运筹学习题参考解答 机械 版
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为6x2 _ 6st ]4x1+2x2>4X i,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为％=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为4x2乞9a )s.t」5为+2x2兰8x1, x^ 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x」1,3(5X1 +2X2 =8 & =2 I 2丿这时的最优值为Z max = 10 1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23\ 4x2 x3 = 9 s.t <5^+2x2 +x4 =8X i,X2,X3,X4 —0z所以有—1,3 ,Z max=10 1 5I 2 丿 2 2P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2x3x4/+3X2+x4兰82咅+x2<6彳x2+X3 +x4兰6X,+ x2+ X3<9XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X^(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y26y39y4\i+2y2 +y4 兰23yr H y<H yr H y^4彳y^y^iy i, y2,y3,y4—0(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2 y4 = 23y1 y2 y a y^4I y a + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 < 9 - y4=0y1 2y2 =2从而有+y2 +y a =4L ya =1得Y1 ,Y2 ,Y a = 1,y4 = 05 5所以对偶问题的最优解为y* =(4,3,1,0)T，最优值为W min =165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:min z = 60x i 40x2 80x3” 3x i + 2x2 + X3 兰24x i + X2 + 3x^ > 42x i +2X2 +2x3 兰3x i,x?,x^ >0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W60』2% +y2 +2y3 玄40y i 3y2 2y3 — 80[y i,y2,y^0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40X2-80X3—3x i — 2x? — X3 + X4 = -2~4x<i — x? — 3X3 + X5 ——4-2 X i — 2 X2 — 2 X3 + = _3X j "j =1川,6x* 5,?,O)T,Z max =60 540 - 80 06 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
运筹学习题解答
运筹学习题解答EX11、某铜⼚轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进⾏切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是⼀样的。
问应如何切割可使所⽤的原铜板为最少？解：本问题是⼀个套材下料问题，⽤穷举法找到所有可能切割的⽅式并建⽴数学模型：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T.3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110xi≥0 （i=1，2…..10）⽤LINGO编程：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;3*x1+2*x2+2*x3+x4+x5+x6>=75;x2+2*x4+x6+3*x7+2*x8+x9>=50;x3+3*x5+x6+2*x8+3*x9+4*x10>=110;得出结果：Global optimal solution found.Objective value: 63.33333Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 18.33333 0.000000X2 0.000000 0.5555556E-01X3 0.000000 0.1111111X4 0.000000 0.1111111X5 20.00000 0.000000X6 0.000000 0.1666667X7 0.000000 0.1666667X8 25.00000 0.000000X9 0.000000 0.5555556E-01X10 0.000000 0.1111111Row Slack or Surplus Dual Price1 63.33333 -1.0000002 0.000000 -0.33333333 0.000000 -0.27777784 0.000000 -0.2222222结论：最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
运筹学答案_第_12_章__排序与统筹方法
习题 1 解：各零件的平均停留时间为： 6p1+5p2 +4p3 +3p4 +2p5 + p1 6 由此公式可知，要让停留的平均时间最短，应该让加工时间越少的零件 排在越前面，加工时间越多的零件排在后面。 所以，此题的加工顺序为：3，7，6，4，1，2，5
习题 2 解：此题为两台机器，n 个零件模型，这种模型加工思路为：钻床上加工时v 1aFra bibliotekv 2
b
v4
c
d
v 3
设第 V 发生的时间为 x ，(V, V)间的工序提前完工的时间为 y
i
ij
目标函数 min f = 4.5(x4 −x1)+ 4y12 + y24 +4y23 + 2y34
s.t. x2 − x1 ≥3− y12 x3 − x2 ≥ 4− y23 x4 − x2 ≥7− y24 x4 − x3 ≥5− y34 x1 = 0 y12 ≤2 y23 ≤2 y24 ≤4 y34 ≤3 xi ≥ 0, yij ≥0
这个正态分布的均值 E(T) =12.08
2
2
2
其方差为：σ ＝σb ＋σd ＋σg ＝０.70 则σ ＝０.84
当以９８％的概率来保证工作如期完成时，即：φ(u) =0.98，所以 u=2.05
此时提前开始工作的时间Ｔ满足： T −12.08 =2.05 0.84
所以Ｔ＝13.8 ≈14
习题 7 解：最短的施工工时仍为４＋５＋６＝１５ 具体的施工措施如下：
以上 i=1，2，3，4； j=1，2，3，4 用管理运筹学软件中的线性规划部分求解，得到如下结果： minf=46.5 x1=0,x2=1, x3=5,x4=7,
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学练习参考答案
线性规划问题1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。
已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见（（2） 产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；（3） 如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。
解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。
该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上述线性规划问题。
化为标准形式：123123123123123max 10641001045600..226300,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩123456123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3（2）设产品III 每件的利润为c 3产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。
（3）设x 7为新产品的产量。
177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫⎪=-=-=>⇒ ⎪ ⎪⎝⎭值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭()1333333335/66,10,01/620/3020/34B B c C B P c C P c c c σ-'=-=-⎛⎫⎪=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 2、已知下列线性规划问题：12312312312312363336022420..33360,,0maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：123456123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解. （2）该问题的对偶问题为：123123123123123min 6020603236233..433,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥⎩对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题： 求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
运筹学课后习题答案
答： 与一般线性规划的数学模型相比;运输问题的数学 模型具有如下特征：1 运输问题不象一般线性规划问题 那样;线性规划问题有可能有无穷多最优解;运输问题只 有有限个最优 2 运输问题约束条件系数矩阵的元素等于 0或1；且每一列有两个非零元素 3 运输问题的解的个数 不可能大于m+n1个
2022/10/19
22
经过调整和检验;得到最后一表330才是本问题的最优解即 z*=36
经检查;沃格尔法计算所得结果z=35虽然不是最优解;但 是比较接近最优解
2022/10/19
23
5
表329
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
3
2
解：1表328用三种方法计算;用闭回路法检验 ①用最小元素法计算如下表所示
2022/10/19
6
① 最小元素法求解如下：
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
4 5 1 34
68
⑤
A2 A3 销量
51
2
5 30 8
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：2表329用三种方法计算;用位势法检验 因为总产量 =13;总销量=10;所以该题的总产量＞总销量;所以该题 是产销不平衡的问题;故假设一销地B5 ①用最小元素法计算如下表所示
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2 1
0 12 34 A
X2
5
B4
3
A
2
1
x1 B
D
C
Z*
由图可知最优解为 A,B 两直线的交点即
7 3
2 3
T
z*
1 3
0 1 2 3 4 5 6 x1
4
(3)Max z= x1+ 2x2 s.t: 2x1- x2≤6 3x1+ 2x2≤12 x1 ≤3 x1，x2≥0
(A) (B) (C)
同时为基本可行解， z 8
对应 B4的基本解为6 0 0 0 2T
对应 B5的基本解为 0
14 9
20 9
0
0T
同时为基本可行解，
z
2 3
对应 B6的基本解为0 1 0 5 0T
同时为基本可行解， z 1
对应 B7的基本解为0 6 0 0 20T
对应 B8的基本解为0 0 4 14 0T
x1 2x2 4x3 x4 6
s .t
:
2x1 3x2
x1
x3
x4
4x3 4
x4
12
x1, x2 , x3 , x4 0
x1 2x2 4x3 x4 x5 6
s .t
:
2x1 3x2
x1
x3
x4
x3 x4 x7
4
x6
12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0
0
22 5 0 1 0
1
1 [3] -2 0 0 1 -1
对应B9的基本解为：0 0 0 18 12 0T 同时又为基本可行解
3. 用图解法求解以下线性规划问题
X2
(1) Max z= 3x1 -2 x2 s.t: x1 + x2≤1 (A) x1+2 x2≥4 (B) x1 ，x2≥0
可行域为空集，无可行解，∴原问题无最优解。
(2) Min f= x1 - 3x2 s.t: 2x1- x2≤4 (A) x1 + x2 ≥3 (B) x1≤4 (C) x2≤5 (D) x1 ，x2 ≥0
第二章 线性规划建模及单纯形法
1． 将下列线性规划问题化为标准型
(1)Max z=3 x1+5x2-4x3+2x4
2x1 6x2 x3 3x4 18
s .t
:
x1x1
3x2 4
x2
2x3 3x3
2x4 5x4
13 9
x1, x2 , x4 0
引入松弛变量： x5 , x6 ;令x3 x3 x3
:
2xx11
3x2 x2
3 5
s.t
:
2x1 3x2 x3 3 x12 3x2 x4
5
x1, x2 0
x1, x2 , x3 , x4 0
CB
XB
0
X3
0
X4
-z
X1 X4
-z
bˊ
3 5 0 1.5 6.5 -4.5
3
2
X1
X2
[2]
-3
-1
1
3
2
1
-3/2
0
-1/2
0
13/2
x1 x2 x3 12
s .t
:
2xx11x32x2
x3 9
6
x1, x2 , x3 0
CB
XB
bˊ
0
X4
12
0
X5
6
0
X6
9
-z
0
0
X4
9
1
X1
3
0
X6
12
-z
-3
1
X3
6
1
X1
6
0
X6
15
-z
-12
x* 6 0 6 0 0 15T
Maxz x1 2x2 2x3
x1 x2 x3 x4 12
2x1 3x2 x3 x3 2x4 x5 51
s .t
:
2x31x1
4
2x2 x2
2x3 3x3
2x3 3x3
x4 2x4
x6 15
7
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5 , x6 0
2. 求出以下不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）
-1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
-1
0
0
此无穷多最优解满足条件
x1 x3 12 2x1 x3 6
其中
x2≡0,解得无穷多最优解在线段
x1+
x3=12
（两
端点为 0 0 12T , 6 0 6T 最优解为 z* 12
(4)M inf 2x1 x2 3x3 5x4
M inf 2x1 x2 3x3 5x4
P2
2 2
33
B2 P1
P3
2 2
3 4
B3 P1
P4
2 2
10
B2 P1
P5
2 2
10
B5 P2
P3
3 3
43
B6 P2
P4
3 3
10
B7 P2
P5
3 3
0 1
B8 P3
P4
3 4
10
2
B9 P3
P5
3 4
10
B10 P4
P5
1 0
10
对应B1的基本解为：令x 3
x4
x5
0得2x21x1
2x1 3x2 3x3 6 (1) 2x1 3x2 4x3 12
x1, x2 , x3 0
2x1 3x2 3x3 x4 6 2x1 3x2 4x3 x5 12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
A= P1
P2
P3
P4
P5
2 2
3 3
3 4
1 0
10
B1 P1
10
5
B9 P3
P5
2 1
10
共 10 个基
B10 P4
P5
1 0
10
对应B1的基本解为：令x 3
x4
x5
0得
x1 x1
x2 6 4x2 4
x1 x2
20 3
2 3
即
20 3
2 3
0
0
0T
同理
对应
B2的基本解为
14 3
0
2 3
0
0T
同时为基本可行解，
z
26 3
对应 B3的基本解为4 0 0 2 0T
6
0 X3 1 0 0 1/2 1/2 -3/2
0
X4 0 1.5
1
-
0
0
1
0
∵a21ˊ与 a22ˊ都小于 0，∴原问题没有最优解
(2)Maxz x2 2x3
Maxz x2 2x3
x1 3x2 4x3 12
s.t : 2x2 x3 12
x1, x2 , x3 0
x1 3x2 4x3 12 s.t : 2x2 x3 x4 12
标准型为：
Maxz 3x1 5x2 4x3 4x3 2x4
2x1 6x2 x3 x3 2x4 x5 18
s .t
:
x1
x1
3x2 4
x2
2x3 3x3
2x3 3x3
2
x4 5x4
x6 9
13
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5 , x6 0
(2)M inf x1 5x2 2x3
3x2 3x2
6 12
x1 x2
3 2
3
即
3 2
3
0
0
0T
同理对应
B2的基本解为
6 7
0
18 7
0
0T
对应 B3的基本解为 6 0 0 18 0T
对应 B4的基本解为3 0 0 0 18T 同时又为基本可行解
对应 B5的基本解为0 4 6 0 0T
对应 B6的基本解为0 4 0 6 0T
3x1 2x2 4x3 6
s .t
:
2x1x1x32 x2
x3
x3
9
5
x1 0, x2 0
令 z f ,则Maxz x1 5x2 2x3
引入松弛变量： x4 , x5 ;令x2 x2 , x3 x3 x3
标准型为：
Maxz x1 5x2 2x3 2x3
3x1 2x2 4x3 4x3 x4 6
1/2 0
-
0 7/2 -1/2
0
1/2 1
-
0 -5/2 3/2
0
-1/2 0
0 1/3 1 1 2/3 0 0 11/3 0
2/3 -1/3 0 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1
0 -3
0
-1
00
X5 为非基变量，其检验数为 0，∴可能存在无穷多最优解 做进一步迭代，令 X5 为进基
7
CB
对应B4的基本解为：18 0 0 0 48 0T 同时又为基本可行解
对应B5的基本解为：0
4
10 3
0
0
0T 同时又为基本可行解
对应B6的基本解为：0 4 0 10 0 0T 同时又为基本可行解
对应B7的基本解为：0 4 0 0 15 0T
对应B8的基本解为：0 0 6 0 12 0T 同时又为基本可行解
Max z=2 x1+ x2 - x3 s.t: x1+ x2 +2x3 ≤6