空间中的角、向量的概念和拆解
高一数学空间角的知识点
高一数学空间角的知识点在高一数学的学习中，我们会接触到许多重要的概念和知识点。
其中，空间角作为数学中的一个重要概念，起着非常关键的作用。
本文将通过对空间角的介绍和相关知识点的探讨，帮助读者深入理解和掌握高一数学中的空间角。
一、什么是空间角？空间角是指位于同一平面内的两条射线之间的夹角。
它可以用来描述物体的旋转或者两个线段之间的方向关系。
空间角的大小通常用角的弧度或者度数来表示。
在几何学中，我们通常使用度数来度量空间角。
二、空间角的计算方法计算空间角时，我们需要先确定两条射线的起始点、共同点和终点。
在具体计算时，可以借助坐标轴或者向量的方法来帮助我们进行求解。
下面通过几个具体的例子来说明空间角的计算方法。
1. 用坐标轴计算空间角假设有两条射线分别为AB和AC，我们可以在坐标轴上确定它们的位置。
设A点的坐标为(0,0,0)，B点的坐标为(x1,y1,z1)，C 点的坐标为(x2,y2,z2)。
首先计算向量AB和向量AC的点积，即(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)。
然后计算向量AB和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的点积公式cosθ =(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) / (|AB|·|AC|)。
2. 用向量计算空间角利用向量的方法，我们可以将空间角转化为向量间的夹角。
首先计算向量AB和向量AC的内积，即AB·AC。
然后计算向量AB 和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的内积公式cosθ = AB·AC / (|AB|·|AC|)。
三、空间角的性质空间角具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用空间角。
1. 空间角的值域空间角的值域为[-1, 1]。
当两条射线共线时，空间角等于0；当两条射线垂直时，空间角等于1或者-1，具体取决于旋转方向。
2. 空间角的加法公式空间角的加法公式是指当两个角相加时，结果等于新的角的余角。
学空间向量与立体几何空间向量与空间角
两条平面的夹角的应用
总结词
两条平面的夹角是三维空间中另一种常见的空间角，其 应用包括判断两个平面是否平行、垂直以及计算两个平 面的夹角余弦值等。
详细描述
在三维空间中，两条平面的夹角通常是指这两个平面之 间的最小角。这个夹角可以通过空间向量的方法进行计 算。首先，我们需要找到分别属于两个平面的两个向量 ，然后通过点积和模长计算出夹角的余弦值，最后通过 反余弦函数即可求出夹角的度数。通过两条平面的夹角 余弦值可以判断这两个平面是否平行或垂直，以及计算 出夹角的度数。
02
空间向量的应用
用向量表示空间中的点与面
向量可以表示空间中的点
通过使用空间向量，我们可以方便地表示空间中的点，这使得我们能够轻松 地计算两点之间的距离和方向。
向量可以表示空间中的面
通过使用空间向量，我们可以表示空间中的面，包括平面的位置和方向。这 对于研究立体几何中的问题非常有用。
用向量解决空间几何问题
用向量解决空间角问题
利用空间向量的概念，我们可以轻松地计算两个向量之间的夹角，从而解决空间 角问题。
用向量解决立体几何问题
通过使用空间向量，我们可以方便地解决立体几何中的问题，例如求两平面之间 的夹角、点到平面的距离等。
向量在物理中的应用
用向量表示力
在物理学中，我们经常需要研究力的合成与分解。通过使用空间向量，我们可以方便地表示力的大小和方向。
学空间向量与立体几何空间 向量与空间角
2023-11-05
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的应用 • 空间角的概念 • 空间角的应用 • 空间向量与空间角的数学模型 • 空间向量与空间角的相关定理和公式
01
空间向量的基本概念
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
空间几何中的方向角与向量
空间几何中的方向角与向量在空间几何中，方向角与向量是两个重要的概念。
方向角是用来描述一个向量与某一参考方向之间的夹角，而向量则是用来表示一个有大小和方向的量。
本文将探讨方向角与向量的概念、性质以及它们在实际应用中的重要性。
一、方向角的定义与性质方向角是指一个向量与某一参考方向之间的夹角。
在空间几何中，我们通常以坐标轴的正方向作为参考方向。
对于一个向量，我们可以通过计算它与坐标轴的夹角来确定它的方向角。
方向角的取值范围是0°到360°。
当向量与坐标轴的夹角为0°时，方向角为0°；当向量与坐标轴的夹角为180°时，方向角为180°；当向量与坐标轴的夹角为360°时，方向角为360°。
方向角还可以是负值，当向量与坐标轴的夹角超过360°时，方向角为负值。
方向角与向量的关系密切。
同一个向量在不同坐标系下的方向角可能不同，但它的方向是不变的。
方向角可以用来描述向量的方向，而向量可以用方向角来表示。
方向角还可以用来比较两个向量的方向是否相同。
二、向量的定义与性质向量是空间几何中的一个重要概念，它表示有大小和方向的量。
在空间中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量有很多性质。
首先，向量可以进行加法和减法运算。
当两个向量的方向相同时，它们可以直接相加或相减。
当两个向量的方向相反时，它们的大小相等，但方向相反，可以用减法运算表示。
其次，向量可以与实数相乘，这个运算称为数乘。
数乘改变向量的大小，但不改变它的方向。
最后，向量还可以进行点乘和叉乘运算。
点乘的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角的余弦值。
叉乘的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量。
三、方向角与向量的应用方向角与向量在实际应用中有着广泛的应用。
在物理学中，方向角可以用来描述物体的运动方向。
例如，当我们抛出一个物体时，可以通过测量它的方向角来确定它的运动方向。
高中数学中的向量知识全面解析
高中数学中的向量知识全面解析向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域有着广泛的应用。
了解和掌握向量的概念、性质和运算法则对于高中数学学习以及日后的学习和工作都具有重要意义。
本文将对高中数学中的向量知识进行全面解析。
一、向量的定义在几何中，向量可以定义为有方向和大小的量。
向量常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
我们常常用点A和点B来表示向量，记作→AB或者A B。
向量可以用有序数对(x, y)来表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
二、向量的性质1. 相等性：两个向量相等的条件是它们的大小相等且方向相同。
2. 零向量：大小为零的向量称为零向量，记作0或→0。
3. 负向量：对于任意一个非零向量→a，存在一个向量−→a满足→a+(−→a)=0。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，有→a+→b=→b+→a和(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 数乘运算：向量的数量乘法是指把向量的每个分量都乘以同一个实数，得到一个新的向量。
数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意实数k和向量→a、→b，有k(→a+→b)=k→a+k→b和(k+m)→a=k→a+m→a。
四、向量的表示1. 分解表示：给定向量→a，可以把→a沿着某个方向分解为两个垂直方向的向量，分别称为→a在该方向上的投影和→a在该方向上的垂直分量。
2. 坐标表示：在二维直角坐标系中，可以用向量在x轴和y轴上的投影来表示向量。
向量→a的坐标表示为(x, y)，其中x为→a在x轴上的投影，y为→a在y轴上的投影。
五、向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→a|。
对于二维向量(x, y)，其模为√(x²+y²)。
六、向量的共线与夹角1. 共线性：如果两个向量→a和→b的方向相同或相反，则称→a和→b共线。
《向量的概念》 知识清单
《向量的概念》知识清单一、向量的定义向量，是既有大小又有方向的量。
与只有大小没有方向的数量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
在物理学中，力、位移、速度等都是向量的实际例子。
比如，一个力不仅有大小（力的强度），还有方向（力的作用方向）；一个物体的位移，既有移动的距离（大小），又有移动的方向。
二、向量的表示1、几何表示向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作，其长度记作。
2、字母表示向量通常用小写的英文字母来表示，如、、等。
手写时，在字母上方加一个箭头，如。
三、向量的模向量的大小称为向量的模，记作或。
例如，对于向量，其模。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同，但模都为 1。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
平行向量也称为共线向量。
如果两个向量平行（共线），可以记作。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若与相等，记作。
八、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线就是与的和。
2、向量的减法（1）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
（2）向量减去向量等于加上的相反向量，即。
3、数乘向量实数与向量的积是一个向量，记作。
它的长度；它的方向：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，。
九、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。
对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对（x, y) 叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
向量的分解知识点总结
向量的分解知识点总结一、向量的基本概念向量是向量代数中的基本概念之一，它是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在数学、物理、工程等领域中广泛应用，是研究力、速度、位移、位矢等物理量的重要工具。
在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a=(a1,a2)表示在x轴方向的分量为a1，在y轴方向的分量为a2。
在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，如向量a=(a1,a2,a3)表示在x轴、y轴和z轴方向的分量分别为a1、a2和a3。
除了用坐标表示，向量还可以用向量的模和方向角表示。
向量的模表示向量的大小，用|a|或||a||表示，向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ表示。
二、向量的线性组合向量的线性组合是向量代数中的一个重要概念，它是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的新向量。
设有n个向量a1,a2,...,an，实数λ1,λ2,...,λn，称向量b=λ1a1+λ2a2+...+λnan 为向量a1,a2,...,an的线性组合，其中λ1,λ2,...,λn称为向量a1,a2,...,an的系数。
向量的线性组合具有以下性质：1. 交换律：对于任意向量a,b，有a+b=b+a。
2. 结合律：对于任意向量a,b,c，有a+(b+c)=(a+b)+c。
3. 数乘结合律：对于任意向量a,实数λ,μ，有(λμ)a=λ(μa)。
4. 数乘分配律：对于任意向量a,b,实数λ,μ，有λ(a+b)=λa+λb。
5. 向量加法和数乘运算满足分配律。
三、向量的分解向量的分解是指将一个向量分解成若干个向量的线性组合，常见的向量分解有向量的基底分解和向量的正交分解。
1. 向量的基底分解设有向量a和一组线性无关的向量b1,b2,...,bn，如果向量a可以表示为向量b1,b2,...,bn的线性组合，即a=λ1b1+λ2b2+...+λnbn，则称向量a关于向量b1,b2,...,bn的基底分解。
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1、（2015•新课标 1）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．（Ⅰ）证明：平面 AEC 丄平面 AFC
（Ⅱ）求直线 AE 与直线CF 所成角的余弦值．
2、（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面 ABC；
（2）若点M 在棱 BC 上，且二面角 M﹣PA﹣C 为 30°，求 PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
3、（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD ∠DAB=60°，FC⊥平面 ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 AED；
（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C 的余弦值．
11111（Ⅰ）证明：BC1∥平面 A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E 的正弦值．
∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点．
（1）证明：直线 CE∥平面 PAB；
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值．
1111
M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1 的中点，点P，Q 分别在棱 DD1，
BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1 时，证明：直线BC1∥平面 EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
向量的概念和拆解
1．（2014春•袁州区校级期中）（Ⅰ）化简﹣+；
（Ⅱ）如图，平行四边形ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 的中点，G 为交点，若= ，= ，试以，为基底表示、、．
共线．
2．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点M 是 AB 的中点，点 N 是BD 上一点，BN= BD，求证：M，N，C 三点
若=x ，=y ．试问：+ 是否为定值？
= 2 A D 爪子定理
1、（2008 年高考全国Ⅰ卷理科第 3 题文科第 5 题）在△ ABC 中， → = c ，→
= b .若点 D 满足
→ → B D D C
，则 → 等于（ ）
AB AC
A. 2 b + 1
c B. 5 c - 2
b C. 2 b - 1
c D. 1 b + 2
c 3
3
3
3
3
3
3
3
CD
2、（2006 年高考广东卷理科第 4 题）如图 2，D 是△ ABC 的边 AB 上的中点，则向量→等于（）
A. -→+1 →
B. -→-1 →
BC 2 BA BC 2 BA
C. →
-
1 →
D.
→
+
1 →
BC 2 BA BC 2 BA
图2图3
→ BC = 3 →
CD （ ） A . → = - 1 → + 4 →
B . → = 1 → - 4 → AD 3 AB 3 A
C A
D 3 AB 3 AC C . → = 4 → + 1 → D . → = 4 → - 1 → AD 3 AB
3 AC AD 3 AB
3 AC
4、（2008 年高考广东卷理科第 8 题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点 O，E 是线段OD 的
中点，AE 的延长线与CD 交于点 F，若→
AC =a ，
→
BD
=b ，则
→
等于（）
AF
A.1
a +
1
b
4 2
B.
2
a +
1
b
3 3
C.
1
a +
1
b
2 4
D.1
1
a +
2
b
3 3
5、（2010 年高考全国Ⅱ卷理科第 8 题文科第 10 题）在△ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平分∠ACB，若→=a, →=b ，a = 1, b = 2 ，则→等于（）
CB CA
A. 1
a +
2
b
3 3
CD
B.
2
a +
1
b
3 3
C.
3
a +
4
b
5 5
D.
4
a +
3
b
5 5
6、（2014 年高考天津卷理科第 8 题）已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD=120°，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，BE=λBC，DF=μDC.若 → ⋅ →
= 1 → ⋅ → = - 2 ，则λ+μ等于（ ）
A. 1 2
B. 2 3 AE AF
C. 5 6 ，
CE CF
3 D. 7 12
→
,
→
,
→→→
OA OB OC OA OB
为 120°，→与→的夹角为 30°，且→=→ = 1, →= 2 ，若→=λ →+μ →(λ，μ ∈ R)，则OA OC
λ +μ= .
OA OB OC OC OA OB
3
8、（2007 年高考江西卷理科第 15 题）如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点M，N，若→=m
AB
→→
，
AM AC
=n
→
，则m +n = .
AN
9 、（ 2013 年高考江苏卷理科第 10 题） 设 D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ， BC 上的点，
AD = 1 AB ，BE = 2
BC ， 若 → = λ → + λ → (λ ，λ ∈ R )，则λ + λ = .
2 3
DE 1 AB 2 AC 1 2 1 2
→→
→→→
OA OB
为120°，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动.若
OC
.
=x =y
OA OB
,其中x,y∈R，则 x+y 的最大值是
11、（2006 年高考湖南卷理科第 15 题）如图，OM∥AB，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且→=x →+y →，则 x 的取值范围是;当x =1 时，y
OP OA OB 2
的取值范围是.
{}→=a ⋅→+a ⋅→
n OB 1 OA 200 OC
n
等于（）
且A，B，C 三点共线（该直线不过原点O），则S
200
A.100
B.101
C.200
D.201
13、（2002 高考全国新课程卷理科第 10 题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A（3,1），B（-1,3）两点，若点 C 满足→=α→+β→，其中有α，β∈R ，且α+β= 1 ，则点 C 的轨迹方程为
OC OA OB
（）
A.3x + 2 y -11 = 0 C.2x -y = 0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
D.x + 2 y - 5 = 0
，
满足
BM
= 3
→→
MC DN
= 2 ，则⋅
NC AM NM
等于（）
A.20
B.15
C.9
D.6
14、（2015 年高考四川卷理科第 7 题）设四边形ABCD 为平行四边形，→= 6 →= 4 ，若点M，N
AB
，
AD
()()()()三点共线1+1=
a b。