运动路径参考答案
高一物理质点试题答案及解析
高一物理质点试题答案及解析1.在研究下列运动时，能把研究对象看作质点的是A．在空中做翻转运动的体操运动员B．自行车车轮的旋转C．一架波音747客机从南京到上海飞行的时间D．研究一列火车通过长江大桥所需的时间【答案】C【解析】物体可以看成质点的条件是看物体的大小体积对所研究的问题是否产生影响。
空中做翻转运动的体操运动员，观察的是躯体的动作，不能忽略大小和形状，不能看成质点，A错误；自行车车轮上各点的转动情况不同，不能忽略其大小、形状，故不能看作质点，B错误；飞机有一定的大小和形状，但与南京到上海的距离相比较可忽略不计，可以把飞机看作质点，C正确；研究火车通过长江大桥所需时间时，火车的长度不能忽略，不能看成质点；D错误【考点】考查了对质点的理解2.下列说法中正确的是A．体操运动员在做单臂大回环，该运动员可以视为质点B．当研究一列火车全部通过桥所需的时间时，可以把火车视为质点C．研究地球的自转时，可以把地球看成质点D．选万吨货轮为研究对象，确定它在航行过程中某时刻的位置,万吨货轮可以视为质点【答案】D【解析】试题分析:体操运动员在做单臂大回环时，看的是运动员的动作时否标准，所以此时运动员的形状不能忽略，不能看成是质点，所以A错误；计算火车通过桥所用的时间时，火车的长度是不能忽略的，此时的火车不能看成是质点，所以B错误；研究地球的自转时，地球是不能看成质点的，否则就没有自转可言了，所以C错误；万吨货轮相对大海来说，是很小的，所以确定它在航行过程中某时刻的位置,万吨货轮可以视为质点，故D正确【考点】质点3.研究下列现象，涉及到的物体可看做质点的是()A．研究地球受到(太阳)的引力大小B．研究撬棒用力大小与支点位置关系C．研究旋转的乒乓球旋转方向D．研究旋转的电扇扇叶所受阻力大小的影响因素【答案】A【解析】当物体的大小和形状在所研究的问题中能忽略，物体就可以看成质点；研究地球受到（太阳）的万有引力大小，地球的大小远小于日地距离，形状和大小可以忽略，地球可以看成质点，故A正确．研究撬棒用力大小与支点的位置关系，撬棒的大小和形状不能忽略，不能看成质点，故B错误．研究旋转的乒乓球，乒乓球的大小和形状不能忽略，不能看成质点，故C错误．研究旋转的电扇扇叶，扇叶的大小和形状不能忽略，不能看成质点，故D错误．故选A．【考点】本题考查了质点的认识、理想模型.4.下列关于质点的说法，正确的是()A．原子很小，所以可以当作质点B．研究和观察日食时，可把太阳当作质点C．研究神舟十号飞船与天宫一号飞行器对接时，可将神舟十号飞船看做质点D．从地球上的控制中心跟踪观察在太空中飞行的宇宙飞船，可以把飞船看做质点【答案】D【解析】当物体的大小和形状对我们所研究的问题影响不大，可以忽略时我们可将物体看做一个有质量的点，即质点，物体能否看做质点不是根据物体的大小来判断的，原子很小，但是研究原子内部结构时，原子不能看做质点，A错误；研究日食时，需要用到太阳的大小，不能忽略大小，所以不能看做质点，B错误；两飞船对接时，需要研究局部位置关系，所以不能看做质点，C错误；研究太空中飞船的运动，飞船的大小可以忽略，可以看做质点，D正确。
高中物理必修一精练答案
精练（1）参考答案一、选择题 1．【答案】B【解析】位移是矢量，是表示质点位置变化的物理量，大小为从初位置到末位置的直线距离，方向从初位置指向末位置。
路程是标量，为物体运动路径的实际长度。
由题意可知，物体的路程为38m ，位移大小为10m 。
【思考】本题中的位移方向怎样表述？ 2．【答案】AC【解析】速度是表示物体运动快慢和方向的物理量，既有大小，又有方向，是矢量。
平均速度是描述变速运动平均快慢和方向的物理量，其大小等于位移和对应时间的比值，方向与这段时间内的位移方向相同。
平均速度通常并不等于速度的平均值，只有对匀变速直线运动，平均速度才等于初、末速度的平均值。
运动物体在某一时刻或某一位置的速度，叫做瞬时速度，它是矢量。
瞬时速度的大小等于平均速度的极限值，方向沿轨迹上该点的切线方向。
汽车上的速度计是用来测量汽车瞬时速度大小的仪器。
3．【答案】D 【解析】平均速度是描述变速运动平均快慢和方向的物理量，其大小等于位移和对应时间的比值，方向与这段时间内的位移方向相同。
根据题意有：12121212222v v s s sv s s t t t v v v v ====+++解得：v 2＝112vv v v-。
4．【答案】C【解析】s －t 图象是对质点运动的描述，反映质点的位移随时间的变化情况，不同于质点的运动轨迹。
从图象中可知某时刻质点对应的位置，及在这一位置的运动情况。
若图线为直线，则表示质点作匀速直线运动，直线的倾斜程度表示质点运动的速度大小。
若图线为曲线，则表示质点作变速直线运动，曲线上某点切线的倾斜程度表示质点该时刻运动的速度大小。
由题图可知，在0～t 0这段时间内，三质点的位移大小相等，三质点平均速度相等。
5．【答案】B【解析】甲、乙两物体在同一条直线上，可以同向，也可以反向。
在2s 内甲的位移：s 甲＝vt ＝12m ，乙的位移：s 乙＝2162at m =。
在2s 时甲的速率：v 甲＝t ＝6m/s ，乙的速率：v 乙＝at ＝6m/s 。
高一物理位移与路程试题答案及解析
高一物理位移与路程试题答案及解析1.著名物理学家、诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过这样一则笑话.一位女士由于驾车超速而被警察拦住.警察走过来对她说：“太太，您刚才的车速是90公里每小时！”.这位女士反驳说：“不可能的！我才开了7分钟，还不到一个小时，怎么可能走了90公里呢？”“太太，我的意思是：如果您继续像刚才那样开车，在下一个小时里您将驶过90公里.”“这也是不可能的.我只要再行驶15公里就到家了，根本不需要再开过90公里的路程.”对话中所谈的内容反映出这位太太没有认清的科学概念是A．位移B．路程C．速度D．加速度【答案】C【解析】警察所指的90公里每小时指的是速度，而这位女士说的“90公里”指的是路程，说明这位太太没有认清的速度的概念，故选C。
【考点】本题考查了对平均速度和瞬时速度的理解2.从高为5m处以某一初速度竖直向下抛出一个小球，在与地面相碰后弹起，上升到高为2m处被接住，则在这段过程中A．小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为7mB．小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为7mC．小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为3mD．小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为3m【答案】A【解析】位移的大小等于物体从初位置到末位置有向线段的长度，方向由起点指向终点．路程是物体运动路线的长度．小球的初位置距地面5m，末位置距地面2m，则在这段过程中小球的位移大小为x=5m-2m=3m，方向竖直向下，路程为S=5m+2m=7m，故A选项正确.【考点】位移和路程3.某物体以30m／s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m／s2. 5s内物体的（）A．路程为65mB．位移大小为25m，方向向上C．速度改变量的大小为10m／sD．平均速度大小为13m／s，方向向上【答案】AB【解析】物体上升的最大高度为，上升的时间为，从最高点开始2s内下落的高度，所以5s内物体通过的路程为S=h1+h2=65m．故A正确；此时物体的位移为45-20m=25m,方向向上；选项B正确；物体在5s内的平均速度为，选项D错误；速度改变量的大小△v=at=gt=10×5m/s=50m/s．故C错误。
高斯小学奥数五年级上册含答案_环形路线
第四讲环形路线为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆．今天我们就来学习一下环形路线问题．顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度．如右图，AB 两点间的距离就是AB 间粗实线的长度．起点路程和是跑道的周长 相遇时间＝周长 ÷（甲速＋乙速）相向而行起点路程差是跑道的周长追及时间＝周长 ÷（乙速－甲速） A从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒．第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒．由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性．同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性．若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈．如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的．如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了．在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题．如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐．在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程．练习4． 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A 、B 两地出发相向而行，第一次相遇在距离A 点100米处的C 点，第二次相遇在距离B 点200米处的D 点．已知AB 长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快．如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上．请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少．想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候．应该是哪个墙角呢？如图，一个正方形房屋的边长为12米．阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米．问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？B DC A华罗庚爷爷的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。
气象学与气候学练习题
气象学与气候学练习题一．名词解释。
（30分）1．气候系统。
气候系统是一个包括大气圈、水圈、陆地表面、冰雪圈和生物圈在内的，能够决定气候形成、气候分布和气候变化的统一的物理系统。
2．相对湿度。
相对湿度（f）：空气中的实际水汽压与同温度下的饱和水汽压的比值，即f=e/E ×100%，相对湿度直接反映空气距离饱和的程度。
3．太阳常数。
太阳常数：在大气上界，垂直于太阳光线的1cm2面积1min内获得的太阳辐射能量。
I。
= 1370W/m24．位势不稳定。
位势不稳定：在实际大气中，有时整层空气会被同时抬升，在上升过程中，气层的稳定情况也会发生变化，这样造成的气层不稳定，称位势不稳定。
5．冰晶效应。
“冰晶效应”：在云中，冰晶和过冷却水共存的情况是很普遍的，如果当时的实际水汽压介于两者饱和水汽压之间，会产生冰水之间的水汽转移现象，即水滴会因不断蒸发而缩小，冰晶会因不断凝华而增大。
6．平流冷却。
平流冷却：暖湿空气流经冷的下垫面时，气流本身温度降低。
若暖空气与冷地面温度相差较大，暖空气降温较多，也可能产生凝结。
7．高压脊。
高压脊：简称脊，是由高压延伸出来的狭长区域，在脊中各等压线弯曲最大处的连线叫脊线，脊附近空间等压面类似地形中狭长山脊。
8．东风波。
东风波：是副高南侧（北半球）深厚东风气流受扰动而产生的波动。
槽前吹东北风，为辐散下沉气流区，湿层较薄，只生成一些小块积云或晴朗无云；槽后吹东南风，为辐合上升气流区，有大量水汽向上输送，湿层较厚，形成云雨。
9．切断低压。
切断低压：是温压场结构比较对称的冷性气压系统。
切断低压是西风带长波槽不断加深、南伸，直至槽南端冷空气被暖空气包围并与北方冷空气主体脱离而形成的闭合低压。
10. 山谷风。
山谷风：当大范围水平气压场比较弱时，在山区，白天地面风常从谷底吹向山坡，晚上地面风常从山坡吹向谷地，即山谷风。
二．计算题。
（20分）1、温度为12℃的未饱和气块在气温直减率r = 0.8 ℃/100m 的气层中作向上运动，其温度按干绝热直减率变化，问气块上升300m 后的温度是多少，这时它周围空气的温度呢，并说明此气块的运动趋势，这时的气层的稳定情况如何？参考答案：气块温度12-1*3 ＝9°c ；周围空气温度12-0.8*3 ＝9.6°c ；气块将有返回原来位置（向下）的运动趋势，气层是稳定的。
正方形的动点问题 含答案
专题1.21正方形的动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，在正方形ABCD 中，2,AB P =是AD 边上的动点，PE AC ⊥于点,E PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为（）A ．4B ．CD ．22．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且6EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是（）A ．10B ．3-C ．3D ．5+3．如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（）A 1-B 1+CD 1+二、填空题4．如图，已知2AB =，点D 是等腰Rt ABC ∆斜边AC 上的一动点，以BD 为一边向右下方作正方形BDEF ，当动点D 由点A 运动到点C 时，则动点F 运动的路径长为______.5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点（包括端点A 、C ），则EP ＋PQ 的最小值是_________．6．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，点E 是CD 边上的中点.P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C E →→→运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，APE ∆的面积为因变量y ，则当15y =时，x 的值等于_________．7．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C D →→→运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y ＝13时，x 的值等于_____________．8．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，CG ，则DCG ∠=________度，运动变化过程中，GH 的最小值为________．9．如图，在正方形ABCD 中，AB =，点P 为边AB 上一个动点（不与A ，B 重合），过点A ，P 在正方形内部作正方形APEF ，交边AD 于F 点，连接DE ，EC ，当CDE △为等腰三角形时，AP =__________．10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一个动点，点F 是CD 边上一个动点，且AE ＝CF ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ，连接AG ，则AG 长的最小值是_____．11．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，作PN CD ⊥于点N ，连接BP ，BN．若3AB =，BP =，则BN 的长为_________．12．如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A '，D ¢处，当点D ¢落在线段BC 上时，线段AE 的长为__________．三、解答题13．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．14．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 的中点，P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A B C E ⇒⇒⇒运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程AP x =，APE 的面积记为y ，问当x 等于何值时，y 的值等于13？15．如图，正方形ABCD 中，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF ，连接DE ，连接BG 并延长交DE 于H ．()1求证：BGC DEC ∠=∠．()2若正方形ABCD 的边长为1，试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？16．如图，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，点D 为边BC 上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC ，正方形对角线AE 交BC 于点F ．（1）求证：ABD ACG △≌△；（2）若4BD =，求AE 的值；（3）若5DF =，求BD 的值．17．已知：正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是线段OC 上的一动点，过点A 作AG BE ⊥交G ，交BD 于F ．（1）若动点E 在线段OC 上（不含端点），如图（1），求证：OF OE =；（2）若动点E 在线段OC 的延长线上，如图（2），试判断OEF 的形状，并说明理由．18．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝DF+BE ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF 的长．19．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求证：AF BE ⊥.20．已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H .（1）求证：①BCG ∆≌△DCE .②BH DE ⊥.（2）当BH 平分DE 时，求GC 的长.21．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ADEB 和正方形BCFH ．（1）当BC m =时，正方形BCFH 的周长=_______（用含m 的代数式表示）；（2）连接CE ．试说明：三角形BEC 的面积等于正方形BCFH 面积的一半．（3）已知2AC BC ==，且点P 是线段DE 上的动点，点Q 是线段BC 上的动点，当P 点和Q 点在移动过程中，APQ ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22．如图，,M N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足,,CM DN AC BM =相交于点,E DE 与AN 相交于点F ，连接CF ．（1）求证：DE AN ⊥；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求CF 的最小值．23．已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别是OB 、OC 上的动点，（1）如果动点E 、F 满足BE=CF （如图）：①写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE ⊥BF ；（2）如果动点E 、F 满足BE=OF （如图），问当AE ⊥BF 时，点E 在什么位置，并证明你的结论．24．在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点M是对角线AC上的动点，连接ME，⊥交正方形的边于点F；过点M作MF ME（1）当点F在边BC上时，①判断ME与MF的数量关系；∠=∠时，判断点M的位置；②当AEM DFM（2）若正方形的边长为2，请直接写出点F在BC边上时，AM的取值范围.参考答案1．C【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA ⊥OD ，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE ，根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE ，从而得到PE+PF=OA ，然后根据正方形的性质解答即可．解：在正方形ABCD 中，OA ⊥OB ，∠OAD=45°，∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，∴PF=OE ，PE=AE ，∴PE+PF=AE+OE=OA ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴11.22===OA AC 故选：C【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE+PF=OA 是解题的关键．2．B【分析】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，N 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，M 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，∵BC ＝CD ＝8，∴CC′＝16，∴C′B ==∴CP＋PM的最小值是−3，故选B．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．3．A【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解答：解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝12AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3，在Rt △AOE '中，OE '，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM＝PE '＋PM＝ME '＝OE '−OM−1．故选：A ．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．【分析】连接CF ，根据题意先证出BAD BCF ∆≅∆，然后得出AD CF =，所以点F 运动的路径长度即为点D 从A 到C 的运动路径，继而得出结论【详解】连接CF ，∵2AB =，ABC ∆是等腰直角三角形，∴AC =∠ABC=90°∵四边形BDEF 是正方形∴BD=BF ，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,在△DAP 与△BAP 中AB BC ABD CBF BD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD BCF∆≅∆，∴AD CF=，点F运动的路径长度即为点D从A到C的运动路径,为22CF=.故答案为22【点拨】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．32【解析】试题解析：如图作点E关于BC的对称点E′，作E′Q′⊥AC于Q′交BC于P．∴PE=PE′，∴PQ+PE=PE′+PQ，当Q用Q′重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），∵四边形ABCD是正方形，∴∠E′AQ′=45°，∵AE′=6，∴2∴PE+PQ的最小值为2．6．25或115或2110【解析】【分析】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15.根据P 点的位置，由三角形面积公式表达出分段函数，在分段函数中，已知y 的值，求x ．【详解】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15，当点P 在AB 边上时，y=12•x•1=15，解得x=25，当点P 在BC 边上时，如图所示，y=12•（1+12）•1-12•（x-1）•1-12•12•（2-x ）=15，解得x=115；当点P 在DC 边上时，y=12×（1+1+12-x ）×1=15，解得：x=2110，综上所述，当y=15时，x 的值等于25或115或2110，故答案为：25或115或2110【点拨】此题考查了由动点的运动变化来列函数关系式，应注意自变量的变化范围分段来列．7．23或53【分析】根据P 点的运动轨迹，分析出当P 在AB 或BC 上均有可能，再根据APE ∆的面积为13分类讨论计算即可．【详解】（1）当P 在AB 上时，如图：11123y x ==∴23x =（2）当P 在BC 上时，如图：()()11111111112222223ABP EDC y S S S x x ∆∆⎛⎫=--=+--⋅--= ⎪⎝⎭ 梯ABCE ∴53x =故答案为：23或53【点拨】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．8．45°2【分析】连接CG ．证明△ADE ≌△CDG （SAS ），推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小．解：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，∴DA=DC ，DE=DG ，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴∠ADE=∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DCG=∠DAE=45°，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD-DH=3-2=1，∴最小值=CH•sin45°=1×2222=．故答案为：45°；2．【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．91或2【分析】分三种情形进行讨论：①当CE CD =时；②当CE DE =时；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE 即可解决问题．解：如图所示，连接AE∵四边形ABCD 和四边形APEF 都是正方形，且P 在AB 上，F 在AD 上∴∠CAB =∠EAB =∠DCE =45°，AB =BC ，AP =PE∴A ，E ，C 三点共线①当CE CD ==2AC ==，2AE AC CE =-=，2AE ==-1AP ==；②当CE DE =时，∵CE DE=∴∠CDE =∠DCE =45°∴∠DEC=90°∴CD ==∴1CE DE ==∵2AC ==∴1AE AC EC =-=，1AE ==∴22AP =；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．综上所述，当CDE △为等腰三角形时，1AP =或2．1-或22．【点拨】本题考查正方形的性质，等腰三角形的定义，二次根式的运算，解题的关键是灵活运用相关知识点进行解题．10【分析】设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，过点M 作MH ⊥AB 于H ．则MH=BH=1，AH=3，由勾股定理可得，MG=12，∵，当A，M，G三点共线时，AG最小．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．11【分析】延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB2=PH2+BH2，可得x2+（3-x）2=2，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．解：延长NP交AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，AB∥CD，∵PN⊥CD，∴PN⊥AB，∴∠HAP=∠HPA=45°，∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，∴x2+（3-x）2=）2，∴x=1或2，当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，==，当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，==．综上所述，BN或．或．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．12．2【分析】当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，由折叠性质可知D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出D E=D'E.求出DF=D'F=CD-CF=5，3CD'==.得出BD'=BC-CD'=6，设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理列方程解答即可．【详解】解：当D落在线段BC上时，如图1:连接ED、E D'.、DD'由折叠性质可知，D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'.∴DE=D'E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB=BC=CD=AD=9.∵CF=4，∴DF=D'F=CD-CF=9-4=5CD'==∴3∴BD'=BC-CD'=6设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中.由勾股定理得：2222222222DE AD AE x D E BE BD x9,(9)6''=+=+=+=-+92+x2=（9-x）2+62，解得：x=2，即AE=2．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；掌握折叠变换的性质和利用勾股定理列方程是解答本题的关键．13．（1）见解析；（2）EF DF BE =-；证明见解析；（3）AF =．【分析】（1）把 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至 ADG ，由“SAS”可证 EAF ≌ GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明 EAF ≌ MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG ＝EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．（1）证明：把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，如图1，∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =，∵45EAF ∠=︒，∴45BAE FAD ∠+∠=︒，∴45DAG FAD ∠+∠=︒，∴EAF FAG ∠=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF GAF SAS ，∴EF FG DF DG ==+，∴EF DF BE =+；（2）结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADM ，∴EAB MAD ∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，∴45FAM EAF ∠=︒=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF MAF SAS ，∴EF FM DF DM DF BE ==-=-；（3）解：由（1）可知AE AG ==∵正方形ABCD 的边长为6，∴6DC BC AD ===，∴3DG ==．∴3BE DG ==，∴633CE BC BE =-=-=，设DF x =，则3EF DG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC △中，∵222+=CF CE EF ，∴222(6)3(3)x x -+=+，解得：2x =．∴2DF =，∴AF ===．【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．14．当23x =或53x =时，APE 的面积为13【分析】利用面积公式求解即可.解：由题意可知：当动点P 从A 运动到B 时，111122ABE S =⨯⨯= ，当动点P 从B 运动到C 时，1111224ACE S =⨯⨯= ，由于111432<<，因此满足题意的点P 的位置只有两种情况①当01x <<时，即点P 在AB 边上运动时，如图a ，此时AP x =，11122APE S y x x ==⨯⨯= ，当13y =时，解得：()263x =②当12x <<时，即点P 在BC 边上运动，如图b ，此时折线1BP x =-，2PC x =-，()()1111311112222444APE ABP PEC ADE ABCD S y S S S S x x x ==---=--⨯--⨯-=- 正方形当13y =时，解得：53x =综上所述，当23x =或53x =时，APE 的面积为13【点拨】找出临界点是解题的关键.15．（1）证明见解析（2）当21CG =时，BH 垂直平分DE【分析】（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS 判定△BCG ≌△DCE ，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC ；（2）连接BD ，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE ，从而找到2，2-1，根据全等三角形的性质求解即可．解：()1证明：∵四边形ABCD 、GCEF 都是正方形，∴BC DC =，90BCG DCE ∠=∠= ，GC EC=∴BCG DCE ≅∴()2BGC DEC ∠=∠连接BD如果BH 垂直平分DE ，则有BD BE=∵1BC CD ==，∴2BD =∴21CE BE BC =-=-∴21CG CE ==即当21CG =-时，BH 垂直平分DE ．【点拨】本题考查了全等三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质.16．（1）见详解；（2）45（3）3或4【分析】（1）根据同角的余角相等，证明BAD CAG ∠=∠，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS 即可证明（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG 的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解（3）根据SAS 证明DAF GAF △≌△，然后根据全等的性质，在直角△GFC 根据勾股定理即可求解（1）证明： 四边形ADEG 是正方形AD AG ∴=，90DAG =︒∠90BAC ∠=︒BAC DAG∴∠=∠BAD DAC DAC CAG∴∠+∠=∠+∠BAD CAG∴∠=∠在ABD △和ACG 中AB AC BAD CAG AD AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACG∴△△≌故答案为ABD ACG△≌△（2）90BAC ∠=︒ ，62AB AC ==，45B ACB ∴∠=∠=︒在Rt ABC △中22BC AB AC ∴=+=22(62)(62)12+=4BD = 1248DC BC BD ∴=-=-=由（1）知ABD ACG △≌△，4GC BD ∴==，45ACG B ∠=∠=︒454590ACB ACG ∴∠+∠=︒+︒=︒连接DG在Rt DCG △中22228445DG DC CG =+=+= 四边形ADEG 是正方形AE DG∴=45AE ∴=故答案为5（3）如图所示，连接FG四边形ADEG 是正方形AD DE ∴=，90ADE ∠=︒45DAE AED ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒BAD FAC BAC ∴∠+∠=∠-904545DAE ∠=︒-︒=︒由（1）知ABD ACG △≌△，BAD CAG ∴∠=∠，AD AG =，BD GC=45CAG FAC BAD FAC ∴∠+∠=∠+∠=︒45FAG ∴∠=︒FAG FAD∴∠=∠在DAF △和GAF 中AF AF FAG FAD AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)DAF GAF ∴△≌△GF DF∴=5DF = 5GF ∴=设BD x =，则1257FC x x=--=-由（2）知90FCG ∠=︒在Rt FCG △中222GC FC FG +=222(7)5x x ∴+-=13x ∴=，24x =BD ∴的值为3或4．故答案为3或4【点拨】本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键17．（1）见解析（2）△OEF 为等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）利用正方形的性质得OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOC ＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE ＝∠OBE ，则可根据“ASA ”判断 AOF ≌ BOE ，从而得到OF ＝OE ；（2）同样方法证明△AOF ≌△BOE ，仍然得到OF ＝OE ，再结合90BOC ∠=°即可判定OEF 是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌，∴OF OE =；（2）解：OEF 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌∴OF OE =；又∵90BOC ∠=°，∴OEF 是等腰直角三角形．【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得AOF BOE ≌△△是解此题的关键．18．（1）见解析；（2）EF ＝DF ﹣BE ，见解析；（3）【分析】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，由“SAS”可证△EAF ≌△GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明△EAF ≌△MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG＝，EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．【详解】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，=，∵DG3∴BE＝DG＝3，∴EC＝BC﹣BE＝3，∵EF2＝EC2+CF2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，∴DF＝2，∴AF＝＝．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．19．见解析【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，于是证得结论证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AF⊥BE.【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20．（1）①见详解；②见详解；（2）1-【分析】①根据正方形确定BC=DC,CE=CG及∠BCD=∠ECG=900，即可证明全等；②根据（1）的全等得出∠BGC=∠DEC，再根据∠BGC+∠CBG=900，即可证得⊥BH DE（2）根据勾股定理求出线段BD的长，然后利用三角形全等证出BE=BD,再由BE-BC求出CE即CG的长.【详解】（1）①∵四边形ABCD与四边形GCEF均为正方形，∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=900，∆≌△DCE∴BCG∆≌△DCE,②∵BCG∴∠BGC=∠DEC,∵∠BGC+∠CBG=900，∴∠DEC+∠CGB=900∴∠BHE=900⊥即BH DE(2)连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为1，∴AB=AD=1，∠A=900，∴BD===∵BH平分DE，BH⊥DE，∴DH=EH,∠BHD=∠BHE,又∵BH=BH∴△BHD≌△BHE,∴,∴1.【点拨】此题考察正方形的性质运用，②中的垂直应有效利用①中全等的结论去证明，（2）中连接BD利用全等求得BE是解题的关键.21．（1）4m；（2）证明见解析；（3）△APQ的周长的最小值为【分析】（1）直接由正方形的性质得出答案即可；（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ 的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．【详解】（1）∵四边形BCFH是正方形，∴BC=BH=FH=CF，∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，故答案为：4m；（2）如图1，连接AH，在△BHA和△BCE中，AB BE CBE ABH BC BH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△BHA ≌△BCE （SAS ），∵AF ∥BH ，∴BH 边上的高=正方形BCFH 的边∴△BHA 的面积等于12正方形BCFH 的面积．∴△AEC 的面积等于12正方形BCFH 的面积；（3）△APQ 的周长存在最小值．如图2，作点A 关于DE 的对称点A∴AP=A′P∵点A 关于BC 的对称点F ，∴AQ=QF ，∴△APQ 的周长的最小值为A′F ，过A′作A′M ⊥FA 交FA 的延长线于M ，∵2AC BC ==，90ACB ∠=︒∴∠BAC=45°，AB=2∴∠A′AM=45°,，∴△AA′M 为等腰直角三角形，，∴MA=MA′=4，∴MF=8，∴A′F=222284MF A M '+=+=45，∴△APQ 的周长的最小值为45．【点拨】此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．22．（1）证明见解析；（2）CF 的最小值252-．【分析】（1）由正方形的四边相等，四个直角性质，证明()BCM ADN SAS ≌，再根据全等三角形的对应角相等，整理，证明()BCE DCE SAS ≌，最后整理出25∠∠、的数量关系即可；（2）取AD 中点P ，连接PF ，由（1）中结论，计算FP 的长，在Rt CPD △中，利用勾股定理求得CP 的长，最后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边解题即可．（1）证明：ABCD 是正方形，90BC AD BCD ADC ∴∠∠︒＝，＝＝()CM DN BCM ADN SAS ∴ ＝，≌．12∴∠∠＝又345ACD CE CE∠∠︒＝＝，＝()BCE DCE SAS ∴ ≌1424∴∠∠∴∠∠＝．＝．251590∴∠+∠∠+∠︒＝＝．DE AN ∴⊥．（2）取AD 中点P ，连接PF由（1），得122FP AD =＝在Rt CPD △中，由勾股定理，得224225CP =+=2+≥∴≥，CF FP CP CF∴CF的最小值2-．【点拨】本题考查几何综合，其中涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②见解析（2）见解析（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论．（2）根据正方形性质及已知条件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代换得证．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②证明：如图，延长AE交BF于点M，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠CBF＝∠BAE∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠AMB＝90°．∴AE⊥BF．（2）点E是OB的中点．证明如下：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°．∴∠CBF＝∠BAE．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF．∵BE＝OF，∴CF＝OF．又∵OB＝OC，∴BE=OE．∴点E是OB的中点．24．（1）①ME MF =，理由详见解析；②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点出），理由详见解析；（2）23222AM <<【分析】(1)①过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H ,通过证,MFH MGE ∆∆≌可得ME=MF ；②点M 位于正方形两条对角线的交点处时，,AE DF MFD MAE =∆∆≌，可得AEM DFM ∠=∠；（2）当点F 分别与B 重合时处和端点C 处时，可得M 的位置，进而得出AM 的取值范围．解：（1）ME MF =．理由是：过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒45,ACD BCA ∠=∠=︒MH HC∴=∴矩形MHCG 为正方形90,HMG MH MG∴∠=︒=又,MF MG FMH EMG⊥∠=∠ ,MFH MGE ∴∆∆≌ME MF∴=②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点处）如图，ME 是ACD ∆的中位线，1,2ME AD ME AD ∴⊥=又ME MF = ，此时，F 是BC 中点，且AED CDF ∆∆≌，,AE DF MFD MAE ∴=∆∆≌，AEM DNF∴∠=∠（2）当点F 与B 重合时，M 在AC,BD 交点处时，此时AM 最小，AM=12AC=22;当点F 与点C 重合时，M 在AC,BD 交点到点C 的中点处，此时AM 最大，AM=322．故答案为23222AM <<【点拨】本题是运动型几何综合题，考查了全等三角形、正方形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）添加恰当的辅助线是解题的关键．。
高斯小学奥数五年级上册含答案_环形路线
第四讲环形路线广:!口正在进行的是万米赛跑比赛，运动员们正 在跑道上奋力拼搏！同学们，解说员 说的情况真的会出现 吗？ 大家快看.最后一 名超过了第一名！为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆•今天我们就来学习一下环形路线问题.顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的. 同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的.如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇. 这时他们走过的路程和为一个圆周. 而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上•这时他们走过的路程之差是一个圆周.相向而行同向甲起点路程和是跑道的周长起点路程差是跑道的周长相遇时间=周长 *（甲速+乙速）追及时间=周长 +（乙速一甲速）这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度•如右图，AB两点间的距离就是AB间粗实线的长度.例题1.黑、白两只小猫沿着周长为300 米的湖边跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米•若两只小猫同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第1次相遇？如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远?「分析」请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程.两只小猫第一次相遇需要多长时间？第二次相遇需要多长时间？那两分钟之内相遇多少次呢？练习1.在420米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行.甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，那么两人第8次相遇时，距离出发点多远？从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒•第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒.由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性.同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性. 若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈. 如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的•如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了.在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题.例题2.有一个周长是40米的圆形水池•甲沿着水池散步，每秒钟走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行•当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？「分析」在环形路线上，快的每追上一次慢的，就要多跑一圈.本题乙第8次追上甲时,就比甲多跑了8圈，这时怎么确定两人的位置?练习：2.环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米？如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？例题3.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问：甲出发后多少分第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？「分析」从乙出发到甲第一次追上乙，跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙，间隔的时间一样吗？从第几次追上开始就具有周期性了？练习：3.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A, B两点.甲、乙两人分别从A、B 两点同时相背而跑，速度分别是3米/秒和2米/秒.多少秒后两人第一次相遇？如果相遇后两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐.在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程.例题4. 如图，甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始，形路线运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前遇.求此圆形场地的周长.「分析」题目中的已知条件很少，只知道两个与路程有关的量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动过程.观察你所画出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？如何利用这两段长度？同时匀速反向绕此圆60米处又第二次相练习4.如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB 长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D如图，一个正方形房屋的边长为12米•阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米•问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候, 定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢?4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D 分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5 次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5 米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：平移旋转轴对称(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：平移旋转轴对称（附答案）1．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2020的坐标是（）A．（0，1）B．（﹣2，4）C．（﹣2，0）D．（0，3）2．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，△BCD和△BED 关于BD对称，若△ADE是等腰三角形，则∠BAC＝（）A．36°B．72°C．90°D．108°3．下列说法正确的是（）A．若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称B．直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形4．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：205．下列现象中是平移的是（）A．翻开书中的每一页纸张B．飞碟的快速转动C．将一张纸沿它的中线折叠D．电梯的上下移动6．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm7．如图，已知在△AOB中A（0，4），B（﹣2，0），点M从点（4，1）出发向左平移，当点M平移到AB边上时，平移距离为（）A．4.5B．5C．5.5D．5.758．如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角板平移的方向和移动的距离说法正确的是（）A．方向相同，距离相同B．方向不同，距离不同C．方向相同，距离不同D．方向不同，距离相同9．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．B．C．4D．611．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（）A．90°B．135°C．180°D．270°12．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC 向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形13．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，点P2019的坐标是．14．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．15．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，那么这个三角形是，它有条对称轴．16．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是．17．如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为m2．18．如图，三角形ABC中，AB＝2cm，BC＝4cm，将三角形ABC沿BC方向平移2cm得到三角形A'B'C'，A'B'与AC交于点D，A'D＝1cm，则图中四边形DCC′A′的面积为．19．将点P（﹣3，1）向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为．20．时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角为度，从上午9时到下午5时时针旋转的旋转角为度．21．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°后到△A′B′C′的位置，若∠B′＝45°，∠C′＝60°，则∠B′AC＝．22．如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转度与它本身重合．23．如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；24．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：DA＝AM．25．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．26．如图，若将△ABC顶点横坐标增加4个单位，纵坐标不变，三角形将如何变化？若将△ABC顶点横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，三角形将如何变化？27．如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．28．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠F AD＝m°，∠ABC＝n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．29．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′，C′的坐标；（2）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．30．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF，点C在EF上，连接AF交边CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．31．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．参考答案1．解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．2．解：如图，设∠A＝x．∵EA＝ED，∴∠A＝∠ADE＝x，∵∠BED＝∠A+∠ADE＝2x，△BDE与△BDC关于BD对称，∴∠BED＝∠C＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，故选：A．3．解：A、若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称，错误．本选项不符合题意．B、直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称，错误，本选项不符合题意．C、如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形，正确，本选项符合题意．D、线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形，错误，本选项不符合题意．故选：C．4．解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．5．解：A不是沿某一直线方向移动，不属于平移．B不是沿某一直线方向移动，不属于平移．C新图形与原图形的形状和大小不同，不属于平移．因此C错误．故选：D．6．解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．7．解：设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（0，4），B（﹣2，0）代入，得：，所以直线AB解析式为y＝2x+4，当y＝1时，2x+4＝1，解得：x＝﹣1.5，则当点M平移到AB边上时，平移距离为4﹣（﹣1.5）＝5.5，故选：C．8．解：由图和平移可得：三角板平移的方向不同，距离不同，故选：B．9．解：顺时针旋转90°，向右平移．故选：A．10．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故选：B．11．解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，12．解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD＝OB，∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．13．解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2019÷6＝336…3，当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3），故答案为：（8，3）．14．解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．15．解：∵该三角形是轴对称图形，∴该三角形是等腰三角形，又∵该三角形有一个角为60°，∴这个三角形是等边三角形，∴这个三角形有3条对称轴．故答案为：等边三角形，3．16．解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：0517．解：∵把宽度为1m的弯曲小路分割成若干个四边形，这些四边形等于一个宽度为1m 的矩形，如图矩形ABCD，∴小路为宽恒为1m的弯曲小路，∴面积为50×1＝50（m2），∴余下草坪的面积为50×25﹣50＝1200（m2），故答案为：1200．18．解：根据平移的性质知，AB＝A′B′，△ABC≌△A′B′C′，则S△ABC＝S△A′B′C′．∵将三角形ABC沿BC方向平移2cm得到三角形A'B'C'，∴BB′＝2cm．∵AB＝2cm，BC＝4cm，A'D＝1cm，∴B′C＝2cm，DB′＝1cm．∴S四边形DCC′A′＝S△ABC﹣S△B′CD＝﹣＝3（cm2）．故答案是：3cm2．19．解：将点P（﹣3，1）向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（﹣3，1+2），即（﹣3，3），故答案为：（﹣3，3）．20．解：从上午6时到上午9时时针转过3个大格，所以，3×30°＝90°，上午9时到下午5时时针转过8个大格，所以，8×30°＝240°．故答案为：90；240．21．解：∵∠B′＝45°，∠C′＝60°，∴∠BAC＝∠B′A′C′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵∠BAB′＝30°，∴∠B′AC＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45°．22．解：在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，∴正方形ABCD绕点M至少旋转360°与它本身重合．故答案为：360．23．解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．24．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝60°﹣∠E，又∵DE＝DA，∴∠E＝∠DAE，∴∠BAD＝∠EDC．（2）由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，∵DE＝DA，∴DM＝DA，由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，∴∠MDC+∠ADB＝120°，∴∠ADM＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD＝AM．25．解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，﹣3），若点A在第二象限或第四象限，则a﹣5+1﹣2a＝0，解得a＝﹣4，则a﹣5＝﹣9，1﹣2a＝9，∴点A的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a），又∵点A向右平移若干个单位后与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，∴1﹣2a+（﹣3）＝0，a＝﹣1a﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A的坐标为（﹣6，3）．26．解：横坐标增加4个单位，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A（1，3），B（1，1），C（3，1），连接AB、AC、BC，整个三角形向右平移4个单位；横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A（3，3），B（3，1），C（1，1），连接AB、AC、BC，所得到的三角形与原三角形关于y轴对称．27．解：绿地的面积为：（18﹣2）×（12﹣2）＝160（m2），答：这块草地的绿地面积是160m2．28．解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠F AD＝50°，∴∠F AD＝∠ADC＝50°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝50°，．∴∠EDC＝∠ADC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝25°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝45°．（3）∠BED的度数改变．过点E作EG∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠F AD＝m°∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝m°∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEG＝m°，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣n°+m°．29．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（0，4），B′（﹣1，1），C′（3，1）．（2）设P（0，m），由题意：×4×|m+2|＝×4×3，解得m＝1或﹣5，∴P（0，1）或（0，﹣5）．30．（1）解：设AE＝EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝4，∵BF＝8，∴CF＝8﹣4＝4，∵BE＝BF﹣EF＝8﹣x，AB＝4，AE＝x，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴EC＝EF﹣CF＝1．（2）证明：延长EB到H，使得BH＝DG，则△ADG≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAG，∴∠HAF＝∠BAD＝90°，∵EF＝AE，∴∠EAF＝∠F，∵∠EAH+∠EAF＝90°，∠F+∠H＝90°，∴∠H＝∠EAH，∴EA＝EH，∵EH＝BE+BH＝BE+DG，∴AE＝BE+DG．31．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8。
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运动路径
一．填空题（共6小题）
1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．
y=×
EF=2ME=2
=，即=
MG=2ME=2
EF MG=
=2
=2 GG
2．（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8﹣2t，PD=t．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
=，则可求得
tanA=，
PD=t
t
，即
AD=
﹣
2t=t=．
t=时，PD==﹣×
PD=t t
时，即t=10t t=
t=时，即﹣v=的速度为每秒个单位长度时，经过
，
，
的坐标（，
x=×+6=t
2
3．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是3．
4．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是3．
，
B=4
，，
=
﹣=3
．
5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得
，即
OA=
的路径是
经过的路径长为3
6．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．
，进而求得
=
，即
PK=，
=
PK PA=•a=DK EF= =
AO=PQ=4
×
OS=（（
XY=MN=3
=
．。