线性代数(复旦修订版)刘金旺1n阶行列式

合集下载

复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料

上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为

线性代数复旦版课后习题标准答案

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1).4. 本行列式4512312123122xx x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解：设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)2000010300004； (2)12300020304501.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2) ab ac ae bdcd de bf cf ef-------； (3)10011001101ab c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------; 210110111(3)(1)111011111;bcD a a bcd c c dd ddabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111aab baa b b a b +=-； (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aa a ab b b bc c c c dd d d ++++++=++++++；(3) 232232232111()111a a a ab b ab bc ca b b cccc=++(4) 20000()000nn aba b D ad bc cdcd==-；(5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()201()()()()()2()21c c c c a b a b b a b ba b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c aa a a aa b b b b b b c c c c c c dd d d dd ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b ccc==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a aab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a ab b cc+-(4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)00000(),n n n n ab abab ab D abcdcdc d c d dcad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得22(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-2().nn D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.n n n n n i i nnnn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x =(2) 122222222232222n D n=； (3)0000000000n x y x y D x y yx=. (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-= ； (5)21000121000120000021012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2) 213111222210000101001002012n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.002002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n nn nx y y x y x y D x y x y x y y x xyx xy yx y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221212110122103123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----012211111111*********1111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行01221122111111200002000020000000022n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)22n n n n n n -----=---按第列展开.(5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021012012012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11ni i a =+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得2311110011.001001n nnn i ii i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.1111123222211223322221122331111123n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 123123412342345,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩(2) 121232343454556 1,56 0, 56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23141230123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.D D D D x x x x D D D D ========-12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111a ab =-即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2） 500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 11121321222331323310001101a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（6） 1210103101010121002100230303⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】 (1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()iji j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x ax x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 12520124004309⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-A B A ;(2) -A B B A ；(3) 22()()-=-A +B A B A B 吗? 【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A B B A (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ； (3) 若A X =A Y ，≠A O ，则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取201,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,011121110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y . 4. 设11A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k . 【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5. 10010λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明： 121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =. 【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k kk k k k k kk kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA A = 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A = 6. 已知A P =PB ，其中10010000021001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P = 求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PB P而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PB PP B P A 7. 设a b c d ba d cc d a b dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a d ca b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A=A A =AE于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X A Y Y B z X A Y A B z z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B A B 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,故'B A B 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′²B ′= -B ²(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ²(-B )=AB -BA ; (AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ²(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d aa b cd cc d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦. 由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数. 13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得111222333333232323023000023222.023333c b c c b c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数.14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 520021000083052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2) 12101201-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 120025000023058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而111002211≠- 故112311101111122.0221113122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1）因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |²|B |²B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A *=(AB ) *A |B |EA *=|A |²|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0,∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1²|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1.(3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A Y 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X 所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211210210111111--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ； (3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 01010004310000120101010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B 同理 (2) X =10001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.03412-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若k A =O (k 为正整数)，证明：121()k --- E A =E +A +A ++A.【证明】作乘法212121()()k k k kk----=-----=-=E A E +A +A ++A E +A +A ++A A A A A E A E ,从而E -A 可逆，且121()k --- E A =E +A +A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0,故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-AA E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E ,A E A E E ,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A +B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E 即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A22. 设1-PAP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦AP P P PΛΛ23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++ ，记01()mm f a a a =+++ A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】 (1)232311232200,0λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,00kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A ++A++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm mm mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B BE PA PPA PP E A +A P P A P24. a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc cd cd ad bca bc ab bd a adab bd ad bc ac cd cb d ac cdad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E 0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1）若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设520032002100450000730041052062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) A B ; (2)B A ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k(k 为正整数). 【解】 (1)232000109000046130329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B =; (2) 1980030130000331405222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A =;(3) 1120025000023057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)kk=-A .27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）003100212100230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,0102501⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.0000300010001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A AA 同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A AA A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++ β=ααα【证明】设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++= 0βββ把12i i +++ β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0 ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0,0.r r r k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ==== ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα== α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα= α1,2,,i n = 组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -== α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n r r r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r ααα (1) 线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1), 2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),11010102a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121112aa b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ 要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ijjj ai r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ³n 矩阵，B 为s ³n 矩阵.证明：m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有m ax{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jkβββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jkβββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ³n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ³s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ³(n -s )),因为A 为行无关的s ³n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ³n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ³s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ³(n -s ))=(KA s ,KP s ³(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)1122102151203131141⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++= 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A , 所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα ∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,01310000013100=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),11001100111011101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,1110x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换。

刘金峰线代讲义

刘金峰线代讲义（最新版）目录1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数概念与基本理论3.矩阵及其运算4.线性方程组及其解法5.特征值与特征向量6.二次型7.线性变换与矩阵8.应用实例与习题解答正文一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一部关于线性代数课程的辅导讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。

全书共分为八个部分，依次为线性代数概念与基本理论、矩阵及其运算、线性方程组及其解法、特征值与特征向量、二次型、线性变换与矩阵、应用实例与习题解答。

本书在内容编排上注重理论与实践相结合，既有丰富的例题分析，又有实际应用案例，适合于各类本科生、研究生及教师学习和参考。

二、线性代数概念与基本理论线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性方程组、矩阵、线性变换等概念及其性质。

线性代数的基本理论包括向量空间的概念、性质、基与维数、子空间、线性相关与线性无关等。

三、矩阵及其运算矩阵是线性代数的核心概念之一，可以用来表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的运算包括矩阵加法、数乘、矩阵乘法、求逆、行列式等。

本书对矩阵的运算进行了详细的讲解，并给出了丰富的例题。

四、线性方程组及其解法线性方程组是线性代数的一个基本对象，可以用来描述现实世界中的许多问题。

本书介绍了线性方程组的基本解法，如有唯一解、无解、有无穷多解的情况，以及高斯消元法、克莱姆法则等求解方法。

五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，可以用来描述线性变换对向量的作用。

本书详细介绍了特征值与特征向量的概念、求解方法，以及它们在矩阵对角化、线性变换等方面的应用。

六、二次型二次型是线性代数的一个重要概念，可以用来描述空间中的点或向量的平方和。

本书介绍了二次型的概念、性质、标准型、正定二次型等，以及它们在几何、物理等领域的应用。

七、线性变换与矩阵线性变换是一种将向量空间映射到另一个向量空间的运算，而矩阵是线性变换的一种表示。

(完整版)新版线性代数习题及答案(复旦版主编：周勇朱砾)

线性代数习题及答案all in习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122x x x D xxx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解：设123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2)ab ac ae bd cd de bfcfef-------；(3)111001101a b c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1)125062312101232562r r D+---=--;(2)1114111111D abcdef abcdef--==------;21011111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d dd abcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1)22222()111a ab b a a b b a b +=-； (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；(3)232232232111()111a a a a b b ab bc ca b b c c cc =++(4)2000()000n n a ba b D ad bc c d cd==-； (5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2)32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c cd d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)0000000(),n n n n ab aba ba bD abc dc dc d c d dc ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立. 按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1)111111n x xD x=(2)122222222232222n D n=；(3)000000000nx y x y D x y yx=. (4)nijD a =其中(,1,2,,)ija i j i j n =-= ；(5)2100012100012000002100012nD =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2)21311122221000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.00200002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n n n n x y y x y x y D xy x y x y yxx yx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221201211012213123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==---- 0122111111111111111111111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行0122112211111120000200002000000000220n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=---按第列展开.(5)210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+122n n D D --=-.即有112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+.9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11ni i a=+∑，得232323123111111,11n nnn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑ 将第一行乘（-1）后加到其余各行，得23111010011.001001nnnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,ia i n ≠=）.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式.【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+=同理43441569.A A +=-+=-12. 用克莱姆法则解方程组.(1)12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 121232343454556 1,56 0,56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;12105212110121123140123123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.122112120133123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2, 1.D D D Dx x x x D D D D========- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111aa b=-即(a +1)2=4b . 15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-=于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2） 500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3）[]32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（6） 1210131010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1)32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4)3322211122233312211213311323322311()()()ij i j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2.设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?【解】(1)2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA(3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ；(3) 若AX =AY ，≠A O ，则X =Y .【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E(3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0则AX =AY ,但X ≠Y .4.设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101k k λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5.100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a b cd ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a dc a b cd a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E于是有22222()a b c d ==-+++A .8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z,从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′·B ′= -B ·(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′ = -BA -A ·(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′ = -BA +A ·(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数. 13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1)1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4)1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5)5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1)5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2) 121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4)10011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5)1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠-故112311101111122.02211130122*********x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1）因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1·|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换.【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1)12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =；(2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3)142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4)010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若k A =O (k 为正整数)，证明：121()k ---E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,从而E -A 可逆，且121()k ---E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1.【证】因为A 2-A -2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B .【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A . 而22310,1102121==-≠---A E即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ.其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A .【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ 23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++，记01()m m f a a a =+++A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P .【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,000kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m mm m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A++A ++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A PP A P24.a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2)1n *-=A A .【证明】（1）若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1)AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数).【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3)11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）00310021********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++β=ααα【证明】设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++=0βββ把12i i +++β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0, 0.r rr k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ====，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案. 8.12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=α1,2,,i n =组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -==α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n rr r n r r r n nnnt t t t t t t t t t t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,sααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,rααα线性表出.证明：12,,,rααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若12,,,r ααα (1)线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组.11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0).13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r =β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价. 17. 设A 为m ×n 矩阵，B 为s ×n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故 ()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有max{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jk βββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jk βββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ×n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ×s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r . 【证明】设A =(A s ,P s ×(n -s )),因为A 为行无关的s ×n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ×n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ×s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r .(⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ×(n -s ))=(KA s ,KP s ×(n -s))知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα; (2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα. 21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++=αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++=所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标. 【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX . 则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩(2)解②-①×2得 x 2-2x 3=0 ③-① 得2x 3=4 得同解方程组由⑥得 x 3=2, 由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2) 1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3)1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4) 123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)123123123320503580.x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A。

复旦大学《线性代数I》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷

2有惟一解，无解，
x1 x2 x3 1
无穷多解？并求其通解 .
解：
1 x 3 1 2 y
1 2 0
2
x
2 2 y
0 2 3
x y3
即得
3
x
16
2
y
4 7
解：
B
Ab
1
1
1 1
0 1 2
r1 r3
r2 r1 r3 r1
1 0
1 1
1
1 1 1
0 0 0 0 0 0
得基础解系
1
0
1
=
1
,2
0
0
1
1
2
0
.1
,
2
已正交，单位化得
p1 =
1 2
0
,
p2
0
1
2
当
3
=
1 时，
A
E
2
0
2 2 0
0 1
03
0 0
1 0 0
0
1 0
,
x1 x3
x2 0
0
1
1
2
得基础解系
3
=
1
，单位化得
0
得分
4= 5，2，4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组，并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解：
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
6 2312Fra bibliotek1 4

《线性代数》1-3n阶行列式的定义

05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵的乘法和行列式的性质来证明拉普拉斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可能不太适用，但其具有理论意义和实用价值。

线性代数1-3n阶行列式的定义

响其值。
行列式的值具有可消性，即行或列中某些元素为0时，其对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数，则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关。
02
行列式的值与矩阵的行变换或列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个行中的元素。

线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义

行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二、三阶行列式
定义设有9个数排成3行3列的数表
引进记号主对角线副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解
b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
a11 a12 记号 a21 a22
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
线性代数（修订版）
复旦大学出版社
邮件地址: wsx4153@ 密码:wangshx
线性代数
判断解的用矩阵解存在性方程组 1-4章用有限个解表示所有解相似矩阵及二次型
第1章行列式矩阵及其运算第2章解方程组第4章
向量的线性相关性第3章求特征值，特征向量
返回上一页下一页
注：可扩充到n阶的情形。例：n阶行列式
Dn＝
Dn＝
返回
上一页
下一页
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
a11 0 D3 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a11a22a33a44 a34 a44
D4
a11 a21 a32 a41
0 a22 a32 a42
0 0 a33 a43
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
§1 全排列及逆序数
定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为
一个n 级全排列（简称排列）。定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的
前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列
中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 (j1, j2,…,jn)
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ；再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ; …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
(方程组的系数行列式)
a11 b1 D2 a21 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
用方程组解矩阵第5章
对角化，化简实二次型
行列式
矩阵及初等变换
解方程组
相似矩阵及二次型
向量的线性相关
线性代数重在掌握基本定义、基本性质、基本运算，解线性方程组是核心.
在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组 . 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等 . 我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. •行列式是线性代数的在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具. 一种工具！ •学习行列式主要就是要能计算行列式的值.
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）
a11 a21 D an1
a22 0 a11a22 ann an 2 ann
原则：横行竖列
表达式 a11a22 a12a21 称为由该数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
a 其中， ij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
返回上一页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下一页
问题把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？
定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
显然
Pn n (n 1) (n 2)3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 a11a22a33a44 0 a44
0 D2 0 0 a41
0 0 a32 0
0 a23 0 0
a14 0 0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
3 4 6. 其中 t (4321) 0 1 2 3 2
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
a14 0 0 0
0 0 0 a44
a11 D3 0 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a44
解：
返回上一页下一页
例
计算4阶行列式
解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
项的乘积中只要有一个元素为0，乘积
就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，
而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，
因此行列式D＝a11a22a33a44。
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321 所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.
因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.
例1：
解：
求排列 32514 的逆序数.
t (32514) 0 1 0 3 1 5
练习：
求排列 453162 的逆序数.
解：
t9
排列12的逆序数为 0。排列215479683的逆序数为 11。排列231的逆序数为 2。
排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是 n(n-1) 。定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为
4 6 32 4 8 24
14.
例3
解
求解方程 1 1 1 2 3 x 0. 4 9 x2 方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x2 5 x 6 0 得
x 2 或 x 3.
记Dn＝
为行列式第i行第j列的元素
称为n阶行列式的展开式或行列式的值。
返回上一页下一页
说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。