一类非线性奇异椭圆方程解的存在性和多重性

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一类非线性波动方程解的多重性

第４期
燕艳菊，：等一类非线性波动方程解的多重性
４７２
本文中，假定一５＜０＜一１：一０１０，一０：３＜ｂ＜７考虑当ｈ属于由 ∞，０．ｌ张成的２维空问时，
使用文献［．］中的方法考察了方程（）的多重性与外部项的关系．１２１解
第３４卷第４期
２１年７００月
江西师范大学学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＯＡＧＩＯＭＬＵＩＥＳＹＮＴＲＬＳＩＮＥＯＲＡＦＪＮＸＲＡＮＶＲＩ（ＡＵＡＣＥＣ）ＩＮＴ
Ｖｏ．４Ｎｏ．１３４
值２＝一１２寸３１＜１＝一７＜ｌｏ＝一３＜０１＜ｌ０＝】＝５．设Ｑ为［ｒ，／］×［ｒ２７２及为希尔伯特空间，＝｛一ｒ２兀２／一７，／］／ｒ日Ｍ∈ Ｌ（（ｔ（，）＝Ｑ）Ｉ，）＝一ｔＭｕ，），（一ｔ｝那么集合｛Ｉｎ＝０１２ … ｝ ‰ ｍ，，，，是中的一个标准正交基．以，究方程（）所研１等价于研究方
Ｊ１０Ｏｕ．２１
文章编号：００５６（０００－４６０１０－８２２１）４０２－４
一
类非线性波动方程解的多重性
燕艳菊，赵晓晶，刘肖云
（阳工学院数理系，南安阳安河４５０５０）
摘要：主要考察了在狄利克莱边界条件下的一类非线性波动方程．利用变分方法理论，把无限维的问题

一类非线性偏微分方程弱解的存在性

一类非线性偏微分方程弱解的存在性摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程取足够小，则有，故是压缩映射。

由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。

定理得证。

3 结语由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。

事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。

这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。

满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。

在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。

这也是计算数学中常用的方法。

但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。

这就是理论数学研究的范畴。

参考文献[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。

一类高阶奇异非线性微分方程组边值问题正解存在性和多重性

ｒ
ｌ（５—１ｐ（）＜＋一，５）ｓｉ＝１２，
（）极限
ｌｍｍｉａｎ
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ｉ＝ｌｍ扣ｍｉｎ号
一
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一
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ＬｎｊｎＩＷａ－ｕ（ｐｒｅｔｆＭａｈｍａｉ，ｏｇｏｇＵｉｒｔ，ｉｇａｇ７５０ＧｎｕＣｉａＤｅａｔｎｏｔｅｔＬｎｄｎｎｖｓｙＱｎｙｎ４００，ａｓ，ｈｎ）ｍｃｅｉ
Ａｂｔａｔ：Ｉｈｓｐｐｒｙａｐｙｎｈｅｆｘｄｐｉｔｔｅｒｍ，ｗｅｓｕｙｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｉｅｓｌｔｏｓｓｒｃｎｔｉａｅ，ｂｐｌｉｇｔｅｏｎｈｏｅｉｔｄｈｘｓｅｃｆｐｓｔｖｏｕｉｎ０ｆ２ｐ一２ｑｏｄｒｄｆｅｅｔｌｅｕｔｏｙｔｍｓｗｉｗｏｄｆｒｎｒｍｅｅｓｒｅｉｒｎｉｑａｉｎｓｓｅｔｔｉｅｅｔｐａａｔｒ，ｗｅｓｏｔｔｔｅｓｓｅａｆａｈｆｈｗｈａｈｙｔｍｓｈｓ
错目正解及多解的存在Ｉ：生
ｔ ∈ （１０，）
（１【＝Ａｔｕｔｖｔ）一））ｆ（，（），（），
｛ ’，（（，） ∈ｏ）Ｉ，＝ｇ，）（，（１（（ｔＭ ‘、ｔ） ‘ ＝２／ｉ１ｒ）、－＿），

一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性

一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性非线性椭圆方程是数学中一类重要的问题，它在经典力学、物理理论等领域有着广泛的应用。

随着现代数学的发展，非线性椭圆方程的研究也取得了重要进展。

在解决特定非线性椭圆方程时，如果存在奇异项，那么这类方程就没有解决方案，需要利用一定的非线性方法进行求解，以此来提高求解效率。

那么，一类带有奇异项的非线性椭圆方程是否存在解？本文将讨论该问题，并为此类方程提供算法。

首先，我们定义一类带有奇异项的非线性椭圆方程如下：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$其中A、B、C、D、E、F为常量，A≠0。

根据定义，可以将上式改写为一般形式：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=G^2$$其中G为奇异项，A、B、C、D、E、F依然为常量。

从上式可见，这类方程的奇异项G与其余其六项（A、B、C、D、E、F）之间存在一定的关系，我们可以认为这六项作为变量，奇异项G作为定变量，从而形成一类带有固定系数的非线性椭圆方程组。

例如，若G=2，A=1，B=-3，C=-2，D=-3，E=3则可以形成一类方程组：$$x^2 - 3xy - 2y^2 - 3x + 3y + 4 = 2^2$$接下来我们就来讨论一类带有奇异项的非线性椭圆方程是否存在解。

首先，考虑一个实际的例子：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + 9 = 2^2$$首先，我们将方程转化为：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + (9 - 2^2) = 0$$接下来，我们用非线性方法来求解方程：首先，对上式进行分析，可以得到：a）A=1,B=5,C=4,D=5,E=4,F=7b）A≠0,B^2-4AC<0根据上述得到的结果，可知这是一类带有奇异项的非线性椭圆方程，它的奇异项G=2。

下面，我们就来求解该方程的解。

首先，我们把方程变换成一般式：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + F = G^2$$其中F=7,G=2.我们可以将该方程转化成高斯消元法的形式：$$begin{bmatrix}1 & 5 & 4 & 5 & 4 & 70 & 5 & 4 & 0 & 0 & 2end{bmatrix}$$接下来，我们用该高斯消元法求解方程：将第一行各项除以1，第二行各项除以5，则可得：$$begin{bmatrix}1 & 5 & 4 & 5 & 4 & 70 & 1 & 0.8 & 0 & 0 & 0.4end{bmatrix}$$从而得到求解方程的解：$$x=7-4y,y的值不定$$根据上面的分析，可以得出以下结论：一类带有奇异项的非线性椭圆方程确实存在解，且可以用非线性方法来求解，提高求解效率。

一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性

一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性椭圆方程在数学中是非常重要的，研究它们的解和性质具有重要的意义。

随着数学研究的不断深入，一些研究者开始着手研究一类特殊的非线性椭圆方程，这是一类带有奇异项的椭圆方程。

本文的目的是讨论一类带有奇异项的椭圆方程的存在性。

首先，我们来看看一类带有奇异项的椭圆方程是什么样的：它的形式为：ax^2+2bxy+cy^2+px+qy+r=0，其中a,b,c,p,q,r是实数，b^2-ac=d，d不等于0。

这类方程有着明确的格式，且明确了方程中奇异项的系数。

其次，我们来看一类带有奇异项的椭圆方程的解的存在性。

研究表明，当d>0时，方程有三个实根，当d=0时，方程有两个实根，当d<0时，方程没有实根。

也就是说，当b的平方减去ac的系数结果大于零时，一类带有奇异项的椭圆方程有三个实根；如果结果等于零，就有两个实根；如果结果小于零，就没有实根。

最后，我们来看一类带有奇异项的椭圆方程的解的结构和特性。

这类椭圆方程的解一般来说都是二元一次方程，也就是说，可以将椭圆方程转换成二元一次方程，然后用常见的解法求解。

另外，一类带有奇异项的椭圆方程的解也有一定的特性：当d>0时，解一定是实数；当d=0时，解可以是实数也可以是虚数；当d<0时，解一定是虚数。

综上所述，一类带有奇异项的椭圆方程的存在性可用以上方法确定，它们的解也有明确的结构和特性。

未来研究工作可以深入研究这类椭圆方程的解的性质，以及它们在实际应用中的解法和方法，从而更好地探索数学的精彩。

以上就是关于一类带有奇异项的椭圆方程解的存在性的内容，希望能够帮助读者更好地理解椭圆方程的特性，同时也期待未来的研究能够揭示更多的数学之美。

拟线性非齐次椭圆方程正解的存在性

中图分类号：１５０７文献标识码：Ａ文章编号：６１８６２１）４０９．１７．７（０００．２１０６４
０引言
本文我们研究如下一类拟线性非齐次椭圆方程正解的存在性：
ｆＰ一△ ｕ＋Ｉ＝Ｉｌ ’ （， “ｌＰ — ＋ｈ）戈∈ 尺－
起了多作兴趣４，是这果都赖于ＡＲ条件，存 ∈（，，得：很者的但些结依（．）即在０ｌ使
、
ｒｆ
（．）ＡＲ０＜Ｆ＝ｌ（）ｓｔｔ，＞０（）ｓｄ ≤ｏ（）ｔ．ｆ
Ｊห้องสมุดไป่ตู้
而显然文中的非线性项ｆ／ ‘ 满足（Ｒ条件，使我们运用其他方法来保证（）列的有界（）＝Ｚ不Ａ．）促性．另外当ｈ）０时，（即齐次问题（）的正解的存在性已被很多作者获得－］但是对于非齐次问题，２５，
考虑函数ｇｐｌ（）＝ｔ－
一
～
，
≥ ０，
易见ＩＤ＞０使得ｍｘｇｔ，ａ（）：ｇ１（）＝ｍ，当Ｉ，＜ｍ时，Ｄ则Ｉｈ
我们有
，），（ｌ … ≥ａ＞０成立．
。¨ 】Ｐｎ
对引理中的ｌ记ＢＤ，＝｛１（，ｌｕＥ ’ Ｒ）ｌ以得到，的一个局部极小值．
淮阴师范学院学报（自然科学）
第９卷
）１ｌ＋ｌ一．“－』 “ ：￣ＶＩＰ吉ＩＩｄ）ｆ “ｄ『一ｄｑｔｕ

一类非线性椭圆方程正解的存在性

９２７
数学物理学报
Ｖ１８Ｏｌ２Ａ．
其中Ｑ＝Ｑ × ～，是有界光滑区域，１＜Ｎ，（）ｉ（，）得到了方程 Ⅳ Ｑｃ＜ｄｘ＝ｄｔ ∑ ，ｓｘ非平凡解的存在性．文献［则研究了方程３］
嗨
∈ Ｑ
∈ａＱ．
（．）的存在性进行讨论，我们得到的主要结果是１１解定理１１设Ｎ３ ∈（，）Ｑ是 Ⅳ中的有界光滑凸形区域，ｆ∈Ｌ。，０，上ｆｘ０ｆｘ ≠ ０是一个实参数．那么存在＞０使得方程（），（）；，
△ ．
．
∈Ｑ．
ｕ＝０．
（．１）１
∈ ０Ｑ．
其中 ∈（，）ＱＣ Ⅳ Ｊ３是有界光滑凸形区域，（）＝ｄｔ，ａ，：Ｎ是０，（）７ｖ：ｉ（ｏ）２＝２ｓｘＳｂｌｏｏｅｖ临界指数，－）满足适当条件的给定函数．，，是（近年来，形如（．式类非线性椭圆方程越来越引起人们的注意．１）１例如，文献［讨论了１］
其中【Ｃ２（Ｎ３是有界光滑区域，０，＜＝（一２／，＞０得出了一定） ∈Ｑ０Ｎ）４，条件下正解的存在性，研究这类方程的参考文献较多，如文献［７１】４，２等．在此基础上，本＿文致力于研究同时带有反平方位势６２ｘ－）与Ｓｂｌｏｏｅｖ临界指数的方程（．，１）当：０时，１方程非奇异，文献［］１已给出问题（．正解的存在性；当 ≠０时，此时方程（．带有奇０１１）１１）异项，据我们所知，目前这类问题尚未被研究过．我们研究方程（．）出发点是下面改进型Ｈａｄ等式【，１１的ｒｙ不８即．ｌＩｘ＞１２ｄ＋ｃ（）Ｑ血

一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性的开题报告

一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性的开题报告
椭圆方程共振问题是指存在一种非线性椭圆方程，其解具有多重性质，即存在多个不同形态的解。

这类问题具有广泛的应用背景，例如在物理学、生物学、化学等领域的研究中都存在这种问题。

椭圆方程解的存在性和多重性一直是一个热门的研究领域，其中最具代表性的问题是Liouville方程的研究。

在19世纪，Liouville首次研究了一类具有特殊非线性项和特定域的二维椭圆方程，并发现该方程具有非平凡解的存在性和多重性。

此后，许多学者继续研究该问题，并提出了许多解的存在性和多重性的判定条件。

基于这些研究成果，学者们提出了一系列解决共振问题的方法，其中包括正则化技术、KAM理论等，这些方法都能够有效地解决椭圆方程共振问题。

总之，椭圆方程共振问题的研究对于深入理解自然现象及其背后的数学本质具有重要意义。

目前，该问题仍存在许多未解决的问题，需要继续深入研究。

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当ｍ ≤０时，方程中的低阶项不发生奇性，但关于梯度ｌｕ有自然增长，ｌ此种情形的方程或者更
一
般的非线性ＬｒｙＬｏｓｅａ— ｉ型椭圆方程已经得到人们的广泛关注Ｊ当ｍ＞０时，程中的低阶项在ｎ．方
使ｕ＝０的点处出现奇性．文献［］６考虑了一类奇异非线性ＬｒｙＬｏｓｅａ—ｉ型椭圆方程，在假定边界函数ｎ并
ＥｘｓｅｃｎｕｔｐｉｉｙｏｏｕｉｎｏｉｔｎｅａｄＭｌｉｌｔｆＳｌｔｏｓｆｒｃａＮｏｌｎａｉｇｌｒＥｌｐｉｕｔｏｎｉｅｒＳｎｕａｌｔｃＥｑａｉｎｉ
ＡｂｔａｔｈｓｐｐｒｉｄｖｔｄｔｈｘｓｅｃｎｌｐｉｉｆｔｅｓｌｔｎｆｔｅｈｍｏｅｏｓＤｒｈｅｓｒｃ：Ｔｉａｅｓｅｏｅｏｔｅｅｉｎｅａｄｍｕｔｌｔｏｏｕｉｓｏｏｇｎｕｉｃｌｔｔｉｃｙｈｏｈｉ
维普资讯
第４６卷
第４期
吉林大学学报（理学版）
ＪＵＮＬＯＩＩＮＶＲＩＹ（ＣＥＣＤＴＯＯＲＡＦＪＬＮＵＩＥＳＴＳＩＮＥＥＩＩＮ）
Ｖｏ．６Ｎ．１４ｏ４
ｐｏｌｍｏｏｌｎａｉｇｌｒｅｌｐｉｑｕｔｎｗｉａｕａｒｗｔｎｔｅｇａｉｎ．Ｔｒｏｓｆｒｔｅｍａｎｒｂｅｆｒａｎｎｉｅｒｓｎｕａｌｉｔｃｅａｉｔｎｔｒｌｇｏｈｉｈｒｄｅｔｈｅｐｏｆｈｉｏｈｏｒｓｌｓａｅｂｓｄｏｒｏｓｉｔｆｔｅｓｌｔｏｆａｐｏｉｔｒｂｅｎｏｅｕｔａｅｎａｐｒｅｔｒｉｍａｅｏｈｏｕｉｎｓｏｐｒｘｍａｅｐｏｌｍｓａｄｃｍｐａｔｓｅｈｎｑｓｃｎｅｓｔｃｉｕｅ．
ＷＥＩＸｉｏｄｎａ．ａ
（ｃｏｌｆＣｍｕｅＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｙＤｌｎＮｔｎｌｉｎｅｉ，ａｉｎ１６０Ｌａｎｎｒｉｃ，ＣｉａＳｈｏｏｏｐｔｃｅｃｎｅｈｏｇ，ａｉａｉａｉｅＵｉｒｔＤｌ１６０，ｉｉＰｏｎｅｈｎ；ｒｃｏａｏｔｓｖｓｙａｏｇｖＩｓｔｔｏｔｅａｉ，ｉｎＵｉｒｉ，ｈｎｃｕ３０２ｈｎ）ｎｔｕｅｆＭａｈｍｔｓＪｉｎｅｔＣａｇｈｎ１０１，Ｃｉａｉｃｌｖｓｙ
２００８年７月
Ｊｌ２０ｕｙ０８
研究快报
一
类非线性奇异椭圆方程解的存在性和多重性
魏晓丹
（大连民族学院计算机科学与技术学院，辽宁大连１６０；吉林大学数学研究所，１６０长春１０１）３０２
ｕ）＋（／ｌｕ＝厂，ｕ＞０于，Ａｕ）．）ｌ（，、， Fra bibliotekＩｕ：０
，
在ａ上，
其中是Ｒ（ Ⅳ≥２中的有界区域且其边界ａ充分光滑，１＜）Ｐ＜∞ ，Ａ≠０，＞０ｆ）可测函数．ｍ，（是方程（）于对非Ｎｗｏ体的研究 ¨ ．１源ｅｔｎ流
Ｋｙｗｏｄｅｒｓ：ｓｎｕａｌｐｉｑａｉｎ；ｓｌｔｎ；ｅｉｔｎｅｉｇｌｒｅｌｔｅｕｔｉｃｏｏｕｉｏｘｓｃ；ｍｕｔｌｉｅｌｐｉｔｉｃｙ
考虑一类非线性奇异椭圆方程的Ｄｒｈｅ问题：ｉｃｌｔｉ
［ｉ（ｕｄｖ１ｌ
有一个正下界的条件下证明了正解的存在性和局部Ｃ正则性．边界函数的正下界表明解也存在相同的正下界，而使低阶项的奇性消失．从本文考虑ｍ＞１的情形，研究问题（）空间１在（）ｎ（）中解的存在性和多重性．当０＜＜１ｍ以及ｍ≥１时，虽然方程中的低阶项都有奇性，但二者有本质不同．研究结果表明，前一种在情形，多有一个解；而对于后一种情形，至少有两个解．证明分两步：首先，在一般的区域上证明问至题（）１存在一个连续正解；其次，针对为圆心在坐标原点的单位球以及ｆ）（为径向对称函数（即
摘要：研究一类具奇性和退化性的非线性椭圆方程Ｄｒｈｔｉｃｌ问题，通过构造适当的逼近问题ｉｅ并结合紧致方法，证明了解的存在性和多重性．关键词：奇异椭圆方程；解；存在性；多重性中图分类号：０７．５１５２文献标识码：Ａ文章编号：６１５８（０８０－５－１７－４９２０）４０３０６２