简单曲线的极坐标方程
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。
2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。
二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。
2. 极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 圆的极坐标方程。
4. 直线的极坐标方程。
5. 椭圆的极坐标方程。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。
2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。
4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。
六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 极坐标系的图示或模型。
3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。
4. 练习题。
七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程。
以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。
将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。
利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。
3. 讲解直线的极坐标方程。
以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。
简单曲线的极坐标方程 课件
答案：(1)ρsin2θ＝4cos θ (2)ρ2－2ρcos θ－1＝0 (3)y＝ 3x(x≥0) (4)x2－y2＝4 (5)3x2＋4y2－2x－1＝0
例 1 极坐标方程 θ＝π6 表示什么曲线？
π 错解：方程中不含变量 ρ，即不论 ρ 取何值，极角 θ 恒为 6 ，
π
π
因此 θ＝ 6 表示一条直线，它的极角为 6 .
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵tan θ＝xy，∴tan π3 ＝xy＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4. (5)∵ρ＝2－c1os θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1. 化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
正解二：两圆心的极坐标分别为 C1(1，0)，C21，π2 ， ∴|C1C2|＝ 12＋12－2×1×1×cosπ2 －0＝ 2. 易错点：极坐标系中两点间距离公式记忆不清导致运算错误 【易错点辨析】平面直角坐标系中两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之 间的距离|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，极坐标系中两点 P1(ρ1， θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）. 在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
解析：(1)如右图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， ∵A2，π4 ，
π ∴|MH|＝2sin 4 ＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， ∴过 A2，π4 且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲三简单曲线的极坐标方程
当点 P 在极轴的反向延长线上时，P 点的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ＋ 3＝0 为所求圆的极坐标方程．
(3)设点 P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点 P 不在直 线 θ＝π4上时，根据余弦定理，得 12＝ρ2＋(2 2)2－4 2 ρcosπ4－θ，即 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r (0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2rcos θ －π2≤θ<π2
圆心在点r，π2 圆心在点(r，π)
圆心在点r，32
π
ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) ρ＝－2rcos θ π2≤θ<32π ρ＝－2rsin θ (－π<θ≤0)
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
ρ2cos2θ ρ2sin2θ 得 4 ＋ 3 ＝1，即
ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12.
④把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝2 中， 得 ρ2cos 2θ＝2. (2)①把 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入方程 ρcos θ－ρsin θ －1＝0 中，得 x－y－1＝0. ②把 ρ＝ x2＋y2代入方程 ρ＝3 中，得 x2＋y2＝9.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。
在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。
二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。
这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。
2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。
这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。
3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。
4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。
三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。
例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。
另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。
四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。
螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。
螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。
人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程
归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可 以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ 上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
； ； ；
பைடு நூலகம்； 。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为 极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ； （2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养
三-简单曲线的极坐标方程
在处理一些工程问题时，使用极坐标方程可以简化计 算过程，提高工作效率。例如，在机械工程中，极坐 标方程可以用于描述旋转机械的运动轨迹和动力学特 性。
谢谢观看
极角
从极轴到某一直线的夹角，用θ 表示。
02
简单曲线的极坐标方程
圆的极坐标方程
圆心在原点，半径为r的圆的极坐标方 程为：$rho = r$
圆心在$(a, b)$，半径为r的圆的极坐 标方程为：$rho = sqrt{a^2 + b^2}$
直线的极坐标方程
通过极点的射线方程为
$theta = alpha$
双曲线的极坐标方程为
$rho^2(1-cos^2theta) = a^2$ 和 $rho^2(1-sin^2theta) = b^2$。
05
极坐标方程的特性分析
极坐标方程的几何特性
极坐标系中的点与平面直角坐标系中 的点一一对应，可以通过坐标变换进 行转换。
在极坐标系中，曲线可以用极坐标方 程表示，通过解析这些方程可以研究 曲线的几何形状和性质。
极坐标方程可以用来描述圆和圆弧，例如，圆的极坐标方程为 $rho = r$，其中 $r$ 是半径。
描述圆锥曲线
极坐标方程也可以用来描述圆锥曲线，例如，椭圆的极坐标方程为 $rho^2 = frac{a^2b^2}{a^2 lambda^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的长半轴和短半轴，$lambda$ 是极角。
直线的极坐标方程推导
通过极点，倾斜角为$alpha$的直线的极坐标方程为：$theta = alpha$。
经过点$(a, b)$，倾斜角为$alpha$的直线的极坐标方程为：$rhocostheta = a$ 和 $rhosintheta = b$。
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
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课题：简单曲线的极坐标方程
【学习目标】
1.通过实例了解直线、圆的极坐标方程.
2.掌握直线、圆的极坐标方程的应用,并能解决有关问题.
3.掌握极坐标方程与直角坐标方程之间的转化,并能依据问题特点,选择合适的方程进行求解.
【重点难点预测】
重点：直线、圆的极坐标方程
难点：极坐标方程与直角坐标方程之间的转化
【学法指导】
小组合作、讨论交流
【导学流程】 一、创设情境
2013年6月25日7时05分,“天宫”一号与“神舟”十号组合体顺利分离,“神舟”十号撤离至距“天宫”一号一定距离处.随后,“神舟”十号按照预定程序进行变轨控制,从“天宫”一号上方绕飞至其后方,“神舟”十号成功绕飞“天宫”一号.“神舟”十号绕“天宫”一号旋转的半径为r,请建立适当的极坐标系,并写出其运行的轨迹圆的方程.
二、课前预习导学
问题1:极坐标方程
在极坐标系中,如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ,并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在 ,那么这种方程叫作曲线的 .
问题2:常见的圆的极坐标方程
(1)圆心在极轴上的点(a ,0)处,且圆过极点的圆的方程为 . (2)半径为a ,圆心在极点上的圆的方程为 . 问题3:常见的直线的极坐标方程
(1)过极点且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程为 和 . (2)过点A(a ,0)( a >0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为 . (3)过点11(,)M ρθ且与极轴成α角的直线的极坐标方程为 .
问题4:涉及极坐标方程的问题可否转化为直角坐标进行求解?
可以,将极坐标方程中的ρθ、通过公式 转化为直角坐标方程,这是处理极坐标方程中经常用到的方法之一,有时也会通过这组公式将直角坐标方程转化为 进行处理.
三、基础学法交流
1.过极点且垂直于极轴的直线方程是( ).
A.θ= 2
π B.θ= 32
π C.cosθ=0 D.sinθ=0
2.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为( ).
A.极点
B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线
3.已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1,则曲线C 与极轴的交点到极点的距离是 .
4.如图,在极坐标系中,设极径为ρ(ρ>0),极角为θ(0≤θ<2π).圆A 的极坐标方程为ρ=2cosθ,点C 在极轴的上方,∠AOC=6
π
，.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形,若C 为OP 的中点,求点Q 的极坐标.
四、展示提升：
圆的极坐标方程
例一、求满足下列条件的圆的极坐标方程. (1)圆心在极点,半径为6;
(2)圆心在C(2, 2
π
),半径为2;
(3)圆C 的圆心坐标为C(2, 3
π
),半径
直线的极坐标方程
例二、在极坐标系中,已知直线过点(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为
3
π
,则直线的极坐标方程为 .
极坐标方程中参变量的范围
例三、若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标为( ).
11.,0.,0cos sin 2
cos sin 4
.cos sin ,0.cos sin ,02
4
A B C D π
π
ρθρθθθθθπ
π
ρθθθρθθθ=
≤≤
=
≤≤
++=+≤≤
=+≤≤
【当堂检测】
1.
圆ρ=( ).
A. (1,)2π
B. (1,)4π
C. (1,)3π
D. (1,)6
π
2.在极坐标系中,过点(2,)且垂直于极轴的直线方程为( ).
A. ρsinθ=-1
B. ρsinθ=1
C. ρcosθ=-1
D. ρcosθ=1
3.在极坐标系中,A 为曲线ρ=2cosθ上的点,B 为曲线ρcosθ=4上的点,则线段AB 长度的最小值是 .
4.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方
程分别为4sin ,cos()4
π
ρθρθ=⋅-=求圆C 1与直线C 2交点的极坐标.
【达标测评】
1、求满足下列条件的圆的极坐标方程. (1)圆心在C(2,0),半径为2; (2)圆心在C(2, π),半径为2;
(3)圆心在C(2, 32π
),半径为2.
2、在极坐标系中,圆ρ=2cosθ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为 .
3、在极坐标系中,点(2,)6
π到直线sin()16π
ρθ-=的距离是 .
4、在极坐标系中,已知圆A 的圆心为(4,0),半径为4,点M 为圆A 上异于极点O 的动点,求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程.
【知识清单】
【自主反思】。