非完整力学系统相对运动的稳定性

第8卷第2期2010年6月1672-6553/2010/08⑵/105-4动力学与控制学报J O U R N A LO FD Y N A M I C S A N DC O N T R O LV o l .8N o .2J u n .20102009-09-07收到第1稿,2009-11-28收到修改稿.＊国家自然科学基金资助项目(10972151)、江苏省高校自然科学基金资助项目(08K J B 130002)非完整力学系统相对运动的稳定性＊张毅(苏州科技学院土木工程学院,苏州　215011)摘要　研究了非完整力学系统相对运动的稳定性.首先,建立了系统的受扰运动微分方程,进而推导了系统的能量变化方程;其次,基于能量变化方程,给出了非完整力学系统相对运动的稳定性的一个判据;最后,举例说明结果的应用.关键词　非完整系统,　相对运动,　稳定性,　能量变化方程引言非完整系统动力学的稳定性问题是分析力学中的一个重要而又十分复杂的课题.自从W h i t t a k -e r [1]于1904年首先提出并研究非完整系统小振动和平衡状态稳定性以来,非完整系统的稳定性问题一直受到学术界的关注,并已得到不少有意义的结果[2-10].本文进一步研究一般非完整力学系统相对运动的稳定性,建立了系统的受扰运动微分方程,得到了能量变化方程,并由此给出了非完整力学系统相对运动的稳定性的一个判据.1　非完整系统相对运动的受扰运动微分方程研究一质点系,它由载体和N 个质点(被载体)组成.设载体的运动由基点O 的速度v o 和它的角速度ω来确定,它们是时间的已知函数.被载质点的位形由n 个广义坐标q s (s =1,…,n )来确定,其运动受有g 个双面理想的Четаев型非完整约束f β(t ,q ,q ﹒)=0　(β=1,…,g )(1)系统的运动微分方程可表为[11]d d t T r q ﹒s - T r q s = U q s +Q s - q s (V o +V ω)+Q ω﹒s +　Γs +λβf β q ﹒s　(s =1,…,n )(2)其中T r =T r (t ,q ,q ﹒)为系统的相对运动动能,U=U (t ,q )为力函数,Q s =Q s (t ,q ,q ﹒)为非势广义力,V o为均匀力场势能,有V o=M (v ＊o +ω×v o )·r ′c(3)式中M 为质点系的总质量,r ′c 为质心在动系中的矢径,v ＊o 为v o 对时间t 的相对导数.V ω为离心力势能,有V ω=-12ω·θo·ω(4)式中θo 为系统在点O 的惯量张量.Q ω﹒s 为广义回转惯性力,有Q ω﹒s =-(ω﹒×m i r ′i)· r ′iq s(5)式中m i 为第i 个质点的质量,r ′i 为它的相对矢径.Γs 为广义陀螺力,有Γs =γs k q ﹒k ,　γs k =2ω·( r ′i q s × r ′iq k)(6)而λβ为约束乘子.假设系统非奇异,即d e t ( 2T r / q ﹒s q ﹒k )≠0,根据文献[12]给出的方法,在运动微分方程积分之前,可由方程(1)和(2)求出乘子λβ作为t ,q ,q ﹒的函数.于是方程(2)可表为d d t T r q ﹒s - T r q s = U q s +Q s - q s (V o +V ω)+Q ω﹒s +　Γs +Λs　(s =1,…,n )(7)其中Λs =Λs (t ,q ,q ﹒)=λβf βq ﹒s(8)方程(7)称为与非完整相对运动动力学系统(1)(2)相应的完整相对运动动力学系统的运动微分方程.非完整相对运动动力学系统(1)(2)的解的稳定性问题归结为相应完整相对运动动力学系统动　力　学　与　控　制　学　报2010年第8卷(7)的满足约束方程(1)的解的稳定性问题.假设方程(7)有满足约束方程(2)的解q s =q 0s(t )　(s =1,…,n )(9)取其为无扰运动.令q s =q 0s (t )+ξs　(s =1,…,n )(10)将相对运动的动能T r ,非势广义力Q s ,广义陀螺力Γs ,广义约束反力Λs 以及力函数U ,均匀力场势能V o,离心力势能V ω和广义回转惯性力Q ω﹒s表为t ,ξ,ξ·的函数,并分别记作T ＊r ,Q ＊s ,Γ＊s ,Λ＊s ,U ＊,V o＊,V ω＊,Q ω﹒s ,有T ＊r (t ,ξ,ξ·)=T r (t ,q 0+ξ,q ﹒0+ξ·),Q ＊s(t ,ξ,ξ·)=Q s (t ,q 0+ξ,q ﹒0+ξ·),Γ＊s (t ,ξ,ξ·)=Γs (t ,q 0+ξ,q ﹒0+ξ·),Λ＊s(t ,ξ,ξ·)=Λs(t ,q 0+ξ,q ﹒0+ξ·),U ＊(t ,ξ)=U (t ,q 0+ξ),　V o ＊=V o(t ,q 0+ξ),V ω＊(t ,ξ)=V ω(t ,q 0+ξ),Q ω﹒＊s (t ,ξ)=Q ω﹒s (t ,q 0+ξ)(11)则方程(7)成为dd t T ＊r ξ·s- T ＊r ξs = U ＊ξs +Q ＊s - ξs(V o ＊+V ω＊)+　Q ω﹒＊s +Γ＊s +Λ＊s (s =1,…,n )(12)不失一般性,假设Q ＊s+Q ω﹒＊s+Λ＊s= W ＊ξ·s+R ＊s (s =1,…,n )(13)其中W ＊为t ,ξ,ξ·的函数,可展开为收敛级数W ＊=∑∞m=1W ＊(m )(14)这里W＊(m )为ξ·的m 次齐次型,系数可为t ,ξ的函数,而R ＊s 满足R ＊s ξ·s =0(15)于是,方程(12)可表为形式d d t T ＊r ξ·s - T ＊r ξs = U ＊ ξs - ξs(V o ＊+V ω＊)+ W＊ξ·s+　R ＊s +Γ＊s (s =1,…,n )(16)方程(16)或(12)是所论非完整系统相对运动的受扰运动微分方程.2　非完整系统相对运动的能量变化方程将方程(16)两端乘以ξ·s 并对s求和,得d d t ( T ＊r ξ·s ξ·s )-( T ＊r ξ·sξ¨s + T ＊r ξs ξ·s )= U ＊ξsξ·s - ξs(V o ＊+V ω＊)+ W ＊(1)ξ·sξ·s +m W ＊(m )(17)将系统的相对运动动能T r 分为三部分:广义速度的齐二次式T r 2,广义速度的齐一次式T r 1,以及不依赖于广义速度的项T r 0.则方程(17)可表为2T ·＊r 2+T ·＊r 1-(T ·＊r 2+T ·＊r 1+T ·＊r 0)= U ＊ξsξ·s - ξs (V o ＊+V ω＊)ξ·s + W ＊(1)ξ·sξ·s +m W ＊(m )- T ＊r 2 t - T ＊r 1 t - T ＊r 0 t 即T ·＊r 2= W ＊(1)ξ·sξ·s - 2T ＊r 1 t ξ·s ξ·s + U ＊ξs ξ·s - ξs(V o ＊+　V ω＊)ξ·s + T ＊r 0 ξsξ·s+m W ＊(m )- T ＊r 2 t (18)方程(18)可称为非完整系统相对运动的能量变化方程.3　非完整系统相对运动的稳定性判据由方程(18),利用Ляпунов直接法,可得到以下命题.命题　对于非完整相对运动动力学系统(1)(2),如果满足下列条件:①存在函数P ＊r (t ,ξ)使得P ＊r (t ,0)=0,又存在函数P r (ξ)在ξs =0(s =1,…,n )有极小,且P r(0)=0,使得在 ξs <ε下有P ＊r (t ,ξ)≥P r(ξ);②函数P ＊r (t ,ξ)满足关系- P ＊r ξs = W ＊(1) ξ·s - 2T ＊r 1 t ξ·s+ U ＊ξs - ξs(V o ＊+ V ω＊)+ T ＊r 0ξs　(s =1,…,n )(19)③T ＊r 2在t ≥0及所有ξs 充分小时为一致正定二次型;④函数m W＊(m )- T ＊r 2 t + P ＊rt(20)保持不变号,在充分小的ξs ,ξ·s (s =1,…,n )以及t ≥0下保持非正号.则无扰运动ξs =ξ·s =0(s =1,106第2期张毅:非完整力学系统相对运动的稳定性…,n)是稳定的.证明　取V函数为V=T＊r2+P＊r(21)由条件1和条件3知,它是正定的.求V沿方程(16)对时间的导数,根据能量变化方程(18)和关系式(19),有V·＊=T·＊r2+P·＊r=m W＊(m)-T＊r2t+P＊rt(22)由条件4知:V·≤0(23)于是,由Ляпунов稳定性定理知,无扰运动ξs =ξ·s=0(s=1,…,n)是稳定的.证毕.显然,上述命题具有普遍意义:它既适合于非完整力学系统,也适合于完整系统;不仅可以判断相对运动的稳定性,也可以判断绝对运动的稳定性.因此,文献[10]的结果可作为本文之推论.4　算例例　设载体以匀角速度ω绕固定轴Οz转动,被载系统为一质量为m的质点.动坐标系O x′y′z′的原点O与惯性系Οx y z的原点Ο相重合,轴O z′与Οz重合.取质点在动系中的坐标为广义坐标,即q1=x′,q2=y′,q3=z′.设质点的运动受有一个非完整约束q﹒2=q3q﹒1(24)力函数为U=-12k(q21+q22+q23)(25)其中,设k>mω2.非势广义力为Q1=Q2=Q3=0(26)试研究系统相对运动的稳定性.系统的相对运动动能为T r=12m(q﹒21+q﹒22+q﹒23)(27)由题意,根据式(3)-(6)计算可得V o=0,Vω=-12mω2(q21+q22),Qω﹒s=0,Γ1=2mωq﹒2,Γ2=-2mωq﹒1,Γ3=0(28)方程(2)给出m q¨1=-k q1+mω2q1+2mωq﹒2-λq3,m q¨2=-k q2+mω2q2-2mωq﹒1+λ,m q¨3=-k q3(29)由约束(24)和方程(29)解得λ=11+q23[m q﹒1q﹒3+(k-mω2)(q2-q1q3)+　2mω(q﹒1+q﹒2q3)](30)方程(7)给出为m q¨1=11+q3[-m q﹒1q﹒3q3-(k-mω2)(q1+　q2q3)+2mω(q﹒2-q﹒1q3)],m q¨2=11+q23[m q﹒1q﹒3-(k-mω2)(q1q3+　q2q23)+2mω(q﹒2q3-q﹒1q23)],m q¨3=-k q3.(31)方程(31)有满足约束(24)的一个解q01=q02=0,　q03=s i n k/m t(32)于是T＊r=12m[ξ·21+ξ·22+(ξ·3+k/m c o s k/m t)2],T＊r2=12m(ξ·21+ξ·22+ξ·23),T＊r1=m kξ·3c o s k/m t,T＊r0=12k c o s2k/m t,Q＊1+Qω﹒1+Λ＊1=-ξ3+s i n k/m t1+(ξ3+s i n k/m t)2{mξ·1(ξ·3+　k/m c o s k/m t)+(k-mω2)[ξ2-ξ1(ξ3+　s i n k/m t)]+2mω[ξ·1+ξ·2(ξ3+s i n k/m t)]} Q＊2+Qω﹒2+Λ＊2=11+(ξ3+s i n k/m t)2{mξ·1(ξ·3+　k/m c o s k/m t)+(k-mω2)[ξ2-ξ1(ξ3+　s i n k/m t)]+2mω[ξ·1+ξ·2(ξ3+s i n k/m t)]} Q＊3+Qω﹒3+Λ＊3=0(33)注意到式(24),则有W＊ξ·sξ·s=(Q＊s+Qω﹒s+Λ＊s)ξ·s=0(34)于是得W＊(1)=0,　W＊(m)=0　(m≥2)(35)按式(19)构造函数P＊r,有-P＊rξ1=-kξ1+mω2ξ1,-P＊rξ2=-kξ2+mω2ξ2,-P＊rξ3=k s i n k/m t-k(ξ3+k/m t)(36)107动　力　学　与　控　制　学　报2010年第8卷可取P ＊r =12(k -m ω2)ξ21+12(k -m ω2)ξ22+12k ξ23(37)函数(20)给出m W＊(m )- T ＊r 2 t + P ＊rt=0(38)显然,命题的四个条件全部满足.因此所论非完整系统相对运动的无扰运动(32)是稳定的.参　考　文　献1　Wh i t t a k e rET .A t r e a t i s eo nt h ea n a l y t i c a l d y n a m i c so fp a r t i c l e s a n dr i g i db o d i e s .E n g l a n d :C a m b r i d g eU n i v e r s i t y P r e s s ,19042　M i k h a i l o v GK ,P a r t o nVZ .S t a b i l i t y a n d a n a l y t i c a l m e c h a n -i c s .N e wY o r k :H e m i s h e r e P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n ,19903　梅凤翔,史荣昌,张永发,朱海平.约束力学系统的运动稳定性.北京:北京理工大学出版社,1997(M e i FX ,S h i RC ,Z h a n g YF ,Z h u H P .S t a b i l i t y o f m o t i o no f c o n -s t r a i n e dm e c h a n i c a l s y s t e m s .B e i j i n g :B e i j i n gI n s t i t u t eo f T e c h n o l o g y P r e s s ,1997(i n C h i n e s e ))4　朱海平,梅凤翔.非完整系统稳定性的若干进展.力学进展,1998,28(1):17～29(Z h uH P ,M e i FX .D e v e l o p m e n t s i nt h e s t u d i e s o f s t a b i l i t y o f n o n h o l o n o m i c s y s t e m s .A d v a n c e s i nM e c h a n i c s ,1998,28(1):17～29(i n C h i n e s e ))5　M e i FX .O nt h es t a b i l i t yo f e q u i l i b r i ao f n o n l i n e a r n o n -h o l o n o m i c s y s t e m s .C h i n e s eS c i e n c eB u l l e t i n ,1992,37(16):1397～14016　Z h uH P ,M e i FX .A r e l a t i o nb e t w e e nt h es t a b i l i t y o f an o n h o l o n o m i c s y s t e m w i t hr e s p e c t t op a r t i a l v a r i a b l e sa n d a l l v a r i a b l e s .C h i n e s eS c i e n c eB u l l e t i n ,1994,39(13):1081～10857　Z h uHP ,M e i FX .O nt h e s t a b i l i t y o f n o n h o l o n o m i c m e -c h a n i c a l s y s t e m s w i t hr e s p e c t t o p a r t i a l v a r i a b l e s .A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dM e c h a n i c s ,1995,16(3):237～2458　L u o SK ,C h e n XW,F u J L .S t a b i l i t y t h e o r e m s o f t h e e -q u i l i b r i u m s t a t em a n i f o l d o fn o n h o l o n o m i cs y s t e m si n a n o n i n e r t i a lf r a m e .M e c h a n i c sR e s e a r c h C o m m u n i c a t i o n s ,2001,28(4):463～4699　K a l e n o v a VI ,K a r a p e t j a nAV ,M o r o z o v V M ,S a l m i n aMA .N o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a l s y s t e m s a n ds t a b i l i z a t i o no f m o t i o n .J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s S c i e n c e s ,2007,146(3):5877～590510　M e i FX ,X i eJF ,G a n gTQ .S t a b i l i t yo f m o t i o no f an o n h o l o n o m i cs y s t e m s .C h i n e s e P h y s i c s L e t t e r s ,2007,24(5):1133～113511　梅凤翔,刘端,罗勇.高等分析力学.北京:北京理工大学出版社,1991(M e i F e n g x i a n g ,L i uD u a n ,L u oY o n g .A d v a n c e dA n a l y t i c a l M e c h a n i c s .B e i j i n g :B e i j i n gI n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y P r e s s ,1991(i nC h i n e s e ))12　梅凤翔.非完整系统力学基础.北京:北京工业学院出版社,1985(M e i FX .F o u n d a t i o n s o f M e c h a n i c s o f N o n -h o l o n o m i c S y s t e m s .B e i j i n g :B e i j i n gI n s t i t u t eo f T e c h n o l o -g y P r e s s ,1985.(i n C h i n e s e ))R e c e i v e d 7S e p t e m b e r 2009,r e v i s e d 28N o v e m b e r 2009.＊P r o j e c t s u p p o r t e db y t h e N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o no f C h i n a (10972151)a n dt h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o no f H i g h e r E d u c a t i o nI n s t i t u -t i o no f J i a n g s u P r o v i n c e ,C h i n a (08K J B 130002)S T A B I L I T YO FR E L A T I V EMO T I O NF O RME C H A N I C A LS Y S T E MSWI T H N O N H O L O N O M I CC O N S T R A I N T S＊Z h a n g Y i(C o l l e g e o f C i v i l E n g i n e e r i n g ,S u z h o u U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,S u z h o u 215011,C h i n a )A b s t r a c t T h es t a b i l i t yo f r e l a t i v em o t i o nf o r m e c h a n i c a l s y s t e m s w i t hn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t s w a s s t u d i e d .F i r s t ,t h e d i s t u r b e d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e s y s t e m s w e r e e s t a b l i s h e d ,a n d t h e e q u a t i o n o f v a r i a t i o n o f e n e r g y f o r t h e s y s t e m s w a s d e d u c e d .S e c o n d ,a c r i t e r i o n o f t h e s t a b i l i t y o f r e l a t i v e m o t i o n f o r t h e n o n h o l o n o m i c m e c h a n i c a l s y s t e m s w a s o b t a i n e d b y u s i n g t h e e q u a t i o n o f v a r i a t i o n o f e n e r g y .A n d f i n a l l y ,a n e x a m p l e w a s g i v e n t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f t h e r e s u l t s .K e y w o r d s n o n h o l o n o m i c s y s t e m ,　r e l a t i v e m o t i o n ,　s t a b i l i t y ,　t h e e q u a t i o n o f v a r i a t i o n o f e n e r g y108。