M法弹性地基上梁的挠曲方程
M法的计算土弹簧-刚度
《JTG D63-2007公路桥涵地基与基础设计规范》桩基土弹簧计算方法根据地基基础规范中给出的m 法计算桩基的土弹簧：基本公式：K=ab 1mz mz ③③式中：式中： a a a：：各土层厚度b 1：桩的计算宽度m m：：地基土的比例系数z z：：各土层中点距地面的距离计算示例：当基础在平行于外力作用方向由几个桩组成时，b1=0.9b1=0.9××k(d + 1) k(d + 1) ①①h1=3h1=3××(d+1)∵ d=1.2∴ h1=6.6L1=2mL1L1＜＜0.60.6××h1h1＝＝3.96M∴ k k＝＝b ′＋′＋((1((1((1－－b ′)/0.6))/0.6)××L1/h1 L1/h1 ②②当n1=2时，时，b b ′＝′＝0.6 0.6代入②式得：代入②式得：k= k=当n1=3时，时，b b ′＝′＝0.5 0.5代入②式得：代入②式得：k=0.92087542 k=0.92087542当n1n1≥≥4时，时，b b ′＝′＝0.45 0.45 带入②式得：带入②式得：k=0.912962963 k=0.912962963将k 值带入①式可求得b1b1，，对于非岩石类地基，③式中m 值可在规范表P.0.2-1中查到对于岩石类地基，③式中m 值可由下式求得：m=c/z其中c 值可在表P.0.2-2中查得将a 、b1b1、、m 、z 带入③可求得K 值表1 非岩石类土的比例系数m序号土的名称m （kN/m 4）1流塑粘性土，淤泥3000～5000 2软塑粘性土，粉砂5000～10000 3 硬塑粘性土，细砂、中砂10000～200004坚硬，半坚硬粘性土，粗砂 20000～30000 5砾砂，角砂，圆砾，碎石，卵石 30000～80000 6密实卵石夹粗砂，密实漂卵石 80000～120000同时，《08抗震细则》，第6.3.8条文说明中规定，对于考虑地震作用的土弹簧： M 动=（2~3倍）M 静。
弹性地基梁法(“m”法)公式以及地下连续墙计算书
根据上海市标准《基坑工程设计规程》的规定，在施工临时工况下，地下连续墙的计算采用规范推荐的竖向弹性地基梁法(“m ”法)。
弹性地基梁法取单位宽度的挡土墙作为竖向放置的弹性地基梁，支撑简化为与截面积、弹性模量、计算长度有关的弹簧单元，如图1为弹性地基梁法典型的计算简图。
图1 竖向弹性地基梁法计算简图基坑开挖面或地面以下，水平弹簧支座的压缩弹簧刚度H K 可按下式计算：h b k K h H ..=z m k h .=式中，H K 为土弹簧压缩刚度(kN/m)；h k 为地基土水平向基床系数(kN/m 3)；m 为基床系数的比例系数；z 为距离开挖面的深度；b 、h 分别为弹簧的水平向和垂直向计算间距(m)。
基坑内支撑的刚度根据支撑体系的布置和支撑构件的材质与轴向刚度等条件有关，按下式计算：BL A E K ....2α= 式中：K ——内支撑的刚度系数(kN/m/m)；α——与支撑松弛有关的折减系数，一般取0.5～1.0；混凝土支撑或钢支撑施加预压力时，取1.0；E ——支撑构件材料的弹性模量(kN/m 2)；A ——支撑构件的截面积(m 2)；L ——支撑的计算长度(m)；S ——支撑的水平间距(m)。
（2）水土压力计算模式作用在弹性地基梁上的水土压力与土层分布以及地下水位有关系。
水土压力计算采用水土分算，利用土体的有效重度和c 、ϕ强度指标计算土压力，然后叠加水压力即得主动侧的水土压力。
土的c 、ϕ值均采用勘察报告提供的固结快剪指标，地下连续墙变形、内力计算和各项稳定验算均采用水土分算原则，计算中地面超载原则上取为20kPa 。
基坑周边地下连续墙配筋计算时分项系数取1.25。
①土压力计算：墙后主动土压力计算采用朗肯土压力计算理论，主动土压力强度（kPa ）计算公式如下： a a i i a K c K h r q p 2)(-+=∑其中，i r 为计算点以上各土层的重度，地下水位以上取天然重度，地下水位以下取水下重度；i h 为各土层的厚度；a K 为计算点处的主动土压力系数，)245(tan 2φ-= a K ； φ,c 为计算点处土的总应力抗剪强度指标。
两端固定挠曲线微分方程
两端固定挠曲线微分方程
两端固定挠曲线是指一根杆件或梁在两端被固定，并在加载下发生弯曲的情况。
对于一维情况下的挠曲，可以使用梁的挠曲理论来描述。
梁的挠曲可以通过微分方程来表示。
对于一根杆件或梁，假设其长度为L，横截面面积为A，杨氏模量为E，惯性矩为I，单位长度上的弯矩为M(x)，单位长度上的剪力为V(x)，梁的挠度为w(x)，则可以得到以下微分方程：
EIw''''(x) = M(x)。
其中，w''''(x)表示挠度w(x)关于x的四阶导数。
这个微分方程描述了梁在两端固定情况下的挠曲行为。
根据具体的加载情况和边界条件，可以求解出梁的挠度分布。
在实际问题中，通常需要根据具体的加载和边界条件来确定单位长度上的弯矩M(x)。
例如，如果梁在两端承受均布载荷，则单位长度上的弯矩可以表示为M(x) = qLx (qL/2)x^2，其中q为均布载荷。
通过求解上述微分方程，可以得到梁的挠度分布w(x)，进而可
以计算出梁的弯曲角度和剪力分布等重要参数。
这些参数对于设计
和分析梁的结构具有重要意义。
总结起来，两端固定挠曲线的微分方程是EIw''''(x) = M(x)，其中EI为梁的弯曲刚度，w(x)为梁的挠度，M(x)为单位长度上的弯矩。
根据具体的加载和边界条件，可以求解出梁的挠度分布，进而
得到梁的弯曲角度和剪力分布等参数。
3、弹性地基梁理论解析
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。
无限长梁：若荷载作用点仅距梁一端的换算长度>=2．75 时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响 不能忽略，这类梁称为半无限长梁。无限长梁可化为两 个半无限长粱，因此，我们只讨论半无限长梁。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
式中 p(x)——梁单位长度上的地基反力(公斤／厘米)， b——梁的宽度(厘米)， k——比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数 (公斤／厘米3。)，其物理意义为使单位面积地 基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹 性抗力系 数，交附表5—3及附表5—4；
y(x)——梁的挠度(厘米)。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁） 和弹性梁（短梁）三种。
弹性地基梁计算图表
1.00
0.000
0.112
0.239
-0.342 -0.500 0.500 0.342 0.191 0.045 0.095 0.236
1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.056 0.009 -0.022 -0.052 -0.079 -0.105
表五
1.25 0.236 0.095
0.00 0.25
0.50
0.000
-0.310 -0.473 0.527 0.377
-0.157
-0.045
0.75
80 0.520 0.365 0.219 0.091 -0.030 -0.144 -0.257
-0.191
1.50 -0.209 -0.148 -0.084 -0.017 0.062 0.159 0.272 0.159 0.062 -0.017 -0.084 -0.148 -0.209
ηq 表
力所在位置 λ 0.00 0.25 0.00 （3.00） -1.000 0.000 0.25 （2.75） -0.559 -0.654 0.346 0.254 0.50
λ总=3.0
所要计算剪力的截面至梁左端的折算距离Φ 0.75 （2.75） -0.016 -0.174 1.00 （2.00） 0.123 -0.030 1.25 （1.75） 0.195 0.062
λ总=3.0
所要计算弯矩的截面至梁左端的折算距离Φ
表七
0.00（3.00） 0.25（2.75） 0.50（2.50） 0.75（2.75） 1.00（2.00） 1.25（1.75） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.192 0.045 0.032 0.022 0.013 0.007 0.002 -0.001 -0.003 -0.005 -0.006 -0.006 -0.007 -0.289 -0.084 0.124 0.087 0.056 0.032 0.013 0.000 -0.008 -0.015 -0.020 -0.022 -0.026 -0.319 -0.152 0.019 0.194 0.132 0.080 0.040 0.010 -0.011 -0.027 -0.039 -0.049 -0.060 -0.304 -0.176 -0.045 0.092 0.241 0.156 0.088 0.034 -0.005 -0.035 -0.060 -0.082 -0.102 -0.263 -0.172 -0.077 0.024 0.136 0.266 0.164 0.084 0.019 -0.033 -0.076 -0.117 -0.154
地下建筑结构-第03章-弹性地基梁-精品文档
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析
10-1 弹性地基梁的解析方法
2. 弹性地基梁法弹性地基梁内力计算：基床系数法和半无限弹性体法。
基床系数法：采用文克勒（Winkler）地基模型，地基由许多互不联系的弹簧所组成，某点的地基沉降仅由该点上作用的压力所产生。
通过求解弹性地基梁的挠曲微分方程，可求出基础梁的内力。
半无限弹性体法：假定地基为半无限弹性体，将柱下条形基础看作放在半无限弹性体表面上的梁，而基础梁在荷载作用下，满足一般的挠曲微分方程。
应用弹性理论求解基本挠曲微分方程，并引入基础与半无限弹性体满足变形协调的条件及基础的边界条件，求出基础的位移和基底压力，进而求出基础的内力。
半无限弹性体法的求解一般采用有限单元法等数值方法。
，根据微分梁单元力的平衡，则：∑Y＝M x w EI -=22d d 由材料力学知，梁的挠曲微分方程为：或2244d d d d xM x w EI -=根据截面剪力与弯矩的相互关系，即则：x x M d dQ d d 22=q bp x w EI +-=44d d q bkw x w EI =+44d d 引入文克勒地基模型及地基沉降s 与基础梁的挠曲变形协调条件，可得：。
w s =kw ks p ==代入上式，可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程为：当梁上的分布荷载q =0时，梁的挠曲微分方程变为齐次方程：0d d 44=+bkw x w EI令，称为梁的柔度指标，其单位为(长度)-1。
的倒数值称为特征长度，值愈大，梁对地基的相对刚度愈大。
44EI kb =λλλλ1λ104d d 444=+w x w λ该微分方程的通解为)sin cos ()sin cos (4321x C x C e x C x C e w x x λλλλλλ+++=-于是，梁的挠曲微分方程可进一步写成如下形式：式中C 1、C 2、C 3、C 4为待定参数，根据荷载及边界条件定；为无量纲量，当x ＝L (L 为基础长度)，称为柔性指数，它反映了相对刚度对内力分布的影响。
地基系数的比例系数M的确定
中图分类号:U443115 文献标识码:B 文章编号:1004 2954 2004 11 0083 02 在桩顶弯矩和横向荷载的作用下桩基的内力和位移的计算方法可以归纳为四大类:弹性地基反力法、性地基反力法又分线弹性地基反力法和非线弹性地基反力法。
线弹性地基反力法是将桩周土体视为弹性该方法中又派生出了m 法、K 法、C 法、张有龄法。
由于m 法简单实用国内有关地基基础的设计规范大都推荐采用该法见公式 1 和公式 2 σ CyΔx 1 桥规考虑了6 种土的情况m 值仅由土类确定粘性土式中σy ———地基土的横向水平向抗力MPa Cy ———y 深度处地基土的水平地基系数限相差较大如卵石的高值与低值之比为217 砂类土和桥涵地基和基础设计规范》TB1000215 —99 以下简确定过程为:对桩进行水平静载试验根据桩在地面处若能得到Cy 利用公式3 就可以求出m 。
Glick 1948 认为可用式4 计算桩侧土的Cy5 。
2214 E0 1 - μ 1 μ 3 - 4μ 2ln 2L/ D - 01443 Cy 4 淤粉细中粗角圆碎卵漂《长直截??桥梁?? 地基系数的比例系数m 的确定李俊强士中李小珍西南交通大学土木工程学院四川成都610031 摘要:在没有试桩资料的情况下根据动力触探击数可以获得土层的变形模量然后计算得到地基系数的比例系数m 降低按桥规建议表格取值的任意性。
关键词:地基系数的比例系数动力触探击数变形模量桩基础水平位移为6 mm 时此时假定的m 即为该种土的m 1 概述值1 。
表 1 非岩石地基的m 值MPa/ m2 编号土的名称m 值极限地基反力法、复合地基反力法和弹性理论法。
弹 1 流塑粘性土、泥35 2 软塑粘性土、砂510 3 硬塑粘性土、砂、砂1020 4 半干硬粘性土、砂2030 体由于对Winkler 假定中的地基系数的取值不同在5 砾砂、砾、砾、石、石3080 6 块石、石80120 桥规》指出m 值应采用试验实测值。
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m 法弹性地基上梁的挠曲方程
4
4=+Bmxy
dx y d EI
5
4
45
=+=
xy dx
y
d EI
Bm α
α
对于桩头有水平力和力矩共同作用的完全埋置桩，可由上式推导并解出弹性长桩变位和内力
)(13
1201010430
4
204040333
3203030223
2202020130
1
201010D EI
H C EI M B A y x m D EI
H C EI M B A y EI Q D EI H C EI M B A y EI M D EI H C EI M B A y D EI
H C EI M B A y y x x x x x αααϕασαααϕααααϕααααϕαϕαααϕ+++=+++=+++=+++=+++
=
式 中
换算深度。
为无量纲的
或《桩基工程手册》，墙柱静力计算手册》无量纲系数，见《地下法计算所用的值为弹性长桩按各平位移和转角，分别是桩在地面处的水x x m D C B A y ⋅=α
ϕ,,,,00
；所引起的桩截面的转角由；所引起的桩截面的转角由位移；所引起的桩截面的水平由位移；
所引起的桩截面的水平由式中，可分别由下式求得
地面处1111)
()(,0000000000
000000=-=-=-=-+-=+-=+=+=M H M H M H y y M H y y MM MH HM HH M H MM MH M H HM HH δδδδϕϕδδϕδδϕ
Mh=0，Qh=0 当M0=0，H0=0
0330332=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-
=D EI Q B A EI M MH HH
h ααδαδ
043
0443
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=D EI Q B A EI Q MH HH h ααδδα
求得
MH
HH
δ
δ
,
当M0=1，H0=0
032
0332=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=C EI M B A EI M MM HM h ααδδα043
0443=⎪⎭⎫
⎝⎛+-=C EI M B A EI Q MM HM h ααδδα
求得
MH
HH
δ
δ
,
)
()()()(1)()()()(1
)
()()
()(1)
()()
()(124423443244234432442344324423443224423443244234432
24423443244234433B A B A K B A B A C A C A K C A C A EI B A B A K B A B A C B C B K C B C B EI B A B A K B A B A D A D A K D A D A EI B A B A K B A B A D B D B K D B D B EI h h MM MH
h h HM HM
h h MH h h HH -+--+-=
-+--+-=-+--+-=-+--+-=αδδαδδαδαδ＝＝或基岩上时，可得
底支承于非岩石类土⑴顶端自由的桩，当桩。
＝当桩通长等截面时，矩和桩底截面惯性矩，为地面以下桩截面惯性分别、为桩材料弹性模量，为桩的入土深度，
为其比例系数；力系数，
为桩底土的竖向地基反I I I I T
E l m l m I
I E C K h 00000
00;1
C ===αα0
3443344302344334432023443344320
33443344331
)()(11
)()(11
)()(11
)()(105.35.2C
EI B A B A C A C A EI B
EI B A B A C B C B EI B
EI B A B A D A D A EI A EI B A B A D B D B EI K l l MM HM MH HH h ααδααδααδααδαα=--=
=--==--=--==≥≥＝，则
，可令上式中的支承于岩石且，或当桩底石类土中且⑵对于桩底支承于非岩
)
()(1
)()(1
)
()(1
)
()(1
21122112211221122211221122211221123
B A B A
C A C A EI B A B A C B C B EI B A B A
D A D A EI B A B A D B D B EI MM HM
MH HH --=
--=
--=--=αδαδαδαδ嵌固于基岩时，可得
⑶对于桩顶自由而桩底00
200
00
020
300
00ϕϕααϕϕϕααB EI M A EI H B EI
M A EI H x x x M
H
x x M
H +=+=
+=
+=
)
836()436(,00----，可得式回代式将ϕy Q
Q x x
m
m x
y y
x B M A H Q B EI
M A EI H B M A H M
B EI M A EI H y 000
2
000
20
30,,αααϕα
ααϕϕ+=+=+=
+=
系数表。
见《桩基工程手册》
量纲系数。
转角、弯矩和剪力的无值分别为计算位移、⑷当桩顶铰接时，式中253246,P P B A -]
)/([])/([,,,00
302000m m mF y y yF mF yF mF x
yF x x x x B B A A A B B A A A A A A H M A EI H y M y B EI
A EI H M ϕϕϕϕϕ
ϕ
α
αααϕ-=-===
⨯-
===，。
桩中弯矩的无量纲系数
桩位移和
分别为桩顶嵌固时计算式中，可得
，代入可得⑸桩顶为嵌固，可令。
出桩身水平位移和弯矩通过反复迭代，可推求＝地基的协调作用
作用下考虑上部结构与在水平力如刚性高桩台）全自由转动⑹桩顶受约束而不能完1
20(ϕϕH
格尔法
—格尔谢万诺夫方法点，按平面框架计算以第一变形零点为固定。