用Mathematic计算弹性地基梁
4. 1 例题 1 图 4 所示基础梁, 长度 l= 12 m , 宽度 b= 0. 6
图 4 基础梁
m , EJ = 504 000 kN. m 2, 地基的弹性压缩系数 K = 210 000 kN m 3。梁的两端简支于刚性支座上, 全梁 上有均布荷载 q0。作梁的弯矩图、剪力图并求地基反 力。
(7)
式中 A 1、A 2、A 3、A 4 为常数。
式 (7) 便是微分方程 (5) 的齐次解, 本文后面将
计算弹性地基梁中的短梁, 以定出齐次解中的 4 个
常数项与附加项 (荷载影响)。这样求得的解, 就相当 于微分方程的齐次解与特解之和。
3 按温克尔假定计算短梁
3. 1 初参数的引用 如图 2 所示一等截面的基础梁, 设左端有位移
Abstract: T heM a them a tic is a so rt of fam ou s m a them a tica l softw a re, w ith a un ique advan tage in ca lcu la tion. T he m a them a ti2 ca l softw a re w ith W ink ler’s hypo thesis is u sed to ca lcu la te ela stic g rade beam accu ra tely, qu ick ly and conven ien tly. Key W ords: M a them a tic; ela stic g rade beam ; ca lcu la tion
图 1 一等截面基础梁角变、位移、弯矩、 剪力及荷载的正方向
从图 1 中的基础梁取一微段如
∑ 图 2 所示, 根据平衡条件 Y = 0,
∑M = 0 得:
图 2 基础梁的微段
dQ dx
=
d 2M dx 2
=
Ρ2q (x )
(2)
不计剪力对梁挠度的影响, 则由材料力学得:
Η=
d d
y x
,
M
=-
它的一般解是由齐次解和特解组成。所谓齐次解是式
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
0
(6)
在M a them a tic 中输入下列式子:
In [ 1 ]: = t= D So lve [ y ’’’’[ x ]+ 4y [ x ] = = 0, y [ x ], x ]; t= t . x →Αx ;
y 0、角变 Η0、弯矩M 0 和剪力 Q 0, 它们的正方向如图 中 3 所示。
在 M a them etic 中按 (3) 式求 (7) 式的各阶导 数, 并施用于梁的左端, 梁左端的边界条件是 x = 0, 可解得常数项 A 1 至 A 4, 将 4 个常数项代入式 (7) , 消去 EJ , 可得出用初参数表示的微分方程的齐次 解, 再按式 (3) 逐次求导数, 可求出用初参数表示的 位移 y、角变 Η、弯矩M 和剪力 Q。
M a them a tic 是美国W o lfram 研究公司开发的
符号计算系统, 1988 年发布了M a them a tic 系统的
1. 0 版, 1999 年推出了M a them a t ic4. 0 版。
M a them a tic 是最大的单应用程序之一, 它内容
丰富、功能强大的函数覆盖了初等数学、微积分和线
性代数等众多的数学领域。 它包含了数学多方向的
新方法和新技术; 它包含的近百个作图函数, 是数据
可视化的最好工具。 现已在工程领域、计算机科学、
西北水电·2006 年·第 1 期
59
生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学 等范围得到应用。 尤其在科研院所和高等院校广为 流行。
温克尔假定的弹性地基梁计算方法, 现有的文 献往往是用查表法计算或用编程的方法来计算, 本 文用M a them a tic 来进行计算, 从中可体会到这种软 件的强大功能, 它减轻了设计与科研工作中的数学 推导过程的工作。
弹性压缩系数 K 是使单位面积的地基产生单
位沉陷时所需的力。这个假定的实质, 是将地基看成
为无限多个各自孤立的弹簧, 弹性压缩系数 K 相当
于弹簧常数。
(3) 地基为弹性半无限体 (或弹性半无限平面)
的假定
这个假定认为地基是均匀的、各向同性的弹性
半无限体, 可用弹性理论的方法计算地基的沉陷量,
以确ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ地基反力的大小。
上面各式子的含义可参阅有关M a them a tic 的 使用手册。
按 Sh ift 和 En ter 键, 可得:
O ut[1 ]=
A 1 co s[ x Α]co sh [ x Α]+ A 2 co sh [ x Α] sin [ x Α]+ A 3 co s
[ x Α]sinh [x Α]+ A 4 sin [x Α]sinh [x Α]
b = Pa rt [ Pa rt [ t, 1 ], 1 ]; t= y [ Αx ] . b; t = Sim p lify
[ Exp ToT rig [ t ] ]; t = t . {C [ 1 ]→ (A 1 + A 3) 2, C [ 4 ]→ (A 2 - A 4) 2, C [ 2 ]→ (A 1- A 3) 2, C [ 3 ]→ (A 2+ A 4) 2}; t= Sim p lify [ t ]; t= Exp and [ t ] . - A 4→A 4;
计算机技术 西北水电·2005 年·第 4 期
文章编号: 1006—2610 (2005) 04—0058—03
用M a them a t ic 计算弹性地基梁
苗 强
(太原理工大学, 太原 030024)
摘 要:M athem atic 是著名的数学软件, 在计算方面有其独特的优势。 用数学软件解算弹性地基梁, 采用温克尔假 定的计算方法, 具有计算准确、迅速、方便的特点。 关键词:M athem atic; 弹性地基梁; 计算方法 中图分类号: TV 222. 2 文献标识码: B
1 概 述
在建筑结构中, 常采用基础梁, 它的作用是将柱 的荷载传给地基。在软土地基上的房屋建筑中, 砖墙 的基础有时也要做成基础梁。在地下结构的计算中, 更广泛采用基础梁的理论, 如隧洞衬砌属于平面变 形问题, 其直墙部分按基础梁计算, 地铁通道等衬砌 结构也是平面变形问题, 计算时也用到基础梁的理 论。
以图 3 为例, 当初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 已知时, 就 可用上式计算荷载 P 以左各截面的位移 y、角变 Η、 弯矩M 和剪力Q。但在计算荷载 P 右方各截面的这 些量值时, 还须在上式中增加由于荷载引起的附加 项。 下面说明求解附加项的方法。
(1) 集中荷载引起的附加项 在图 3 中, 将坐标原点移到荷载 P 的作用点, 仍可用式 In [ 2 ]计算荷载 P 引起的右方各截面的位 移, 角变、弯矩及剪力。 因为仅考虑 P 的作用, 故在 它的作用点处的 4 个初参数为: y x 1= 0, Ηx 1= 0, M x 1= 0, Q x 1= - P , 输入: In [ 3 ]: = tp = t1 . {y 0→0, Η0→0, M 0→0, Q 0→ - P} (2) 力矩M 引起的附加项 与上式同理, 将坐标原点移到力矩M 的作用 点, 此点的 4 个参数为: y x 2= 0, Ηx 2= 0, M x 2= M , Q x 2= 0, 输入: In [ 4 ]: = tm = t1 . {y 0→0, Η0→0,M 0→M 1, Q 0→ 0} (3) 分布荷载 q 引起的附加项 参照图 3, 设求坐标为 x (x ≥x 4) 截面的位移、角 变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷 载 q0d u , 输入: In [ 5 ]: = tq1= In teg ra te [ tp , {x , x 1, x 2} ]; tq2= In teg ra te[ tp . p →pp x, {x , x 3, x 4} ] 综 合 In [ 2 ]、In [ 3 ]、In [ 4 ]、In [ 5 ]就可以计算按 温克尔假定的基础梁的方程。
EJ
dΗ
dx
=
-
EJ
d d
2y x2
,
Q =
dM dx
=-
EJ
d 3y dx 3
(3)
将式 (3) 代入 (2) , 并注意 Ρ= Ky , 则得:
4
d 4y dx 4
+
4Α4y =
4Α4q (x ) (式中令 Α=
K
K 4E J
)
(4) 式 (4) 就是基础梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算, 在上式中用变数 Αx 代替 x , 则 得
图 3 一等截面基础梁的正方向
60
苗 强. 用M a them a tic 计算弹性地基梁
下列式子为解题过程: In [ 2 ]: = t1 = {y , Η,M , Q }= Co llect [ Sim p lify [ { t, D [ t, x ], EJ D [ t, {x , 2} ], - EJ D [ t, {x , 3} ]} ], {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; b= So lve [ {y 0, Η0, M 0, Q 0 } = = t1 . x →0, {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; t1= t1 . b; t1= t1 . E J →K a4; t1= ta= Co llect [ S im p lify [ t1, { y 0, Η0,M 0, Q 0} ] ]; 3. 2 荷载引起的附加项
计算基础梁的计算方法有 3 种假设。 (1) 地基反力按直线分布的假定 地基反力假定按直线分布, 未知量只有 2 个, 即 梁两端的地基反力, 当两端的地基反力求出后, 沿梁 长任何点的地基反力就很容易求得。 然后利用静力 平衡条件可算出任何截面的弯矩和剪力。 按地基反力为直线分布的假定计算基础梁时, 完全没有考虑地基的物理力学性质和基础梁的变 形, 故和实际情况有较大的差异。只有在初步估算基 础梁的截面与基础梁的刚度较大时可以采用。
弹性地基上Euler-Bernoulli梁的临界荷载计算
i梁理论,将弹性地基上功能梯度 Eu
l
e
r
ＧBe
r
nou
l
l
i梁临界荷载 的 计 算 转 化 为 一 组 变 系 数 常 微
分方程的特征值问题,由微分求积法可以一次性地计算出 Eu
l
e
r
ＧBe
r
nou
l
l
i梁的临界荷载.梁上 离 散 节 点 采 用
非均匀等比数列和切比雪夫多项式的根两种布点方式,根 据 微 分 求 积 法 计 算 梁 的 屈 曲 临 界 荷 载 时,二 者 的 计
１．
２ Eu
l
e
r
ＧBe
rnou
l
l
i梁的边界条件
Eu
l
e
r
ＧBe
rnou
l
l
i梁的转角θ,弯矩 M 和剪力 T 分别为:
dw
d２W
dM
dw
,
,
θ＝
M ＝E (
x)
I(
x) ２ ,
T＝
＋P
dx
dx
dx
dζ
简支 － 简支梁(H － H)的边界条件为:
θ ＝０ 和 M ＝０,
W(
０)＝０,
W″ (
０)＝０;
１０]采 用
局部微分求积法研究了带有弹性约束的轴向功能梯度变截面桩稳定性问题.文献[
１１]采用一种低维数学
模型,该模型能够计算均匀和非均匀的功能梯度桩沿轴线方向上的屈曲载荷.文 献[
１２]利 用 优 化 的 瑞 利
商和 Timo
shenko 商解决了一些工程振动和屈曲 稳 定 性 问 题. 文 献[
,
(
（仅供参考）弹性地基梁分析--midas-迈达斯
（仅供参考）弹性地基梁分析--midas-迈达斯例题弹性地基梁分析1例题弹性地基梁分析2 例题. 弹性地基梁分析概要此例题将介绍利⽤MIDAS/Gen做弹性地基梁性分析的整个过程，以及查看分析结果的⽅法。
此例题的步骤如下:1.简要2.设定操作环境及定义材料和截⾯3.利⽤建模助⼿建⽴梁柱框架4.弹性地基模拟5.定义边界条件6.输⼊梁单元荷载7.定义结构类型8.运⾏分析9.查看结果例题弹性地基梁分析31.简要本例题介绍使⽤MIDAS/Gen 进⾏弹性地基梁的建模分析。
(该例题数据仅供参考)基本数据如下：轴⽹尺⼨：见平⾯图 ? 柱： 900x1000，800x1000梁： 500x1000，400x1000，1000x1000 ? 混凝⼟：C30图1 弹性地基梁分析模型例题弹性地基梁分析42.设定操作环境及定义材料和截⾯在建⽴模型之前先设定环境及定义材料和截⾯1.主菜单选择⽂件>新项⽬2.主菜单选择⽂件>保存: 输⼊⽂件名并保存3.主菜单选择⼯具>单位体系: 长度 m, ⼒ kN图2. 定义单位体系4.主菜单选择模型>材料和截⾯特性>材料：添加：定义C30混凝⼟材料号：1 名称：C30 规范：GB(RC)混凝⼟：C30 材料类型：各向同性5.主菜单选择模型>材料和截⾯特性>截⾯：添加：定义梁、柱截⾯尺⼨注：也可以通过程序右下⾓随时更改单位。
例题弹性地基梁分析5图3 定义材料图4 定义梁、柱截⾯例题弹性地基梁分析6 3.⽤建模助⼿建⽴模型1、主菜单选择模型>结构建模助⼿>框架:输⼊：添加x坐标，距离8，重复1；距离10，重复2；距离8，重复1；添加z坐标，距离8，重复1；距离6，重复1；编辑： Beta⾓，0；材料，C30；截⾯，500x1000；点击；插⼊：插⼊点，0，0，0；图5 建⽴框架例题弹性地基梁分析72、主菜单选择模型>单元>修改单元参数分别将梁及柱修改为相应的截⾯。
利用mathcad及力法原理计算多跨连续梁的内力
分析 连续梁在均布荷载作 用下的 内力分布规律 ，与计算 不等跨连 续梁 内力的传 统方法进 行 比较 ，比较 两种方 法计算不等 跨连 续梁的 内力可 以看 出ｆ ｔ ． １ 用ｍ ａ ｔ ｈ ｃ ａ ｄ计算显著提 高计算精度 ，给其 它结 构３ － ． 程 中的连 续梁 内力计 算提 供参 考，证明 了
在水 工 钢结 构 或混 凝 土 结 构 中 ，涉 及 很 多 连续 梁
个未 知 力 Ｘ （ ｉ ∈［ １ ，ｎ一１ ］ ） 代替 ，这样 得 到 力法 的基
的设计 ，如 钢 闸 门 中 的水 平 次 梁 ，厂 房 楼 面 的 次 梁 ， 闸坝 上 的工 作 桥和 交通 桥 中 的部 分 梁 系 等 。进 行 连续
Ａ ＝６ ｌ Ｘｌ＋６ ２ ２＋ … ＋６ ， ＋ … ＋６ ｍ ， 】＋ Ａ ＝０
一
梁 的设 计首 先需 计 算其 内力 ，按 弹性 理 论 计 算 连续 梁
的 内力 可采 用 弯矩 分 配 法或 力 法 ，以往 的计 算 多 通过 查 询现 成 的系数 表得 到各 控制 截 面的弯 矩值 和剪 力值 。 在 相关 书籍 中给 出了 ２～５跨等 跨连 续梁 在常 用荷 载作
用 下 的 内力系 数 Ｊ ，２～７跨 等 跨 连续 梁 在 均 布荷
载 作用 下 的弯矩 和剪 力 系数 。例如水 工 钢 闸门结 构 中 ，
（ １ ）
据 闸 门梁 系布 置特 点 ，水 平 次 梁一 般 连 续 地 支 承 在 隔
板 或竖 直次 梁 上 ，此 时 水 平 次梁 可 按 承 受 均 布 荷 载 的
＝ 一
多 跨连 续梁 计算 ，传 统 的钢 闸 门次 梁计 算 是 将 其 近 似 为 等跨 连续 梁 ，查 表求 得 其 跨 中 、支 座 处 的最 大 弯矩
Winkler-Pasternak 弹性地基 FGM 梁自由振动二维弹性解
Winkler-Pasternak 弹性地基 FGM 梁自由振动二维弹性解蒲育;滕兆春【摘要】Based on the two-dimension theory of linear elasticity,the free vibration differential equations for FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations were derived.The material properties were supposed to change continuously along the thickness of the beam according to the power law ing the differential quadrature method (DQM),the dimensionless natural frequencies of FGM beams under four different boundary conditions were investigated.The formulations were validated by comparing the results obtained with those available in the literature for homogeneous beams on Winkler-Pasternak elastic foundations.The influences of the boundary conditions,material graded index,length-to-thickness ratio and elastic coefficients of foundations on the non-dimensional frequency parameters of FGMbeams were discussed.%基于二维线弹性理论，建立 Winkler-Pasternak 弹性地基上功能梯度（Functionally Graded Material，FGM）梁自由振动控制微分方程。
间断伽辽金法DGM求解弹性地基梁问题
第28卷增刊岩土力学Vol.28Supp.2008年11月Rock and Soil Mechanics Nov.2008收稿日期：5基金项目：国家自然科学基金资助项目(N 55)。
作者简介：艾智勇，男，66年出生，博士，副教授。
主要从事岩土及地下工程方面的研究工作。
：z y @j 文章编号：1000－7598－(2008)增刊－603－04间断伽辽金法(DGM)求解弹性地基梁问题艾智勇，王全胜，王熹（同济大学地下建筑与工程系岩土及地下工程教育部重点实验室上海200092）摘要：间断伽辽金法使用节点位移一类未知数作为测试函数，削弱了内部单元边界上的一阶及n 阶导数的连续性，大大降低了构造形函数的难度，特别适合控制方程为高阶微分方程问题的求解。
基于间断伽辽金法的基本原理，推导了弹性地基梁四阶微分控制方程的积分“弱”形式，编制了计算程序，进行了数值计算和收敛性分析。
计算结果表明：用间断伽辽金法求解弹性地基梁问题是十分有效率的。
关键词：间断伽辽金法；弹性地基梁；连续性；测试函数中图分类号：TU 470文献标识码：ADiscontinuous Galerkin method for elastic foundation beam problemsAI Zhi-yong,WANG Quan-sheng,WANG Xi(Department of Geotechnical Engineering ，Key Laboratory of Geotechnical and UndergroundEngineeri ng of Mini s try of Educati on,Tongji University,Shanghai 200092,C hina)Abstract:Discontinuous Galerkin method(DGM)used node displacement approximations as trial functions,and weakened the continuity of first order and n-th order differential in the internal element boundary,reduced the difficulty to construct the shape functions,so this method is especially fit for solving the problem of higher order differential equation.Based on the principle of DGM,the integral weak form of the forth order differential control equation of elastic foundation beam is established.Numerical calculation and convergence analysis are carried out by the computer program.The results of calculation show that it is efficient for DGM to solve the elastic foundation beam problems.Key words:discontinuous Galerkin method;rlastic foundation beam;continuity;trial functions1引言间断伽辽金法（DGM ）是有限单元法的一支，是使用完全不连续的分段多项式作为数值解以及测试函数的一种有效的数值方法。
利用mathcad及力法原理计算多跨连续梁的内力
利用mathcad及力法原理计算多跨连续梁的内力
利用mathcad及力法原理计算多跨连续梁的内力
陈叶文1,马博2
【摘要】应用力法原理对水工结构中的多跨连续梁进行内力计算,阐述如何利用mathcad软件程序使计算实现的过程,分析连续梁在均布荷载作用下的内力分布规律,与计算不等跨连续梁内力的传统方法进行比较,比较两种方法计算不等跨连续梁的内力可以看出利用mathcad计算显著提高计算精度,给其它结构工程中的连续梁内力计算提供参考,证明了mathcad软件在工程设计计算中的准确、有效、快捷。
【期刊名称】广东水利水电
【年(卷),期】2015(000)008
【总页数】4
【关键词】连续梁；力法；弯矩；剪力
在水工钢结构或混凝土结构中,涉及很多连续梁的设计,如钢闸门中的水平次梁,厂房楼面的次梁,闸坝上的工作桥和交通桥中的部分梁系等。
进行连续梁的设计首先需计算其内力,按弹性理论计算连续梁的内力可采用弯矩分配法或力法,以往的计算多通过查询现成的系数表得到各控制截面的弯矩值和剪力值。
在相关书籍中给出了2～5跨等跨连续梁在常用荷载作用下的内力系数[3，5],2～7跨[1]等跨连续梁在均布荷载作用下的弯矩和剪力系数。
例如水工钢闸门结构中,据闸门梁系布置特点,水平次梁一般连续地支承在隔板或竖直次梁上,此时水平次梁可按承受均布荷载的多跨连续梁计算,传统的钢闸门次梁计算是将其近似为等跨连续梁,查表求得其跨中、支座处的最大弯矩及剪力。
然而由于钢闸门次梁在跨的数量和布置形式上多有变化,每次通过求解方程组将耗费大量时间,而查表求得的。
用Mathematic计算弹性地基梁
它的一般解是由齐次解和特解组成。所谓齐次解是式
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
0
(6)
在M a them a tic 中输入下列式子:
In [ 1 ]: = t= D So lve [ y ’’’’[ x ]+ 4y [ x ] = = 0, y [ x ], x ]; t= t . x →Αx ;
计算基础梁的计算方法有 3 种假设。 (1) 地基反力按直线分布的假定 地基反力假定按直线分布, 未知量只有 2 个, 即 梁两端的地基反力, 当两端的地基反力求出后, 沿梁 长任何点的地基反力就很容易求得。 然后利用静力 平衡条件可算出任何截面的弯矩和剪力。 按地基反力为直线分布的假定计算基础梁时, 完全没有考虑地基的物理力学性质和基础梁的变 形, 故和实际情况有较大的差异。只有在初步估算基 础梁的截面与基础梁的刚度较大时可以采用。
Abstract: T heM a them a tic is a so rt of fam ou s m a them a tica l softw a re, w ith a un ique advan tage in ca lcu la tion. T he m a them a ti2 ca l softw a re w ith W ink ler’s hypo thesis is u sed to ca lcu la te ela stic g rade beam accu ra tely, qu ick ly and conven ien tly. Key W ords: M a them a tic; ela stic g rade beam ; ca lcu la tion
以图 3 为例, 当初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 已知时, 就 可用上式计算荷载 P 以左各截面的位移 y、角变 Η、 弯矩M 和剪力Q。但在计算荷载 P 右方各截面的这 些量值时, 还须在上式中增加由于荷载引起的附加 项。 下面说明求解附加项的方法。
pkpm弹性地基梁计算.doc
pkpm弹性地基梁计算一说到pkpm弹性地基梁计算，相关建筑人士还是比较陌生的，我国对pkpm弹性地基梁怎么规定的？如何计算？以下是为建筑人士梳理pkpm弹性地基梁基本内容，具体内容如下：下面通过相关内容的梳理，pkpm弹性地基梁基本规定内容如下：⑴按普通弹性地基梁计算：这种计算方法不考虑上部刚度的影响，绝大多数工程都可以采用此种方法，只有当该方法时基础设计不下来时才考虑其他方法。
⑵按考虑等代上部结构刚度影响的弹性地基梁计算：该方法实际上是要求设计人员人为规定上部结构刚度是地基梁刚度的几倍。
该值的大小直接关系到基础发生整体弯曲的程度。
而上部结构刚度到底是地基梁刚度的几倍并不好确定。
因此，只有当上部结构刚度较大、荷载分布不均匀，并且用模式1算不下来时方可采用，一般情况可不用选它。
⑶按上部结构为刚性的弹性地基梁计算：模式3与模式2的计算原理实际上最一样的，只不过模式3自动取上部结构刚度为地基梁刚度的200倍。
采用这种模式计算出来的基础几乎没有整体弯矩，只有局部弯矩。
其计算结果类似传统的倒楼盖法。
该模式主要用于上部结构刚度很大的结构，比如高层框支转换结构、纯剪力墙结构等。
⑷按SATWE或TAT的上部刚度进行弹性地基架计算：从理论上讲，这种方法最理想，因为它考虑的上部结构的刚度最真实，但这也只对纯框架结构而言。
对于带剪力墙的结构，由于剪力墙的刚度凝聚有时会明显地出现异常，尤其是采用薄壁柱理论的TAT 软件，其刚度只能凝聚到离形心最近的节点上，因此传到基础的刚度就更有可能异常。
所以此种计算模式不适用带剪力墙的结构。
另外，设计人员在采用《JCCAD用户手册及技术条件》附录C 中推荐的基床反力系数K时，该值已经包含上部刚度了，所以没有必要再考虑一次。
⑸按普通梁单元刚度的倒楼盖方式计算：模式5是传统的倒楼盖模型，地基梁的内力计算考虑了剪切变形。
该计算结果明显不同与上述四种计算模式，因此一般没有特殊需要不推荐使用。
【word】弹性地基Timoshenko梁单元在ABAQUS软件中的应用
弹性地基Timoshenko梁单元在ABAQUS软件中的应用第31卷第4期2010年7月华侨大学(自然科学版)JournalofHuaqiaoUniversity(NaturalScience)V_oI.31No.4Ju1.2010文章编号:1000—5013(2010)04-044805弹性地基Timoshenko梁单元在ABAQUS软件中的应用杨钊,许建聪,余俊(1.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室,上海2000922.中南大学土木建筑学院,湖南长沙410075)摘要:利用ABAQUS软件中的自定义单元接口,采用Fortran语言开发弹性地基Timoshenko梁单元程序.通过与经典解的比较,验证所编弹性地基Timoshenko梁单元程序的准确性.该单元不仅考虑了地基弹簧受拉脱开的特点,而且还考虑了曲形梁单元内结点不在一条直线上的特点.采用所编写弹性地基梁单元分析青草沙原水过江输水工程,计算规律与已建类似工程实测结果相同.关键词:弹性地基;Timoshenko梁;ABAQUS软件;单元子程序中图分类号:TU471.2文献标识码:A在地下结构的计算领域,已有许多用于考虑结构一土体相互作用的计算方法,但是荷载结构法仍是目前使用最广泛的一种方法.为了在研究周围地层对结构的约束作用及地层对地下结构的反作用力时考虑地下结构变形,将Winker弹性地基理论引入到荷载结构法中].同时,提出弹性地基上的Timosh—enko梁,以考虑横向剪切变形对厚梁的影响.目前,大量商品化软件如MARC,SAP等均包含弹性地基梁单元,但均没有考虑地基弹簧在受拉时的脱开情况.ANSYS,ABAQUS等大型通用有限元法计算分析软件中未包括弹性地基梁单元,只能通过在梁单元结点上加弹簧单元来近似模拟弹性地基的作用[z-33.这种做法只能在梁单元足够小的情况下,才能近似等价于弹性地基作用l4].本文以ABAQUS软件为平台,开发基于Winker地基理论与Timoshenko梁理论的地基梁单元.1Timoshenko梁单元刚度阵与荷载阵设一Timoshenko梁的弯曲刚度为EI,剪切刚度为S,压缩刚度为EA,长度为L,梁上有侧向分布荷载q(z),径向集中力,集中力偶MJ,轴向集中力.因此,其总势能r5J 为//(“,cu,一I『:(塞)dl+y:Sdoo一dl+.『:()d一:q()d一P+,一(1)式(1)中:第2项为梁的剪切变形能;剪切刚度S=;G为剪切模量;A为截面积;a为校正因子,可根据截面的具体情况确定.Timoshenko梁单元的基本特点是挠度,轴向压缩量和截面转动各自独立插值.即一∑N,一∑Niu,0一∑N～0(2)式(2)中:以为单元的结点数;N是Lagrange插值多项式.将式(2)代人式(1)中,由3//=0可以得到有收稿日期:通信作者:基金项目:2009～O9—19杨~(1984一),男,博士研究生,主要从事盾构隧道数值计算和模型实验的研究.E-mail:yangzhaolp@126.con].国家自然科学基金资助项目(40872179);中国博士后科研基金资助项目(20080440652)第4期杨钊,等:弹性地基Timoshenko梁单元在ABAQUS软件中的应用449限元的求解方程为KU—P.(3)式中:K一∑,P===∑P,U===∑U;而一BTDBdl,u一[u,…,u],U一[,”,Oi],D—rE,00]r00--8N/a}0EA0},B一[BJ,…,B],B一i0ON/az0}.L00GA/JN/oz0一』\,2弹性地基梁弹性地基上,梁在荷载作用下产生变形的同时,地基土也产生了变形.根据弹性地基的局部变形理论,地基土对地基梁的反力集度Pd与地基梁的挠度∞问的关系为Pd—kd(4)式(4)中:足为地基反力系数.为了考虑地基弹簧受拉脱开,假定梁的挠度值为负值,k一0.考虑地基土的应变能后,弹性地基梁的总势能比梁的总势能多出一项l6j,即A//一I专忌d∞6d￡.(5)厶式(5)中:b为梁截面的宽度.由式(2)可得一BdU.(6)式(6)中:B一[…,B];,,一[』\,,0,O].将式(6)代人式(5),取极值即可得单元刚度阵中地基刚度附加项为Kj—IB是dBd6dz.(7)单元的总刚度阵艮由梁单元刚度阵K和地基刚度阵K5两部分叠加而成,即K—+.(8)梁单元内力计算方程为N—AE,Q一一),,M一一EIO/.(9)djrcl’式(9)中:N为轴力;Q为剪力;M为弯矩.3整体坐标系下的刚度阵假定单元的方向在整体坐标系下的方向角为以单元内任意一点为例,有U一U,l,-sin8COSB式(10)中:U,局部坐标系下第i点坐标;J;L为坐标转换矩阵,.;L一1cos 卢--sinpl00下第i点坐标,U…I一,,Y,].结合式(3),(10),可得rK一j.golDB1dZ,式(11)中:B.l一”,Bf1】],Bl=B2.结合式(6),(7)可得rKed一I嘲ikdBd,golbdl,(12)JU式(12)中:B,1一[B(1’,…,B(1,],B,=Ba,i.整体坐标系下,弹性地基梁单元刚度矩阵为K一(+,酬.(13)当由前处理所得梁单元的内部结点位于梁单元两端结点的连线上,且内部结点为梁单元的均分点时,由局部坐标与整体坐标的转换关系可得∞系1.1标坐体整门●-==_●U450华侨大学(自然科学版)2010年dl一专d,一号’.(14)在实际工程中,特别是以可能在梁单元上处处满足.采用精确积分计算剪切变形能项,将过分夸大剪切应变能的量级而造成剪切锁死.为了避免剪切锁死,对剪切变形项采用缩减积分计算].4程序编制ABAQUS提供用户单元接口子程序UEL,用户通过自定义UEI接口与求解器Standard的接口实现数据传递.UEL有其固定的书写格式与规范,与主程序共享的变量必须在子程序开关予以定义,而主程序通过ABAQUS输入文件(.inp)中的关键字”element,type=Un”来判断是否使用自定义单元.依据ABAQUS软件二次开发的约定,用户单元子程序UEL应至少包括5部分[8],分别为:ABAQUS约定的子程序题名说明,ABAQUS定义的参数声明表,用户自定义的局部变量声明表,用户编写的程序代码段和子程序返回与结束语句等.在UEL中,用户需要给出单元的结点数目,结点自由度,材料参数,通过主程序传送给UEL的结点位移及结点位移增量更新单元应力,并最终将单元刚度矩阵(AMA TRX)及单元不平衡力矩阵(RHS)提供给ABAQUS主程序进行迭代求解.4.1程序流程ABAQUS主程序进行迭代求解有如下8个步骤.(1)计算坐标转换矩阵A.(2)计算高斯积分点数与高斯积分点坐标.对于结点Timensheno梁,轴力项,弯矩项刚度,可由一1个高斯积分点精确求解;剪切项刚度需要个高斯积分点才能精确求解.但为了避免剪切锁死的发生,剪切项刚度在计算中也采用一1个高斯积分点积分.(3)计算形函数矩阵,并由式(14)～(16)计算积分系数.(4)由式(11)计算整体坐标系下梁单元的单元刚度矩阵.(5)由式(9)计算积分点处的轴力,剪力,弯矩.(6)将主程序传人的位移值代人式(2),(10),计算地基梁单元在积分点处的挠度值.如计算挠度值为负值,则取此积分点处的地基刚度为零,再由式(12)计算地基对梁单元的附加刚度矩阵.(7)由式(13)计算地基梁单元的整体刚度矩阵.(8)计算单元的残余力,并判断收敛.如果不收敛,返回ABAQUS主程序进行第i+1次迭代.主程序将根据UEL子程序第i次迭代所得到的单元刚度矩阵与残余力项,计算位移增量与总位移量,然后跳到第(1)步进行UEL的第H—1次迭代计算.4.2程序验证梁荷载和弹性地基梁竖向位移图,分别如图1,2所示.两端自由的弹性地基梁参数:长度l为1Om,宽度b为0.5m,高度h为0.5m,梁身的弹性模量为10.0GPa,剪切模量为5.0GPa,地基的刚度系数K为4.0GN?m_..求梁截面A,B和C的弯矩与挠度_gj.采用自编弹性地基梁单元计算,将梁划分为20个3结点地基梁单元.计算过程中,可得到每个单元内积分点处的弯矩,剪力,轴力.将积分点处的内力值外推,可以得到单元结点处的内力值.弯矩和挠度的理论解与数值解的对比,如表l所示.表1中:n,Mn分别为弯矩,挠度的理论解;叫.,第4期杨钊,等:弹性地基Timoshenko梁单元在ABAQus软件中的应用451+十…1.604…XI.oz~oxIU--一32.85079O;x,<11o图1梁荷载示意图图2弹性地基梁竖向位移图Fig.1LoadsonthebeamFig.2Verticaldisplacementoftheelasticfoundationb eamM分别为弯矩,挠度的数值解;为相对误差.由表l可知,理论解与数值解相差较小,该误差可能源于有限元数值计算中网格的划表1弯矩和挠度的理论解与数值解的对比分,迭代收敛判断准则,以及其他诸多综合因素的影响.由此可见,编制的有限元程序是可靠的.5工程实例计算青草沙原水过江隧洞工程位于上海长江隧道下游约80m处,浦Tab.1Comparisonofbendingmomentanddeflection betweenanalyticalsolutionandnumericalsolution东侧越江点在五号沟,长兴岛越江点在该岛新开河附近,全长r7.23km.越江输水管道采用全断面隧道掘进机(TBM)施工,有压输水,设计为圆形断面,衬砌结构外直径为6.8m,管片厚为480mm.考虑冲刷后上部垂直水土压力为439.1kPa,上部水平土压力为313.0kPa,下部水平土压力为375.0kPa,隧道内水压力为404.1kPa.隧道周围地层的地基刚度系数为10.0MN?m_..采用3根弹簧分别模拟接头的抗弯,抗压与抗剪性能,其刚度系数分别为500(MN?m)?rad,5.0TN?m～,0.5TN?m～.计算采用三结点Timeshenko地基梁.为简化计算,在建立地基梁模型的同时也建立三结点Time—shenko梁模型.此梁模型与地基梁模型共结点且结点编号一致,但单元编号不同.将地基梁上的荷载施加到共结点的梁上,取共结点梁单元弹性模量为一极小数.此时,梁单元的存在将简化荷载的施加且对计算结果无影响.由于梁单元结点与地基梁单元共结点,因此,ABAQUS后处理中梁单元的位移场即为地基梁单元的位移场.衬砌变位矢量图,如图3所示.在外周水土压力与内水压力的联合作用下,衬砌结构竖直方向内缩,最大压缩量为 2.4mill;水平方向伸长,最大伸长量为2.2mm.衬砌结构的形状由原先的圆形变成扁平的椭圆形. 衬砌截面的弯矩,轴力和剪力图,如图4～6所示.从图4～6可知,管片弯矩的峰值出现在管顶,管底和两腰,其管顶,管底为正值,两腰弯矩为负值.最大正弯矩位于管顶处,其值为102.7kN?m;最大负弯矩位于管腰处,其值为--95.3kN?m.设轴力以受拉为正,受压为负.管片大部分截面受压,轴压值管顶,管底小,而管腰大.轴压最大值位于管腰处,其最大轴压图3衬砌变位矢量图Fig.3Displacementvectordiagramoflining值为150.8kN;管顶部分截面受拉,最大轴拉值为--34.6kN.设剪力以截面呈顺时针转动为正,反之为负,剪力最大值为68.3kN,剪力最小值为--59.7kN.图4衬砌截面弯矩图Fig.4Momentofliningsection图5衬砌截面轴力图Fig.5Axialforceofliningsection图6衬砌截面剪力图Fig.6Shearforceofliningsection452华侨大学(自然科学版)2010焦6结束语针对绝大多数商品化软件不能考虑弹性地基梁在受拉时地基弹簧脱开的不足,基于ABAQUS软件平台开发了弹性地基Timeshenko梁单元.该单元不仅考虑了地基弹簧受拉脱开的特点,而且还考虑了曲形梁单元内结点不在一条直线上的特点.采用所编写弹性地基梁单元分析青草沙原水过江输水工程,计算规律与已建类似工程实测结果相同.研究结果表明,所编写的弹性地基梁单元精度高,可供实际工程计算应用.参考文献:孙钧.地下结构[M].北京:科技出版社,1987.黄群贤,林建华.液化侧扩地基中桩基的有限元分析[J].华侨大学:自然科学版,2004,25(3):328-330.贾瑞华,阳军生,马涛,等.既有管线下盾构施工地层沉降监测和位移加载数值分析[J].岩土工程,2009,31(3):425-430.杨钊,潘晓明,余俊.盾构输水隧洞复合衬砌计算模型研究[c]∥2009全国土木工程博士生学术论坛优秀论文集.长沙:中南大学出版社,2009.王勖成.有限单元法[Ⅳ【].北京:清华大学出版社,2006.朱伯芳.有限单元法原理与应用[M].北京:中国水利水电出版社,2004. 冯紫良.杆系结构的计算机分析[M].上海:同济大学出版社,1991.叶志才,徐磊,王超.基于ABAQUS的j维锚杆单元的开发EJ].三峡大学,2008,30(5):29—32.黄义,何芳杜.弹性地基上的梁板壳[M].北京:科学出版社. ApplicationofElasticFoundationTimoshenko BeamElementinABAQUSY ANGZhao.XUJian—cong.YUJun(1.KeyLaboratoryofGeotechnicalandUndergroundEngineeringof MinistryofEducation,Ton~iUniversity,Shanghai200092,China;2.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,CentralSouthUniversity,Ch angsha410075,China)Abstract:UsingtheuserdefinedelementinterfaeeinABAQUS,theelasticfou ndationTimoshenkobeamelementiSde—paringwithclassicanalyticalsolution,th eresultindicatesthattheaccuracyoftheel—ementishighenough.Thatelementnotonlyconsiderstheseparationofthefou ndationspringundertension,butalso considerstheinternalnodeofcurvebeamelementiSnotonthelineoftWOend ingtheelasticfoundationbeamelement,theQingcaoshariver-crosswaterdiversionprojectisanalyzed,there sultsagreeswiththemeasureddataofsimi—larproiects.Keywor~:elasticfoundation;Timoshenkobeam;ABAQUS;elementsubro utine(责任编辑:黄仲一英文审校:方德平)]]]]]]]]]口。
3.4文克勒地基上梁的计算.
三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Esti
dV dx
bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d 4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
EI
d 4w dx4
bp
p ks
sw
EI
d 4w dx4
bkw
文克勒地基上梁
的挠曲微分方程
d 4w dx 4
EI
d 3w dx3
M
EI
d 2w dx2
p kw
w ex C1 cos x C2 sin x ex C3 cos x C4 sin x
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
3.4.4基床系数的的确定
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土 的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1）按预估沉降量计算
物理意义：使
土体产生单位
k p0 / sm
位移所需的应
对于厚度为h的薄压缩层地基力；
sm
zh
/ Es
p 0