线代课件 第1章 消元法
线性代数课件 第一章
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1.1线性方程组的消元法
第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换本章说明与要求:本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I )，需要研究以下两个问题：(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？。
本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.。
本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.§1.1 线性方程组的消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n 元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．例1．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x(1)解：交换第一、三两个方程的位置： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--2531252321321321x x x x x x x x x第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：⎪⎩⎪⎨-=+-=+1385433232321x x x x第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x(2) 第三个方程乘以(–71)，求得x 3=–1，再代入第二个方程，求出x 2=–1，最后求出x 1=2．这样就得到了方程组(1)的解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=6，得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x(3)用类似的方法，可以把方程组化为 ⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x (4)即 ⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=5，作出新的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212532321321321x x x x x x x x x(5)用类似的方法，可得到⎪⎩⎪⎨-=-=+104332321x x (6)显然方程组无解． 上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 交换方程组中某两个方程的位置；2. 用一个非零数乘某一个方程；3. 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k 后加到第一个方程上，这样，得到新方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++++mn mn m m n n n n n b x a x a x a b x a x a x a kb b x ka a x ka a x ka a 22112222212121212221212111)()()( (I ' ) 设x i =c i (i =1，2，…，n )是(I)的任意一个解．因(I)与(I ' )的后m –1个方程是一样的，所以，x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I ' )的后m –1个方程 ．又x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I)的前两个方程，所以有⎩⎨⎧=+++=+++22222211211122121111b x c a x c a x c a b x c a x c a x c a n n n n n n 把第二式的两边乘以k ，再与第一式相加，即为21212221212111)()()(kb b c ka a c ka a c ka a n n n +=++++++这说明x i =c i (i =1，2，…，n )又满足(I')的第一个方程，故x i =c i (i =1，2，…，n )是(I')的解．类似地可以证明(I ')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I ')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x 1的系数．如果x 1的系数a 11， a 21， … ， a m 1全为零，那么方程组(I)对x 1没有任何限制，x 1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x 2， …， x n 的方程组来解．如果x 1的系数不全为零，不妨设a 11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x 1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的)(111a a i -倍加到第i 个(i =2，3，…， m )方程，于是方程组(I)变成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 222222*********(Ⅱ) 其中 n j m i a a a a a j i ij ij ,,2 ,,,2 ,'1111⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (Ⅲ)其中c ii ≠0， i =1，2，…，r ．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r +1个方程0 = d r +1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为d r+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：1) 当r =n 时，阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 (Ⅳ)其中c ii ≠0， i =1，2，…， n ．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如 前面讨论过的方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x2) 当 r <n 时，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++++=++++++++++++211221122222111111212111d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r其中 c ii ≠0， i =1，2，…， r ， 写成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=++---=+++++++++n rn r rr r rr n n r r r r n r r n r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 112211222222111111212111(Ⅴ)当x r+1，…，x n 任意取定一组值，就唯一确定出x 1，…，x r 值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x 1，x 2…，x r 的值由x r+1，…，x n 表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因x r+1，…，x n 可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x 将x 1，x 2用x 3表示出来即有⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 这就是方程组(3)的一般解，而x 3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b 1= b 2=…= b m = 0时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a(Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x 1= x 2=…= x n =0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n ，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r ≤m<n ，所以它有无穷多个解，因而有非零解．。
线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件
0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元 法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则 有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节 解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1
第1讲-消元法解线性方程组
一般线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
的矩阵形式
的矩阵形式
Amn xn1 0m1 A [aij ]mn , x [ x1 , x2 , , xn ]T
增广矩阵:
a11 a 21 A, 0 a m1
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
0 0 0
推论： 在Ann X 0中, 只 有 零 解 A 0, 有 非 零 解 A＝0
推论： 在Amn X 0中,当m n时，有非零解。
例4 求解齐次线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x4 0 2 x1 x 2 2 x 3 2 x4 0 x x 4x 3x 0 2 3 4 1
2）若有解，进一步把行阶梯形矩阵化为行
最简形矩阵。
3）还原方程组便可写出其通解。
例1 求解非齐次线性方程组
x1 2 x2 3 x3 x4 1, 3 x1 x2 5 x3 3 x4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4
② ① 解 B ③ 2
① ② ③ ④
B
① ② ③ 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9 ④
x1 x2 2 x3 x4 4 2 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 3 x2 x3 x4 2
2
当 1时,
1 1 1 1 ~ A ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
【VIP专享】1--消元法
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...
《课件：线性代数第一章》课件
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
01 第一节 消 元 法
第三章 线性方程组在第一章里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形. 求解线性方程组是线性代数最主要的任务，此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用，因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论. 本章主要讨论一般线性方程组的解法，线性方程组解的存在性和线性方程组解的结构等内容.第一节 消 元 法分布图示★ 引例★ 线性方程组★ 线性方程组解的判定定理★ 例1 ★ 例2★ n 元线性方程组的求解★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9-1内容要点引例 用消元法求解下列线性方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x通常把过程①-④称为消元过程，矩阵④就是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯方程组.从上述解题过程可以看出,用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边; (3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去.以上这三种变换称为线性方程组的初等变换. 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得原方程组的解. 如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程.将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行行阶梯形方程组也不是唯一的. 特别地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组, 从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解.通常把过程⑤-⑧称为回代过程.从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换.对一般线性方程组(1)是否有同样的结论? 答案是肯定的. 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论.设有线性方程组)1(22112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其矩阵形式为 b AX = (2)其中 ,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 称矩阵)(b A （有时记为A ~）为线性方程组(1)的增广矩阵.当m i b i ,,2,1,0 ==时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 显然，齐次线性方程组的矩阵形式为0=AX (3)定理1 设n a A n m ij ,)(⨯=元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.)(n A r <定理2 设n a A n m ij ,)(⨯=元非齐次线性方程组b Ax =有解的充要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵)(~b A A =的秩, 即 ).~()(A r A r =注：记)(b A =A ~，则上述定理的结果，可简要总结如下:(1) 有唯一解；b Ax n A r A r =⇔==)~()((2) 有无穷多解；b Ax n A r A r =⇔<=)~()((3) 无解；b Ax A r A r =⇔≠)~()((4) .0)(只有零解=⇔=Ax n A r(5) .0)(有非零解=⇔<Ax n A r而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法:对非齐次线性方程组，将增广矩阵A ~化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当n r A r A r <==)~()(时，A ~的行阶梯形矩阵中含有r 个非零行，把这r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余r n -个作为自由未知量.对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.例题选讲例1 判断下列方程组是否有解? 如有解, 是否有唯一的一组解? ⎩⎨⎧=+++=+-+.0,13243214321x x x x x x x x解 方程组的系数矩阵=A ,11111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 显然A 有一个2阶子式1121,01≠-=，因此.2)(=A r 增广矩阵=A ~,0111111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-显然,2)~(=A r 因此该方程组有解. 但方程组的未知数个数为4，因此应有无穷多组解.例2 判断方程组是否有解?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-=++=++-.02,12,0,14332131321321x x x x x x x x x x x解 利用初等变换法求增广矩阵A ~的秩.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----021111020111141321r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0211110214130111 14131223r r r r r r -++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---030013201740011132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0300174013200111232r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0300110013200111343r r +.3000110013200111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-因此.4)~(,3)(==A r A r 由于),~()(A r A r ≠故原方程组无解.例3 (E01) 求解齐次线性方程组 .0340222022432143214321⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 施行初等行变换.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221A 13122r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------463046301221)3(223-÷-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000042101221 212r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00003421035201 即得与原方程同解的方程组 ⎩⎨⎧--=-=432431)4(2)5(2x x x x x x (43,x x 可任意取值).令,,2413c x c x ==把它写成向量形式为.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴c c x x x x 它表达了方程组的全部解.例4 (E02) 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵)(b A 施以初等变换，化为阶梯形矩阵： )(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=77391111833312111151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------884140442704427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00000000004427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------00000000007/47/47/21011151,42)()(<==A r b A r 故方程组有无穷多解. 利用上式回代回代,00000000007/47/47/2107/137/137/301⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=43243174727471373713x x x x x x取212413,(,c c c x c x ==为任意常数），由方程组的全部解为.747274713737132413212211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=--=cx c x cc x c c x例5 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++=-+=+++63243214132432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x .解 =)(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----61132413211411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----87510341101411013211⎪⎪⎭⎫⎝⎛----93600200001411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20000936001411013211因为,3)(=A r ,4)(=b A r ),()(A r b A r ≠ 所以原方程组无解.例 6 证明方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-515454343232121a x x ax x a x x a x x a x x 有解的充要条件是054321=++++a a a a a .在有解的情况下, 求出它的全部解.证 对增广矩阵A ~进行初等变换:=A ~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a ~()(A r A r =∑==51,0i ia∴方程组有解的充要条件是∑==51.0i ia在有解的情况下，原方程组等价于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-454343232121a x x a x x a x x a x x故所求全部解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+++=++++=544543354322543211a a x a a a x a a a a x a a a a a x )(5为任意实数x例7(E03) 讨论线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++t x x x x x px x x x x x x x x x x 432143214321432112105,3153,363,132 当t p ,取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的情况下, 求出全部解.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=t p B 121051315133163113211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------191260066402242013211t p ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--53000422001121013211t p (1) 当2≠p 时，,4)()(==B r A r 方程组有唯一解； (2) 当2=p 时，有B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-53000420001121013211t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t 当1≠t 时，,4)(3)(=<=B r A r 方程组无解； 当1=t 时，,3)()(==B r A r 方程组有无穷多解.B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000210001121013211 ，－⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000210003021080001 即 ,23284321⎪⎩⎪⎨⎧==+-=x x x x 故原方程组的全部解为).(203801204321R k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例8（E04）假使你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案是否唯一呢?解：设公寓的每层采用同一种方案，有1x 层采用方案A ，2x 层采用方案B ，3x 层采用方案C ， 根据条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6654374347136988321321321x x x x x x x x x ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00006021340410266543410212013806654382041369886654374347136988~b A A因为()()32~<==A r A r ，故方程组有无穷多解.利用上面最后一个矩阵进行回代得到()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000060213404102b A该矩阵对应的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=323181315212x x x x 取c x =3(其中c 为正整数数)，则方程组的全部解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=c x c x c x 32181315212 又由题意可知321,,x x x 都为正整数，则方程组有唯一解6,2,8123===x x x .所以设计案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A ，2层采用方案B ，8层采用方案C.例9（E05）在一个原始部落，农田耕作记为F ，农具及工具的制作记为M ，织物的编织记为C 。
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定义 (等价关系)
在一个集合 S 中如果有一种关系 R 满足: (1) 自反性：aRa;
(2) 对称性：aRb bRa; (3) 传递性：aRb, bRc aRc。
则称 R 为 S 的一个等价关系。 有了等价关系就可以把S的元素进行分类，把相互等价的 元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不
14
引例2 ( P2 问题3 ) 四个城市间的单向航线如图： 1 4
2 可简单地用一个数表来表示： ① ① 0 ② 1 ③ 0 1 ④
3
1表示有航班,0 表示没有航班
② ③ ④ 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
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定义 由m n个数a ij ( i 1， , m ；j 1， , n)排成 2， 2，
一。书P6-定理1.1.1 例1 用初等行变换将 A 化为行阶梯形矩阵， 进而化为行最简阶梯形矩阵。
0 0 1 1 - 2 -1 A 2 -1 0 3 3 3
6 1 - 2 -1 1 r r 0 1 0 1 2 2 -1 0 4 3 3 3 6
2， 2， 它的解取决于系数aij (i 1， , m；j 1， , n)和常数项 bk
一、矩阵的若干典型问 题
a11 a12 故对线性方程组的研究可转 a21 a22 化为对这张表的研究. a m1 a m 2
a1n a2n amn
b1 b2 bm
逆变换
初等列变换也有类似的结果…
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（1）台阶左下方元素全为零； （2）每个台阶上只有一行； 定义 行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简 （3）每个台阶上第一个元素不为零。 形就是所谓的最简单的“代表”) 书P.5-定义4
行阶梯形矩阵
1 0 0 0
1 2 0 0 0 2 0 0 2 1 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(place)
进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当 成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的 发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发 展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。
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a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 引例1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
的m行n列的数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
为表示它是一个 称为m行n列矩阵, 简称 m n 矩阵。 整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。
a ij 称为矩阵 A的第 i 行第 j 列的元素 , 简称( i , j )元素。
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三、矩阵的初等变换 定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、
第三种初等行变换 (1) 交换矩阵的某两行，记为 ri r j (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri k r j
类似定义三种初等列变换
(1) c i c j ( 2) kci ( k 0) ( 3) c i kc j
~
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
~
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri r j
逆变换
ri r j
kri
ri krj
逆变换
1 ri k
ri - kr j
3 1 0 0 0 0 0
2 0 -1 0 1 1 0 0 02 0
0
0
1 2 2 2 0 4 0 0
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（1）台阶左下方元素全为零； 行阶梯形矩阵： （2）每个台阶上只有一行；
（3）每个台阶上第一个元素不为零。 行最简阶梯形矩阵
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
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以上六种变换统称为矩阵的初等变换
例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
-1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
1、《线性代数》，同济版 2、《线性代数学习指导》， 胡建华 主编，矿大出版
江龙 等编
3、《线性代数历年考题》 线性代数教学小组 编
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四、作业及答疑
第一组： 第二组： 第三组： 交作业时间：每周一5,6节
答疑时间：周4（2,3周），周2,4（4,5,7,8,9周） 时间：7、8节；地点：教1C300
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
行最简阶梯形 (1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为1, 且其所在列其它元素全为零。
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定理 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形， 从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯
1 -2 -1 1 r3 - 3r 0 1 0 6 2 r4 - 9r2 0 0 2 -16 0 0 6 -51
1 - 2 -1 1 r r3 8r 4 0 1 0 6 r4 - 6r3 0 0 1 - 8 r2 - 6r4 - 1 r4 3 0 0 0 1 r1 - r4
若B=(b1, b2,…, bm)T≠O，则称(1)为非齐次线性方程组 若B=(b1, b2,…， bm)T＝O，即：
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n ( 2) am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线 性 代 数
主讲教师：凌思涛
1
序
一、课程性质
言
是一门讨论数学中线性关系经典理论的课程； 是代数学中一个最初等的分支；
2
二、研究内容
基本内容：
线性方程组理论 矩阵理论 向量空间 线性代数研究对象——线性方程组 线性代数研究工具——矩阵 线性代数研究方法——矩阵的初等变换
7
三、教材与参考书 教 材： “线性代数” 参考书:
定义 设 A (a ij ) mn , B (bij ) pq ，如果
m p, n q
(此时称A与B是同型矩阵) 且
a ij bij ( i 1, , m; j 1, , n)
则称 A 与 B 相等，记作 A = B。
0 0 0 0 0 问： 0 0 与 0 0 0 相等吗？
称为行矩阵(Row Matrix)或 n 维行向量。 a1 a2 (4) 只有一列的矩阵 A a m 称为列矩阵(Column Matrix)或 m 维列向量。
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(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。 (6) 矩阵 (约定未写出元素全为零)
1 0 r1 2r 2 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 - 2 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
注意:箭头不能为等号
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例2
1 2 -1 -1 1 -2 1 1 4 - 6 2 -2 3 6 -9 7
同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单”的元素
作为代表，在矩阵中常称这个代表为某某标准形。 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与 B等价，记作 A B 。
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§3 解线性方程组的消元法
讨论有n个未知数m个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
2 4 4 9
r1 r2
1r 2 3
1 -2 1 1 1 2 -1 -1 2 - 3 1 -1 3 6 -9 7
1 0 0 0 1 -2 1 1 0 0
4 2 2 9
1r 1 -2 1 4 r2 - r3 1 2 2 r化阶梯形：从上到下，从左到右, 2 - 2r1 0 2 -2 2 0 r3 5r 3 5 - 3 - 6 r4 - 3r r4 - 3r1 0 - 5 化最简形：从下向上，从右到左。2 0 3 -3 4 - 3
矩阵 A 可简记为 A ( a ij ) mn 或 A ( a ij ) 或 Amn。
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二、特殊矩阵 (1) 1×1的矩阵就是一个数。 (2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方
阵(Square Matrix)或 n 阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵 A a1 , a 2 ,, a n
1 1 E 1
称为单位矩阵(Identity Matrix)。 (7) 矩阵
1 D
2
n
称为对角矩阵(Diagonal Matrix) 。记作
D diag( 1 , 2 ,, n )
18
10