大学生数学竞赛真题非数学类
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
最终版第9届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷答案
点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
α = f (x1) − f (x2 ) < f (x3) − f (x4 ) =β ，
x1 − x2
x3 − x4
证明：对任意 λ ∈ (α , β ) ，存在互异的点 x5, x6 ∈ (0,1) ，使得 λ
=
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
x1 x3
；
……… 3 分
且存在 x2 ∈ (x3 ,1) ，使 F (1) − F (x3)= F ′(x2 )(1− x3) ，即
∫ ∫ π
8
1
c (x )dx =
0
1
1
+
x
2 2
x2 0
c
(x
)
d
x
+
c
(x 2
)
arctan
x2
(1
−
x3)
.
………………… 3 分
四、(本题满分 12 分)
存在 t0 ∈ (0,1) ，使得 F (t0 ) = λ .
1
………………… 3 分
令 x5 =(1− t0 )x1 + t0 x3 ， x6 =(1− t0 )x2 + t0 x4 ，则 x5, x6 ∈ (0,1) ， x5 < x6 ，且
=λ F= (t0 )
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
1 .
2
………………… 5 分
再分别在区间[0, x3 ] 与[x3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x1 ∈ (0,x3) ，
使得 F (x3) − F (= 0) F ′(x1)(x3 − 0) ，即
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准 非数学类
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
第13届全国大学生数学竞赛非数学类初赛试卷参考答案(2021年)
第十三届全国大学生数学竞赛初赛 《非数学类》试题及参考解答一、填空题（每小题6分，共30分） 1、极限lim x.【答案】：0【参考解答】：原式lim10xx xe2、设(,)z z x y 是由方程2sin(23)23x y z x y z 所确定的二元隐函 数，则z zx y.【参考解答】：将方程两边分别关于x 和y 求偏导，得2cos(23)13132cos(23)2323z z x y z x x z z x y z y y按1cos(23)2x y z和12两种情形，都可解得: 12,.33z z x y 因此1.z zx y3、设函数()f x 连续，且(0)0f ，则02()()d lim()d xxx x t f t tx f x t t.【参考解答】：令x t u ，则0()d ()d xxf x t t f u u. 于是由洛必达法则和积分中值定理，得00002()d 2()d 2()d 2()2()limlim()d ()d ()2()d 2()limlim1()()()d ()xxxxxx x x xx x x f t t tf t tf t t xf x xf x x f u u f u u xf x f t txf xf xf x f u u xf x 原式其中 介于0,x 之间.4、过三条直线120,0,:,:2,20,x x L L y z x y z与3:0x L y z的圆柱面方程为 .【答案】： 222224x y z yz 【参考解答】：三条直线的对称式方程分别为1221102:,:01101111:11x y z x y z L L y z L 所以三条直线平行. 在1L 上取点1(0,1,1)P ，过该点作与三直线都垂直的平面0y z ，分别交23,L L于点23(0,1,1),0,0)P P . 易知经过这三点的圆的圆心为(0,0,0)O . 这样，所求圆柱面的中心轴线方程为011x y z. 设圆柱面上任意点的坐标为(,,)Q x y z ，因为点Q，所以有化简即得所求圆柱面的方程为222224x y z yz . 5、记 22(,)D x y x y∣，则22sin cos d d D x y x y.【答案】：【参考解答】：根据重积分的对称性, 得222222222222200sin cos d d sin cos d d 11sin cos sin cos d d sin d d 221sin d cos 22D D D D x y x y y x x yx y y x x y x y x yd r r r原式二、(14分) 设12021x ， 212120210(1)nn n x x x n . 证明数列 n x 收敛, 并求极限limn n x. 【参考解答】：记1011,1n n a y x ，函数()(0)2x af x x x，则12y a 且 1(1).n n y f y n 易知，当x()x f x所以 n y 是单调减少且有下界的数列，因而收敛. 由此可知 n x 收敛.令lim n n y A，则0A 且()A f A，解得A因此lim 1n n x.三、(14分) 设()f x 在[0,) 上是有界连续函数，证明：方程1413()y y y f x 的每一个解在[0,) 上都是有界函数.【参考解答】：易得对应的齐次方程14130y y y 的通解为1312x xy C e C e 又 由1413()y y y f x 得13()y y y y f x .令1y y y ，则1113()y y f x，解得1313130()d x x t y e f t e t C. 同理，由1413()y y y f x ，得1313()y y y y f x .令213y y y ，则22()y y f x ，解得240()d x xt y ef t e t C. 取340C C ，得131300()d ,13()d .x x t x x t y y e f t e t y y e f t e t 由此解得原方程的一个特解为 *13130011()d ()d 1212x x x t x t y e f t e t e f t e t因此，原方程的通解为131313120011()d ()d .1212x x xxx tx t y C e C e e f t e t e f t e t 因为()f x 在[0,) 上有界，所以，存在0M ，使得|()|,0f x M x注意到当[0,)x 时，1301,01x x e e ，所以131313120131312001312121211||()d ()d 1212|||d d 1212111212137||||||12121378xxx x x t x t x x x t x tx x y C e C e e f t e t e f t e tM M C C e e t e e t M MC C e e M MM C C C C∣∣对于方程的每一个确定的解，常数12,C C 是固定的，所以，原方程的每一个解都是有界的.四、(14分) 对于4次齐次函数444222222123456(,,)333f x y z a x a y a z a x y a y z a x z 计算曲面积分(,,)d f x y z S，其中222:1x y z .【参考解答】：因为(,,)f x y z 为4次齐次函数，所以对t R ，恒有4(,,)(,,)f tx ty tz t f x y z对上式两边关于t 求导，得3123(,,)(,,)(,,)4(,,)xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t f x y z 取1t ，得(,,)(,,)(,,)4(,,).x y z xf x y z yf x y z zf x y z f x y z 设曲面 上点(,,)x y z 处的外法线方向的方向余弦为(cos ,cos ,cos ) ，则cos ,cos ,cos x y z因此由高斯公式和轮换对称性，记222:1x y z ，得2214621(,,)d (,,)(,,)(,,)d 411cos cos cos dS d d d d d d 441(,,)(,,)(,,)d 43222x y z x y z x y z xx yy zz f x y z S xf x y z yf x y z zf x y z S f f f f y z f z x f x y f x y z f x y z f x y z Vx a a a y a a24535666212222201161=2d d d d sin d 45i i i i ii a z a a a Va x y z V a a五、(14分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续的二阶导数，证明:21221lim ()d ()2()()().24n b a n k b a k n f x x f a b a n n b a f b f a 【参考解答】：记()(21)(),,1,2,,2k k k b a k b a x a a k n n n. 将()f x 在1,k k x x 上展开成泰勒公式，得2()2k k k k k f f x f f x x其中1,,k k k x x x 介于0和x 之间. 于是11111212121()d ()2()d d 21d 2kk kk k k nbn ak nx k x k nx k k k k x k nx k k x k b a k B f x x f a b a n n f x f xf f x x x f x x设()f x 在1,k k x x 上的最大值和最小值分别为,k k M m ，因为1323()d 12k k x k x b a x x n 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据定积分10()d f x x 的定义及牛顿-莱布尼兹公式，得11lim lim ()d ()()n nk k n n k k bab a b am M n n f x x f b f a再根据夹逼准则, 得22()lim ()().24n n b a n B f b f a六、(14分) 设 n a 与 n b 均为正实数列，满足：111a b 且12,2,3,n n n b a b n .又设 n b 为有界数列，证明级数1211nn a a a收敛，并求该级数的和. 【参考解答】：首先，注意到111a b ，且121nn n n b a b b所以当2n 时，有1223222111.n n n a a a b b b b由于 n b 有界，故存在0M ，使得当1n 时，恒有0n b M . 因此111122312220111210,n n n n b a a a b b b n M根据夹逼准则，12lim0nn nb a a a .考虑级数1211nn a a a的部分和n S ，当2n 时，有 112112121121121221112131222nnk k k n kk k k n k k n k k nk a b b S a a a a a a a b b b a a a a a a a a a所以3lim 2n n S ，这就证明了级数1211nn a a a收敛，且其和为32.。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
大学生数学竞赛非数试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)
目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)参考答案及评分标准
F= (b) 0 . 对 F (x) 在[a,b] 上利
a
∫ 用洛尔定理，存在 x0 ∈ (a,b) ，使得 F′(x0 ) = 0 ，即 f (x0 ) =
x0 f (t)dt .
a
---------------- 3 分
3
2021 年 05 月决赛试题
x
∫ 再令 G= (x)
f (x) − f (t)dt ，则 G= (a) a
−
2 x32
= 0 . 由此解得 u
113
在定义域内的唯一驻点 P0 (24 , 22 , 24 ) ，且 u 在该点取得最小值 u(P0 ) = 4 4 2 ，这是
113
函数唯一的极值. 因此 u 的唯一极值点为 (24 , 22 , 24 ) .
【注】 也可用通常的充分性条件(海赛矩阵正定)判断驻点 P0 为极小值点.
1，2， ,s)
.
因为 p(D) = D 2021 ，所以
1
= p( A) p= (QDQT ) Q= p(D)QT Q= D 2021QT B .
--------------- 3 分
(3) 设另存在 n 阶实对称矩阵 C 使得 C2021=A ，则=B p= ( A) p(C2021) ，所以
1 2
(xn
+
yn
)
，
---------------- 4 分
这只需证明：对任意 n
≥
0
，都有
x+ 2
y
n
≤
An (x, x) n +1
≤
1 2
(xn
+
yn ) ，其中 0
<
x,
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并讨论 g(x) 在 x = 0处的连续性.
四、（15 分）已知平面区域 D = {(x, y) | 0 x , 0 y }， L 为 D 的正向边界，试
证：
（1） xesin ydy − ye−sin xdx = xe−sin ydy − yesin xdx ；
L
L
（2） xesin ydy − ye−sin ydx 5 2 .
x2 + 3y2 =1
五．（本题 16 分）已知 S 是空间曲线 z = 0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部
( ) ( ) 分（ z 0 ）取上侧， 是 S 在 P x, y, z 点处的切平面， x, y, z 是原点到切
平面 的距离， , , 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
x→+
x
t + cos t
二、（本题 10 分）计算 + e−2x sin x dx 0
三、求方程 x2 sin 1 = 2x − 501 的近似解，精确到 0.001. x
四、（本题 12 分）设函数 y = f (x) 二阶可导，且 f ( x) 0 ，f (0) = 0，f (0) = 0 ，
满足方程 2z − z − z + z = 0 x y x y
(4) 设函数 u = u(x ) 连续可微， u(2) = 1，且 ( x + 2 y)udx + ( x + u3 )udy 在右半
平面与路径无关，求 u( x , y) 。
(5) 求极限 lim 3 x x+1 sin t dt
_______________________________
3. 设函数 y = y(x) 由方程 x = y−x sin 2 t dt 所确定。求 dy = _______________
1
4
dx x=0
4.
设 xn
=
n k =1
(k
k +
1)!
。则
lim
n→
xn
= ______________________
d2 y dx 2
= ________________.
二、（5 分）求极限 lim(ex
+ e2x
+
+
e nx
)
e x
，其中
n
是给定的正整数.
x→0
n
三、（15 分）设函数 f (x) 连续，g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ，A 为常数，求 g(x)
0
x→0 x
1
2e
n
四、（15 分）设 an 0, Sn = ak , 证明： k =1
（1）当
1 时，级数
+ n=1
an
S
n
收敛；
（2）当
1且 sn
+
→ (n → ) 时，级数
n=1
an Sn
发散。
五、（15 分）设 l 是过原点、方向为 (, , ) ，（其中 2 + 2 + 2 = 1) 的直线，均匀椭
2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x + y) ln(1 + y )
1．计算 D
x dxdy = ____________，其中区域 D 由直线 x + y = 1与两 1− x − y
坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) = 3x2 −
线与 x 轴及直线 x = 1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的 3
旋转体的体积最小.
七、（15
分）已知 un (x) 满足 un (x) = un (x) + xn−1ex (n = 1,2, ) ,
且 un (1) =
e n
,
求函数
项级数 un (x) 之和. n=1
L
2
五、（10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xe x + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点.当 0 x 1时, y 0 ,又已知该抛物
1
(1) 求极限 lim(n!)n2 n→
(2)
求通过直线
l
:
2 5
x x
+ +
y − 3z 5y−4
+2=0 z+3=0
的两个互相垂直的平面
1
和
2
，使其中
一个平面过点 (4 , − 3 , 1) 。
(3) 已知函数 z = u( x , y)eax+by ，且 2u = 0 。确定常数 a 和 b ，使函数 z = z( x , y) x y
（4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， r =
x2
+
y2 , g(x, y) =
f
1 r
，求
2g x2
+
2g y2
。
（5）求直线 l1
:
x z
− =
y 0
=
0 与直线 l2
:
x
−2 4
=
y −1 −2
=
z−3 −1
的距离。
二、（15 分）设函数 f (x) 在 (−, +) 上具有二阶导数，并且
( ) an − an−1 绝对收敛。
n=1
( ) ( ) 七（．本题 15 分）是否存在区间 0, 2 上的连续可微函数 f(x)，满足 f 0 = f 2 = 1，
f 、( x) 1,
( ) 2
f x dx 1？请说明理由。
0
2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写 出重要步骤）
f
( x)
0,
lim
x→+
f
( x)
=
0,
lim
x→−
f
( x)
=
0,
且存在一点
x0
，使得
f
(x0 )
0
。
三、（15
分）设函数 y =
f
(
x)
由参数方程
x y
= =
2t + t (t)
2
(t
−1) 所确定，其中 (t) 具有二
阶导数，曲线 y = (t) 与 y = t2 e−u2 du + 3 在 t = 1出相切，求函数 (t) 。
k1
f
(h)
+
k2
f
(2h) +
h2
k3
f
(3h)
−
f
(0)
=
0。
四．（本题
17
x2 y2 z2 分 ） 设 1 : a2 + b2 + c2
=1 ， 其 中 a bc 0 ，
2 : z2 = x2 + y2 ， 为 1 与 2 的交线，求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
六、（满分
14
分）设 Ia
(r)
=
ydx − xdy
( ) ÑC x2 + y2 a
，其中 a 为常数，曲线
C
为椭
圆
x2
+
xy
+
y2
=
r 2 ，取正向。求极限
lim
r →+
Ia
(r)
七（满分
14
分）判断级数
n=1
1+ 1 +L 2
(n +1)(n
+1 n
+ 2)
的敛散性，若收敛，求其和。
2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题
八、（10 分）求 x → 1− 时, 与 xn2 等价的无穷大量. n=0
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25 分，每小题 5 分）
（1）设 xn
= (1+ a)(1+ a2 )L
(1
+
a
2n
),
其中
|
a
|
1,
求
lim
n→
xn.ຫໍສະໝຸດ （2）求limx→
e−
x
1
+
1 x
x2
。
（3）设 s 0 ，求 I = e−sx xndx(n = 1, 2,L ) 。 0
S
(
z x, y,
z
)
dS
；（2）
S
z
(
x
+
3
y
+
z
)
dS
( ) ( ) ( ) 六．（本题 12 分）设 f(x)是在 −, + 内的可微函数，且 f 、 x mf x ，其
( ) 中 0 m 1 ， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 an = ln f an−1 , n = 1, 2,..., 证 明 ：
三 ． （ 本 题 15 分 ） 设 函 数 f(x) 在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且
( ) ( ) ( ) f 0 , f ' 0 , f " 0 均 不 为 0 ， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数 k1, k2 , k3 ， 使 得