简单曲线的极坐标方程
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程
预习 思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2， 半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐 标 系
1.3 简单曲线的极坐标方程
栏 目 链 接
1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标 系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.
栏 目 链 接
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1．定义． 如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝ ， 4
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∴∠OAB＝
3π π 5π － ＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
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∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 ＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
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3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝ ； 3
1.3 简单曲线的极坐标方程(1)
(2) 圆心在Ｃ(a, 0)，半径为a； ＝2acos
(3) 圆心在(a, )，半径为a； 2
(4) 圆心在Ｃ(0, ０)，半径为r. 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
＝2asin
高中 数学备课组
课堂小结
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程 求曲线的极坐标方程步骤
高中 数学备课组
在平面直角坐标系中， 平面曲线Ｃ可以用方 程 f(x, y)=0表示. 曲线与方程f(x, y)=0满足如下关 系: (1) 曲线Ｃ上点的坐标都是方程f(x, y)=0的解 ； (2) 以方程 f(x, y)=0 的解为坐标的点都在曲线 Ｃ上. 那么, 在极坐标系中，平面曲线是否可以用方 程 f( ,)=0 表示呢?
高中 数学备课组
设M(ρ,θ)为圆上任意一点，则|OM|=r，即 ρ=r 为所求的圆的极坐标方程 . 显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形 式上比 ρ=2acosθ更简单. 与直角坐标方程 x2+y2=r2 比较, 你能说说极坐 标方程 =r 的优点吗?
高中 数学备课组
题组练习
求下列圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点，半径为2； ＝ 2
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由此可知，ρ=2acosθ 就是圆心在C(a, 0) (a>0) 半径为a的圆的极坐已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程简单？ 解：如果以圆心O为极点， 从O出发的一条射线为极 轴，建立极坐标系(如图)，
M
O r x
那么圆上各点的几何特征 就是它们的极径都等于半 径r .
1、根据题意画出草图； 2、设点M(, ) 是曲线上任意一点，并连接OM； 3、根据几何条件建立关于, 的方程，并化简； 4、检验并确认所得的方程即为所求.
简单曲线的极坐标方程 课件
答案：(1)ρsin2θ＝4cos θ (2)ρ2－2ρcos θ－1＝0 (3)y＝ 3x(x≥0) (4)x2－y2＝4 (5)3x2＋4y2－2x－1＝0
例 1 极坐标方程 θ＝π6 表示什么曲线？
π 错解：方程中不含变量 ρ，即不论 ρ 取何值，极角 θ 恒为 6 ，
π
π
因此 θ＝ 6 表示一条直线，它的极角为 6 .
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵tan θ＝xy，∴tan π3 ＝xy＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4. (5)∵ρ＝2－c1os θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1. 化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
正解二：两圆心的极坐标分别为 C1(1，0)，C21，π2 ， ∴|C1C2|＝ 12＋12－2×1×1×cosπ2 －0＝ 2. 易错点：极坐标系中两点间距离公式记忆不清导致运算错误 【易错点辨析】平面直角坐标系中两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之 间的距离|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，极坐标系中两点 P1(ρ1， θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）. 在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
解析：(1)如右图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， ∵A2，π4 ，
π ∴|MH|＝2sin 4 ＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， ∴过 A2，π4 且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.
人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程
归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可 以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ 上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
； ； ；
பைடு நூலகம்； 。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为 极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ； （2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
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极坐标方程
简单曲线的极坐标方程
【教学目标】
1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力.
2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法.
3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力.
【教学重难点】
简单曲线的极坐标方程的求法
【教学过程】
一、复习、预习自学：
基础知识梳理问题导引
1.极坐标系的概念（P9）
如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对叫做点M 的极坐标记为.
2.极坐标和直角坐标的互化（P11）
（1）极坐标化为直角坐标
，
（2）直角坐标化为极坐标
，
3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12））
曲线C上的点的坐标都是方程的解；
以方程的解为坐标的点都在曲线C上. （1）极坐标系和以前所学的平面直角坐标系有什么区别和联系？
（2）那些只是是我们应该掌握的？
（3）极坐标系中如何用方程表示曲线？
【复习、预习自测】
1.极坐标化为直角坐标：________，________
2. 直角坐标化为极坐标： ________，________
二、合作探究
探究点一：圆的极坐标方程（P12-13）
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满
足的条件吗？
探究点1图拓展1图
小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程叫做曲线C的极
坐标方程：
（1）
（2）
拓展1（P13）：已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？并将所得结果与直角坐标方程进行比较.
探究点二：直线的极坐标方程（P13）
如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程.
探究点2图拓展2图拓展3图
拓展2（P14）：求过点A(a0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程.
拓展3（P14）：设P点的极坐标为直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.
【课堂小结】
1.知识方面_____________________________________________________________________
2.数学思想方面_________________________________________________________________
探究点三：圆锥曲线的极坐标方程
已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0<e<1)，建立合理的极坐标系，求椭圆C 的极坐标方程。