高中数学必修四学案：3.1.3两角和与差的正切 Word版缺答案
人教版数学高一人教B版必修4学案3.1.3两角和与差的正切
3.1.3 两角和与差的正切[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．[知识链接]1．如何化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β呢？答 因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α－β，所以改用诱导公式来解． tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. 2．你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式吗？答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. [预习导引]1．两角和与差的正切公式(1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．两角和与差的正切公式的变形(1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). (2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.要点一 利用和(差)角的正切公式求值例1 求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3. (2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．跟踪演练1 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.要点二 利用和(差)角的正切公式求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4. 规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．跟踪演练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. ∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 要点三 和(差)角的正切公式的综合应用例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状． 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．规律方法 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．跟踪演练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C .即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．2 答案 B解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12. 2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定答案 B解析 (1＋tan A )·(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 4．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)． (1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．解 (1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋114＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π. 又∵tan α＝13>0，∴0<α<π2. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝－3π4.1．公式T α±β的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等． 要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路．。
2018版高中数学必修四学案：3-1-3 两角和与差的正切
3.1.3两角和与差的正切学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理知识点二两角和与差的正切公式的变形1．T(α＋β)的变形tan α＋tan β＝________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan αtan β＝________________________.2．T (α－β)的变形tan α－tan β＝________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝____________________.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为________．1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________.2．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.4．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.5．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路． 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学 知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到． 思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到． 知识点二1．tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)2．tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1题型探究 例1 (1)3 (2)π4跟踪训练1 －43例2 (1)3 (2)－1 跟踪训练2 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.例3 解 (1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.跟踪训练3π3当堂训练1.13 2.7 3.12 4.π4 5.43。
高中数学人教B版必修四学案：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案
2.3.1.3 两角和与差的正切学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式 T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )[解析] (1)当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)且tan α·cos β≠1.(3)当α≠k π＋π2(k ∈Z)，β≠k π＋π2(k ∈Z)，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13D [tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________． [解析] ∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4. [答案] π4[合 作 探 究·攻 重 难]利用公式化简求值求下列各式的值： (1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.[解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.条件求值(角)问题如图3-1-2，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．图3-1-2[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用T α＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值． [解] 由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55， ∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)如图3-1-3所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．图3-1-3[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B ＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．[思路探究]化简条件→求出tan A，tan C→求出角A，C→判断形状. [解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．母题探究：(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－3tan B tan C＝－3，且33tan A＋33tan B＋1＝tan A tan B”，结果如何？[解]由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝tan B＋tan C tan B tan C－1＝3tan B tan C－3tan B tan C－1＝ 3.又0°<∠A<180°，所以∠A＝60°. 由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝tan A＋tan Btan A tan B－1＝tan A＋tan B33tan A＋33tan B＝ 3.又0°<∠C<180°，所以∠C＝60°，所以∠B＝60°.所以△ABC 是等边三角形．[当 堂 达 标·固 双 基]1.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝( )A ．－2 B. 2 C ．－ 3D. 3D [原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ] 2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]3．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.[解析] 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. [答案] 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值.[解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。
人教版数学高一B版必修4学案3.1.3两角和与差的正切
3.1.3 两角和与差的正切点、易错点两角和与差的正切公式两角和的正切公式：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，(T α＋β)两角差的正切公式：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(T α－β)在两角和与差的正切公式中，α和β的取值应使分母不为零．【自主测试1】与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66° B．tan 24° C ．tan 42° D．tan 21° 解析：由两角差的正切公式，原式＝tan 45°－tan 21°1＋tan 45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.答案：B【自主测试2】(2011·浙江温州模拟)非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析：由a ∥b 得，sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 答案：13两角和与差的正切公式成立的条件及作用剖析：(1)公式成立的条件：α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2或α－β≠k π＋π2，以上式子均有k ∈Z .当tan α，tan β，tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决．如化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α＋β，所以改用诱导公式来解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝1tan α＝cot α.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，1∓tan αtan β＝tan α±tan βtan α±β.如tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan 25°tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝tan 45°(1－tan 25°·tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝1－tan 25°tan 20°＋tan 25° tan 20°＝1.所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．(3)与两角和与差的正弦函数公式和余弦函数公式一样，两角和与差的正切公式对分配律也不成立，即tan(α＋β)≠tan α＋tan β.题型一 给值求值问题【例题1】已知sin α＝－35，α是第四象限的角，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4和tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值． 分析：已知sin α的值，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4用两角差的正切公式，而求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2则只能用诱导公式来做．解：因为sin α＝－35，α是第四象限的角，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.于是有tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝－34－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ －cos αsin α＝－45－35＝43.反思在运用两角和与差的正切公式来解题时，一定要注意公式成立的条件．当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能利用公式T α＋β，可改用诱导公式或其他方法．【例题2】已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 分析：如果通过已知解出tan α再求值，计算量大．由于α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以可以直接利用公式来求解．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角的形式就套用公式，那样会增加计算量，而且容易出错，要先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法，这是我们要培养的良好习惯．题型二 两角和与差的正切公式的变形使用【例题3】计算：(1)tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝__________. (2)tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝__________.解析：(1)原式＝tan 10°tan 20°＋3(1－tan 10°tan 20°)·tan(10°＋20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.(2)∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°. ∴tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝3－3tan 20°tan 40°－3－3tan 20°tan 40°＝1.答案：(1)1 (2)1反思本题的两个小题都是考查两角和的正切公式的变形运用，含α，β两角的正切和与正切积的式子，用两角和与差的正切公式的变形比较容易处理．在历届高考试题中，曾多次考查过两角和与差的正切公式及其变形的应用，在学习过程中，对此应予以重视．题型三 给值求角问题【例题4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 分析：(1)先根据cos α＝210，cos β＝255，求出tan α，tan β，再用和角公式求tan(α＋β)．(2)先求α＋2β的正切值再求角．解：由条件，得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121－－3×12＝－1，且α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.反思此题要注意单位圆中有关角的三角函数值的特点与对应关系，还要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．题型四 公式的综合应用【例题5】已知tan A ，tan B 是关于x 的方程mx 2－2x ·7m －3＋2m ＝0的两个根，求tan(A ＋B )的取值范围．分析：根据韦达定理和两角和的正切公式，用参变数m 表示tan(A ＋B )，然后求含参变数m 的式子的取值范围．解：由题意得m ≠0，且Δ＝4(7m －3)－8m 2≥0，即2m 2－7m ＋3≤0，且m ≠0. ∴12≤m ≤3.又7m －3≥0，∴m ≥37. ∴12≤m ≤3，则13≤1m≤2. ∵tan A ，tan B 为此方程的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝27m －3m ，tan A tan B ＝2.∴tan(A ＋B )＝27m －3m1－2＝－27m －3m＝－2－3m 2＋7m＝－2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －762＋4912. ∴当1m ＝76时，tan(A ＋B )取最小值为－733.当1m ＝13或1m＝2时， tan(A ＋B )取最大值为－2 2.∴tan(A ＋B )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－733，－22.反思本题易犯如下错误，只考虑用韦达定理寻求tan A ＋tan B ，tan A tan B 的值，而忽视方程有根的前提条件．凡涉及到一元二次方程根的问题，就要优先考虑“Δ”，它是研究一元二次方程根的相关问题的前提条件．题型五 易错辨析【例题6】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β的值等于( )A ．π3B ．－2π3或π3C ．－π3或2π3D ．－2π3错解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋β∈(－π，π)． ∴α＋β＝－2π3或α＋β＝π3.故选B ．错因分析：忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．正解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0.∴tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个负根，即tan α＜0，tan β＜0.∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)．又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.故选D ．1．1＋tan 75°1－tan 75°的值是( )A ． 3B ．－ 3C ．33 D ．－33解析：1＋tan 75°1－tan 75°＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan60°＝－ 3.答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α－cos α的值为( ) A ．－15 B ．75 C ．－75 D ．34答案：B3．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan 3π4(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.答案：C4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝tan 2x －11＋tan 2x ＋tan 2x ＋11－tan 2x＝tan 2x ＋12－tan 2x －121－tan 22x＝4tan 2x 1－tan 22x＝2tan 4x . 所以最小正周期为π4.答案：π45．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12×13＋1＝23. 答案：236．(2012·山东曲阜期末)设cos α＝－55，tan β＝13，π＜α＜3π2，0＜β＜π2，求α－β的值．解：由cos α＝－55，π＜α＜3π2得sin α＝－255，tan α＝2， 又tan β＝13，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1.又π＜α＜3π2，0＜β＜π2，得－π2＜－β＜0，π2＜α－β＜3π2，所以α－β＝5π4.。
数学必修4教学设计：3.1.3两角和与差的正切 含解析 精品
教学设计3．1.3两角和与差的正切整体设计教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课新知探究1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明． 教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ.如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.由此推得两角和与差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋kπ(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理等．应用示例例1课本本节例1.例2课本本节例2. tan(α±β)(1例3课本本节例3.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．设计感想本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．备课资料一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式sinαcosα＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S (α＋β)与C (α＋β)具有一般性，因此公式T (α＋β)也具有一般性，在公式T (α＋β)中以－β代β便可得到公式T (α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T (α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(π2＋β)，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(π2＋β)＝sin (π2＋β)cos (π2＋β)＝cosβ－sinβ＝－1tanβ.二、备用习题1．如果tan(α＋β)＝25，co t(α＋π4)＝4，则tan(β－π4)为( )A.16B.1318 C.322 D.13222．已知tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13，则tan α＋β2的值等于________．3．已知tan(α＋π4)＝－940，则tanα＝________，tan(α－π4)＝________.4．已知tanα，tanβ是方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m ＝0的两个根，且m ≠－12，求sin (α＋β)cos (α－β).5．已知α、β都是锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．参考答案： 1．C 2.173．－940 409 解析：∵tan(α＋π4)＝－940，∴1＋tanα1－tanα＝－940.解得tanα＝－4931，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝409.4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m ＋1)，tanαtanβ＝2m ， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－4m ＋12m ＋1.5．解：由题意tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan (α－β)1＋tanαtan (α－β)＝34＋131＋34×(－13)＝139.又∵cos 2β＝11＋tan 2β＝11＋16981＝81250，∴cosβ＝91050. (设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2) ②已知sinα＝－35，α是第四象限角，求tan(π4－α)的值．(答案：7)③求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．(答案：－3) 学生练习，教师讲评中导入新课． 推进新课新知探究本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握． 上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．应用示例例1课本本节例4.例2课本本节例5.例3求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一：左边＝(sin αcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立．点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．作业课本习题3.1(3) 8、9、10.设计感想作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．备课资料备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( ) A ．－1 B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22 C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________.4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________． 5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________.6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值．8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a (或1－a 22a )5．25°＋k·180°(k ∈Z ) 6.6316.7．分析：如何求φ是本题的关键． 解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)．又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3.8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限， 设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα.故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α.设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2， 即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t3＋t 2＞0.又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.附：(设计者：王光玲)3．1.3 两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式． 能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体教学过程情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2 tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan (α＋β). (两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(π2＋α)可以用T (α＋β)公式展开吗？(2)T (α＋β)公式成立的具体条件是什么？ 自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝12，求tan(α＋π4)； (2)已知tanα＝－12，tanβ＝－5，求tan(α＋β)． 分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x 2＋5x －6＝0的两根，求tan(α＋β)的值． 分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，ta nαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝13，tanα＝－2，求tanβ的值． 分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T (α－β)公式求解即可．思路二：由13＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程． 反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：1＋tan15°1－tan15°＝ 3. 分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由3联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T (α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式) 自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝ 3. 分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S (α±β)和C (α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)． 思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中：cos15°－sin15°＝2(22cos15°－22sin15°) ＝2sin(45°－15°)＝22. cos15°＋sin15°＝2(22cos15°＋22sin15°) ＝2sin(45°＋15°)＝62. 思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m ＝cos15°＋sin15°cos15°－sin15°，则m>0， 从而m 2＝1＋2sin15°cos15°1－2sin15°cos15°＝1＋sin30°1－sin30°＝3212＝3，可证． 思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a ＝(1，－1)，b ＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝2×1×cosθ，其中θ为a 与b 的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，从而cos15°－sin15°＝2cos60°＝22，同理可求 cos15°＋sin15°＝2cos30°＝62，从而可证． 反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．) (师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．思考：能否用公式T (α＋β)的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4. 分析：由图可知tanα＝12且0<α<π2，tanβ＝13且0<β<π2，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝π4. 反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．思考：你能从图形中观察出α，β均小于π4，那你能从代数的角度说明α，β均小于π6吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0<tanα＝12<33，则0<α<π6)思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝π4吗？为什么？ 变式题：已知A ，B 为锐角，且A ＋B ＝45°.(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．一中等生完成小结，学生笔记数学思想．作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．。
高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案
和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()的应用条件是什么？α±β[新知初探]两角和与差的正切公式[点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－3 3.(3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________． 解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β) 1－tanα·tan(α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2， 所以 tan (β－α)＝－2， 故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值． 解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一 学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A . 3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角． 又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________.解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π4 9．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17， 所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二 应试能力达标 1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98 D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于() A.π3 B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( ) A ．2B.12 C ．－1 D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3， 所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B . 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B . 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )A ．222B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧ tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52， 在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________． 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1， 即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13， 因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α， 所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α， 所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值． 解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55， 因此tan α＝22，tan β＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β1 2＝1 4.＝1 2×。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 3.1.3 两角和与差的正切
3.1.3 两角和与差的正切1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．1．如何化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β呢？答 因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α－β，所以改用诱导公式来解．tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. 2．你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式吗？ 答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β.当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.1．两角和与差的正切公式 (1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tanαtanβ＝tan α－tan βtan (α－β)－1.要点一 利用和(差)角的正切公式求值 例1 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°， ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个． 跟踪演练1 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.要点二 利用和(差)角的正切公式求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4. 规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．跟踪演练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 要点三 和(差)角的正切公式的综合应用例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形．规律方法 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．跟踪演练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tanA＋tanB＋tanC＝tanA tanB tanC .1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 B解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定 答案 B解析 (1＋tan A )·(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.4．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)．(1)求tan α的值； (2)求2α－β的值． 解 (1)tan α＝tan＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋114＝13. (2)tan(2α－β)＝tan ＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π.又∵tan α＝13>0，∴0<α<π2.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β∈(－π，0)． ∴2α－β＝－3π4.1．公式T α±β的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2 (k ∈Z )．(2)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路．一、基础达标1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－12答案 B解析 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，∵A＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.16 答案 C解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝35－141＋35×14＝723.3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 答案 C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角． 5.1＋tan 75°1－tan 75°＝________.答案 －36．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.7．求下列各式的值：(1)sin 15°·cos 15°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 (1)∵sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22·32－22·12＝6－24，cos 15°＝6＋24，∴sin 15°·cos 15°＝14.(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2. 二、能力提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2C ．tan 10° D.3tan 20° 答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 9．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13，因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－11＋tan 2 θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2 θ＝1010，则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11．已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1.(1)求角A ；(2)若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝－3，求tan C . 解 (1)∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1,2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. ∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6.∴A －π6＝π6，即A ＝π3.(2)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝tan B ＋11－tan B ＝－3，解得tan B ＝2. 又A ＝π3，∴tan A ＝ 3.∴tan C ＝tan ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3＋21－23＝8＋5311.12．已知sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求cos 2β的值．解 ∵sin(α－β)＝513，α－β∈(π2，π)，∴cos(α－β)＝－1213.∵sin(α＋β)＝－513，α＋β∈(3π2，2π)，∴cos(α＋β)＝1213.∴cos 2β＝cos＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×(－1213)＋(－513)×513＝－1. 三、探究与创新13．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34.∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β) ＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.。
高中数学人教B版必修4 3.1.2两角和与差的正弦 学案 Word版缺答案
3.1.2两角和与差的正弦公式
一．学习要点：两角和与差的正弦公式及其简单应用。
二．学习过程：
1．两角和与差的正弦公式及推导：
公式：
2．公式的结构特征：
3．公式的运用：
例1求sin 75︒，sin15︒的值．
例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin12cos33cos12sin33+；
（2）、cos10sin 70sin10sin 20-；
例3 求证：)3x x x π
+=+
例4：求函数sin cos y a x b x =+的最大值、最小值和最小正周期，其中a 、b 是不同时为零的实数．
例5：已知向量()3,4OP =，逆时针旋转45︒到'OP 的位置．求点()
''',P x y 的坐标．
巩固练习：
教材138页练习
注意：重点训练辅助角公式。
小结：学习两角差的正弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程.还要注意区分与两角和与差的余弦的公式结构的本质区别：异名弦的乘积的和差。
作业：见作业（26）。