常用曲线的极坐标方程
极坐标方程表达式
极坐标方程表达式极坐标方程是描述平面上点的位置的一种常用表达方式。
它利用距离和角度来表示点的坐标，相比直角坐标系更适合描述圆的形状和对称性。
本文将介绍极坐标方程的表达式形式以及如何将其转换为直角坐标系。
同时，还将介绍极坐标方程在数学和物理中的应用。
极坐标方程表达式的一般形式为：$r = f(\\theta)$其中，r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正 x 轴之间的角度，f是一个关于$\\theta$的函数。
极坐标方程的形式可以有很多种，取决于具体问题的性质。
以下是一些常见的极坐标方程的表达式。
1. 极坐标方程表示直线：$r = a\\sec(\\theta - \\alpha)$其中，a是一定的常数，$\\alpha$是直线与极轴之间的夹角。
2. 极坐标方程表示圆：$r = a$其中，a是圆的半径。
3. 极坐标方程表示椭圆：$r = \\frac{a(1 - e^2)}{1 - e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是椭圆的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是椭圆与极轴之间的夹角。
4. 极坐标方程表示双曲线：$r = \\frac{a(1 + e^2)}{1 + e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是双曲线的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是双曲线与极轴之间的夹角。
利用以上表达式，可以方便地描述出各种形状的曲线。
将极坐标方程转换为直角坐标系的表达式需要利用以下关系式：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$通过上述关系式，可以将极坐标方程中的$r$与$\\theta$表达式用$x$和$y$来表示，从而得到在直角坐标系中曲线的方程。
极坐标方程在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，它可以用来描述曲线和曲面的形状及其性质。
例如，极坐标方程可用于描述螺旋线、心形线等特殊曲线。
在物理中，极坐标方程可用于描述圆周运动、波动等循环性质的物理现象。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
曲线的极坐标方程
1附录1 曲线的极坐标方程一. 极坐标我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.图 F —1对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点.2极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1 在极坐标系中画出下列各点：.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.46333A B C D E F −解图 F —2注意：()()4π2π3,3,33D F −与是同一点.上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.不仅如此， 在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.例如，上例中的点()π2,4A 也可以表示为()π2,(21)π()4M k k −++∀∈Z .3图F —3如果限定0, 02πρθ≥≤<（或πθπ−<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二. 曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.例2 （1）求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程；（2）求过极点且倾角为π4解 （1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得π4θ= （0ρ≥）.图F —4这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为()π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来4表示，故其至少有一个坐标满足方程π4θ= （0ρ≥）.（2）易知所求直线的极坐标方程为π4θ= （ρ∀∈R ）（见图F —4 ）.图F —5例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.解 设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为a ρ= （θ∀∈R ）.如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程a ρ=（02πθ≤<）的解是一一对应的.图F —65例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为2cos a ρθ= （ππ22θ−≤≤）.图F —6 例5 阿基米德螺线由极坐标方程a ρθ= （0a >为常数）确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线. 解 在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.对于a ρθ=（0a >为常数）有：O6图F —7如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ−−也是a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.例6 心脏线用同样的方法，可画出由极坐标方程(1cos )a ρθ=+ （0a >为常数）确定的曲线（见图F —8），称为心脏线 （或心形线），它是外摆线的一种.更多曲线的极坐标方程请见同济附录II7三. 直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示，把直角坐标系 的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极 轴，并在两种坐标系中取相同的单位 长度.设M 为平面上任意一点，其直角 坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有“极—直”关系转换式：cos sin (0)x y ρθρθρ⎧≥⎨⎩==. 图F —9 由此也有关系转换式：,tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1） 将点M 的极坐标()π5,6化为直角坐标； （2）将点P 的直角坐标()1−化为极坐标.解 （1）x = π55sin ,62y ==即点M 的直角坐标为)52.（2）2, tan ρθ====因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6θ=. 因此，P 的极坐标为()7π2,6.例8 化圆的直角坐标方程2220(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.8解 将cos (0)sin x y ρθρρθ=⎧≥⎨=⎩2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=（0θπ≤≤）.图F —10*例9 广义极坐标变换co s n s i x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221y x a b+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.习题F-11． 极坐标方程22cos 2 (0)a a ρθ=>的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.2． 指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：（1）3ρ=； （2）π ()3θρ=−∞<<+∞；（3）cos 2ρθ=； （4）10sin ρθ=； （5）10(1cos )ρθ=+.。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
简单曲线的极坐标方程
)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
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【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
θ，
∴x2＋y2＝ 22x＋ 22y，这个方程表示一个圆．
【答案】 D
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[小组合作型] 直线或射线的极坐标方程
和54π<θ<2π，ρ≥0.
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法二 以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy. ∵直线的斜率 k＝tanπ4＝1， ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y＝x－1. 将 y＝ρsin θ，x＝ρcos θ 代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<π4，ρ≥0 和54π<θ<2π，ρ≥0.
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即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
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1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接 代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρcos θ， ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两 边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应 注意对变形过程的检验．
常见曲线的极坐标方程
常见曲线的极坐标方程
答案
ρ＝rρ＝2r cosθρ＝2r sinθρcosθ＝aρsinθ＝a
4．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程ρ＝5cosθ－53sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ
－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0.圆心的坐标
为⎝ ⎛⎭⎪⎫
52
，－532，化成极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5，5π3(答案不唯一)
5．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________，过(0，－1)与极轴平行的直线方程是________．
解析：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.过(0，－1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是y ＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.
答案：ρcos θ＝1 ρsin θ＝－1
6．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρ
sin (θ－90°)
，化简得ρ＝－22cos θ.
答案：ρ＝－22cos θ。
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。
在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。
一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。
以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。
（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。
（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。
（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。
通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。
研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。
二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。
在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。
一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。
以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。
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4.2.2 常用曲线的极坐标方程（3）
教学目标
1．进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法
2．感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一
教学方法
讲练结合
教学过程
一、学生回顾
1．求曲线极坐标方程的方法
2．常用曲线的极坐标方程
二、基础训练
1．直线2()cos(πααθρk m ≠
=+ )z k ∉的斜率是 2．极坐标方程θ
ρsin 216-=表示的曲线是 3．曲线2sin =θρ和)20,0(sin 4πθρθρ<≤>=的交点坐标
4．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ）
A 、2sin =θρ
B 、2cos =θρ
C 、4cos =θρ
D 、4cos -=θρ
5．椭圆θ
ρcos 459-=的长轴长 三、例题讲解
例1．求曲线01cos =+θρ关于直线4πθ=
对称的曲线方程。
例2．求下列两曲线的交点坐标。
θρcos 1+= )
c o s 1(21θρ-=
例3．已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
例4．已知A 、B 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上两点，若OB OA ⊥。
（O 为原点） （1）求证2
2||1||1OB OA +为定值； （2）求AOB ∆面积的最值。
四、回顾反思
五、课后作业
课本29P 9，13，15
学习与评价15P 1，2，3，4，5，6，8。