2020年河北省秦皇岛市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2020年河北省秦皇岛市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若i 为虚数单位，复数m i i-与()21i +的虚部相等，则实数m 的值是 A ．1-B ．2C ．1D ．2-2．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.843．设0.213121log 3,,53a b c⎛⎫⎪⎝⎭===,则（ ）A ．a b c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ． b a c <<4．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A ．0B ．256C ．64D ．1645．在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（ ）．A ．B ．C ．D ． 6．已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<8．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为 A ．14B ．15C ．16D ．179．已知b 的模为1．且b 在a 3a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．若()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-L ，i a ∈R ，i =0，1，2，3，…，6，则()0166a a a a +++L的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．211．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<12．在ABC V 中,,B C 为锐角, sin sin a b B c C =+ ,则ABC ∆的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.14．若将函数6()f x x =表示为260126()(1)(1)...(1)f x a a x a x a x =+++++++，其中126,,..,a a a 为实数，则3a 等于 _______.15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．已知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，则()30f x -<的解集为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．甲将要参加某决赛，赛前A ，B ，C ，D 四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A ，B 选择甲的概率均为m ，C ，D 选择甲的概率均为()n m n <，且四人同时选择甲的概率为481，四人均末选择甲的概率为481． （1）求m ，n 的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．如图, 平面PAC ⊥平面,,ABC AC BC PAC ⊥∆为等边三角形,PE BC P , 过BC 作平面交,AP AE 分别于点,N M ,设AM ANAE APλ==.（1）求证：MN P 平面ABC ；（2）求λ的值, 使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45o .19．（6分）双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为2π，3a =，1F AB ∆是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程； （2）3a =，1b =，若l 的斜率存在，且()110F A F B AB +⋅=u u u v u u u v u u u v，求l 的斜率；（3）证明：点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b +是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．20．（6分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 21．（6分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（30.90.729=，40.90.6561=） （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系： 年流入量4080X <<80120X ≤≤120X >发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？22．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且22AD CD ==，42BC =，2PA =，点M 在PD 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若12PM MD =，求三棱锥M PBC -的体积．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】 先化简m i i-与()21i +，再根据它们虚部相等求出m 的值. 【详解】由题得()2112m i mi i i i -=--+=，， 因为复数()m im R i-∈与()21i +的虚部相等，所以2,2m m -=∴=-. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．A 【解析】由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A. 3．A 【解析】 【分析】利用中间值0、1比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系． 【详解】由于函数12log y x =在定义域上是减函数，则1122log 3log 10a =<=，且0.2103b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1350c =>，由于函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上是减函数，则0.211133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数5xy =在定义域上是增函数，则103551c =>=，因此，a b c <<，故选A. 【点睛】本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题． 4．D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 5．C 【解析】试题分析：由题意所有的基本事件满足，所研究的事件满足，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2 的正方形，其面积为4，满足的区域的面积为，则的概率为考点：几何概型 6．C 【解析】 【分析】先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。

【详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合，集合，，，，因此，阴影部分区域所表示的集合为，故选：C 。

【点睛】本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚Venn 图表示的新集合的意义，在计算无限集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。

7．A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 8．B 【解析】试题分析：由等差数列的性质知()199559918,22a a S a a ⨯+===∴=；()()15416240,1522n n n n a a n a a S n n -++====∴=．考点：等差数列的性质、前n 项和公式、通项公式． 9．A 【解析】 【分析】根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解． 【详解】由题意，1b =r ，则b r 在a r方向上的投影为cos 1cos b θθ=⨯=r ，解得cos θ=，又因为[0,180]θ∈o o，所以a r 与b r 的夹角为30θ=o ， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．10．C 【解析】 【分析】根据题意，采用赋值法，令2x =得0123664a a a a a +++++=L ，再将原式化为()613122x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦根据二项式定理的相关运算，求得6164a =，从而求解出正确答案． 【详解】在()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-L 中，令2x =得0123664a a a a a +++++=L ，由()6611311222x x ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得6164a =，故()01661a a a a +++=L ． 故答案选C ． 【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力． 11．B 【解析】 【分析】 根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【详解】 解：∵41ln33<<， ∴33ln36b =+>，43336a <<<，34643327c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭． ∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．A 【解析】分析：由正弦定理化简并结合选项即可得到答案. 详解：Q sin sin a b B c C =+，则由正弦定理可得：sin sin b A c A a b c a b=⋅+⋅，即()222sin a b c A =+， 则当2A π=时，符合题意，故选：A.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13【解析】 【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率. 【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，3e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度. 14．-20. 【解析】【分析】把函数f （x ）＝x 6 ＝[﹣1+（1+x ）]6 按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a 3的值． 【详解】∵函数f （x ）＝x 6 ＝[﹣1+（1+x ）]6＝116C -•（1+x ）26C +•（1+x ）236C -•（1+x ）366C ++L •（1+x ）6，又f （x ）＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…a 6（1+x ）6，其中a 0，a 1，a 2，…，a 6为实数，则a 336C =-=-20，故答案为-20. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 15．45 【解析】 【分析】通过分步乘法原理即可得到答案. 【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小. 16．()2,4 【解析】 【分析】先求出()()21f x x b x b =+--，根据()f x 为偶函数，即可得出1b =,从而得出 ()21f x x =-，从而判断()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，这样即可由()30f x -<，得出()()31f x f -<，从而得出31x -<，这样解不等式即可. 【详解】由题知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数， 则()()()()211f x x x b x b x b -=---+=+--()()()1,x x b f x =-+=解得1b =，所以()()()11f x x x =-+，()10f =，故()()()3031f x f x f -<⇔-< 312 4.x x ⇔-<⇔<<即答案为()2,4.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由()()+0f x f x -=恒成立求解，偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f =求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)12,33m n == (2) X 的分布列见解析；数学期望为2 【解析】 【分析】（1） 根据题意，利用相互独立事件概率计算公式列出关于,m n 的方程组，即可求解出答案． （2） 根据题意先列出随机变量X 的所有可能取值，然后根据独立重复事件的概率计算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根据数学期望的计算公式求解出结果． 【详解】解：（1）由已知可得()()22224,81411,8110,m n m n n m ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪>>>⎪⎪⎩解得1,32.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）X 可能的取值为0，1，2，3，4，()221140333381P X ==⨯⨯⨯=， ()221122112122201C 111C 133333381P X ==⨯⨯-⨯-+⎛⎫⎛-⨯⨯⨯-⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2211222211221233112C 1C 11333333812133127P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯⨯-+-⨯== ⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎭， ()221122222122203C 1C 133333381P X ==⨯⨯-⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯-=， ()112244333381P X ==⨯⨯⨯=．X 的分布列如下表：()420112040123428481278181E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查逆用相互独立事件概率计算公式求解概率问题以及离散型随机变量的分布列和期望的求解． 18．（1）详见解析（2）1λ=【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形相似，本题可根据AM ANAE APλ==得MN PE P ,而PE BC P ，因此MN BC P （2）利用空间向量研究二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得等量关系，求λ的值试题解析：（1）证明：如图, 以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -,不妨设()1,0,CA CB t t PE CB μ==>=u u u r u u u r ,则()()()110,0,0,1,0,0,0,,0,,,22C A B t P E t μ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭, 由 AM ANAE AP λ==,得111,,122M t N λλμλ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()0,,0MN t λμ=-u u u u r .易知()00,0,1n =u u r是平面ABC 的一个法向量, 且00n MN =u u r u u u u r g ,故0n MN ⊥u u r u u u u r ,又因为MN ⊄平面ABC ,MN ∴P 平面ABC .（2）()10,,0,1,2MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ,设平面CMN 法向量为()1111,,n x y z =u r ,则110,0n MN n CM ==u r u u u u r u r u u u u r g g ,故可取1n ⎛= ⎝u r ,又()00,0,1n =u u r 是平面ABC 的一个法向量, 由0101cos (n n n n θθ=u u r u r g u u r u r 为平面ABC 与平面CMN 所成锐二面角的度数), 以及45θ=o 得,22440λλ+-=.解得1λ=或1λ=-舍去),故1λ=-.考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．（1）2213x =；（2）；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）将x c =代入双曲线的方程，得出2by a =±，由1F AB ∆是等腰直角三角形，可得出22b c a=，再将a =b 的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l 的方程为()2y k x =-，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB 的中点M 的坐标，由()110F A F B AB +⋅=uuu r uuu r uu u r 得出11F A F B =uuu r uuu r，转化为1F M AB ⊥，利用这两条直线斜率之积为1-，求出实数k 的值，可得出直线l 的斜率；（3）设点()00,P x y ，双曲线的两条渐近线方程为0bx ay ±=，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证. 【详解】（1）直线l 的倾斜角为2π，a =:l x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±，1F AB ∆是等腰直角三角形可得22b c a =，即有22223b c a c ==-=-，解得c =2226b c a =-=+2213x -=；（2）由a =1b =，可得2c ==，直线l 的斜率存在，设为k ，设直线方程为()2y k x =-，()()()22111111110F A F B AB F A F B F B F A F B F A +⋅=+⋅-=-=uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得11F A F B =，由()2y k x =-，联立双曲线方程2233x y =-，可得()222213121230kxk x k -+--=，可得21221231k x x k +=-，线段AB 的中点M 为22262,3131k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由1F M l ⊥，可得12221662F M kk k k k ⋅==-+-，解得7k =±，满足()()4221444123130k k k ∆=+⋅+->，故直线l的斜率为；（3）证明：设()00,P x y ，双曲线的两条渐近线为0bx ay ±=， 可得P222222002222b x a y a b a b a b-==++， 即为222222b x a y a b -=，可得2200221x y a b-=±，可得P 在双曲线22221x y a b-=或22221x y a b -=-上，即有点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b+是该点在已知双曲线上的必要非充分条件． 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题. 20． (1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【解析】试题分析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出1()0.6P A =，2()0.15P A =，利用事件的独立性即可求出()P B ；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D （X ）的值.（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=. 2()0.003500.15P A =⨯=. ()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（2）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为33(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 考点：1.频率分布直方图；2.二项分布. 21．（1）0.9477；（2）2台. 【解析】 【分析】（1）求出1(4080)0.2p P X =<<=，2(80120)0.7p p x ==剟，2(120)0.1p p x =>=，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站的总利润为Y （单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时Y 的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数．【详解】解：（1）依题意，()11040800.250p P X =<<==， ()235801200.750p p x =≤≤==， ()251200.150p p x =>==， 由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：()()443014343399111430.9477101010p C p C p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）记水电站的总利润为Y （单位，万元） 安装1台发电机的情形：由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润4000Y =，()400014000E Y =⨯=，安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时40006003400Y =-=，因此()()1340040800.2P Y P X p =<<==＝，当80X ≥时，两台发电机运行，此时400028000Y =⨯=，因此，()()2310000800.8P Y P X P P =≥=+=＝，由此得Y 的分布列如下所以()34000.280000.87080E Y =⨯+⨯=． 安装3台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时400012002800Y =-=， 因此()()1280040800.2P Y P X p ==<<==，当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时400026007400Y =⨯-=，因此，()()27400801200.7P Y P X p =≤≤==＝，当120X >时，三台发电机运行，此时4000312000Y =⨯=，因此，()()3120001200.1P Y P X p =>==＝，由此得Y 的分布列如下所以()28000.274000.7120000.16940E Y =⨯+⨯+⨯=． 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题．22．（1）证明见解析；（2）169. 【解析】 【分析】（1）证明AB PC ⊥，转化成证明AB ⊥平面PAC 即可．（2）根据12PM MD =，可得1133M PBC D PBC P BCD V V V ---==，从而得出体积．【详解】证明：（1）取BC 中点E ，连结AE ，则AD EC =，//AD EC ，∴四边形AECD 为平行四边形，AD CD AE BC ⊥∴⊥Q ，又22AE BE EC ===，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC ∴⊥，又PA ABCD AB PA ⊥∴⊥Q 平面，AC PA A ⋂=，AB ∴⊥平面PAC ，AB PC ∴⊥．解：（2）Q 12PM MD =，13PM PD ∴=，∴三棱锥M PBC -的体积为：11111116224223333929M PBC D PBC P BCD BCD V V V S PA ---∆===⨯⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直．三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同．那么通常选择已知的高和底从而求出体积．。