运动路径问题

1、已知R t △ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O 是AB 中点，点P 、Q 分别从点A 、C 出发，沿AC 、CB 以每秒1个单位的速度运动，到达点C 、B 后停止。

连结PQ 、点D 是PQ 中点，连结CD 并延长交AB 于点E.（1） 试说明：△POQ 是等腰直角三角形；（2） 设点P 、Q 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式来表示△CPQ 的面积S ，并求出S 的最大值；（3） 如图2，点P 在运动过程中，连结EP 、EQ ，问四边形PEQC 是什么四边形，并说明理由；（4） 求点D 运动的路径长（直接写出结果）.（图2）（图1）A2、ABC Rt ∆在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，︒=∠90C ，6=AB ，3=AC ，点A 在x 轴上由原点O 开始向右滑动，同时点B 在y 轴上也随之向点O 滑动，如图2所示；当点B 滑动至点O 重合时，运动结束。

在上述运动过程中，⊙G 始终以AB 为直径。

（1）试判断在运动过程中，原点O 与⊙G 的位置关系，并说明理由；（2）设点C 坐标为（x ，y ），试求出y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C 运动的路径的长。

3、如图①，在Rt△ABC中，︒AC，8BC，动点P从点A开始沿边AC==C，6=∠90向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其上一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（0t）≥（1）直接用含t的代数式分别表示：=PD_____________.QB__________，=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，若存在，求出t的值;若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度。

（3）如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长。

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。

P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交A B的延长线于点D。

⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）；⑵当△APD是等腰三角形时，求m的值；⑶设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。

请直接写出点H所经过的路径长。

（不必写解答过程）在平面直角坐标系x O y 中，点A 的坐标为（0，2），直线OP 经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=45 °（如图1），设点A 关于直线OP 的对称点为B . （1）写出点B 的坐标 ；（2）过原点O 的直线l 从直线OP 的位置开始，绕原点O 顺时针旋转，①当直线l 顺时针旋转10°到直线l 1的位置时（如图1），点A 关于直线l 1的对称点为C ，则∠BOC 的度数是 ，线段OC 的长为 ；②当直线l 顺时针旋转55°到直线l 2的位置时（如图2），点A 关于直线l 2的对称点为D ，则∠BOD 的度数是 ；③直线l 顺时针旋转n °（0＜n ≤90），在这个运动的过程中，点A 关于直线l 的对称点所经过的路径长为 （用含n 的代数式表示）.xy第25图15.如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A ’B ’C ’的位置。

若BC 的长为15cm ，那么顶点A 从开始到结束所经过的路径长为 （ ） A ．π10cm B ．π310cm C ．π15cmD ．π20cm如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P 运动的路径长为 米．如图，扇形AOB 中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B 顺时针旋转，得一新扇形A′O′B ，其中A 点在O′B 上，则点O 的运动路径长为 cm ．（结果保留π）如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形OAB 的AB ︵上有一动点P ，过P 作PH ⊥OA 于H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在AB ︵上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为___________．如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2； P 是线段CD 上的动点，分别 以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为 G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是________．如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O 点所经过的路径长为 。

BOABC D P如图，在以O为圆心，2为半径的圆上任取一点A，过点A作AM⊥y轴于点M，AN⊥x轴于点N，点P为MN的中点，当点A沿着圆圈在第一象限内顺时针方向走完45°弧长时，则点P走过的路径长为。

18．如图，一根木棒(AB)长为2a，斜靠在与地面(OM)垂直的墙壁(ON)上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°，当木棒A端沿NO向下滑动到A′，AA′＝(23 )a，则B端沿直线OM向右滑动到B′，木棒中点从P随之运动到P′所经过的路径长为________．如图，在直角坐标系中有一块三角板GEF按图1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．随后三角板的点E沿y轴向点O滑动，同时点F在x轴的正半轴上也随之滑动．当点E到达点O时，停止滑动．（1）在图2中，利用直角三角形外接圆的性质说明点O、E、G、F四点在同一个圆上，并在图2中用尺规方法作出该圆，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）滑动过程中直线OG的函数表达式能确定吗？若能，请求出它的表达式；若不能，请说明理由；（3）求出滑动过程中点G运动的路径的总长；（4）若将三角板GEF换成一块∠G=90°，∠GEF=α的硬纸板，其它条件不变，试用含α的式子表示点G运动的路径的总长．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正△ABC 的边长为1，它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合．现将正△ABC在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出顶点A在正△ABC整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；（3）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．（1）填空：PD的长为（用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O，把BA与CD同时分别绕点B和C逆时针方向旋转，此时正方形ABCD随之变成四边形A′BCD′，设A′C，BD′交于点O，则旋转60°时，由点O运动到点O′所经过的路径长是如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，顶点C从O点出发沿x轴正方向移动，顶点A随之从y轴正半轴上一点移动到点O为止．（1）若点P的坐标为（m，n），求证：m=n；（2）若OC=6，求点P的坐标；（3）填空：在点C移动的过程中，点P也随之移动，则点P运动的总路径长为如图，直线l 1：y ＝kx ＋b 平行于直线y ＝x －1，且与直线l 2：y ＝mx ＋12交于P (－1，0)． (1)求直线l 1、l 2的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，…照此规律运动，动点C 依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2，A 1，A 2的坐标；②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C 到达A n 处时，运动的总路径的长．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点．点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、 FG ．（1）设AE =x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并填写自变量x 的 取值范围；（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置，点M是边EF'与边FG的交点，点N在边EG'上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．。