线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件

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复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料

上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性空间课件复习资料

4.1.2 线性子空间
许多问题中, 一个“大”的线性空间的一部分, 关于该线性空间的加法和数乘还可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定义 4.2. 给定数域F 上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上的运算也构成线性空间, 则称S 为V 的一个线性子空间. 为了说明线性空间V 的一个子集S 是否为线性空间, 不一定要按线性空间的十条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定理 4.1.1. S 是数域F 上线性空间V 的非空子集, 则当且仅当S 满足封闭性公理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S 是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S ,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F , λx ∈ S , 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S , 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S , 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S , 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平凡子空间.
易证代数系统 F2 , ⊕2 , ⊗2 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.

线性代数 ch05_复旦大学(周勇)课件

性质3: A 与AT有相同的特征值．性质4: 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则

l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A|
例3 ：若四阶矩阵B的特征值为 1 求行列式 B E 的值．
1 1 1 1 , , , ， 2 3 4 5
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式det A lE ;
2. 求特征方程det A lE 0的全部根l1 , l2 , , ln , 就是A的全部特征值;
3. 对于特征值l i , 求齐次方程组
再继续施行上述步骤 m 2 次，就得
故 lm 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于lm的特征向量.
2 当A可逆时, l 0,
由Ax lx可得
1 1 A Ax A lx lA x 1
A 1 x l1 x
故l 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于l 1 的特征向量.
4 1 1 4 1 1 r A 2E 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0 解方程组 (A−2E) x = 0． 1 0 p2 0 , p3 1 ．解得基础解系 4 1
性质5：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依
次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关．属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料

3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。

12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。

αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。

β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。

(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。

•矩阵的秩与矩阵相同。

且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。

12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料

O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上一章中介绍了线性空间的概念, 本章将讨论线性空间之间的联系. 它们之间的联系主要反映为线性空间之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)

复旦大学精品课程《线性代数》课件,齐次线性方程组课件复习精品资料

若 Cm n = Am l Bl n ，即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i个分量．
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ；
对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ；

线性代数第一章ppt

线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a和b，存在唯一的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的应用，例如机器学习、图像处理、数据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特征值和特征向量。这种方法适用于较小的矩阵，但对于大规模矩阵来说效率较低。

线性代数完整版ppt课件

a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !

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2 2 f l 1 y1 ln yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
二、配方法
配方法的步骤
1.若二次型含有x i 的平方项，则先把含有x i的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换
使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ．定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x12 a22 x2
2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2an1, n xn 1 xn

2 a a x x a x xnn1(x annx x a x a x ) n2 nn n n 11 1 n2 n 2 2 nn
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 对称阵 a11 a21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 l1 , l2 ,, ln ; 3. 求出对应于特征值的特征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
第六章
二次型
§1
二次型及其矩阵表示
二次型的研究起源于解析几何中化二次曲面为标准形式的问题解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换
x x cos y sin , y x sin y cos .
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）．
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = L，其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.130定理2.8）定理2.1：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT），总存在正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f ( P y ) = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + … + l n y n2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值．
a1n xn a2 n xn ann xn a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
x Ax
T
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ( x1 , x2 ,
对称阵的二次型
称为二次型．
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x12 a22 x2
2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 a11 x12 a12 x1 x2
2 a21 x2 x1 a22 x2
2an1, n xn 1 xn
a1n x1 xn a2 n x2 xn
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a x a12 a x12 x1 n x) x11 ( a x aa 1x 22 1n n 1 1 11 x1 1n x 2 a a x 2222 2 2 2n n 2 221 1 1 2n x n)
aij 0 ( i j ),
x i yi y j x j yi y j x y k k
k 1,2,, n且k i , j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩．
例１写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
一、正交变换法
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f x T Ax (Cy )T A(Cy ) yT (C T AC ) y
2 2 k1 y1 k 2 y2 2 k n yn
( y1 , y2 ,
k1 , yn )
k2
y1 y2 k n yn
a11 a21 , xn ) a n1
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn
二次型的矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
故该二次型 f的秩为 3. 则 R( A) 3
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ，
则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7）定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ，则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9）显然，

BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵．

R(B) = R(A) ．
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．
§2
二次型的标准形
对于二次型，寻找可逆的线性变换 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 简记为 x = C y ， 2 21 1 22 2 2n n 于是 f = xTAx T A ( C y) = ( C y ) xn cn1 y1 cm 2 y2 cnn yn . = yT (CTAC) y 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形.