七年级数学下册8二元一次方程组小专题二二元一次方程组的解法习题新版新人教版32(1)
人教版七年级下册第8章二元一次方程组专题复习
专题一：二元一次方程组的解法1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.② 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋8，①a ＝－b －1.②3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9.② 4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，①3y ＋2x ＝8.②5．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－13，①5m ＋8n ＝1.② 6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.4y ＝40，①0.5x ＋0.7y ＝35.②7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.② 8．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.②9．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65.② 10．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.②11．解方程组：⎩⎨⎧x －y2＝9，①x 3－y 2＝7.②12．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，①3x ＋4y ＝18.②13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝13，3（x －4）＝4（y ＋2）. 14．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋12＝4（x －1），3x －2（2y ＋1）＝4.15．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.②16．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x ＋10y ＋y ＝5，即2(2x ＋5y)＋y ＝5，③ 把方程①代入③，得2×3＋y ＝5.∴y ＝－1. 把y ＝－1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换法”解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19；②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，② 求x 2＋4y 2的值．专题二、二元一次方程组的同解、错解、参数问题1．关于方程组同解问题的字母系数的求法：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个已知的二元一次方程(不含字母系数的方程)组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母系数的方程组，进而求出字母系数．2．求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤：(1)把字母系数看作已知数并解方程组；(2)根据方程组的特点，得到关于字母系数的方程；(3)解方程求得字母系数．类型之一 方程组的同解问题已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝19，ax －by ＝－6和⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝－6，5x ＋3y ＝－10的解相同，求代数式(4a －3b )2 018的值．【变式跟进】1．若关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋2ny ＝4，x ＋y ＝1与⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，nx ＋（m －1）y ＝3有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m 、n 的值．类型之二 方程组的错解问题已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，5x －cy ＝1，甲正确地解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，而乙粗心地把c 看错了，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.试求出a 、b 、c 的值．【变式跟进】2．甲、 乙两人共同解关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋5y ＝15，①4x －by ＝－2.②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－10；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.试计算a 2 020＋(－b )2 019的值．3．由于粗心，在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧□x －2y ＝5，7x －4y ＝△时，小明把系数□抄错了，得到的解是⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝－103；小亮把常数△抄错了，得到的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－16.请找出错误，并写出□和△原来的数字，再求出正确的解．4．甲、乙两人同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝8，cx －3y ＝－2，甲正确解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1；乙因为抄错c 的值，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.求a 、b 、c 的值．类型之三 方程组的参数问题如果2x ＋3y －z ＝0，且x －2y ＋z ＝0，那么xz (z ≠0)的值为( )A ．－17B ．－15 C.12 D ．－3【变式跟进】5．已知|a －2b ＋7|＋(2c ＋a －7)2＝0，若b ≠0，求a ＋cb 的值．6．阅读以下内容：已知实数x 、y 满足x ＋y ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7k －2，①2x ＋3y ＝6，②，求k 的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7k －2，2x ＋3y ＝6，再求k 的值．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k 的值．丙同学：先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋3y ＝6，再求k 的值．你最欣赏甲、乙、丙哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价．(评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路，运算的简洁性，以及你依此可以总结什么解题策略等等)专题三、二元一次方程组的实际应用专题1和、差、倍、分问题1．湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4 000元，那么当日售出成人票张．2．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”3．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40 kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？4．有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了．”两个牧童各有多少只羊？5．2018年某市“奥博园丁杯队名比赛场次胜负积分坏小子7 7 0 14后街男孩7 6 1 13极速7 5 2 12小小牛7 4 3 11注：平局后出现加时赛，一定比出胜负．问：(1)某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？专题2按比例分配、原料的混合与配套问题1．把浓度分别为90%和60%的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是75%消毒酒精溶液500克，求甲、乙两种酒精溶液各多少克？2．某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？3．在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材24 000 m2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种型号的板房，供2 300名灾民临时居住．已知建一间A型板房和一间B型板房问：该灾民安置点搭建A型板房和B型板房各多少间？4．为迎接新年，某工艺厂准备生产A、B两种礼盒．这两种礼盒主要用甲、乙两种原料，已知生产一套A 礼盒需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒；生产一套B礼盒需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产A、B两种礼盒各多少套？5现有50万单位的维生素A和40万单位的维生素B，请你算一算，能制成甲、乙两种食物各多少千克？专题3 行程问题与顺逆流(风)问题1．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑．如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙．求甲、乙两人的平均速度．2．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度．3．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m ，下坡路每分钟走80 m ，上坡路每分钟走40 m ，则他从家里到学校需10 min ，从学校到家里需15 min .问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？4．A 、B 两地相距176 km ，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻．甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上8时，分别从A ，B 两地同时出发赶往滑坡点疏通公路.10时，甲队赶到，半小时后乙队赶到．若滑坡受损公路长1 km ，甲队行进的速度是乙队的32倍多5 km ，求甲、乙两队赶路的速度．5．一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km /h ，在高速公路上行驶的速度为100 km /h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2 h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．专题4 几何问题1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝180B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝180C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝90D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝902．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意列方程正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75y ＝3xB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75x ＝3yC .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75y ＝3xD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75x ＝3y3．如图1，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是 .4．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．5．根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高 cm ，放入一个大球水面升高 cm ； (2)如果要使水面上升到50 cm ，应放入大球、小球各多少个？6．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积多大？二元一次方程组的解法小专题1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.② 解：由①，得，y ＝3－2x.③把③代入②，得3x －5(3－2x)＝11.解得x ＝2.将x ＝2代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋8，①a ＝－b －1.② 解：把①代入②，得2b ＋8＝－b －1，解得b ＝－3.把b ＝－3代入②，得a ＝－(－3)－1＝2.∴这个方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9.② 解：①＋②，得3x ＝15.∴x ＝5.将x ＝5代入①，得5＋y ＝6.∴y ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，①3y ＋2x ＝8.②解：把①代入②，得6x ＋2x ＝8，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.5．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－13，①5m ＋8n ＝1.② 解：由①，得2n ＝3m ＋13.③把③代入②，得5m ＋4(3m ＋13)＝1.解得m ＝－3.把m ＝－3代入③，得2n ＝3×(－3)＋13.解得n ＝2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2.6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.4y ＝40，①0.5x ＋0.7y ＝35.② 解：①×0.5，得0.5x ＋0.2y ＝20.③②－③，得0.5y ＝15.解得y ＝30.把y ＝30代入①，得x ＋0.4×30＝40.解得x ＝28.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝30. 7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.② 解：①×2＋②，得5x ＝5.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.8．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.②解：①×2，得10x ＋8y ＝12.③②×5，得10x ＋15y ＝5.④④－③，得7y ＝－7.解得y ＝－1.把y ＝－1代入②，得2x ＋3×(－1)＝1.解得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.9．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65.②解：把①代入②，得4×y －52＋3y ＝65. 解得y ＝15.把y ＝15代入①，得x ＝15－52＝5. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15.10．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.② 解：①×3，得9x ＋15y ＝57.③②×5，得40x －15y ＝335.④③＋④，得49x ＝392.解得x ＝8.把x ＝8代入①，得3×8＋5y ＝19.解得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－1.11．解方程组：⎩⎨⎧x －y 2＝9，①x 3－y 2＝7.② 解：①－②，得2x 3＝2.解得x ＝3. 把x ＝3代入①，得3－y 2＝9.解得y ＝－12. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－12.12．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，①3x ＋4y ＝18.②解：由①，得x ＝2y 3.③ 把③代入②，得2y ＋4y ＝18.解得y ＝3.把y ＝3代入③，得x ＝2×33＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝13，3（x －4）＝4（y ＋2）.解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，①3x －4y ＝20.② ①＋②，得6x ＝24.解得x ＝4.把x ＝4代入①，得3×4＋4y ＝4.解得y ＝－2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.14．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋12＝4（x －1），3x －2（2y ＋1）＝4.解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝9，①3x －4y ＝6.② ①×2，得12x －4y ＝18.③③－②，得x ＝43. 把x ＝43代入①，得6×43－2y ＝9.解得y ＝－12. ∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－12.15．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.② 解：原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －5，①2x －2y ＝1.② 将①代入②，得2x －2(2x －5)＝1，解得x ＝92. 将x ＝92代入①，得y ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝4.16．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x ＋10y ＋y ＝5， 即2(2x ＋5y)＋y ＝5，③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5.∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1. 请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换法”解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19；② (2)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)将方程②变形：9x －6y ＋2y ＝19，即3(3x －2y)＋2y ＝19，③把方程①代入③，得3×5＋2y ＝19.∴y ＝2.把y ＝2代入①，得x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. (2)①＋②×2，得(3x 2＋12y 2)＋(4x 2＋16y 2)＝47＋72，整理得7x 2＋28y 2＝119，即7(x 2＋4y 2)＝119，两边同时除以7，得x 2＋4y 2＝17.培优专题(三)__二元一次方程组的同解、错解、参数问题__[学生用书P39]1．关于方程组同解问题的字母系数的求法：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个已知的二元一次方程(不含字母系数的方程)组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母系数的方程组，进而求出字母系数．2．求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤：(1)把字母系数看作已知数并解方程组；(2)根据方程组的特点，得到关于字母系数的方程；(3)解方程求得字母系数．[学生用书P39]类型之一 方程组的同解问题[2018春·巴州区期末]已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝19，ax －by ＝－6和⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝－6，5x ＋3y ＝－10的解相同，求代数式(4a －3b )2018的值．解：联立，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝19，①5x ＋3y ＝－10.② ①＋②，得9x ＝9，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－5.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5代入⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝－6，bx －ay ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝－6，5a ＋b ＝－6， 解得a ＝b ＝－1.则原式＝[4×(－1)－3×(－1)]2 018＝1.【变式跟进】1．[2017·杭州一模]若关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋2ny ＝4，x ＋y ＝1与⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，nx ＋（m －1）y ＝3有相同的解． (1)求这个相同的解；(2)求m 、n 的值．解：(1)联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.代入⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋2ny ＝4，nx ＋（m －1）y ＝3. 得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，2n －m ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝4. 类型之二 方程组的错解问题[2018春·绍兴期末]已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，5x －cy ＝1，甲正确地解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，而乙粗心地把c 看错了，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.试求出a 、b 、c 的值． 解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b ＝3，3a ＋6b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3代入方程5x －cy ＝1，得10－3c ＝1， 解得c ＝3.故a ＝3，b ＝－1 c ＝3.【变式跟进】2．甲、 乙两人共同解关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋5y ＝15，①4x －by ＝－2.②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－10；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.试计算a 2 020＋(－b )2 019的值． 解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－10代入方程组中的4x －by ＝－2，得－12＋10b ＝－2，解得b ＝1. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4代入ax ＋5y ＝15，得5a ＋20＝15，解得a ＝－1. 则a 2 020＋(－b )2 019＝1－1＝0.3．由于粗心，在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧□x －2y ＝5，7x －4y ＝△时，小明把系数□抄错了，得到的解是⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝－103；小亮把常数△抄错了，得到的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－16.请找出错误，并写出□和△原来的数字，再求出正确的解． 解： 由题意，得7×⎝⎛⎭⎫－13－4×⎝⎛⎭⎫－103＝△， 解得△＝11；－9×□－2×(－16)＝5，解得□＝3.则原方程组是⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5， ①7x －4y ＝11.② ①×2－②，得－x ＝－1，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得3×1－2y ＝5，解得y ＝－1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.4．甲、乙两人同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝8，cx －3y ＝－2，甲正确解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1；乙因为抄错c 的值，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.求a 、b 、c 的值．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝8，c ＋3＝－2，2a －6b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2，c ＝－5.类型之三 方程组的参数问题如果2x ＋3y －z ＝0，且x －2y ＋z ＝0，那么xz(z ≠0)的值为( A )A ．－17B ．－15C.12D ．－3 【解析】 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －z ＝0，①x －2y ＋z ＝0.②∵要求x z 的值，∴可以消去y .由①×2＋②×3，得7x ＋z ＝0.③∵z ≠0，∴将③两边都除以z ，得7x z ＋1＝0，解得x z ＝－17. 【变式跟进】5．已知|a －2b ＋7|＋(2c ＋a －7)2＝0，若b ≠0，求a ＋c b的值． 解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝－7，①2c ＋a ＝7.② 由①得b ＝a ＋72， 由②得c ＝7－a 2. 则a ＋c b ＝a ＋7－a 2a ＋72＝a ＋7a ＋7＝1.6．阅读以下内容：已知实数x 、y 满足x ＋y ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7k －2，①2x ＋3y ＝6，② 求k 的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7k －2，2x ＋3y ＝6， 再求k 的值．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k 的值．丙同学：先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋3y ＝6，再求k 的值． 你最欣赏甲、乙、丙哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价．(评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路，运算的简洁性，以及你依此可以总结什么解题策略等等)解：(答案不唯一)我最欣赏乙同学的解题思路，解答如下：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7k －2，①2x ＋3y ＝6.② ①＋②，得5x ＋5y ＝7k ＋4，∴x ＋y ＝7k ＋45. ∵x ＋y ＝2，∴7k ＋45＝2， 解得k ＝67. 评价：乙同学观察到了方程组中未知数x 、y 的系数，以及与x ＋y ＝2中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x 、y 的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小．二元一次方程组的实际应用专题练习专题1 和、差、倍、分问题1．湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4 000元，那么当日售出成人票50张．2．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝8．3．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40 kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ (2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？解：(1)设采摘黄瓜x 千克，茄子y 千克．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，x ＋1.2y ＝42.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝10. 答：采摘的黄瓜和茄子各30千克、10千克．(2)30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23(元)． 答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元．4．有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了．”两个牧童各有多少只羊？解：设两个牧童分别有x 只羊，y 只羊．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2（y －1），x －1＝y ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5. 答：两个牧童各有7只、5只羊．5．2018年某市“奥博园丁杯”篮球赛前四强积分榜如下：队名 比赛场次胜 负 积分 坏小子 7 7 0 14 后街男孩 7 6 1 13 极速 7 5 2 12 小小牛74311注：平局后出现加时赛，一定比出胜负．问：(1)某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？ (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？ 解：(1)从表中可知胜一场得2分，负一场得1分．设一个队胜的场次为x 场，负的场次为y 场，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，y ＝2×2x.解得⎩⎨⎧x ＝75，y ＝285.因为胜的场次不可能为分数，所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍． (2)设一个队胜的场次为a 场，负的场次为b 场，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，2a ＝5b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2. 答：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍．专题2 按比例分配、原料的混合与配套问题1．把浓度分别为90%和60%的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是75%消毒酒精溶液500克，求甲、乙两种酒精溶液各多少克？解：设甲种酒精溶液x 克，乙种酒精y 克，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝500，90%x ＋60%y ＝75%×500.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝250. 答：甲种酒精溶液250克，乙种酒精250克．2．某种仪器由1个A 部件和1个B 部件配套构成，每个工人每天可以加工A 部件1 000个或者加工B 部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A 部件和B 部件配套？解：设安排生产A 部件和B 部件的工人分别为x 人，y 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝16，1 000x ＝600y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝10. 答：安排生产A 部件和B 部件的工人分别为6人，10人．3．在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材24 000 m 2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A ，B 两种型号的板房，供2 300名灾民临时居住．已知建一间A 型板房和一间B 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：问：该灾民安置点搭建A 型板房和B 型板房各多少间？解：设该灾民安置点搭建A 型板房x 间，B 型板房y 间．由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋8y ＝2 300，54x ＋78y ＝24 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝100. 答：该灾民安置点搭建A 型板房300间，B 型板房100间．4．为迎接新年，某工艺厂准备生产A 、B 两种礼盒．这两种礼盒主要用甲、乙两种原料，已知生产一套A 礼盒需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒；生产一套B 礼盒需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产A 、B 两种礼盒各多少套？解：设生产A 礼盒x 套，生产B 礼盒y 套，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝20 000，3x ＋10y ＝30 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝2 400.答：该厂能生产A 礼盒2 000套，B 礼盒2 400套．5．已知甲、乙两种食物的维生素A 、B 的含量如下表：现有50万单位的维生素A 和40万单位的维生素B ，请你算一算，能制成甲、乙两种食物各多少千克？ 解：设能制成甲、乙两种食物分别为x 千克和y 千克．则⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＝500 000，800x ＋400y ＝400 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝500. 答：制成甲、乙两种食物分别为250千克和500千克．专题3 行程问题与顺逆流(风)问题1．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑．如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙．求甲、乙两人的平均速度．解：甲、乙每秒分别跑x 米，y 米，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25（x ＋y ）＝400，250（x －y ）＝400.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8.8，y ＝7.2. 答：甲、乙每秒分别跑8.8米、7.2米．2．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度．解：船在静水中的速度是x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＝60，4（x －y ）＝60.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17.5，y ＝2.5. 答：船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时．3．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m ，下坡路每分钟走80 m ，上坡路每分钟走40 m ，则他从家里到学校需10 min ，从学校到家里需15 min .问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？解：设平路有x m ，下坡路有y m ，则⎩⎨⎧x 60＋y80＝10，x 60＋y40＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝400. 答：小华家到学校的平路和下坡路各为300 m ，400 m .4．A 、B 两地相距176 km ，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻．甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上8时，分别从A ，B 两地同时出发赶往滑坡点疏通公路.10时，甲队赶到，半小时后乙队赶到．若滑坡受损公路长1 km ，甲队行进的速度是乙队的32倍多5 km ，求甲、乙两队赶路的速度．解：设甲队的速度为x 千米/时，则乙队为y 千米/时．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＋5，2x ＋2.5y ＝176－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝30.答：甲队赶路的速度为50 km /h ，乙队赶路的速度为30 km /h .5．一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km /h ，在高速公路上行驶的速度为100 km /h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2 h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．解：答案不唯一，问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解：设普通公路长为x km ，高速公路长为y km .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 60＋y100＝2.2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝120. 答：普通公路长为60 km ，高速公路长为120 km .问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了x h ，高速公路上行驶了y h ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2.2，60x×2＝100y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.2. 答：汽车在普通公路上行驶了1 h ，高速公路上行驶了1.2 h .专题4 几何问题1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝180 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝180 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝90 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝902．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意列方程正确的是(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75y ＝3xB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75x ＝3yC .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75y ＝3xD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75x ＝3y3．如图1，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是100.4．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．解：设梅花鹿现在的高度为x m ，长颈鹿现在的高度为y m ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4，y ＝3x ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝5.5.答：梅花鹿现在的高度为1.5 m ，长颈鹿现在的高度为5.5 m .5．根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高2cm ，放入一个大球水面升高3cm ； (2)如果要使水面上升到50 cm ，应放入大球、小球各多少个？解：设应放入x 个大球，y 个小球．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝50－26，x ＋y ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6. 答：应放入4个大球，6个小球．6．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积多大？解：根据小王的设计可以设垂直于墙的一边长为x 米，平行于墙的一边长为y 米．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，y －x ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝15.又因为墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际．根据小赵的设计可以设垂直于墙的一边长为a 米，平行于墙的一边长为b 米．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝35，b －a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝13.又因为墙的长度有14米，显然小赵的设计符合要求．此时鸡场的面积为11×13＝143(平方米)．答：小赵的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积为143平方米．。
七下8-2消元__解二元一次方程组第3课时二元一次方程组的解法习题新版新人教版
＝ − ，
所以原方程组的解是൞
＝ .
解法4
换元法
8.阅读下面材料：
小明同学遇到下面的问题：
+
−
＋
解方程组：൞+ −
＋
= ，
= .
他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量
比较大，也容易出错.如果把方程组中的(2x＋3y)看作一个
和
− =
+ = ，
ቊ
具有相同的解，求a，b的值.
＋ =
− = ，
【解】因为关于x，y的二元一次方程组ቊ
和
− =
+ = ，
ቊ
具有相同的解，
＋ =
− = ，
所以可得到方程组ቊ
＋ = ，
= ，
由①，得x＝5＋3y.③
把③代入②，得2(5＋3y)＋y＝3.
解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
= ，
所以这个方程组的解是ቊ
＝ − .
类型2
整体代入法
+ − = ，①
3.解方程组：ቐ++
− = . ②
【解】由①，得2x＋3y＝2.③
+
把③代入②，得 －2y＝9，
，①
− . ②
①＋②，得 ＝2，
解得m＝6.
将m＝6代入①，得n＝20.
将m＝6，n＝20代入x＋y＝m，x－y＝n，
＋ = ，
得ቊ
− = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
= ，
最新人教版数学七年级下册--二元一次方程组--8.3-实际问题与二元一次方程组--和差倍分--专题练习题-含答案
人教版数学七年级下册 第八章 二元一次方程组 8．3 实际问题与二元一次方程组和差倍分问题 专题练习题1． 已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则x ，y 满足的方程组为( )A .⎩⎨⎧x ＋y ＝90x ＝3y ＋20B .⎩⎨⎧x ＋y ＝90y ＝3x ＋20C .⎩⎨⎧x ＋y ＝180x ＝3y ＋20D .⎩⎨⎧x ＋y ＝180y ＝3x ＋20 2．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组( )A .⎩⎨⎧5x ＋4y ＝1482x ＋5y ＝100B .⎩⎨⎧4x ＋5y ＝1482x ＋5y ＝100C .⎩⎨⎧5x ＋4y ＝1485x ＋2y ＝100D .⎩⎨⎧4x ＋5y ＝1485x ＋2y ＝1003．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果，在这个问题中，有小孩____人，水果____个．4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张．5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，下面所列方程组正确的是( )A .⎩⎨⎧x ＋y ＝8xy ＋18＝yxB .⎩⎨⎧x ＋y ＝810（x ＋y ）＋18＝yx C .⎩⎨⎧x ＋y ＝810x ＋y ＋18＝yx D .⎩⎨⎧x ＋y ＝8x ＋10y ＋18＝10x ＋y6．一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．7．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x 名工人生产镜片，y 名工人生产镜架，则可列方程组( )A .⎩⎨⎧x ＋y ＝602×200x ＝50yB .⎩⎨⎧x ＋y ＝60200x ＝50yC .⎩⎨⎧x ＋y ＝60200x ＝2×50yD .⎩⎨⎧x ＋y ＝5050x ＝200y8．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌？(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置)9．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人，则1艘大船和1艘小船一次可以载乘客的人数分别是( )A ．18人，7人B ．17人，8人C ．15人，7人D ．16人，8人10．某校举行安全知识竞赛，其评分规则如下：答对一题得5分，答错一题得－5分，不作答得0分．已知试题共20道，满分100分，凡优秀(得分80分或以上)者才有资格参加决赛．小明同学在这次竞赛中有2道题未答，但刚好获得决赛资格，则小明答对____道题，答错____道题．11．某芒果种植基地去年结余为500万元，估计今年能结余960万元，并且今年的收入比去年高15%，支出比去年低10%，则去年的收入是____________万元，支出是____________万元．12．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40千克，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：(1)请问采摘的黄瓜和茄子各为多少千克？(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？13．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”求诗句中谈到的鸦的只数，树的棵数．14．一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才1岁，你到我这么大时，我已经37岁了．”请问老师、学生今年分别多大了？15．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”(1)王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，笔记本的单价可能为多少元？方法技能：1．审题时要弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的所有相等关系．2．设未知数可直接设，也可间接设，力求简洁．3．检验所得的解是否符合题意和实际意义，不符合的解要舍去．4．设未知数及作答时要注意单位名称统一．易错提示：注意配套问题中的数量关系．答案：1. C2. A3. 7 534. 205. D6. 解：设这个两位数十位上的数为x ，个位上的数为y ，则有⎩⎨⎧10x ＋y ＝x ＋y ＋9，10y ＋x ＝10x ＋y ＋27，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴这个两位数为147. C8. 解：设分配x 立方米木材生产桌面，y 立方米木材生产桌腿，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝10，50x ×4＝300y ，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝4，则共可生产方桌为50x ＝300张9. A10. 17 111. 2040 154012. 解：(1)设采摘黄瓜x 千克，茄子y 千克，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝40，x ＋1.2y ＝42，解得⎩⎨⎧x ＝30，y ＝10，则采摘的黄瓜和茄子分别为30千克、10千克(2)30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23(元)，则这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元13. 解：设有x 只鸦，y 棵树，则有⎩⎨⎧3y ＝x －5，5（y －1）＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝5，则鸦的只数为20，树的棵数为514. 解：设老师今年x 岁，学生今年y 岁，则有⎩⎨⎧x －y ＝y －1，37－x ＝x －y ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝13，则老师今年25岁，学生今年13岁15. 解：(1)设单价为8元的书买了x 本，单价为12元的书买了y 本，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝105，8x ＋12y ＝1500－418，解得⎩⎨⎧x ＝44.5，y ＝60.5，显然书的本数应为整数，不能为小数，不合题意，故一定是搞错了 (2)设笔记本的单价为a 元，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝105，8x ＋12y ＋a ＝1500－418，可得y ＝242－a 4，要使y 为整数，则a 首先必须为偶数，又是小于5元的整数，故a 只能为2，4.当a＝2时，y＝60；当a＝4时，y＝59.5(不合题意舍去)．综上所述，笔记本的单价可能为2元。
人教版七年级数学下册第8章二元一次方程组应用专题
＋b)(a－b)的值为__－__8_．
x＝1， x＝3， x＝5， 3．方程 x＋2y＝7 的正整数解有_3__组，分别为__y_＝__3_，____y_＝__2_，____y_＝__1____
知识点二 二元一次方程组的解法 2x－3y＝5，①
4．用加减法解方程组3x－2y＝7，② 下列解法不正确的是( D )
(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
解：(1)设每只 A 型球、B 型球的质量分别是 x 千克，y 千克，根据题意可 得x3＋ x＋y＝y＝7，13， 解得xy＝＝43，， 答：每只 A 型球的质量是 3 千克、B 型球的 质量是 4 千克
(1)x－y＝1；
x＝3， 解：y＝2
x＋3y＝－1， (2)3x－2y＝8； 解：xy＝＝－2，1
x－3 1－y＋4 2＝0， (3)x－2 3－y－3 1＝16．
x＝4， 解：y＝2
知识点三 二元一次方程组的应用
7．(2019·长春)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈
不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人
＋b)(a－b)的值为__－__8_．
x＝1， x＝3， x＝5， 3．方程 x＋2y＝7 的正整数解有_3__组，分别为__y_＝__3_，____y_＝__2_，____y_＝__1____
知识点二 二元一次方程组的解法 2x－3y＝5，①
4．用加减法解方程组3x－2y＝7，② 下列解法不正确的是( D )
12．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为 180 米 的河道整治任务由 A，B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治 12 米， B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．
七年级数学下册 第八章 二元一次方程组 8.2消元 解二元一次方程组同步练习(含解析)(新版)新人教
——解二元一次方程组1．用代入法解方程组⎩⎨⎧-=-=+②，①，52243y x y x 代入后比较容易化的变形是( )A ．由①得342y x -=B ．由①得432xy -=C ．由②得25+=x y D ．由②得x=2y-52．用代入法解方程组⎩⎨⎧=+=-②323①,752y x y x 时，可转化为一元一次方程的问题，若消去y,则含x 的一元一次方程为( )A ．x= 1B ．19x= 29C ．19x= 39D ．11x= 293．解方程组⎩⎨⎧=+-=②,632①,3y x x y 应先消__________，具体做法是将_____代入_____．4．用代入消元法解方程组：(1)⎩⎨⎧=+=②,823①,2x y x y ． (2)⎩⎨⎧-=-=+②,12①,1232y x y x5．下列方程组用加减法求解比代入法较简便的一个是( )A ．⎩⎨⎧=+=7322y x y xB ．⎩⎨⎧=+=-12262y x y xC ．D ．⎩⎨⎧=+=+-198538y x y x 6．解方程组⎩⎨⎧-=-=-②,10413①,8217y x y x 时，消去未知数y 最简单的方法是( )A ．①×4-②×2B ．①×2-②C ．由①得,2817-=x y 再代入② D ．由②得,41013+=x y 再代入①7．方程组⎩⎨⎧-=+=-252,132y x y x 中，x 的系数的特点是_______，方程组⎩⎨⎧=-=+647,845y x y x 中，y 的系数的特点是____，这两个方程组用____消元法解较方便.8．解方程组：（1）⎩⎨⎧==+；，②6y -x 2①3y x (2)⎩⎨⎧=+=；，②-22y x ①3y 3-2x能力提升全练1．解方程组⎩⎨⎧=+=②02510y -9x ①7y 4-3x ，的最简便的方法是( )A ．由①式得347yx +=，再代入②式B ．由②式得10925xy +=，再代入①式C ．①×3得9x-12y= 21③，再将③式与②式相减D ．由②式得92510-=y x ，再代入①式2．定义运算“*”，规定x * y=ax ²+by ，其中a 、b 为常数，且1* 2=5，2*1=6．则2*3=________.3．若二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 2,32的解x ，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，若这个等腰三角形的周长为7，则m 的值为_______. 4．先阅读材料，然后解方程组．解方程组⎩⎨⎧=--=--②5)(4,①01y y x y x 时，可由①得x-y=1③，然后将③代入②得4×1-y=5，求得y=-1，从而进一步求得x=0，所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==,1,0y x ，这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--.927532,0232y y x y x三年模拟全练一、选择题1．二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+23,6y x y x 的解是( )A ．⎩⎨⎧==15y xB ．⎩⎨⎧==24y xC ．⎩⎨⎧-=-=15y xD ．⎩⎨⎧-=-=24y x 2．解以下两个方程组：①⎩⎨⎧=--=,857,12y x x y ②⎩⎨⎧=-=+,48617,2568t s t s 较为简便的方法是( ) A ．①②均用代入法 B ．①②均用加减法 C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法⎩⎨⎧=-=-②,723①,532y x y x 下列解法不正确的是( )A ．①×3-②×2，消去xB ．①×2-②×3，消去yC ．①×（-3）+②×2，消去xD ．①×2-②×（-3），消去y 二、填空题4．如果单项式2222+-+m n y n m x 与x ⁷y ³是同类项，那么n ᵐ的值是_______．5．方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(,734y k kx y x 的解中x ，y 的值相等，则k=____．三、解答题6．(1)解方程组⎩⎨⎧=-=+②;243①,42y x y x (2)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.132,353y x y x ，五年中考全练 一、选择题⎩⎨⎧=+=+162,10y x y x 的解是( )A ．⎩⎨⎧==46y xB ．⎩⎨⎧==65y xC ．⎩⎨⎧==63y xD ．⎩⎨⎧==82y x2．已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+1,32by ax by ax 的解为⎩⎨⎧-==11y x ，则a-2b 的值是( )A ．-2B ．2C ．3D ．-33．二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+42,5y x y x 的解为（ ）A ．⎩⎨⎧==41y xB ．⎩⎨⎧==32y xC ．⎩⎨⎧==23y xD ．⎩⎨⎧==14y x 二、填空题4．方程组⎩⎨⎧=+=-522y x y x 的解是______．三、解答题5．解方程组：⎩⎨⎧=+=+.104,1y x y x6．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=+253,32m y x y x 的解满足x+y=0，某某数m 的值.核心素养全练1．Pn 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn 与n 的关系式是)2.(24)1(b an n n n n P +--=（其中a ，b 是常数，n ≥4）．(1)通过画图可得：四边形时，P ₄=____；五边形时，P ₅=____；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧=+=+②5114①,352y x y x 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y=5， 即2（2x+5y ）+y=5．③把方程①代入③得2×3+y= 5,∴y= -1.把y=-1代入①得x=4.∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,4y x ．请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧=-=-②.1949①,523y x y x——解二元一次方程组基础闯关全练1.D 方程②中未知数x 的系数为1，比较容易表示．2.B 由②可得，233+-=x y ,代入①中，可得723352=+-⨯-x x ，化简，得19x= 29．故选B ．3．答案，y ；①；②解析 方程①为用含一个未知数x 的式子表示另一个未知数y 的形式，故将①代入②可消去y ．4．解析(1)把①代入②，得6x+2x=8，所以x=1，把x=1代入①，得y=2．所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,1y x(2)由②得x=2y-1．③将③代入①，得4y-2+3y= 12.解得y=2． 将y=2代入③，得x=3．所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x5．D 同一个未知数的系数相同或互为相反数时加减消元比代入消元简单，D 选项未知数x 的系数互为相反数，加减消元简单．6．B 因为两个方程中未知数的系数都不是1或-1．所以用代入消元法较烦琐，故可选择加减消元法，又方程①中y 的系数是方程②中y 的系数的一半，故选择①×2-②最简单，所以 选B ．7．答案 相等；互为相反数；加减8．解析(1)①+②，得3x =9，所以x=3．把x=3代入①，得y=0，所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.0,3y x(2)②×2-①，得7y=-7，解得y=-1． 将y=-1代入②，得x+2×（-1）=-2，解得x=0．所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,0y x ．能力提升全练1．C 由于方程组中未知数的系数都不是1或-1．故选择加减消元法最简便，故选C ． 2．答案10解析 由题意知，⎩⎨⎧=+=+,64,52b a b a 解得⎩⎨⎧==,2,1b a 所以x* y=x ²+2y ，所以2*3= 2²+2×3= 10. 3．答案 2解析 解二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 2,32得⎩⎨⎧-=-=.3,33m y m x(1)若x 、y 均为腰长，则3m-3= 3-m ，解得23=m ，此时23==y x ，因为等腰三角形的周长为7，所以第三边长为4，而x+y=3＜4，所以不符合要求；(2)若仅x 为腰长，则2（3m-3）+3-m=7，解得m=2，此时x=3，y=1，符合要求；(3)若仅y 为腰长，则3m-3+2（3-m ）=7，解得m=4，此时y= -1，不符合要求，综合(1)(2)(3)可得m=2．⎪⎩⎪⎨⎧=++=--②.92753y -2x ①,0232y y x由①得2x-3y=2，③把③代入②，得92752=++y ，解得y=4．把y=4代入①，得2x-3×4-2=0，解得x=7，所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.4,7y x三年模拟全练 一、选择题①-②，得4y=8，∴y=2，把y=2代入①，得x=4．故选B ．2．C 观察方程组的特点知①用代入法解比较简单，②用加减法解比较简单．故选C ．3．D D 选项中将①x2可得4x- 6y= 10，将②×（-3）可得- 9x+6y= -21，再将这两个方程左右两边分别相减，无法消去y ，故选D ． 二、填空题 4．答案3解析 因为单项式2x ᵐ⁺²ⁿy ⁿ¯²ᵐ⁺²与x ⁷y ³是同类项，所以⎩⎨⎧=+-=+,322,72m n n m 解得⎩⎨⎧==,3,1n m 所以n ᵐ=3¹=3，故答案为3． 5．答案 2解析 由题意得⎩⎨⎧=+=,734,y x y x 解得⎩⎨⎧==,1,1y x 代入kx+(k-1)y=3，得k+k-1=3．则k=2．三、解答题6．解析 (1)由①得z=4-2y ，代入②得3(4-2y)-4y=2，解得y=1，把y=1代入x=4-2y ，得x=2．则方程组的解是⎩⎨⎧==.1,2y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②,13y2①,353x y x②×6，得3x-2y=6，③③-①，得3y=3．∴y=1，把y=1代入①，得3x-5=3．∴38=x ,∴方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==.1,38y x五年中考全练一、选择题1.A ⎩⎨⎧=+=+②.162①,10y x y x②-①得x=6．把x=6代入①，得y=4，所以，原方程组的解为⎩⎨⎧==.4,6y x 故选A ．2．B 由题意，得⎩⎨⎧=+=-,②1,①32b a b a ①-②，得a-2b=2．3．C ⎩⎨⎧=-=+②,42①,5y x y x ①+②，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y= 5,y=2，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x 故选c ．二、填空题4．答案⎩⎨⎧==13y x解析⎩⎨⎧=+=-②,52①,2y x y x②-①得3y=3，∴y=1．把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3． ∴原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x三、解答题5．解析⎩⎨⎧=+=+②,104①,1y x y x ②-①，得3x=9．解得x=3．把x=3代入①，得3+y=1，解得y=-2．所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==.2,3y x6．解析 解关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=+,253,32m y x y x 得⎩⎨⎧-=-=.7,112m y m x ∵x+y=0，∴2m-11+7-m=0，解得m=4.核心素养全练1．解析(1)由画图，可得：当n=4时，P ₄=1;当n=5时，P ₅=5．(2)将n=4，P ₄=1；n=5，P ₅=5分别代入关系式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-⨯=+-⨯-⨯,5)525(24)15(5,1)416(24)14(4b a b a整理，得⎩⎨⎧=-=-,195,144b a b a 解得⎩⎨⎧==.6,5b a2．解析 解法一：将方程②变形得9x-6y+2y= 19，即3（3x-2y ）+2y= 19，③把方程①代入③得3×5+2y=19，∴y=2．把y=2代入①得x=3．∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x解法二：将方程②变形得3x+6x-4y= 19，即3x+2（3x-2y ）=19，③ 把方程①代入③得3x+2×5= 19,∴x=3．把x=3代入①得y=2．∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x。
七年级数学下册8二元一次方程组小专题二二元一次方程组的解法习题新版新人教版
小专题(二) 二元一次方程组的解法类型1 用代入法解二元一次方程组1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋8，①a ＝－b －1.②解：把①代入②，得2b ＋8＝－b －1，解得b ＝－3. 把b ＝－3代入②，得a ＝－(－3)－1＝2.∴这个方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b＝－3.2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，①3y ＋2x ＝8.②解：把①代入②，得6x ＋2x ＝8，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.②解：由①，得，y ＝3－2x.③把③代入②，得3x －5(3－2x)＝11.解得x ＝2. 将x ＝2代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－13，①5m ＋8n ＝1.②解：由①，得2n ＝3m ＋13.③把③代入②，得5m ＋4(3m ＋13)＝1.解得m ＝－3.把m ＝－3代入③，得2n ＝3×(－3)＋13.解得n ＝2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2.类型2 用加减法解二元一次方程组5．(东营中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9.②解：①＋②，得3x ＝15.∴x ＝5.将x ＝5代入①，得5＋y ＝6.∴y ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.6．(宿迁中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.②解：①×2＋②，得5x ＝5.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.4y ＝40，①0.5x ＋0.7y ＝35.②解：①×0.5，得0.5x ＋0.2y ＝20.③②－③，得0.5y ＝15.解得y ＝30.把y ＝30代入①，得x ＋0.4×30＝40.解得x ＝28.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝30.8．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.②解：①×2，得10x ＋8y ＝12.③②×5，得10x ＋15y ＝5.④④－③，得7y ＝－7.解得y ＝－1.把y ＝－1代入②，得2x ＋3×(－1)＝1.解得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.类型3 选择适当的方法解二元一次方程组9．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65.②解：把①代入②，得4×y －52＋3y ＝65.解得y ＝15.把y ＝15代入①，得x ＝15－52＝5.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15.10．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.②解：①×3，得9x ＋15y ＝57.③②×5，得40x －15y ＝335.④③＋④，得49x ＝392.解得x ＝8.把x ＝8代入①，得3×8＋5y ＝19.解得y ＝－1. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y＝－1.11．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＝9，①x 3－y 2＝7.②解：①－②，得2x 3＝2.解得x ＝3.把x ＝3代入①，得3－y 2＝9.解得y ＝－12.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－12.12．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，①3x ＋4y ＝18.②解：由①，得x ＝2y 3.③把③代入②，得2y ＋4y ＝18.解得y ＝3.把y ＝3代入③，得x ＝2×33＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝13，3（x －4）＝4（y ＋2）.解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，①3x －4y ＝20.②①＋②，得6x ＝24.解得x ＝4.把x ＝4代入①，得3×4＋4y ＝4.解得y ＝－2. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.14．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋12＝4（x －1），3x －2（2y ＋1）＝4.解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝9，①3x －4y ＝6.②①×2，得12x －4y ＝18.③③－②，得x ＝43.把x ＝43代入①，得6×43－2y ＝9.解得y ＝－12.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－12.15．(无锡中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.②解：原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －5，①2x －2y ＝1.②将①代入②，得2x －2(2x －5)＝1，解得x ＝92.将x ＝92代入①，得y ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝4.类型4 利用“整体代换法”解二元一次方程组16．(珠海中考)阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x ＋10y ＋y ＝5，即2(2x ＋5y)＋y ＝5，③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5.∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换法”解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19；②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，② 求x 2＋4y 2的值．解：(1)将方程②变形：9x －6y ＋2y ＝19，即3(3x －2y)＋2y ＝19，③把方程①代入③，得3×5＋2y ＝19.∴y ＝2.把y ＝2代入①，得x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. (2)①＋②×2，得(3x 2＋12y 2)＋(4x 2＋16y 2)＝47＋72，整理得7x 2＋28y 2＝119，即7(x 2＋4y 2)＝119，两边同时除以7，得x 2＋4y 2＝17.。
人教版七年级数学下册 8.2消元——解二元一次方程组练习题(含答案)
x − y = 3a
x=5
方程 x＋y=4－a 的解；②当 a=－2 时，x、y 的值互为相反数；③若 x≤1，则 1≤y≤4；④{
是方程组的
y = −1
解，其中正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
7．已知 y = ax + b ，当 x = 2 时， y = −2 ，当 x = −1 时， y = 4 ，则 a 和 b 的值分别是（ ）
2,
1 y
=
−1,
求的原方程组的解为
x
y
= =
1 2 ，利用 −1
5
上述方法解方程组：
x 3
+ −
2 y 2
= 11 = 13
x y
22．已知关于
x,
y
的方程组
2x
x+2 + 3y
y=k = 3k
−
，以下结论：
1
① k = 0 时，方程组的解也是方程 x − 2 y = −4 的解；
②论 k 取什么实数， x + 3y 的值始终不变；
你认为这个题目的解应该是_____．
13．已知方程组
2x +
x
−
2
y y
= =
a 3a
，若
a
0
，则
x y
=
____．
14．定义一种新运算“※”，规定 x ※ y = ax + by2 ，其中 a 、b 为常数，且 1※2=5,2※1=3，则 2※3=____________．
15．已知关于 x，y 的二元一次方程 2x − 3y = t ，其部分值如下表所示，则 p 的值是__________．
人教版七年级下第八章二元一次方程组专题3二元一次方程组的解法(含答案解析)
人教版七年级下第八章二元一次方程组专题3二元一次方程组的解法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．解下列方程组：（1）8962717x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②； （2）1353()2(3)15x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩. 2．阅读材料：善思考的小军在解方程组2534115x y x y ①②+=⎧⎨+=⎩时，采用了一种“整体代入”的解法:解：将方程②变形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y ）+y=5③；把方程①代入③，得：2×3+y=5,所以y=-1； 把y=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩. 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①②3．用换元法解方程组：32231673223567x y x y x y x y -+⎧+=⎪⎪⎨-+⎪-=⎪⎩. 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组141516171819x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，直接消元是很繁琐的，采用下面的解法则会简单许多. 解：-②①得333x y +=，所以1x y +=.③14⨯③，得141414x y +=.④-①④，得2y =，从而得1x =-.所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩. （1）请你运用上述方法解方程组201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩，（2）猜测关于x，y的方程组(1)2(1)2mx m y mnx n y n++=+⎧⎨++=+⎩，()m n≠的解是什么？并用方程组的解加以验证.参考答案1．（1）322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）30x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）利用加减消元法解出方程；（2）整理后利用加减消元法解出方程．【详解】（1）4⨯-②①，得3774y =-.解得2y =-，把2y =-代入①，得89(2)6x -⨯-=.解得32x =-， ∴原方程组的解为322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）1353()2(3)15x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩，53155315x y x y +=⎧∴⎨-=⎩①② +①②，得1030x =.解得3x =③把③代入①得15315y +=.解得0y =，∴原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． 2．32x y =⎧⎨=⎩【分析】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x 的值，进而求出y 的值，得到方程组的解．【详解】3259419x y x y -⎧⎨-⎩＝①＝②将方程②变形：3（3x-2y ）+2y=19．将方程①代入③，得3×5+2y=19．y=2 把y=2代入①得 x=3∴方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩. 3．26x y =⎧⎨=-⎩. 【分析】 根据方程特点设32,6x y m -=237x y n +=，方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】 设32,6x y m -=237x y n +=， 方程组整理15m n m n +=⎧⎨-=⎩①②，+①②，得26m =，即3m =，-①②，得24n =-，即2n =-， 即32362327x y x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理得32182314x y x y -=⎧⎨+=-⎩③④， ③2⨯-④3⨯，得1378y -=，即6y =-，把6y =-代入③，得31218x +=，即2x =，原方程组的解是26x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】 本题考查用换元法解方程组的能力，用换元法解一些复杂的方程组是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．4．（1）12x y =-⎧⎨=⎩（2）12x y =-⎧⎨=⎩，验证见解析. 【分析】（1）利用“加减消元”来解方程组；（2）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可．【详解】（1）201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，-②①，得333,x y +=1x y ∴+=③2015⨯③，得201520152015x y +=④-①④，得2y =.把2y =代入③，得21x +=，解得1x =-，∴原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩； （2）关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是12x y =-⎧⎨=⎩， (1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩①②当1,x =-2y =时，方程①左边(1)2m m =-++⨯22m m =-++2m =+=右边， 方程②左边(1)2n n =-++⨯222n n n =-++=+=右边，12x y =-⎧∴⎨=⎩是原方程组的解． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．。
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小专题(二) 二元一次方程组的解法
类型1 用代入法解二元一次方程组
1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋8，①a ＝－b －1.②
解：把①代入②，得2b ＋8＝－b －1，解得b ＝－3. 把b ＝－3代入②，得a ＝－(－3)－1＝2.
∴这个方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.
2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，①3y ＋2x ＝8.②
解：把①代入②，得6x ＋2x ＝8，解得x ＝1.
把x ＝1代入①，得y ＝2.
∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.
3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.②
解：由①，得，y ＝3－2x.③
把③代入②，得3x －5(3－2x)＝11.解得x ＝2. 将x ＝2代入①，得y ＝－1.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.
4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－13，①5m ＋8n ＝1.②
解：由①，得2n ＝3m ＋13.③
把③代入②，得
5m ＋4(3m ＋13)＝1.解得m ＝－3.
把m ＝－3代入③，得
2n ＝3×(－3)＋13.解得n ＝2.
∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2.
类型2 用加减法解二元一次方程组
5．(东营中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9.②
解：①＋②，得3x ＝15.∴x ＝5.
将x ＝5代入①，得5＋y ＝6.∴y ＝1.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.
6．(宿迁中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.②
解：①×2＋②，得5x ＝5.解得x ＝1.
把x ＝1代入①，得y ＝－1.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.
7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.4y ＝40，①0.5x ＋0.7y ＝35.②
解：①×0.5，得0.5x ＋0.2y ＝20.③
②－③，得0.5y ＝15.解得y ＝30.
把y ＝30代入①，得
x ＋0.4×30＝40.解得x ＝28.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝
30.
8．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.②
解：①×2，得10x ＋8y ＝12.③
②×5，得10x ＋15y ＝5.④
④－③，得7y ＝－7.解得y ＝－1.
把y ＝－1代入②，得
2x ＋3×(－1)＝1.解得x ＝2.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.
类型3 选择适当的方法解二元一次方程组
9．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65.②
解：把①代入②，得4×y －52＋3y ＝65.
解得y ＝15.
把y ＝15代入①，得x ＝15－52＝5.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15.
10．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.②
解：①×3，得9x ＋15y ＝57.③
②×5，得40x －15y ＝335.④
③＋④，得49x ＝392.解得x ＝8.
把x ＝8代入①，得3×8＋5y ＝19.解得y ＝－1. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－1.
11．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＝
9，①
x 3－y 2＝7.②
解：①－②，得2x 3＝2.解得x ＝3.
把x ＝3代入①，得3－y 2＝9.解得y ＝－12.
12．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝y 3，①3x ＋4y ＝18.②
解：由①，得x ＝2y 3.③
把③代入②，得2y ＋4y ＝18.解得y ＝3.
把y ＝3代入③，得x ＝2×33＝2.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.
13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝13，3（x －4）＝4（y ＋2）.
解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，①3x －4y ＝20.②
①＋②，得6x ＝24.解得x ＝4.
把x ＝4代入①，得3×4＋4y ＝4.解得y ＝－2. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.
14．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋
12＝4（x －1），3x －2（2y ＋1）＝4.
解：整理，得⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝9，①3x －4y ＝6.②
①×2，得12x －4y ＝18.③
③－②，得x ＝43.
把x ＝43代入①，得6×43－2y ＝9.解得y ＝－12.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，
y ＝－12.
15．(无锡中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①
x －1＝12（2y －1）.②
解：原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －5，①2x －2y ＝1.②
将①代入②，得2x －2(2x －5)＝1，解得x ＝92.
将x ＝92代入①，得y ＝4.
⎩⎪y ＝4.
类型4 利用“整体代换法”解二元一次方程组
16．(珠海中考)阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②
时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x ＋10y ＋y ＝5，
即2(2x ＋5y)＋y ＝5，③
把方程①代入③，得2×3＋y ＝5.∴y ＝－1.
把y ＝－1代入①，得x ＝4.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1.
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换法”解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19；②
(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2xy ＋12y 2
＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，② 求x 2＋4y 2
的值．
解：(1)将方程②变形：9x －6y ＋2y ＝19，
即3(3x －2y)＋2y ＝19，③
把方程①代入③，得3×5＋2y ＝19.∴y ＝2.
把y ＝2代入①，得x ＝3.∴原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. (2)①＋②×2，得(3x 2＋12y 2)＋(4x 2＋16y 2)＝47＋72， 整理得7x 2＋28y 2＝119，即7(x 2＋4y 2)＝119， 两边同时除以7，得x 2＋4y 2＝17.。