胡不归模型整理
专题20 胡不归问题
胡不归问题【模型专题】胡不归模型模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不…”早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C ．小伙子先从A 到C ，然后再从C 折往B ，然后到达驿道目的地B （尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的．这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2（v1＞v2）．可以在驿道上选一点C ，小伙子先从A 到C ，然后再从C 折往目的地B ，求他行走的时间．t =ACv 1+BC v 2=+BC =+BC过定点A 在直线AC 的下方构造∠CAF ，使其满足sin ∠CAF =v 1v 2=k ，过点C 作CE ⊥AF 于点E ，则sin ∠CAF =v 1v 2=CE AC=k ，∴CE ＝kAC ，∴kAC +BC =CE +BC ≥BD归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动）两定：点A 、B 两点为定点；一定：点P 为直线AB 外的一个动点问题：确定动点P ，使mPA ＋PB 最短（0＜m ＜1）更一般地：使mPA ＋nPB 最短（不妨设m ＞n ）思路：设所求P 点在直线AN 上，我们在直线AN 异于B 点的一侧构造∠NAM ，使得sin ∠NAM ＝m （相当于把mPA 通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上）我们作BF ⊥AM 交AN 于P 点，毫无疑问P 点即为所求！mPA ＝PF ，mPA ＋PB ＝BF ，BF 即为mPA ＋PB 的最小值（而mPA ＋PB ＜AB ）一般的：更一般地：使mPA ＋nPB 最短（不妨设m ＞n ），我们只须在上式中提取m 、n 中的较大者，即可化归到上述类型．mPA +nPB =m PA +nm PB ，在类似的位置构造一个正弦等于nm 的角即可．模型一：几何问题中的最值例1：1．如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是__________．变式1－1：2．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．变式1－2：3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当12长．题型二：一次函数背景的最值例24．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝y2−y1，特别的，若两条直线l1⊥l2，x2−x1则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2【运用】请根据以上材料解答下列问题：（1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；（2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM的最小值．变式2－1：5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=+3和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC ＝30度．（1）求直线l2的解析式；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+的最小值．变式2－2：6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x 轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF的最小值．变式2－3：7．如图，已知直线l1：y1＝kx＋b（k≠0）经过点A（﹣1，0），与另一条直线l2：y2＝nx﹣6n（n≠0）交于点B（2，3），直线l2与x轴交于点C．（1）求直线l1的解析式，并写出y1＞y2＞0时，x的取值范围．，过D作直线DQ，直线DQ交y轴于Q点，且△DQB的面积（2）若点D在直线AB上，且D的横坐标为﹣52为12，求Q点的坐标．CP＋BP的最小值．（3）点P为x轴上一个动点，连接BP，求12变式2－4：8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x＋b与x轴交于点B，且过点D（1，4），点E是线段BD上一个动点（不与点B和点D重合），EF⊥x轴于点F，点P是线段OC上的一点，连接OE，EP．（1）求点A和点B的坐标；（2）当△OEF的面积为2时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当EP最小时，请直接写出OP的长．题型三：二次函数背景的最值例3：9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（）A．4B．2＋22C．22D．3+变式3－1：10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+1)(x−5)的顶点为D，且与x轴分别交于A、B两点（点ADP的最小值是_____在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则AP+12变式3－2：11．已知抛物线y=x2−bx+c（b,c为常数，b>0）经过点A(−1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点．点Q b+ 1,y Q在抛物线上，当2AM+2QM b的值为_____．2变式3－3：12．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y＝1x2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8．4（1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？变式3－4：13．已知，抛物线y＝mx2＋9x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上4一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线1⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC 于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．AD＋CD取得最小值时，求此时n的值．（2）若点D在运动过程中，12CE的最小值．（3）若点△ADM的周长与△MNP的周长的比为5∶6时，求AE＋23。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
中考数学几何模型专题专题十—经典模型
专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一。
“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚去世，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？XXX不归？何以归”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
二。
“胡不归”模型建立XXX所示，已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ，“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
三。
“胡不归”模型破解策略胡不归”问题可以构造某角正弦值等于系数k（k小于1）的起点，构造所需角（k=sin∠CAE），过终点作所构角边的垂线，利用垂线段最短的原理解决。
四。
“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为2.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数。
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=4时，运动时间最短为2秒。
胡不归问题归纳
中考数学压轴热点问题“胡不归模型近几年中考题中，常出现带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”和“胡不归”模型.下面着重讲解“胡不归模型”的应用.【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。
由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归？胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”.由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地, 虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？设在沙砾地行驶速度为V| ,在驿道行驶速度为V2, 显然V] V V?・不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,则t二竺+竺二丄（BC+3AC）.因为V,—是确定的，所以只V l V2 V1 V2 一要（BC+21AC）最小，用时就最少•问题就转化为求v->■（BC+巴AC）的最小值.V2我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于上AC•并且与线段CB位于AM的两侧,■然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢？由三角函数的立义，过A点,在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作ZMAN二sin。
二巴•然后，作CE丄AN,则v,CE二上AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即（BC+上AC）的值最小，即°v2用时最小.例1.如图，AC是圆0的直径，AC二4.弧BA二120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+丄BD2 的最小值为_______ ・解；・••靠的度数为120。
4最值系列之胡不归问题(1)
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．2M练习：1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD +的最小值是_______．1题图 2题图2.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB +的最小值等于________．3.如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y x b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？ABCDEABCDP4.抛物线2y=与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当12PE EC+的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）。
胡不归模型整理
“胡不归模型”——中考最值专题【教学重难点】 1．“胡不归”之情景再现，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算【模块一 模型识别】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．法国著名数学家费马（Fermat ，1601－1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．模型识别：问题本质： 操作步骤：【模块二 几何类型·选择题&B 填】【例1】1．（2012·崇安模拟）如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（ ）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（4202．（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．高速公路 A D B C沙 砾 地 带【模块三 A 20圆综合】【例2】（2015·内江）如图，在ACE △中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．【模块三 二次函数综合·压轴】【例3】（2014·成都改编）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例4】（2015·日照改编）如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例5】（2016·徐州改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （－1，0）， B （0，－3），C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为__________．【例6】（2016·随州改编）已知抛物线）)(1)(3(≠-+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线bxy+-=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。
特殊的平行四边形中的最值模型-胡不归模型(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。
【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。
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“胡不归模型”——中考最值专题
【教学重难点】 1．“胡不归”之情景再现，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理 3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算
【模块一 模型识别】
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．
法国著名数学家费马（Fermat ，1601－1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．
模型识别：
问题本质： 操作步骤：
【模块二 几何类型·选择题&B 填】
【例1】
1．（2012·崇安模拟）如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为
A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时
间最少，则点D 的坐标应为（ ）
A .），（20
B . ），（220
C . ），（320
D . ），（4
20
2．（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，
高速公路 A D B C
沙 砾 地 带
BC =6，∠ABC =150°，则PA +PB +PD 的最小值为__________．
【模块三 A 20圆综合】
【例2】（2015·内江）如图，在ACE △中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．
（1）试说明CE 是⊙O 的切线；
（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；
（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当
2
1CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．
【模块三 二次函数综合·压轴】
【例3】（2014·成都改编）如图，已知抛物线(2)(4)8
k y x x =+-（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=3
3与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
【例4】（2015·日照改编）如图，抛物线n mx x y ++=22
1与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．
（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；
（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
【例5】（2016·徐州改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （－1，0），
B （0，－3），
C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点
D ．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +2
1的最小值为__________．
【例6】（2016·随州改编）已知抛物线）
)(
1
)(
3
(≠
-
+
=a
x
x
a
y，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线b
x
y+
-
=3与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；
（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段
BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒
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2个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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