数量关系

【对比分析】利用第一种传统方法，既费时间(解本道试题起码需30秒，甚至更 多)，又容易出错(好多考生还得考虑题中的8和1，到底是加上，还是减去);利用公倍 数法，就大大减少了列方程的时间，也省却了到底是加上8和1，还是减去8和1等问 题，省时(最多需要5秒钟)省力又准确。
• 【例3】甲、乙、丙三人，甲每分钟走50米， 乙每分钟走40米，丙每分钟走35米，甲、 乙从A地，丙从B地同时出发，向相而形， 丙遇到甲2分钟后遇到乙，那么，A、B两地 相距多少米? • A. 250米 B. 500米 C. 750米 D. 1275 米
排列组合的三大方法精要
牛吃草问题
• 例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。 这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15 头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我 们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有 的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出 的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草 的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出 原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被 吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份， 后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者 是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃 新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的 草。由此得出，牧场上原有草 （l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。 现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时， 其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需 100÷20＝5（天）。 所以，这片草地可供25头牛吃5天。
• 【传统解析】设A、B • 两地相距S米，依“丙 遇到甲2分钟后遇到乙” 所表示的数量关系可 列出方程： • S/(40+35)S/(50+35)=2 • 解方程得S=1275 米，选D。
【公倍数法】依“丙 遇到甲2分钟后遇到乙” 所表示的数量关系可 知，A、B两地之间的 距离是甲丙速度之和 50+35=85的倍数，也 是乙丙速度之和 40+35=75的倍数，即 为85和75的公倍数的 倍数，备选项中符合 此条件的只有D。
• 【对比分析】同上述各题的分析一样，如果用传 统思路设未知数列方程求解本题的话，根据题中 的数量关系怎样列方程就比较费时间，列出方程 之后还得求解，更费时间，求解的过程中稍微不 小心很容易出错。如果换一种思路用公倍数法求 解，省时省力又准确。通过本题与上述各题的解 法可以知道，“公倍数法”对各种类型的数学运 算都有用，而不是仅仅局限在某几种类型的试题 的解析中。下面可以再用实例验证一下这种方法 的实用性和应用上的广泛性。
• 【例4】若干个同学去划船，他们租了一些 船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上 有4个空位，共有多少个同学?( ) • A. 17 B. 19 C. 26 D. 41
• 【公倍数法】“每船4人 • 【传统解析】根据题意 “若每船4人则多5人，若 则多5人”说明人数是4的 每船5人则船上有4个空位” 倍数多1;“每船5人则船上 有4个空位”说明人数是5 • 将A项17人代入，有 的倍数多1，即选项应该 船数(17-5)÷4=3条， 是20的倍数多1，选D。 (17+4)÷5=4.2条，排除A 项; • 将B项19人代入，有 船数(19-5)÷4=3.5条，排 除B项; • 将C项26人代入，有 船数(26-5)÷4=5.25条排 除思路在解 本试题时特别耗费时间，稍微不小心就会 出错。用公倍数法求解时紧扣题意，根据 试题告知的数量关系，可以在很短的时间 内快速准确的解出答案，这就一再提醒考 生们一定要注意利用便捷方式——公倍数 法快速求解，而不能再沿用传统的思路分 析试题，列出方程，然后一步一步求解， 因为传统的思路是远远不能适应现代的考 试的。
数量关系
利用"公倍数"巧解行测数学运算题
• 【例1】小红把平时节省下来的全部五分硬 币先围成一个三角形，正好用完，后来又 改围成一个正方形，也正好用完。如果正 方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬 币，则小红所有五分硬币的总价值是( )。 • A.1元 B.2元 C.3元 D.4元
• 【传统解析】设围成三角 形时每边硬币数为X枚， 则利用方阵的原理，根据 硬币总数相等可列方程： • 3(X-1)=4(X-5-1)， • 解方程得X=21， • 则硬币总数为3×(211)=60枚， • 面值=60×5分=300分 =3元，选C。
• 【例5】若干学生住若 • 除过公倍数法在解一 干房间，如果每间住4 些数学运算试题时快 人则有20人没地方住， 速准确之外，倍数的 如果每间住8人则有一 有效度、快捷性和准 间只有4人住，问共有 确率也是非常显著的， 可示例如下： 多少名学生?( ) • A.30人 B.34人 C.40人 D.44人
• 例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。 草地上的草一样厚，而且长得一样快。第 一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地 可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供 19头牛吃多少天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。 为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 ［5，6，8］＝120。 因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以 120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。 因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120 公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。 120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285 （头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为： “一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头 牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？” 这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出 的草有 （240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地 原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃 840÷（285—180）＝8（天）。 所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
• 【对比分析】这里尽管用的是倍数法，但 其原理、效应同公倍数法一样：传统思路 费时费力又容易出错，而倍数法则快速又 准确，用最多5秒钟就可以不用太多细究题 中数量之间的细微关系就可以求出答案， 这才是现代公务员考试要求考生必须具备 的应试素质。
• 【例6】旅游团安排住宿，若有4个房间每 间住4人，其余房间每间住5人，还剩2 人， 若有4个房间每间住5人，其余房间每间住4 人，正好住下，该旅游团有多少人? • A.43 B.38 C.33 D.28
• 例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅 不长大，反而以固定的速度在减少。已知 某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供 15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃 10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草， 而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用 例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份， 15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷 使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于 10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5 天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草， 所以牧场原有草 （20＋10）×5＝150（份）。 由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。
• 【公倍数法】根据题意， 全部五分硬币围成正三角 形正好用完，说明硬币数 是3的倍数;改围正方形也 正好用完，说明硬币数是 也是4的倍数，换句话说， 硬币总数是3和4的最小公 倍数12的倍数，备选项中 符合此条件的只有C 项的 3元，即60枚。
【对比分析】运用第一种方法解出本道试题最少需要1分 钟，因为计算方阵问题时，其边长和外围数存在加1(或减 1)的情况，而一般的考生往往在这里理不清，所以列出方 程最快也的1分钟，加上计算最快也需要1分半钟。 有的考生如果根据边长之间的关系“正方形的每条边 比三角形的每条边少用5枚硬币”列方程求解，这道试题 对数学基础好的考生来说，最少也需要2分半钟，数学基 础不好的话，可能方程式也列不出来，就更不用说求解了。 如果能脱开传统“设未知数、列方程”的思路，根据 题中的相关信息，巧用“公倍数法”求解，本题只需5秒 钟就可求出正确答案，而且根本不会出错。如果这样的话， 用传统思路解一道题，用公倍数法就可以解六七道试题， 甚至更多，因为数学运算中的大部分试题都可以用此方法， 或是类似的方法求解的。
• 【传统解析】根据盈 余问题的解法可知， 其余的房间数为(20)/(5-4)=2(间)，所以 总人数为 4×5+2×4=28人，选 D。
• 【倍数法】根据题意 可知，备选项所给的 总人数减去4×5=20以 后是4的倍数，故选D。
• 【对比分析】利用传统解法，考生首先必 须搞清楚题中数量之间的关系，然后才能 列方程进行求解，对基础好的考生来说最 少需要1分钟，数学运算基础弱的考生可能 还搞不清数量之间的关系，就更没法谈列 方程求解的问题了，需要多少时间就更难 说了。如果用倍数法，在理清题中数量之 间的关系之后，直接推算就可以得出答案， 最多需要10秒钟。
• 例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着， 两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩 每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯 级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用 了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯 级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了 “速度”，也可以看成牛吃草问题。 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女 孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5 分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6 ＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10 （级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走 6 5 1 1 10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己 的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 （20＋10）×5＝150（级）。 解：自动扶梯每分钟走 （20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。