球磨机钢球抛落点切向分速度分析
球磨机的临界转速
球磨机的临界转速一、临界转速、转速率前面讲的，当磨机以线速度υ带着钢球升到A点时，由于钢球重量G的法向分力N和离心力C相等，钢球即作,离心力大于钢球抛物落一。
如果磨机的速度增加，钢球开始抛落的点也就提高。
到了磨机的转速增加到某一值υC的重量,钢球升到磨机顶点Z不再落下，发生了离心运转。
由此可见，离心运转的临界条件是图1 离心运转时钢球的受力状况C≥G令m为球的质量，g为重力加速度，n为磨机每分钟的转数，R为球的中心到磨机中心的距离，a为球脱离圆轨迹时连心线OA与垂直轴的夹角。
当磨机的线速度为υ，钢球升到A点时，因G=mg，代入上式，得到因,代入上式，得到取g=9.81米/秒2，则，于是R的单位为米。
这是研究钢球运动的最基本的公式，以后要经常用到它。
当转速为υc ,相应的每分钟转数为nC时,钢球上升到顶点Z,不再落下,.发生了离心化。
此时,C=G,a=0°,cosa=1,从而此处，D=2R,单位皆为米。
对贴着衬板的最外一层来说，因为球径比球磨机内径小得多，可略而不计,R可以算是磨机的内半径，D就是它的内直径。
由公式(3)可以看出，使钢球离心化所需的临界转数，决定于球心到磨帆中心的距离。
最外层球距磨机中心最远,使它离心化所需的转数最少；最内层球距磨机中心最近，使它离心化所需的转数也最多。
如果取磨机内半径用公式(3)算的结果作为磨机的转速，尽管最外层球已经离心化了，但其他层球仍然能够抛落,还是可以磨细矿石。
只有转数比用最外层球按公式(3)求得的高出很多时，全部球层才会离心化，磨碎矿石的有用功才等于零。
但是，装入的钢球希望全部能落下磨碎矿石，如果有一部分离心化，就会使有用功减少。
因此，取磨机内半径用公式(3)算得的结果，说明要使最外层球也不会离心化时磨机转速的限度，就没有必要去计算使其他层球离心化的磨机转数了。
山此可见,磨机的临界转数，是使最外层球也不会发生离心化的最高转速(转/分)。
尽管公式(3)是在没有考虑装球率及滑动等情况下导出的，但在采用不平滑衬板及装球率占40～50%时，它仍然符合实际情形。
球磨机与钢球级配
研磨体
研磨体装载量的计算及测定
–
根据所选择的填充率按下式可以计算其装载量
研磨体
研磨体球面中心高H和弦长L
研磨体
H/D0(或L／D0)与φ对照表
研磨体
级配
研磨体级配的意义
– –
级配：将不同规格的研磨体按一定比例配合装入同 一仓中使用。 物料在粉磨过程中，较大块物料需要研磨体的冲击 力大，这就要求大尺寸的研磨体；而较小块的物料 需要研磨体的研磨作用强，尺寸小的研磨体数量可 多些，与物料接触面积大，研磨作用强。所以为了 适应各种不同粒度物料的冲击和研磨作用的要求， 增加研磨体对彻科的冲击和研磨机会．提高粉磨效 率，必须对研磨体进行合理的配合。
3.5 29.2 3.0 21.0 2.6 13.1 2.4 8.9 2.2 4.7 2.0 1.0 1.8 0
4 磨机直径/米 滞溜带所占比 36.5 例/%
研磨体 形状与材质
–
钢球
在粉磨过程中，与物料发生点接触，对物料的冲击力大，主要 用于管磨机的第一、二仓双仓开路磨的第一仓、双仓闭路磨的 第一、二仓。 钢(铁)段的外形为短圆柱形或截圆锥形，它与物料发生线接触、 研磨作用强，但冲击力一般用于尾仓。
–
–
– – –
1、 求出入磨物料平均粒度和最大粒度 平均粒径也用通过量为80％(质量比)的粒径(D80)表 示，而最大粒径用通过量为95％(质量比)的粒径 (D90)表示。用孔径30mm、19mm、13mm、 10mm和5mm的套筛作熟料。称量并计算出各粒度 级别的质量百分含量。 2、确定最大球径和要求的平均球径 最大球径(一仓) 最大球径(二仓)
研磨体
– –
球磨机钢球大小的试验研究
A磨＝C/Cth （ｔ／ｈ） 式中 B ——冲击破碎能力消耗系数，ｋｇ·ｍ２·ｓ－３·ｔ／ｈ
th
C ——磨粉碎能力消耗系数，ｋｇ·ｍ·ｓ－２·ｈ／ｔ th
它们均与抗疲劳系数 ［ c ］ 和邦德功指数一样，与
入磨矿石性质、粒度及产品细度等因素有关，由实验
率与球径立方成反比，f频２：f频１ = d１３：d２３= （d２／ d１）－３。则 球磨机冲击破碎能力与球径立方成正比
12
Mining & Processing Equipment
第 ３３卷 ２００５ 年第４期
B２：B１= (F２２f频２)：(F１２f频) = (F２２：F１２)(f频２：f频１) = (d２／ d１)３×２(d２／ d１)－３ = (d２／ d１)３ ≈１．９５。
δ ＝ F／ （πr２）
N——应力循环次数，即某块矿块被某一只钢
球（或某种球径钢球）冲击而破碎的次数
将式（１）代入δ＝ F ／ （ πr ２） 得δ＝ F１／ ３／ （ πX ２） ，代入
式（２）得 F2N ＝π６X１２［c］，除以该矿块受钢球冲击而破
碎所经历的时间 t，就是在该状况下该钢球冲击破碎
能力
B = F2f频 式中 f频——冲击破碎频率，Ｈｚ
若上述试验 １＃ 球磨机只装φ１００ ｍｍ 钢球，２＃ 球
磨机只装φ１２５ ｍｍ 钢球，均装 ４７ ｔ ，工况相同、单
位时间抛落量相等，则球磨机筒体中钢球的个数和单
位时间下落产生冲击破碎的次数，即钢球冲击破碎频
作者简介：李国保，男，１ ９ ６ ６ 年生，湖南桃江人，湖南永利化工 股份有限公司磷肥厂厂长。
第 ３３ 卷 ２００５ 年第 ４期
论文编号：１００１－３９５４（２００５）０４－００１２－０３
球磨机抛落式运动规律
球磨机抛落式运动规律泻落式，在它出现筒体转速不高的情况下，随着球磨机圆筒的旋转全部研磨介质向上偏转一定的角度，当倾斜角超过研磨介质运动时的安息角时，介质将沿斜坡滚下，在泻落式T作的球磨机中，物料在介质间受到磨剥作用，一般出现在进料粒度较小的细磨T 艺中。
透析球磨机筒内装料运动方法发展脚步，前人在对球磨机筒内装料运动进行研究时，很多情况下只是单独考虑了研磨介质的运动状况，当球磨机起动后筒体内众多大大小小的研磨介质的运动是很复杂的。
有的随筒壁上升，有的抛落，有的在球磨机研磨介质之间或对筒壁之间相对滑动，有的公转，有的自转。
为分析简化往往对研磨介质的运动作了某种认定和假设，比较常见的是将研磨介质在筒体内的运动规律简化为三种基本形式：抛落式，随着圆筒转速的提高，研磨介质随着筒体内壁作圆弧线运动上升至一定高度，然后纷纷作抛物线运动，介质落下的地方称为底脚区，介质出现强烈的冲击和翻滚，物料在圆弧线运动区受到磨剥作用，在底脚区同时受到磨剥和冲击作用，一般出现在进料粒度较大的粗磨工艺中。
离心式，如果球磨机圆筒的转速高到超过某一临界值，研磨介质就贴在衬板上不再落下多数情况下研究抛落式运动规律的比较多，对泻落式因其研究的难度较大，必研究者很少，基本匕对泻落运动状态只能进行定性的描述。
在研究球磨机抛落式运动进行简化处理时往往作了如下假设：①当球磨机在一定操作条件下运动时，研磨介质互不干扰，一层层作循环运动，运动轨迹近乎封闭曲线，②这条曲线的一段是以筒体为中心的圆弧线而另一段是抛物线;③忽略研磨介质间和球磨机研磨介质对筒壁的相对滑动，认为研必介质抛出的初速度对应于研磨介质所在同的圆周速度：④略去料、水(湿磨)对研磨介质运动的影响.而实际中介质间往往会存在不同程度的相对滑动和层与层之间的相互十扰，所以真实的球磨机运动状况要比这复杂得多。
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球磨机的工作原理及球磨机的研磨体的运动分析上
1.1 球磨机工作原理及研磨体运动的基本状态1.1.1 球磨机工作原理球磨机的主要工作部份是一个装在两个大型轴承上并水平放置的回转圆筒，筒体用隔仓板分成几个仓室，在各仓内装有一定形状和大小的研磨体。
研磨体普通为钢球、钢锻、钢棒、卵石、砾石和瓷球等。
为了防止筒体被磨损，在筒体内壁装有衬板。
图1 磨机粉磨物料的作用当球磨机回转时，研磨体在离心力和与筒体内壁的衬板面产生的磨擦力的作用下，贴附在筒体内壁的衬板面上，随筒体一起回转，并被带到一定高度（如图1所示），在重力作用下自由下落，下落时研磨体像抛射体一样，冲击底部的物料把物料击碎。
研磨体上升、下落的循环运动是周而复始的。
此外，在磨机回转的过程中，研磨体还产生滑动和滚动，于是研磨体、衬板与物料之间发生研磨作用，使物料磨细。
由于进料端不断喂入新物料，使进料与出料端物料之间存在着料面差能强制物料流动，并且研磨体下落时冲击物料产生轴向推力也迫使物料流动，此外磨内气流运动也匡助物料流动。
因此，磨机筒体虽然是水平放置，但物料却可以由进料端缓慢地流向出料端，完成粉磨作业。
1.1.2研磨体运动的基本状态球磨机筒体的回转速度和研磨体的填充率对于粉磨物料的作用影响很大。
当筒体以不同转速回转时，筒体内的研磨体可能浮现三种基本状态，如图7.2所示。
图7.2(a)，转速太慢，研磨体和物料因磨擦力被筒体带到等于动磨擦角的高度时，研磨体和物料就下滑，称为“倾泻状态”，对物料有研磨作用，但对物料的冲击作用很小，于是使粉磨效率不佳；图7.2(c)，转速太快，研磨体和物料在其惯性离心力的作用下图7.2 筒体转速对研磨体运动的影响（a）低转速；（b）适宜转速；（c）高转速贴附筒体一起回转（作圆周运动），称为“周转状态”，研磨体对物料起不到冲击和研磨作用；图7.2(b)，转速比较适宜，研磨体提升到一定高度后抛落下来，称为“抛落状态”，研磨体对物料较大的冲击和研磨作用，粉磨效率高。
实际上，研磨体的运动状态是很复杂的，有贴附在磨机筒壁向上的运动；有沿筒壁和研磨体层向下的滑动；有类似抛射体的抛落运动；有绕自身轴线的自转运动以及滚动等。
球磨机钢球运动状态分析
球磨机钢球运动状态分析
球磨机在粉磨的过程中，其本身有许多可变参数，如球磨机转速、规格、介质填充率等，从而磨机内物质的运动状态则会变得复杂多样。
钢球在作抛落运动时，在钢球上升过程中有较大的阻力，对物料的磨碎作用主要来源于钢球与衬板及钢球与钢球之间的研磨作用，通过此作用，物料被研磨粉碎。
钢球上升至一定程度时就会做抛落运动，此过程中，物料不受任何作用力影响，所以也不会被研磨或者破碎。
可当钢球坠落至球荷底脚，会与底面的衬板剧烈撞击，并产生很大的冲击力，利用这个冲击力破碎物料，所以钢球作抛落运动时研磨破碎作用以冲击破碎为主，研磨为辅。
此方式产生的冲击力较大，破碎效率也比较高。
钢球作泻落式运动时，物料会随着球荷筒壁向上及向下滚动过程中所产生的相互摩擦的作用力而粉碎，矿粒通过球荷之间的摩擦力被研磨的更加粉碎。
钢球在由上至下的滚落中，也会产生很大的冲击作用，矿粒通过巨大的冲击作用被粉碎。
钢球在泻落式的运动中对物料的研磨破碎作用是以研磨为主，冲击为辅的。
在球磨机中，不论钢球做泻落还是抛落运动，或者是两者的混合运动，运动着的球磨机钢球的能态是变化的。
处于筒体底部的钢球相对筒底的位能是零，钢球动能为零，随着钢球被衬板条提起，位能逐渐增大，钢球具有动能。
当运动至最高点时，球磨机钢球同时具有位能和动能。
当钢球从最高点抛落至于矿料接触时，能量全部转化为钢球打击矿料的动能，最后转化为矿料的变形、裂纹和扩展能以及破碎物料的表面能，钢球到达筒体底部，一个运动周期结束。
为使磨矿介质从外界获得尽可能高的能量，并且尽可能多的合理的被磨机吸收，使钢球获得更多的动能，以粉碎物料，就必须使球磨机的研磨介质群尽可能多的做抛落运动。
球磨机工作原理及球磨机研磨体运动分析
球磨机工作原理及球磨机研磨体运动分析所以减小入磨粒度能提高磨机生产能力，降低电耗。
加料均匀，而且加料量合适，则磨机生产能力提高。
加料量太少或过多，都要降低生产能力。
因为加料量太少时，研磨体降落时，并不全部冲击在物料上，而是有一部分研磨体互相撞击，作了无用功；反之，加料量过多，研磨体的冲击能量不能充分发挥，磨机生产能力也不能提高。
(2) 球磨机结构方面磨机的长径比与生产方式有关，对于开流生产系统的磨机，为保证产品的细度一次合格，长径比L/D=3.5~6；对于圈流生产系统的磨机，为加大物料的流通量，应选取L/D=2.5~3.5。
磨机内的仓数一般为2~4仓，长径比愈大，仓数愈多。
可根据生产实践经验来确定，一般干法圈流生产磨机：双仓磨时，第一仓仓长为全长的30%~40%，第二仓仓长为全长的60%~70%；三仓磨时，第一仓仓长为全长的25%~30%，第二仓仓长为全长的25%~30%,第三仓仓长为全长的45%~50%。
对于开流生产的磨机，细磨仓应适当增加长度。
生产高强度等级的水泥时也是这样，这是为了增加物料的细磨时间，使产品达到细度要求。
磨机内隔仓板的形式，隔仓板的篦孔数量和大小要恰当，如果篦孔数量不多，尺寸太小，隔仓板的有效通风面积就小，这样增加了抽风阻力，而且物料流速也受到一定影响。
如果篦孔数量太多或太大，则隔仓板的强度不够，且易使较粗颗粒进入下一仓，负荷加重，各仓工作便失去平衡。
磨机衬板的表面形状对磨机产量的影响也不小，因它可以改变研磨体的提升高度，即影响研磨体对物料的冲击和研磨效率。
所以，应该正确选择衬板的形式。
物料在磨内粉磨效率也与研磨体的种类、规格、级配和填充率有关。
因此，必须正确合理地选择。
(3) 采用新技术方面粉磨系统自动控制。
根据磨机噪声，采用电耳法控制电磁振动给料机或皮带喂料机，控制磨内物料适量和自动调节物料均匀加入，使磨内物料量始终保持最佳状态，这样可提高磨机产量。
加强磨内通风。
磨内具有一定的风速，使粉磨过程中产生的微粉能及时被气流带走，减少了微粉的缓冲作用，可以提高粉磨效率，产品质量不会受到影响。
球磨机工作参数
球磨机工作参数第一篇：球磨机工作参数第2章球磨机工作参数和效率的关系为了全面了解球磨系统的特性，深入认识该系统，从众多错综复杂的影响因素中，找出影响球磨机内部参数的主要因素，抛弃次要因素，本章将对影响球磨机内部参数的因素进行分析，把握它们之间的相互制约关系，为过程模型的建立和球磨机内部参数的优化奠定基础。
2.1球磨机简介通过物理方法进行的任何矿石浓缩处理均需要将矿石从脉石中分离出来，需将矿石粉碎成要求的尺寸。
到目前为止，球磨机以其投资成本低、安装快速容易、使用维护费用低、磨出的物料形状好和生产能力上的优势，成为工业上应用最广泛的产品，用于将易碎、有粘性、腐蚀性较小的矿石块料磨碎成要求的尺寸，产生的细屑最少且适应处理特性在很广范围内变化的矿石。
其磨矿的基本原理是当球磨机以一定的速度作旋转运动时，装入筒内的钢球在筒体衬板和钢球之间的摩擦力、钢球的重力以及由于磨机旋转而产生的离心力的作用下，将随着筒体作旋转的上升运动，被提升到一定的高度，然后当钢球的重力(实际上是重力的径向分力)大于或等于离心力时，就开始脱离筒体内壁，按照某一轨迹降落。
这种周而复始的运动就产生了连续的冲击和研磨作用，从而粉碎物料，其中钢球主要的运动状态如图1所示。
（a）抛落式（b）泻落式图1钢球的两种主要运动形态球磨过程是复杂而又多变的生产系统，它具有下列特点：(1)影响因素多，是选矿工业中可变参数最多的作业之一，而且各因素之间相互影响、相互制约，检测也比较困难。
这些影响参数大致可以分为三大类:（1）物料性质方面有:矿石的可磨度、给料粒度、产品细度等;（2）磨机结构方面有;磨机的结构、尺寸、衬板形状等;（3）磨机操作方面有:介质添加制度(如介质尺寸配比以及材质、介质充填率)、磨机转速、磨机给料量、磨矿浓度等。
上述因素中，第一类是磨矿过程的自变量，也是磨矿过程中干扰的主要来源。
第二类被确定以后一般就不改变了(理想情况下)。
第三类则是球磨机的工作条件，如果设备维修以及添加钢球的材质都是正常的，则其可改变的条件就是磨机转速、加球制度(介质配比和数量)、磨机给料量和磨矿浓度。
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本栏目编辑 翟小华破・磨80Solutions，2010：112-114.[4] Jayasundara C T，Yang R Y，Yu A B. Discrete ParticleSimulation of Particle Flow in the IsaMill Process [J]. American Chemical Society，2006(45)：6349-6359.[5] Jayasundara C T，Yang R Y，YuA B，et al. Effects of discrotation speed and media loading on particle flow and grinding performance in a horizontal stirred mill [J]. International Journal ofMineral Processing，2010(96)： 27-35.[6] Jayasundara C T，Yang R Y，Yu A B，et al. Discrete particlesimulation of particle flow in IsaMill-Effect of grinding medium properties [J]. Chemical Engineering Journal，2008(135)： 103-112. □(收稿日期：2012-09-14)(修订日期：2012-10-23)球磨机钢球抛落点切向分速度分析刘基博衡阳有色冶金机械总厂 湖南衡阳 421002摘要：通过对 φ3.6 m×6.0 m 球磨机各球层动球抛落点的切向分速度及其对定球的相对速度和动能进行具体计算，证明了切向分速度产生的动能一部分反馈给了筒体，而其相对速度产生的动能则是对矿物进行研磨的主要动力源。
本文的分析结果可为今后进一步研究提供理论参考。
关键词：球磨机；钢球；抛落点；切向分速度；切向相对速度中图分类号：TD451 文献标志码：B 文章编号：1001-3954(2013)02-0080-04Study on tangential velocity at dropping points of steel balls in ball millLIU JiboHengyang Nonferrous Metallurgy Machinery General Factory, Hengyang 421002, Hunan, ChinaAbstract ：The tangential velocity at dropping points of moving steel balls in each layer in a φ3.6 m ×6.0 m ball mill as well as the kinetic energy and the relative velocity of stationary steel balls were calculated. The calculation results demonstrated that part of kinetic energy resulting from tangential velocity transferred to the mill drum, and the kinetic energy resulting from relative velocity was the power source for mineral grinding. The analysis results offered theoretical references for further study.Keywords ：ball mill; steel ball; dropping point; tangential velocity; tangential relative velocity球磨机中的钢球是分层旋转和抛落的。
如果将做抛物线运动的钢球叫做动球，把随筒壁旋转的钢球称为定球，则动球抛落后与定球接触的瞬时速度 v p 可以分解为径向分速度 v n 和切向分速度 v t 。
这时定球也不是静止不动的，而是以线速度 v 沿圆周方向运动。
在动球与定球接触的瞬间，有可能发生 3 种不同的情况：① 动球追逐定球；② 动球被定球追尾；③ 动球与定球对撞。
无论那一种情况，两者都会产生相对速度，而这种相对速度产生的动能正是研磨矿物的动力源。
下面用数学方法来说明这 3 种钢球的运动情况。
1 不同球层动球与定球关系的数学表述1.1 球层的划分及计算如图 1 所示，筒体内钢球外球层半径 R 1、内球层半径 R n 和钢球直径 d 确定以后，可将钢球分为若干层，钢球的球层数， (1)其中(m)， (2)式中：D 为筒体公称直径，m；δ1 为筒体衬板平均厚度，m；d 为钢球直径，m。
作者简介：刘基博，男，1933 年生，教授级高级工程师，主要从事球磨机系列产品的研发工作。
GFGFGFGFGFGGFGFGFGFGFGGFGFGFGFGGFGFGGFGFGFGFGFG本栏目编辑 翟小华破・磨81内球层半径R n = R 1 - (n 3 - 1) d (m)。
(3)令任意球层的层数为 i ，则任意球层半径R i = R 1 - (i - 1) d 。
(4)若球磨机的转速率为 ψ，则球磨机任意球层的脱离角。
(5)1.2 球层的两个转折点如果已知球磨机的筒体转速，则任意球层定球的线速度(r /s)， (6)式中：n 为筒体转速，r /min。
动球在落点处的切向分速度可以通过 v i 来计算，其式为v t i = v i (1 + 4 sin 2αi cos 2 αi )。
(7)动球在落点处的切向相对速度v tx i = v i - v t i 。
(8) 根据 v t i 和 v i 相互关系的不同，全部球层有 2 个转折点。
(1) 动球切向分速度与定球线速度同步点 式 (8)中令 v tx = 0，即 v t i = v i ，则有 1 + 4 sin 2αi cos 2αi = 1，解方程得 αi = 45°。
这说明当 αi = 45°时，动球在落点处与定球同步运行。
(2) 动球只径向垂直冲击定球点 式 (7) 中，令 v t i = 0，则有 1 + 4 sin 2αi cos 2αi = 0，解方程得 αi = 55°44′。
这说明当 αi = 55°44′时，动球在落点处垂直打击在定球上，动球在切向方向被定球追击迫使它加速，是定球把动能传递给了动球。
1.3 不同球层动球与定球的关系根据上述不同球层的两个转折点，可以将球层划分为 3 个不同的区域。
(1) 动球切向分速度做功区域 这个区域在 αi <45°范围内。
其特点是 v t i > v i ，动球在切向追击定球，并在研磨矿物过程中做功，直至动球自身减速至 v t i = v i 时为止，此时 v i - v t i = 0，两者同步前进。
在这个阶段，动球把切向分速度产生的动能反馈给了筒体。
(2) 定球追击动球做功区域 这个区域在 45°< αi < 55°44′范围内。
其特点是 v t i < v i ，但两者方向相同。
因为动球切向分速度低于定球，所以动球被定球追击而逐步加速。
在这个过程中定球追加动能以研磨矿物，动球被加速到与定球等速后同步运行。
在这个阶段，动球切向分速度产生的动能也反馈给了筒体。
(3) 动球与定球迎面对撞区 这个区域在 αi > 55°44′范围内。
其特点是动球的切向分速度与定球的线速度方向相反，迎面对撞，它们的相对速度等于两者速度的叠加。
这时定球向动球追加动能，迫使动球减速逐步至零，然后再对动球加速，直至两者的速度相等达到同步运行为止。
在这个过程中，定球与动球相互摩擦以研磨矿物。
在这个阶段，动球切向分速度产生的动能构成阻力，需要定球追加动能以克服这种阻力。
1.4 动球与定球切向相对运动的动能计算(1) 钢球质量计算 单个钢球质量(kg・s 2/m)， (9)式中：g 为重力加速度，g = 9.81 m /s 2；ρ 为钢球材料密度，t /m 3。
(2) 任意球层单个钢球在落点处切向分速度产生的动能 。
(10)(3) 任意球层单个钢球在落点处切向相对运动的动能 。
(11)2 计算示例有一台 φ3.6 m×6.0 m 球磨机，筒体的公称直径 D = 3.6 m，筒体有效长度 L = 6 m，筒体衬板平均厚度 δ1= 0.09 m，筒体转速 n = 20 r /min，钢球直径 d = 0.06 m，钢球材料密度 ρ = 7.8 t /m 3。
计算各球层动球图 1 不同球层钢球抛落点速度分解Fig. 1 Resolution of velocity at dropping points of steelballs in each layer本栏目编辑翟小华破・磨82的切向分速度、切向相对速度以及它们的动能。
2.1 参数计算(1) 外球层半径 将以上基本参数代入式 (2) 计算得 R1 = 1.68 m。
(2) 内球层半径 参考有关文献及试算，确定内球层半径 R n = 0.78 m。
(3) 球层数 将以上基本参数代入式 (1) 计算得 n3= 1.6 层。
(4) 临界转速 r/min。
(5) 实际转速率 。
(6) 单个钢球质量 将以上基本参数代入式 (9) 计算得 m = 0.089 9 (kg・s2/m)。
2.2 各球层定球线速度、动球切向分速度、切向相对速度及其动能计算(1) 任意球层半径 将以上基本参数代入式 (4) 计算得 R i = 1.68 - 0.06 i。
(2) 任意球层动球始点的脱离角 。
(3) 任意球层定球的线速度 将以上基本参数代入式 (6) 计算得 v i = 2.09 R i。
(4) 任意球层动球落点的切向分速度 将以上基本参数代入式 (7) 计算得 v t i= v i (1 + 4 sin2αi cos2αi)。
(5) 任意球层动球落点的切向相对速度 v tx i= v i - v t i。
(6) 任意球层动球切向分速度产生的动能 。
(7) 任意球层动球切向相对运动的动能 。
(8) 动球切向分速度产生的动能分区域汇总 分别把 v t i＞0 和 v t i＜0 范围的 E t i 累加。
(9) 动球切向相对运动的动能汇总 把各球层的Etx i累加。