D3_2泰勒
群论框架下具有D3d对称性构型的B2H6分子的声子间耦合及其杨-泰勒畸变
那么Ｂ Ｈ 分子的卢子态中有哪些声子态能够与其电子态Ｅ 、Ｅ 发生耦合作用呢？ ２６ 。 为此应用（） １式
米分析 就必须 要计算 ｒ ｒ ，利用群 论可 求得 ： 。
ａｌ ＝ ；
所不 能解 决的 ，只有 通 过求 解Ｂ２ 的Ｓ ｈ Ｓ ｉｇ ｒ Ｈ６ ｃ ｒ ｄｎ ｅ 方程才 能得 到 具体 的结 果 ． 但是 在研 究ＪＴ效应 的时 —
候 ，并 不需 要 知道 得 如 此 详 细 ，无 论Ｂ２ 的 电子 基态 是 还 是Ｅ Ｈ６ ，我 们 都 能够 对 其ＪＴ效 应做 精 确 —
就 任何 一个Ｊ Ｔ系统 而 言 ，其 电子态 的对 称 性是 由系统 的对 称 群Ｇ的不可 约 表 示来 描述 【 】 — １ ．冈此 ，对 ０
于 具有Ｄ３对 称性 构 型 的Ｂ２ 分子 ，其 电子 态 的对 称 性应 该 由Ｄ３群 的不 可 约表 示来 描述 ．因为ＪＴ系 ｄ Ｈ６ ｄ — 统 的 电子 基态 一 定是 简 并 的 ， 因此 作 为ＪＴ系 统 的Ｂ Ｈ６ 子 的 电子基 态 必 定是 或者 ，其 中 具 — ２ 分 有偶 宇称 ，而 具 有 奇宇 称 ． 指 出的是 ：Ｂ Ｈ６ 电子基 态究 竟是 Ｄ３群下 的Ｅ。 是 ，这 是群论 需要 ２ 的 ｄ 还
如 ２ ６ ｃ ＋ Ｐ ４ Ｃ （ ａ ｓＣ０等物质都具有一定的对称性，在这些对称性物质中常常会发 Ｂ Ｈ 、 ｉ、 ＋、 ６ 】 Ａｉｒ 、Ｇ ： ＋
生ＪＴ效 应 ． 丁ｃ ＋ 、Ｃ ｎ — 关 、Ｐ ６ 、Ｇａ ｉ ｒ＋ — Ａｓ Ｃ ０ 的ＪＴ效应 ，有 多篇文 章进 行过深 入 的探讨与研 究【 ７． ： ］ －
裂，因此其能级的简并性因畸变而被完全消除．
关键词 ：声子耦合；Ｃ Ｇ系数；杨一 泰勒畸变；能级分裂
泰勒制的主要内容
泰勒制的主要内容
泰勒制是一种分析数学方法，它用于研究函数在某一点附近的行为。
这种方法可以帮助我们求解微积分、常微分方程和级数展开等问题。
泰勒制的主要内容包括：
1.多项式展开：泰勒制可以用来展开一个函数的多
项式，例如可以用来求解指数函数、对数函数、三角函
数和其他常见函数的展开式。
2.泰勒公式：泰勒公式是泰勒制的核心内容，它提
供了一种方法来计算函数的值。
泰勒公式的形式如下：$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-
x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots$$
其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x_0$ 表示展开的起始点，$f'(x_0)$、$f''(x_0)$、$f'''(x_0)$ 等分别表示函数在$x_0$ 处的一次导数、二次导数、三次导数等。
3.泰勒级数：泰勒级数是泰勒制的一种推广，它用
来展开函数的无限级数。
泰勒级数的形式如下：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-
x_0)^n$$
其中，$f^{(n)}(x_0)$ 表示函数在$x_0$ 处的$n$ 次导数，$n!$ 表示$n$ 的阶乘。
泰勒制的这些内容在数学、物理、工程等领域都有广泛
的应用，是一种非常重要的分析数学方法。
泰勒简介
.数学家布鲁克·泰勒Brook Taylor18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。
他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。
1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。
最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。
他假定z随时间均匀变化，则为常数。
上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作麦克劳林定理。
1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。
他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。
他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。
另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
编辑本段2.美国陆军上将美国陆军上将泰勒1901.8.26～1987.4.19 ，美国陆军上将。
(2021年整理)泰勒公式的证明及应用(1)
泰勒公式的证明及应用(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明及应用(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明…………………… ……。
.3（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二)带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)(三)带有柯西型余项的泰勒公式 (5)(四)积分型泰勒公式 (6)(五)二元函数的泰勒公式.......................................。
.7三、泰勒公式的若干应用 (8)(一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七)利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。
在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。
并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式.定义:设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式,称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
(同济大学)高等数学课件D3_3泰勒
4 3x
1( 9 n) o( x 2 n1 n1 x2 ) ( 1) 16 (1 x) 9 x 原式 lim 2 32 (n x0 1) ! x2
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
( 在 x0 与 x 之间)
df
返回 结束
误差
( 在 x0 与 x 之间)
机动 目录 上页 下页
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
其中 R2 m ( x)
sin() m x 2 x ) 2 m1 (1 cos(m 1 ) 2 (0 1) x (2m 1) !
机动
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下页返回结束 Nhomakorabea类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中 Rn (x)
( 1)( n)
(n 1) !
(1 x) n1 x n1
(0 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
已知 f 类似可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
x 2 x3 xn ln(1 x) x (1) n 1 Rn (x) 2 3 n
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
《西方行政学说》第四章 泰勒的科学管理理论
试题1：以下被称为“科学管理之父”的是（）。
正确答案是：泰勒试题2：泰勒最著名的代表作是（）。
正确答案是：《科学管理原理》试题3：科学管理的中心问题是（）。
正确答案是：提高劳动生产率试题4：在实行刺激性工资报酬制度时，泰勒主张通过（）的研究和分析，制定出一个定额或标准。
正确答案是：工时试题5：泰勒认为，培训工人成为“第一流的工人”，是（）的职责。
正确答案是：管理者试题6：对于那些不愿努力工作的人，泰勒建议采取下列哪些措施使之努力工作（）。
正确答案是：说服教育, 纪律约束, 刺激性付酬制度试题7：泰勒所主张的（）的制度规定，无论工人的生产量如何，都可以得到一份基本的日工资。
正确答案是：任务和奖金工资制试题8：虽然泰勒的职能工长制没有得到推广，但这种职能管理的思想却为以后（）提供了参考（）。
正确答案是：职能部门的建立, 管理的专业化试题9：泰勒主张雇主与工人两方面都必须来一次“精神革命”的原因是因为双方长期处于（）关系。
正确答案是：相互指责, 相互怀疑试题10：泰勒所主张实行的标准化原理，主要涉及哪些方面的标准化（）。
正确答案是：工具, 机器, 材料, 作业环境试题11：泰勒所提出的在组织机构的管理控制上实行例外原则的思想为后来的授权与分权化管理提供了借鉴。
（）正确答案是：“对”。
试题12：为了实现与雇主的相互信任与协作，泰勒主张工人同意按企业管理当局规定的新方法来进行培训。
（）正确答案是：“对”。
试题13：泰勒认为，通过科学研究确立一系列的标准化操作规则是工人们所必须完成的职责。
（）正确答案是“错”。
试题14：为了实现与雇主的相互信任与协作，泰勒主张工人不要再为生产中的盈余如何在工资和利润之间分配而烦恼和斗争。
（）正确答案是“对”。
试题15：在泰勒看来，计划职能与执行职能的分开可以实现企业当局与工人的合作，进而避免罢工情况的产生。
（）正确答案是“对”。
试题16：泰勒认为，对那些体力或智力上不适合于干分给工作的“非第一流的工人”，应该采取什么措施使之适应工作需要（）。
杨泰勒效应
HS: d7
Energy level splitting of d-orbitals in octahedron
Cu: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1 Cu2+: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d9 dz2，dx -y dz2，dx -y
2 2 2
2
d9
z VS
d9
z
y x x z
y
y x
Energy level splitting of d-orbitals in octahedron
Octahedral with shorter z Octahedral with longer z
d z2 dx -y
2
dz2，dx -y
2
2
dx -y
2
2
1
2
d z2 dxy
2
dxz, dyz dxy
dxy, dxz, dyz
dxz, dyz
CFSE=0.5 1
Energy level splitting of d-orbitals in octahedron
Ni: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 Ni2+: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d8
Filling types with spherically symmetric electron cloud
d0
Empty
HS d5
Half filled
d10
Full filled
No Jahn-Teller effect
Filling types with octahedrally symmetric electron cloud
泰勒公式在高等数学解题中的使用技巧
泰勒公式在高等数学解题中的使用技巧泰勒公式，也叫求积公式，是高等数学中常用的一种方法，用于解决多元函数的求积问题。
它的出现极大地拓宽了数学的研究深度和广度，使得用数学研究解决许多复杂的问题成为可能。
泰勒公式最早是由18世纪英国数学家山姆泰勒提出的，他创立了一种全新的数学方法，以此解决多变量数学问题。
泰勒公式将多项式分解成多个式子，一般由分部线性函数组成，通过积分求值，可以有效地求解各种多变量数学问题。
在高等数学解题中，泰勒公式有着重要的作用。
举例来说，在复变函数的微积分计算中，泰勒公式可以用于求解某一复变函数的定积分。
这种方法更容易被理解和使用，解题时能够更精确地掌握复变函数在某一区间上的积分。
同时，泰勒公式也可以用于求解梯形函数的定积分，这种方法节省了时间，有助于更快地找出解决问题的方案。
另外，泰勒公式还能够应用于计算机科学中的微积分问题，例如，它可以用于计算函数的极限和微分。
它考虑了微分的梯度和导数，求解的精度较高，更容易把控误差范围，实用性较强。
最后，在使用泰勒公式解决高等数学解题时，需要注意以下几点。
首先，在求解复变函数的定积分时，应该明确这个函数具有的特性，才能够在求解过程中科学合理地使用泰勒公式。
其次，在使用泰勒公式求解梯形函数的积分时，应当注意函数的特点，正确计算梯度。
最后，在求解计算机科学中的微积分问题时，应当熟悉求解方程式的方法，把控微分的梯度和导数，注意掌握误差范围。
总之，泰勒公式在解决高等数学解题问题时的作用十分重要。
它不仅可以用于复变函数及梯形函数的积分，还可以应用于计算机科学的微积分问题。
只要掌握好泰勒公式的使用技巧，就可以有效地解决复杂的高等数学解题问题。
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x3 + x5 − x7 y = x − 3! 5! 7!
+ o(x )
x3 y = x − 3!
4 2
y=x
x3 + x5 y = x − 3! 5!
给出拉格朗日中值定理 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
f (x) = f (x0 ) + f ′(ξ )(x − x0 )
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
证明： 令 Rn (x) = f (x) − pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x) (x − x0 )n+1
x2 2
原式
7 x4 + o(x4 ) 7 12 = lim = 4 x→0 12
x
内容小结
1. 泰勒公式
f ′′(x0 ) f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2+⋯ 2! (n) f (x0 ) + (x − x0 )n + Rn (x) n!
f (n+1) (ξ ) (n +1) ! (x − x0 )
6
4
2 2 4
0
2
4
6
2. 利用泰勒公式求极限 利用泰勒公式求极限 例3. 求
1 4 解: ∵ e =1+ x + x + o(x4 ) 2! x2 x4 cos x =1− + + o(x5) 2! 4! 1 1 4 x2 ∴ e + 2cos x − 3 = ( + 2⋅ )x + o(x4 ) 2! 4!
1 1 e =1+1+ +⋯+ + (0 <θ <1) 2! n ! (n +1) ! 由于 0 < eθ < e < 3, 欲使 3 < <10−6 Rn (1) (n +1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e≈1+1+ +⋯+ = 2.718281 2! 9!
泰勒多项式逼近 sin x
n+1
其中余项
Rn (x) =
= o((x − x0) )
n
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
当 x0 = 0 时为麦克劳林公式 . 麦克劳林公式
2. 常用函数的麦克劳林公式
e , ln(1+ x), sinx, cos x, (1+ x)
x
α
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , 例 sin x 如 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等.
1 pn (x) = p(x0 ) + p′(x0 )(x − x0 ) + 2! p′′(x0 )(x − x0 )2 +⋯ 故 1 + n! p(n) (x0 )(x − x0 )n
2. 一般的存在 阶导数的函数 f (x) ，可构造多项式 一般的存在n阶导数的函数
pn (x) = f (x0 ) + f ′(x0)(x − x0) + 1 f ′′(x0)(x − x0)2 +⋯ 2!
(k )
π
x3 x5 x2m−1 ∴ sin x = x − + −⋯ +(−1)m−1 + R2m(x) 3! 5! (2m−1) !
sin(θ cos(m 1) (−1)mx + 2θ+xπ ) 2m+1 2 其中 R2m(x) = (0 <θ <1) x (2m+1) !
类似可得
2m x2 x4 m x cos x =1− + +⋯+ (−1) + R2m+1(x) 2! 4! (2m) !
+Rn (x) Rn (x) 称为余项， Rn (x) 怎么表达？ 称为余项， 怎么表达？
泰勒中值定理 : 时, 有 f ′′(x0 ) f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2+⋯ 2! (n) f (x0 ) + (x − x0 )n + Rn (x) ① n! 其中 Rn (x) = 阶的导数 , 则当
(n+1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界. M为 f
几个基本的问题： 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 2 x x3 xn x e =1 + x + + +⋯ + 2! 3! n! (0 <θ <1) 令x=1,得 θ
( ( ∵ pnn+1) (x) = 0, ∴Rnn+1) (x) = f (n+1) (x)
Rn (x) =
f (n+1) (ξ ) (n +1) !
(x − x0 )n+1 (ξ 在x0 与x 之 ) 间
当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) ≤ M 时 M n+1 Rn (x) ≤ x − x0 (n +1)! n ∴ Rn (x) = o((x − x0 ) ) (x → x0 )
泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 .
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 .
其中 Rn (x) =
α(α −1)⋯(α − n)
(n +1) !
(1+θ x)α−n−1 xn+1
(0 <θ <1)
已知 f 类似可得
(k )
(x) = (−1)
k−1
(k −1)! (k =1, 2,⋯ ) k (1+ x)
x2 x3 xn ln(1+ x) = x− + −⋯ + (−1)n−1 + Rn (x) 2 3 n
备用题： 利用泰勒公式 利用泰勒公式求极限 备用题： 1.利用泰勒公式求极限
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
1 ⋅ (3 x) + 1 ⋅ 1 (1 −1 (3 x)2+ o(x2) ] = 2[ 1+ ) 4 2 4 2! 2 2 + 3 x − 1 ⋅ 9 x2 + o(x2) =2 4 4 16 = 2 − 3 x − 1 ⋅ 9 x2 + o(x2) 4− 3x 4 4 16 − 1α9 n) + o(x2)−n−1 n+1 ⋅16 x2 α(α −1)⋯( − (0 <θ <1) + = lim 2 (1+θ x)α = − 9 x ∴原 式 2 32 (n ) x→0 +1 ! x
当 n ≥ 2 时, 等式右边不可能为整数. 矛盾 ! 故 e 为无理数 .
f (n+1) (ξ ) (n +1) !
(x − x0 )
n+1
(ξ 在x0 与x 之 ) ② 间
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) +⋯ 2! f (n+1) (ξ ) f (n) (x0 ) n+1 n (x − x0 ) + (x − x0 ) + (n +1) ! n!
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺 佩亚诺(Peano) 余项 . 佩亚诺
* 可以证明:
④ 式成立
在泰勒公式中若取 x0 = 0 , ξ =θ x (0 <θ <1) , 则有 f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +⋯ + x f (0) + f ′(0)x + 2! n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 麦克劳林（ 麦克劳林 由此得近似公式 f ′′(0) 2 f (n) (0) n f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x + x′ +⋯+ x f ′ (x0 ) n2 x 2! f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x −+10 ) + (x − x0 )! +⋯ 若在公式成立的区间上 f (n ) (x) ≤ 2! , 则有误差估计式 M (n) f (x0 ) f (n+1) (ξ ) + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 M n+1 n ! Rn (x) ≤ (n +1) ! x (ξ 在x0 与x 之 ) 间 (n +1) !
3x + 4 = 2 1+ 3 x 4
1 1 eθ 证: e =1+1+ +⋯+ + (0 <θ <1) 2! n ! (n +1) !