³+的解集为()[),14,-?+?U ，则实数a =____________．2. 设集合{}{}|2|1,A x x B x x m =-<=>，若A B A =I ，则实数m 的取值范围是____________．3. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于____________弧度．4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =____________．5. 若123()f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是____________．6. 已知(7)41()1x a x a x f x ax ì--<ïï=íï³ïî是(),-??上的增函数，那么a 的取值范围是____________． 7. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ³时，()2()lg 32f x x x =++，则()f x 在R 上的零点个数为____________．8. 设432()f x x ax bx cx d =++++，(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，则[]1(0)(4)4f f +的值为____________．9. 设1()f x -为[]2()41,0,2x f x x x -=+-?的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为____________．10. 已知2()0()430x a x f x x a x x ìï-?ïï=íï++>ïïî，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是____________．11. 设ab R Î，若函数()a f x x b x=++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为____________．12. 已知下列四个命题： ①函数()2x f x =满足：对任意1212,,x x R x x 喂，有[]12121()()22x x f f x f x 骣+÷ç?÷ç÷ç桫；②函数(22()log ,()121x f x x g x =+=+-均为奇函数； ③若函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形，且满足(4)()f x f x -=，那么(2)(2018)f f =； ④设12,x x 是关于x 的方程log (0,1)a x k a a =>?的两根，则121x x =其中正确命题的序号是____________．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分13. “2x <”是“24x <”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 设函数10()10x f x x ì->ïï=íï<ïî，则()()()()2a b a b f a b a b +---¹的值为（ ）A. aB. bC. ,a b 中较小的数D. ,a b 中较大的数 15. 下图中最有可能是函数2x x y =的图像是（ ） A. B. C. D.16. 若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R Î有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（ ）A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x +为偶函数三、简答题（第17题12分，第18-19题14分，第20-21题18分）17. 解关于x 的不等式：()22121log log 10x a x a 骣÷ç+++<÷ç÷ç桫18. 设a R Î，函数3()31x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若3()3a f x +<对任意的x R Î成立，求a 的取值范围19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
上海市上海交通大学附属中学2018届高三上学期开学考试数学试题Word版含答案
交大附中高三开学考2017.9一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x-=>，则A B = 2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是 3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是 4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i = 是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i = 的不同值的个数为 7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其 前n 项和记为n S ，若89S =，那么100S = 8. 若n a 是(2)n x +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+=9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上 恒成立，则a 的取值范围是 11. 函数1()f x x=(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是 12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B. 1024C. 0543D. 0543-14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 如果()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 如果[,]x a b ∈，则()0f x < C. 如果()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 如果[,]x a b ∉，则()0f x ≥ 15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2aπ的周期函数 16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两 点，则22||+||PA PB 的值为（ ） A. 32149 B.32449 C. 32749 D. 33049三. 解答题17. 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11A A =. （1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请根据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性 质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>； （3） 2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能. 围棋复杂度的上限约为3613M =，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算 了M N的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义： ① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10t y =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任选取其中一种．．．．．．．定义来判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d . （1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{}n c 的通项公式()f n ；（3）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”. （1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2018届交大附中高三第一学期数学摸底测试 时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________命题：季风、陈云鹤 审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分） 1、若集合{}23A x x =-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03x x xB ，则A B ⋃=____R_______. 2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是_____343a π_____.3、已知i 是虚数单位，则-24、函数2()1(0)fx x x =+<的反函数是__1)y x =>____________.5、设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+ 的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,16)i P i = 是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为______2______ .8167、数列{}n a 满足12=(3)n n n a a a n ---≥，15a =，其前n 项和记为n S ，若89S =，那么100S =__3____.8、若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+=____8_____. 9、设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____. 10、已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是_____[2,2]-_______. 11、函数1()(0)f x x x=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______. 12、已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为__________. 二、选择题（每题5分，共20分） 13、关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ C ）（A ）0543- （B ） 1024 （C ）0543 （D ） 0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ）（A ）如果()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）如果[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）如果()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）如果[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >， t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称 （C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2aπ的周期函数 16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449 （C ）32749 （D ） 33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分）17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1211AB AD A A ===，，， （1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ；（2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.解：因为1111ABCD A BC D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ， ----------4分显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC ， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点B 到平面1D AC 的距离设为h 考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C ∆中，11AC DC AD ===132AD C S ∆=-----------------2分C 11所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长.解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 根据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分 由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bc bc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A==所以b c +=分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请根据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠> （3） 2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为M=3361，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义：(I): 若实数,x y 满足m y m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t u x y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取．．．其中一种．．．．定义来判断哪个同学的近似值更接近MN ，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞ ；值域：(-,0)(0,)∞+∞ ；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（判断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y ⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）采用定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010MM MN N N ⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近M N----------------------------1分采用定义（II ）：361803=lg 361lg38092.2410MMN N ⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分因为7393lg10-lglg10-lgM M NN>，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ；（3）设数列{c }n 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即213n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾， 2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分 （2）21323123n n n n n a b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n n e c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分 ∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-=③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--=④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n k k k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”． (1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”． 解：（1）C 1的左焦点为(F ，-----------------1分过F的直线x =C 1交于(，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kx k x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kxk x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩， 若方程组有解，则必须212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：()00y y k x x -=-与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”矛盾，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解． 从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +< 因为()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，因为001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，因为()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数． 因为()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ）A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或02x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】因为21x>，所以02x <<， 因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案．【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=，则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e =作出()y ln x a =+和()h x 的图象， 要使两个图象恒有交点， 则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或．综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭当2k =时，原不等式的解集为∅； 当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏． 18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解． 【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x，则1003l x x=+， 2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+. （1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1()1xf x lg x-=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【详解】 （1）由21101x y =-+得1101xy y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+，因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x gx l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-，设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<， 则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lglg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-）21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---，1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（，12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围； （3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式；（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证. 【详解】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-，22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+， 2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x ⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x =-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数， 所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，2221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x=+-， 因为函数1y x=在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数，所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数）， 又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x +-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围； （2）对正实数a ，b ，如果1a a+比1b b +接近2，求证：当0x >时，1xx a a +比1x xb b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）． 【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性． 【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--.（2）1a a+比1b b +接近2，11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b +…，1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+，11|2||2|x xx x a b a b∴+-<+-， 当0x >时，1xx a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
交大附中2017-2018高一上期末数学卷(含答案)
往年模考题目，一模还是二模忘了 很多学校考过
20.（1）证明略；（2）是“逼近数列”；；（3） a = 2 .
可参考 2018 届（今年）青浦区高三一模最后一题
年的隔热层， 厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物 年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度
x （单位：cm ）满足关系: C(x) =
k 3x +
5
(0
≤
x
≤ 10), 若不建隔热层，
年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热
层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f (x) 的表达式.
（1）求证：函数 g(x) = 1 x 不是函数 f (x) = (1 )x ， x ∈[0,+∞) 的“逼近函数”；
2
2
（2）判断函数
g(x)
=
2x
+
5 是不是函数
f
(x)
=
2x2
+ 9x +11 x+2
，
x ∈[0,+∞)
的“线性替代函数”；
（3）若 g(x) = ax 是函数 f (x) = x + x2 +1 ， x ∈[0,+∞) 的“线性替代函数”，求 a 的值.
(x) =
2x
满足：对任意
x1, x2
∈ R, x1
≠
x2
，有
f
x1
+ x2 2
<
1[f
2
(x1 ) +
f
(x2 )]；
( ) ②函数 f (x) = log2 x +
x2
精品解析：【全国百强校】上海市交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“”是“ ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设函数，则的值为（）A. B.C. 中较小的数D. 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数的图象（ ）A. B.C. D.4.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式的解集为,则实数a＝______.6.设集合，若，则实数的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数的反函数的图象经过点，则实数______．9.若，则满足的的取值范围是______．10.已知是上的增函数，那么的取值范围是______．11.定义在上的偶函数，当时，，则在R上的零点个数为______．12.设，，则的值为______．13.设为的反函数，则的最大值为______．14.已知函数，且为的最小值，则实数a的取值范围是______．15.设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数满足：对任意，有；②函数均为奇函数；③若函数的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足，那么；④设是关于的方程的两根，则其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于的不等式：18.设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意的成立，求的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
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上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期
高一数学月考二试卷
一、填空题
1. 已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B ⋂=____________
2.
函数y =
____________
3. 已知(
)f x =(
)g x =，则()()f x g x ⋅=____________ 4. 函数11,,22y x x x ⎛⎤
=+
∈ ⎥⎝⎦
的值域为____________ 5. 若抛物线2
3y x ax =--恒在直线4y x =-上方，则实数a 的取值范围为____________ 6. 不等式21x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是____________ 7. 若()213
3
f x x x
-=-，则满足()0f x >的x 的取值范围____________
8. 已知函数()3f x x x a =-+-，()3
1g x x =+，若()y f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于y 轴对称，则a =
____________ 9. 若函数2
x b
y x -=
+在()(),62a a b +<-上的值域为()2,+∞，则a b +=____________ 10. 密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。
将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。
凯撒（Julius Caesar 公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统，现称为凯撒暗码。
按照这种系统的规划，原始信息的字母都用另一字母代替，后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。
如：标准字母表：ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 凯撒暗码表：DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC 这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu” 当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时，译码工作很容易，只需要把上述过程倒过来进行。
当然现在的密写技术要复杂许多，这里我构造一种编码技术，请同学根据编码过程自己破译一下：信息字母与编码后暗语字母的对应法则是：暗码=原码后移2626x x ⎡⎤
-⨯⎢
⎥⎣⎦
后得到的字母（x 为原码字母在语句中的位置即第几个字母，若移出字母表则在后面续一张字母表，其中□为取整符号，空格不计数。
）
那么若一句话的暗码为“Jnrzj PKNl”其原码是____________ 11. 已知x 为无理数，其代数式
21
33
x x x +-+的值为整数，则x =____________
12. 已知()()()()22222
1,0683,0
k x k a x f x x a a x a x ⎧+->⎪
=⎨+-++-<⎪⎩，其中a R ∈，若对任意的非零实数1x 总存在唯一
的非零实数()212x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数k 的取值范围是____________
二、选择题
13. 小明在期中考后，对混合验血问题非常感兴趣，于是他来到数学组办公室，寻找出卷的鲍老师。
此时
办公室正好有四位老师，他们发现小明不认识他们中的任何一位，于是他们每人说了一句话： 甲说：“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说：“是乙出的试卷！” 丁说：“出卷的不是我！”
他们告诉小明，只有一位老师说了假话，而且鲍老师就在其中，那么请问到底是谁出的期 中试卷（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14. 已知函数()f x 的图像恒过点()1,1，则函数()4f x -的图像恒过点（ ） A. ()5,1
B. ()1,5
C. ()3,1-
D. ()1,3-
15. 已知函数()224,04,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，且0,0a b b c +>+>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）
A. 恒为正
B. 恒为负
C. 恒为0
D. 无法确定
16. 已知()()2
0f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。
现有四个命题①若0a >，则不等式
()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若0a <，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方
程()f f x x =⎡⎤⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立。
其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
三、解答题
17. 已知集合2|
01x A x x -⎧
⎫
=>⎨⎬+⎩⎭
，()(){}2|2110B x x a x a a =-+++<. （1）写出集合A ，集合B ；
（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围；
（3）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 18. 已知函数()2(0,a
f x x x x
=+
≠常数)a R ∈. （1）当2a =时，不等式()()121f x f x x -->-的解集； （2）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （3）若函数()f x 在[]
1,2上的单调递减，求实数a 的取值范围.
19. 这是今年双十一的两道题目，第一题是双十一之间网上流传甚广的小明买卫衣问题；第二题是有关某
老师的双十一战果。
（1）小明想在双十一买价值399的卫衣，已知付定金20元有订金三倍膨胀活动，但仅限当天0至2点。
2点以后订金可抵用50元，但又付尾款前500名免定金活动。
同时该店铺有399减20和299减10的优惠券（其使用门槛是订金+尾款-订金膨胀优惠金额大于等于优惠券），还有一种379减20和279减10的折扣券（其使用门槛是尾款-膨胀优惠金额大于等于折扣券面额），优惠和折扣只能选一种。
求小明最低多少钱能买到这件卫衣？如果你是小明，你会选择怎样购买？
（2）某老师在双十一前花1元，抢到了某商家满200-100的一张优惠券，该商家没有订金膨胀活动，但该
商家有多买多优惠活动：满3件9折；5件8折；10件及以上7折，同时可用淘宝200-20的购物津贴（可跨店满减，店铺优惠后参加该活动，但运费不在其中）。
现已知该老师本单花了1+119.78元（1是买券钱，119.78是双十一付款，其中含运费6元）。
请问：该老师本次购买的商品价值最低多少？最高多少？（按商家标示的淘宝价格计算，精确到元即
可，已知该老师用了200-100券） 20. 已知下表为函数()3
f x ax cx d =++部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取
数据表中数据，研究该函数的一些性质：
（1）判断()f x 的奇偶性，并证明；
（2）判断()f x 在[]
0.55,0.6上是否存在零点，并说明理由； （3）判断a 的符号，并证明()f x 在(]
,0.35-∞-是单调递减函数.
21. 对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[]
,x a b ∈都有
()f x C =，且对任意的[],x a b ≠都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数.
（1）求证：函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；
（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式()12t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围；
（3）若函数()g x mx =[)2,-+∞上的“U 型”函数，求实数m 和n 的值.
参考答案
一、填空题
1. {}1,2-
2. [
)2,+∞ 3. ()2
1x x
x -≤ 4. 52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 5. ()3,1- 6. 1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
7. ()(),01,-∞⋃+∞ 8. 1a =- 9. 10- 10. I love JDFZ 11. 2
12. ()[
),08,-∞⋃+∞
二、选择题
13. B
14. A
15. A
16. C
三、解答题
17.（1）{}|12A x x =-<<，{}|1B x a x a =<<+ （2）实数a 的取值范围是11a -≤≤ （3）实数a 的取值范围是22a -<< 18.（1）不等式的解为()0,1
（2）当0a =时，此函数为偶函数，证明略；当0a ≠时，此函数是非奇非偶函数，证明略 （3）当16a ≥时函数在[]
1,2上单调递减
19.（1）理论上小明最低339元能买到这件卫衣
（2）该老师本次购买的商品价值最低224元，最高323.46元，答324元或者323元都正确 20.（1）()f x 为奇函数，证明略
（2）()f x 在[]
0.55,0.6上存在零点，理由略 （3）0a <，证明略 21.（1）证明略 （2）
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t ≤≥ （3）m 值为1，n 值为1。