第一章1.5-1.5.2汽车行驶的路程

第一章导数及其应用
1.5 定积分的概念
1.5.2 汽车行驶的路程
A级基础巩固
一、选择题1．运动物体行驶的路程s与由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2
表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )
A．相等B．不相等C．大于D．小于
解析：由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的
曲边梯形的面积就是运动物体行驶的路程s.
答案：A 2．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高
，则物体运动的路程近似值为( )
A．45 B．55 C．60 D．65
解析：因为把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝
1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动的路程近似值s＝1×(1＋
2＋…＋10)＝55.故选B.
答案：B 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一
过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：汽车刚启动时，行驶的路程较短，汽车加速行驶时，路程增加的较快，
曲线的切线斜率较大，减速行驶时，路程增加的速度较慢，曲线的切线斜率较
小．故选A.
答案：A 4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1
，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由题图可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，
则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．
答案：A 5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2
米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩
估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )
A．80米B．60米C．40米D．30米
解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，
得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的
左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．
答案：D
二、填空题6．已知某物体运动的速度v＝2t－1，t∈
[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高
，则物体运动的路程的近似值为________．解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即s＝1＋
3＋5＋…＋19＝1＋19
2×10＝100.答案：100
7．一辆汽车在司机猛踩刹车后，5
s内停下，在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：
i
与过剩近
似值(每个ξi取小区间的左端点)分别为________m，________m.解析：不足近似值为14＋9＋5＋2＋0＝30；过剩近似值为21＋14＋9＋5＋
2＝51.
答案：30 51 8．已知自由落体的物体速率为v＝gt(g为常数)，则物体从t＝0到t＝4所走
的路程为________．解析：物体从t＝0到t＝4所走的路程就是“速率—时间”曲线与时间轴所
围成图形的面积，因为t＝0时，v＝0；t＝4时，v＝4g，所以所走路程s＝1
2×4
×4g＝8g.
答案：8g
三、解答题9．设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋
1且力的方向和x轴正向相同，求F对质点m所做的功．
解：将区间[1，10]n等分，则各小区间的长度为9
n，在⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1＋
9
n
（i－1），1＋
9
n i
上取ξi＝1＋
9
n i.
所以F i ＝ξ2i ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋9n i 2
＋1，
所以W i ＝F i 9n ＝9n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋9n i 2
＋9n
(i ＝1，2，…，n )． 所以W ＝∑i ＝1
n ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤9n （1＋9n i ）2＋9n ＝∑i ＝1
n ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
18n ＋162n2i ＋729n3i2 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
18＋162n2·n （n ＋1）2＋729n3·
n （n ＋1）（2n ＋1）6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所做的功为342.
10．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：k
m)是多少？
解：在时间区间[0，2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，
记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（i －1）n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2（i －1）n ＝2
n
.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1，2，…，n )，
B 级 能力提升
1．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的
值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
（i －1）a n ，ia n (i ＝1，2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a
n
，所以v (t i )
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫ia n 2
，
s n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫ia n 2·a n ＝a3
n3(1＋22＋…＋n 2)＝
a3n （n ＋1）（2n ＋1）6n3＝a36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2＋1n ，
于是s ＝S n ＝
a36⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝a33＝9，
得a ＝3. 答案：C
2．已知某正电荷在某电场中做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2(
单位：m/s)，求它在0≤t ≤1这段时间运动的路程是________．
解析：将区间[0，1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
i －1n ，i n ，第i 个
小区间的面积为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·1
n ，所以s n ＝∑i ＝1n Δs i =∑i ＝1
n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·1n ＝1n3
(12＋
22＋…＋n 2)＝
1n3·n （n ＋1）（2n ＋1）
6
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
2＋1n 6，
所以s ＝lim s n ＝lim
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2＋1n 6＝13
. 答案：
1
3
3．一质点在做直线运动时，其速度(单位：m/s)
v (t )＝⎩⎨⎧2t2（0≤t≤3），18（3＜t ＜7），
－3t ＋39（7≤t≤13）.
(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；
(2)试求这一质点在3 s 内的运动路程．
解：(1)v (t )＝2t 2(0≤t ≤3)，说明质点在前3 s 内做变加速直线运动；
v (t )＝18(3<t <7)，说明质点在第3 s ～7 s 之间做匀速直线运动；
v (t )＝－3t ＋39(7≤t ≤13)，说明质点在第7 s ～13 s 之间做匀减速直线运动．
(2)当0≤t ≤3时，对[0，3]n 等分，并以每个小区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
3（i －1）n ，3i n 的左端点的速度作近似代替，则Δt ＝3
n
，
v (ξi )＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3（i －1）n 2
.
54n3[]12＋22＋…＋（n －1）2＝54n3·1
6n (n －1)(2n －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－1n .
所以s ＝s n ＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－1n ＝18(m)．。