2006-2007年高数2期末A卷答案
06年2+2高等数学A试题+答案
平面方程为 , 即 . ……………………… 4分
直线的方程又可写为,代入平面的方程解得,. …… 7分 3. 解 原式= ……………………………… 2分
= ……………………… 3分 = ……………………… 5分 = …………………………………… 6分 =. …………………………………………… 7分 4. 解 , . …………………………………1分 =, ………………………2分 = =. …………………………………………………3分 由得. ……………………………………………… 4分 特征方程,特征根,. . ………………………………………………………………… 6分 由,得,. . ………………………………………………………………………… 7分 5. 解 , … ………………………………………………… 2分 , , ……………………………………………………… 4分 , . …………………………… 6分 =, . ……………… 7分
分）
1. 曲线 在 处的切线方程为
.
2. 已知 在 内连续 , , 设 , 则
=
.
3. 设 为球面 () 的外侧 , 则
=
.
4. 幂级数 的收敛域为
.
5. 已知 阶方阵 满足 , 其中 是 阶单位阵, 为任意实数 ， 则 = .
6. 已知矩阵 相似于矩阵 , 则 .
7. 已知 , 则 =
.
8. 设 是随机变量 的概率密度函数 , 则随机变量 的概率密度函数 = .
二．选择题. （本题共有8个小题，每 一小题3分，共24分，每个小题给出的 选项中，只有一项符合要求）
得分
阅卷人
高数-下-期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。
（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。
极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。
（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。
（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。
（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。
（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。
2006年高考全国2卷(理数)超详细试卷答案
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P(A+B) =P(A) +P(B)
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P(A·B) =P(A)·P(B)球的体积公式
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
（1）D（2）D（3）A（4）A（5）C（6）B
（7）A（8）D（9）A（10）C（11）A（12）C
二．填空题
（13）45（14） （5） （6）25
三、解答题
（17）解：
（I）若 ，则 ………………2分
（6）函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β
所成的角分别为 和 ，过A、B分别作两平面交线的垂
线，垂足为 ，则AB： =
（A）2：1（B）3：1
（C）3：2（D）4：3
（8）函数 的图像与函数 的图像关于原点对称，则 的表达式为
（A） （B）
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1=AC= 求二面角A1－AD－C1的大小.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20062007学年度高二数学第二学期期末考试试题答案.doc
2006－2007学年度高二数学第二学期期末考试试题答案二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 129; 14.4； 15. 34a >; 16.17. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：圆2217yx +=的圆心为(0,0)o ,有1,4OA k =-则圆在点A 的切线的斜率k=4……………………2分22221,yx a b-=设双曲线的方程为……………………3分44bb a a==由于圆在点A 的切线和双曲线的渐近线平行，有，即.………5分2222116y x a a-=双曲线方程化为22552,1625516A a a ===2将点坐标（4，－1）代入可得则b ………9分 22125525516yx-=所以双曲线的方程为………………10分18、解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系.则 A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），……………4分由于M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，所以M （1，1，12），N （12，1，1）.从而MN =（－12，0，12）， 1CD ＝（0，－1，1），……………6分由1cos ,MN CD <>＝11||||MN CD MN CD ⋅＝112.……………8分故MN 与CD 1所成的角3π； …………………………………10分19、解：①依题意得：84047=A ……………3分②依题意得：33604714=⋅A A ……………6分③依题意得： 5520)(553523451355=++A C C C C C ……………9分 ④依题意得：360331336=A A C ……………12分20、解：（Ⅰ） 记打给甲的电话为事件A 、打给乙的电话为事件B 、打给丙的电话为事件C , 则事件A 、B 、C 为互斥事件且相互独立，这三个电话是打给同一人的事件是A A AB B BC C C⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅………………………………………2分 由互斥事件有一个发生的概率公式和相互独立事件同时的概率公式，得所求事件概率为333()()()()()()()()()()()()()111()()()63216P A A A B B B C C C P A A A P B B B P C C C P A P A P A P B P B P B P C P C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=. 答; 这三个电话是打给同一人的概率是16.…………………………6分 （Ⅱ）“这三个电话中恰有两个是打给甲”的事件是13,6n P ==的独立重复试验，故所求的概率为223315(2)C ()66P =⨯⨯＝572…………………………11分 答：这三个电话中恰有两个是打给甲的概率是572.……………12分21、解：由已知：01237n n n C C C ++=，用组合数公式得：0722=-+n n ，解得）n n 舍去或(98-==…………………………2分（Ⅰ）348418812r r rrr r r T C C x ---+== 知且,,80434Z r r Z r ∈≤≤∈-：8,4,0=r ………………………………………4分∴展开式中x 的有理数项为295412561,835,-===x T x T x T .……………7分 （Ⅱ）设第1+r 项的系数1+r a 最大，……………8分则⎩⎨⎧≥≥+++211r r rr a a a a 展开整理得：32≤≥r r 且……………10分3,2=∴r ∴系数最大的项为：4742537,7x T x T == ……………12分22、解法一：（Ⅰ）证明：以C 为原点，CA 、CB 、CC 1分别为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系. ………………………………………1分 则 A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，0），A 1（2，0C 1（0，0，2），…………………2分 由于E 为1BB 的中点，D 点在AB 上且3=DE .则E （0，2，1），D （1，1，0），从而CD ＝（1，1，0），AB ＝（－2，2，0）， 1AA ＝（0，0，2）， ………………………4分 ∵ CD ·AB ＝0，CD ·1AA ＝0，且AB ∩AA 1＝A ， ∴ 11ABB A CD 面⊥. ……………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD ＝（1，1，0）是平面A 1ED的法向量，设n ＝（x ，y ，z ）是平面A 1EC 的法向量，……………………………8分则100CE n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，………………………………………………………………10分 即20220y z x z +=⎧⎨+=⎩，取x ＝2，则n ＝（2，1，－2），………………………………12分又cos ,CD n <>＝||||CD nCD n ⋅＝＝2.……………………………………13分故二面角D E A C 1--的大小为4π.…………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）证：依题意知32AB 1=，1AB 21DE =且 E 为1BB 的中点，则 D 也为AB 中点，∴ AB CD ⊥， ……………………………………………………………3分 又∵三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱∴A A CD 1⊥…………………………………………………………5分 又 A AB AA 1= 且 1AA 、11ABB A AB 平面⊂故 11ABB A CD 面⊥. …………………………………………………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知11ABB A CD 面⊥，在ADE ∆中过D 作E A DF 1⊥交AE 于F ， 连CF ，由三垂线定理知，DFC ∠为所求二面角的平面角 ………………………9分 易知2CD =，在DE A 1∆中，6D A 1=，3DE =，3E A 1=故︒=∠90DE A 1 11A D D EDF A E⋅==10分在CDE Rt ∆中 122DFCDDFC tan ===∠……………12分故所求二面角的大小为4π. …………………………………………………………14分。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．sin 210=（ ）AB．-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A．4B．4C．2D．28．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．全国卷Ⅱ理科数学（必修+选修Ⅱ）二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()yf x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B二、填空题13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系xyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，， 则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点AEBCFSD H G M111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA <>==，． 所以二面角A EF D --的大小为20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =----- ，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一：由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n nb b +- 2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132n n a a +-=， 所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a - 即 1n nb b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
高数下期末考试试题及答案解析讲解学习
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)． 解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2y x = 2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数； （C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点.5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（D ）(A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12． 7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散；（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散；（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
高数(2-2)历年期末试题参考答案
2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
06-07(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(1,2)lim x y →=14. 2.设2sin z x y =,则2z x y∂=∂∂2cos x y .3.函数3x z y e =的全微分dz =323x x y e dx y e dy +.4.若243(,)2f x x x x x =++,221(,)221f x x x x '=-+,则22(,)f x x '=2221x x ++.5.改换积分次序:ln 1(,)ex dx f x y dy =⎰⎰10(,)y eedy f x y dx ⎰⎰.6.平面1x y z ++=在第一卦限部分的面积等于. 7.设L 为圆周222x y a +=,则⎰=+Lds y x )(2232a π.8.若级数1n n u ∞=∑条件收敛，则级数1||n n u ∞=∑的敛散性为： 发散 .9.函数11()xn f x n∞==∑的定义域为x ∈(1,)+∞. 10.若2()2ln 0y f x dx y xdy +=为全微分方程,则()f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知),(y x f z =是由方程0ze xyz -=确定的隐函数, 求x z ∂∂和22xz∂∂.解: 0zz ze yz xy x x∂∂--=∂∂ zz yzx e xy∂=∂-………………………………………………………4分 222()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy ---∂=∂- ………………………………6分 2322322()z zz y ze xy z y z e e xy --=-……………………………………7分2.求曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)-处的切平面及法线方程.解: (2,4,6)n x y z =(1,1,1)(2,4,6)n -=-……………………………………………3分所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0x y z --++-= ……………………5分 即 2360x y z -+-= 所求法线方程 111246x y z -+-==- ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算cos()Dx x y d σ+⎰⎰,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos()Dx x y d σ+⎰⎰cos()xdx x x y dy π=+⎰⎰…………………………………………4分(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ …………………………………………5分01(cos cos 2)2xd x x π=-⎰ 011[(cos cos 2)(sin sin 2)]24x x x x x π=---32π=- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周221x y +=,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin .解: 记22:1D x y +≤,由格林公式有 ⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin22()Dy x dxdy =+⎰⎰………………………………………………3分2130d d πθρρ=⎰⎰ ………………………………………………5分2π= ……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数2ln nn x n ∞=∑的收敛域.解: 收敛半径 1ln(1)lim ||lim 1ln n n n n a n R a n→∞→∞++===………………………3分 当1x =时,得级数21ln n n ∞=∑, 因11ln n n >,而21n n ∞=∑发散,所以21ln n n∞=∑发散……………………………5分 当1x =-时,得交错级数2(1)ln n n n∞=-∑,因1lim 0ln n n →∞=,且11(2,,)ln ln(1)n n n >=+ ,所以2(1)ln nn n ∞=-∑收敛 ……7分所求收敛域为[1,1)-……………………………………………………8分五．(本题满分6分） 求微分方程dy y xdx x y=+的通解. 解: 令y ux =,则dy duu x dx dx =+………………………………………2分 原方程化为 1du u x u dx u +=+………………………………………3分 分离变量得 1udu dx x =……………………………………………4分两边积分得 21ln ||2u x C =+………………………………………5分yu x=回代得 222(ln ||)y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I 和II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与生产y 单位的产品II 的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y =+-22[400230.01(33)]x y x xy y +++++ 22860.01(33)400x y x xy y =+-++-………………3分由80.01(6)060.01(6)0x y L x y L x y =-+=⎧⎨=-+=⎩……………………………………………5分得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为120x =,80y =…………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设Ω是由曲面226z x y =--及z =所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:4D x y +≤……………………2分Ω的体积为 22260V dv d d dz πρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分22200(6)d d πθρρρρ=--⎰⎰………………………6分43222[3]43ρρπρ=--323π=……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++ ，（x-∞<<+∞）满足微分方程 x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n -'=+++++-47324!7!(32)!n x x x y x n -''=+++++-0!nx n x y y y e n ∞='''++==∑……………………………………4分(2) 0y y y '''++=的通解为212(cossin )22x Y e C x C x -=+………………………7分 设x y y y e '''++=的待定特解*x y Ae =,代入x y y y e '''++=,求得13A =,1*3x y e =……………………………………………9分x y y y e '''++=的通解为2121()3xx y e C x C x e -=++……………………10分 由(0)1y =,(0)0y '=,求得123C =,20C =幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数为22133x x y e x e -=+ ……………………………12分。
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6分
其中, 1 x 1 1 , 即 0 x 2
8分
4. 解. 在 z 3 3xyz a 两边对 x 求导得, z 2 z x yz xyz x 0
2分
上述两式两边分别对 y 求导得, z 2 z y xz xyz y 0
4分
2zz y z x z 2 z xy z yz y xz x xyz xy 0
切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积是：
S
1 3
1 2
3c
3d
3
f
9 2
a
3
9分 12 分
八. 解. 由于内接长方体的面平行于坐标平面, 设其在第一挂象内的顶点坐标是 ( x, y, z) . 则问
题转化为求函数 S
8 xyz
在条件
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 最大值.
令
f (x,
y, z)
8
xyz
(
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1)
由
fx fy fz
8 yz 8 xz 8 xy
2 x a2 2y b2 2z
c2
0 0 0
f
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0
解之得 x
1 1 an
1 0,
1
幂级数
n1 1 a n
发散.
lim 当 a=1 时,
n
1 1 an
1 2
0
,
幂级数也发散
当 a>1 时,
1 1 an
1 n , a
而此时几何级数 1 n 收敛, n1 a
所以, 当 a>1 时原级数也收敛.
试卷 A 参考答案及评分标准
一、计算 (第 1、2 题各 6 分；3、4 题各 8 分共 28 分，)
lim 1.
证明：设 y=kx,
|
k
|
1 ，则
( x, y )(0,0)
x2
xy y2
k 1 k2
.
此极限随 k 的变化而异, 所以原极限不存在.
4分 6分
2. 解.
x cos( x y)d =
七. 解. 曲面在任意一点 A (c, d , f ) 处的法向量是 (df , cf , cd ) ,
4分
6分
9分 12 分 3分
所以在 A 点的切平面方程是: df ( x c) cf ( y d ) cd(z f ) 0 .
6分
故, 该切平面的在 x 轴、y 轴、z 轴截距分别是 3c,3d ,3 f
由平面的点法式方程得
1 ( x 1) 2( y 2) 3(z 1) 0
即所求平面方程为 x 2 y 3z 6 0
第2页共3页
2分 5分 7分 8分
2分 4分 6分 8分
5分 8分 10 分
4分 8分 10 分
lim 六、 解. 当 0<a<1 时,
n
=
1 2
1342
三. 解. 函数 f (x, y)在(0, 0)处连续.
因为 0
(x2
y 2 )sin
x2
1
y2
x2 y2,
而 lim ( x 2 y y ) 0 ( x, y)(0,0)
所以, lim f ( x, y) 0 f (0,0) ( x, y)(0,0)
xdx
x cos( x y )d ( x y )
0
0
2分
D
= x sin xdx 0
3分
= x cos
x
|
0
cos
0
xdx
5分
=
6分
3. 解. f ( x) ln x = ln(1 ( x 1))
2分
= (1)n1 ( x 1)n n1 n
6分
综合上述 3 式得,
z xy
z( z 4
2 xyz 2 x 2 y 2 ) (z 2 xy)3
8分
第1页共3页
二、解. AB (3,3,1), AC (3,7,4)
AB AC (19,9,30)
S ABC
1 2
AB AC
=
1 2
192 92 (30)2
四、解. 利用极坐标变换得
ln(1 x 2 y 2 )dxdy 2 d 2 r ln(1 r 2 )dr
0
0
D
=
1 2
2 (5 ln 5 4)d
0
= (5 ln 5 4)
五、解. 由于所求平面与两个已知平面都垂直, 它的法向量可取作
(1,2,1) (1,1,1) (1,2,3)
3 3
a,
y
3 3
b,
z
3 3c,源自从而 S83 9
abc
2分 2分 8分
12 分
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