常见曲线物极坐标方程
高考数学知识点解析极坐标系中的曲线与方程
高考数学知识点解析极坐标系中的曲线与方程高考数学知识点解析：极坐标系中的曲线与方程在高考数学中，极坐标系中的曲线与方程是一个重要的知识点，对于同学们理解数学中的图形和解决相关问题具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是极坐标系。
极坐标系是一种不同于我们常见的直角坐标系的坐标系统。
在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。
极径表示点到极点的距离，极角则表示极轴（通常是 x 轴正半轴）到线段极点与该点连线的夹角。
那么，极坐标系中的曲线方程又是怎么一回事呢？简单来说，它是用极坐标的形式来描述曲线的数学表达式。
常见的极坐标曲线方程有很多，比如圆的极坐标方程。
当圆心在极点，半径为 r 时，圆的极坐标方程为ρ ＝ r 。
这意味着，对于这个圆上的任意一点，其极径ρ 的值都是固定的 r 。
我们可以通过这个简单的方程，很直观地看出圆的特性。
再来说说直线的极坐标方程。
例如，过极点且与极轴夹角为α 的直线，其极坐标方程为θ ＝α 。
这个方程表明，在这条直线上的所有点，其极角都是固定的α 。
接下来，我们看看如何将极坐标方程转化为直角坐标方程。
这是解决很多问题的关键步骤。
设极坐标系中的一点为（ρ，θ），对应的直角坐标系中的点为（x，y），则有 x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ。
通过这两个关系式，我们可以将极坐标方程转化为直角坐标方程。
例如，极坐标方程ρ ＝2cosθ，将ρ ＝√（x²＋ y²)，cosθ ＝ x ／√（x²＋ y²) 代入，经过一系列的化简和整理，可以得到直角坐标方程 x²＋ y²＝ 2x ，进一步变形为（x 1)²＋ y²＝ 1 ，这就是一个以（1，0）为圆心，半径为 1 的圆。
在解题过程中，我们常常需要根据具体问题的条件，选择使用极坐标系还是直角坐标系。
比如，当题目中涉及到一些与角度、距离有关的条件，或者图形具有明显的对称性时，使用极坐标系可能会更加简便。
极坐标常用方程
极坐标常用方程极坐标是一种二维坐标系统，与我们常见的直角坐标系有所不同。
在极坐标系统中，一个点的位置由它的极径和极角确定，而不是由它的x坐标和y坐标确定。
极坐标常用方程是一种描述极坐标系中曲线的数学表达式，本文将介绍一些常见的极坐标常用方程。
矩形方程与极坐标方程转换要将直角坐标系中的一个方程转换为极坐标系中的方程，需要使用以下公式：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，(x, y)是直角坐标系中的点，(r, θ)是极坐标系中的点。
举例来说，我们有一个方程 x^2 + y^2 = 4，要将它转换为极坐标系中的方程。
首先，我们可以使用换元法将直角坐标系中的x和y表示为极坐标系中的r和θ：* x = r * cos(θ) * y = r * sin(θ)将上述方程代入原方程，得到：* r^2 * cos^2(θ) + r^2 * sin^2(θ) = 4再进行化简，可以得到：* r^2 * (cos^2(θ) + sin^2(θ)) = 4 * r^2 = 4因此，极坐标系中的方程为 r = 2。
这个方程描述了以极径为2的圆。
常见的极坐标常用方程1.极坐标方程 r = a这是一个描述以极径为常数a的圆的方程。
圆心位于原点，半径为a。
2.极坐标方程r = a * cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * cos(θ)的螺线的方程。
3.极坐标方程r = a * sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * sin(θ)的螺线的方程。
4.极坐标方程r = a / cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / cos(θ)的双曲线的方程。
5.极坐标方程r = a / sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / sin(θ)的双曲线的方程。
6.极坐标方程r = a * e^(bθ)这是一个描述以极径可变的曲线的方程，其中a和b是常数，e是自然对数的底。
这个方程可以描述出多种不同的曲线，如指数增长曲线。
极坐标参数方程公式大全
极坐标参数方程公式大全极坐标是一种描述平面上点的坐标系，它以原点为中心，以极径和极角两个参数来确定点在平面上的位置。
极坐标参数方程是用极坐标来表示的函数方程，它可以描述一条曲线在极坐标系下的形状。
下面是一些常见的极坐标参数方程公式。
1. 圆的极坐标参数方程圆是一种特殊的曲线，它的每个点到原点的距离都相等。
圆的极坐标参数方程可以表示为：r=a其中，a表示圆的半径。
2. 阿基米德螺线的极坐标参数方程阿基米德螺线是一种由数学家阿基米德创建的曲线，其极坐标参数方程可以表示为：$r=a+b\\theta$其中，a表示螺线的起始半径，b表示每转一圈半径增加的量，$\\theta$表示极角。
3. 双纽线的极坐标参数方程双纽线是一种具有两个回环的曲线，其极坐标参数方程可以表示为：$r^2=a^2\\cos(2\\theta)$其中，a表示双纽线的参数。
4. 渐开线的极坐标参数方程渐开线是一种非常具有特点的曲线，其极坐标参数方程可以表示为：$r=a\\theta$其中，a表示渐开线的参数。
5. 摆线的极坐标参数方程摆线是一种由在铅笔一端水平移动而形成的曲线，其极坐标参数方程可以表示为：$r=a(\\theta-\\sin\\theta)$其中，a表示摆线的参数。
6. 旋轮线的极坐标参数方程旋轮线是一种由相对运动的两个圆形组成的曲线，其极坐标参数方程可以表示为：$x=(r_1-r_2)\\cos\\theta+r_2\\cos(\\frac{r_1-r_2}{r_2}\\theta)$$y=(r_1-r_2)\\sin\\theta-r_2\\sin(\\frac{r_1-r_2}{r_2}\\theta)$其中，r1和r2分别表示两个圆的半径。
以上是一些常见的极坐标参数方程公式。
通过使用这些参数方程，我们可以在极坐标系下描述和绘制出各种曲线的形状。
极坐标系在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用，对于研究曲线和解决问题非常有帮助。
极坐标方程表达式
极坐标方程表达式极坐标方程是描述平面上点的位置的一种常用表达方式。
它利用距离和角度来表示点的坐标，相比直角坐标系更适合描述圆的形状和对称性。
本文将介绍极坐标方程的表达式形式以及如何将其转换为直角坐标系。
同时，还将介绍极坐标方程在数学和物理中的应用。
极坐标方程表达式的一般形式为：$r = f(\\theta)$其中，r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正 x 轴之间的角度，f是一个关于$\\theta$的函数。
极坐标方程的形式可以有很多种，取决于具体问题的性质。
以下是一些常见的极坐标方程的表达式。
1. 极坐标方程表示直线：$r = a\\sec(\\theta - \\alpha)$其中，a是一定的常数，$\\alpha$是直线与极轴之间的夹角。
2. 极坐标方程表示圆：$r = a$其中，a是圆的半径。
3. 极坐标方程表示椭圆：$r = \\frac{a(1 - e^2)}{1 - e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是椭圆的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是椭圆与极轴之间的夹角。
4. 极坐标方程表示双曲线：$r = \\frac{a(1 + e^2)}{1 + e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是双曲线的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是双曲线与极轴之间的夹角。
利用以上表达式，可以方便地描述出各种形状的曲线。
将极坐标方程转换为直角坐标系的表达式需要利用以下关系式：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$通过上述关系式，可以将极坐标方程中的$r$与$\\theta$表达式用$x$和$y$来表示，从而得到在直角坐标系中曲线的方程。
极坐标方程在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，它可以用来描述曲线和曲面的形状及其性质。
例如，极坐标方程可用于描述螺旋线、心形线等特殊曲线。
在物理中，极坐标方程可用于描述圆周运动、波动等循环性质的物理现象。
几种常见的极坐标方程
几种常见的极坐标方程好嘞，今天咱们聊聊极坐标方程，听起来有点高深，实际上跟咱们日常生活没啥区别，简简单单说白了就是用一个点的位置来描述事物。
这就像咱们出去约会，找人只需要说“我在咖啡馆”，而不是说“我在某个地方的某个角度上”。
极坐标就是这样，给了我们一个非常直接的方式来定位。
得提提极坐标系。
咱们想象一下，画一个平面，在中心点放个大圆圈，圆圈的中心就是原点，咱们常说的“坐标轴”。
从这个中心点出发，咱们可以用距离和角度来描述任何一个点。
距离就像咱们走到咖啡馆需要的路程，角度就像咱们转头去找人的方向。
说到这，真是让人想起小时候的游戏，东南西北一转，走到目标就是乐趣无穷。
接下来聊聊简单的极坐标方程，比如说，最基础的“圆”的方程。
这个方程特别简单，形如 ( r = a )。
这啥意思呢？就是不管你转到哪个角度，离原点的距离都是恒定的，a就是那个距离。
这就好比你和好朋友约好了，每次见面都在同样的咖啡馆，无论你们怎么转，始终在那个地方见面，真是让人感到温暖。
想象一下，那种“我在这儿，你在那儿”的默契，真是特别赞。
再说说“螺旋线”的方程，形如 ( r = a + btheta )。
这玩意儿可有意思了，随着你转动，离中心的距离也在变化。
就像是走在一条旋转的楼梯上，越走越远。
这就让我想起了小时候爬山的情景，一步一步往上走，虽然有点累，但越爬越高，心情也越愉快。
这种感觉，就像是追逐梦想，慢慢攀升，虽然有时会觉得累，但看着美丽的风景，心里就觉得特别值得。
然后就是“玫瑰线”的方程，这个就更加浪漫了，形如 ( r = a cos(ktheta) ) 或者 ( r = a sin(ktheta) )。
如果k是偶数，那就是两边各开一朵花；如果是奇数，那一朵花就会非常炫酷地绽放。
这就像爱情一样，有时候开得热烈，有时候平静如水。
生活中的每一个时刻都有它的色彩，犹如一朵盛开的玫瑰，既美丽又让人沉醉。
还有那“心形线”的方程，形如 ( r = a(1 sin(theta)) )。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全极坐标是一种由半径和角度两个参数来描述点的坐标系统。
极坐标系常用于描述圆形、螺线等曲线，对于研究具有旋转对称性的问题非常有用。
在数学和物理学中，极坐标方程提供了描述极坐标系中各种曲线和图形的公式。
本文将介绍一些常见的极坐标方程公式。
圆的极坐标方程圆可以用极坐标方程表示为：r=a其中，a是圆的半径。
该公式表示了以原点为中心的圆，半径为a。
简单螺线的极坐标方程螺线是在极坐标系中以常数速率展开的曲线。
最常见的螺线是阿基米德螺线，其极坐标方程可以表示为：$r = a + b \\theta$其中，a和b是常数，$\\theta$ 是极角。
该公式描述了螺线的形状，a表示了螺线的起始半径，b表示了螺线的展开速率。
雪花曲线的极坐标方程雪花曲线是一种具有对称性的曲线，它由多个相互重叠的圆组成。
它的极坐标方程可以表示为：$r = a \\cdot \\sin(n \\theta)$其中，a和n是常数，$\\theta$ 是极角。
该公式描述了雪花曲线的形状，a控制着雪花曲线的大小，n控制着雪花曲线的复杂程度。
心形线的极坐标方程心形线是以两个相互重叠的圆为基础构成的曲线。
它的极坐标方程可以表示为：$r = a(1 - \\sin \\theta)$其中，a是常数，$\\theta$ 是极角。
该公式描述了心形线的形状，a控制着心形线的大小。
摆线的极坐标方程摆线是由一个悬挂的线上的一点在重力作用下运动形成的曲线。
摆线的极坐标方程可以表示为：$r = a - b \\cdot \\cos \\theta$其中，a和b是常数，$\\theta$ 是极角。
该公式描述了摆线的形状，a控制摆线的振幅，b控制摆线的周期。
总结极坐标方程提供了描述极坐标系中各种曲线和图形的公式。
本文介绍了圆、螺线、雪花曲线、心形线和摆线的极坐标方程。
每个公式都可以通过调整常数参数来控制图形的形状和大小。
极坐标方程的使用可以简化对特定曲线和图形的描述和分析，为研究具有旋转对称性的问题提供了便利。
曲线的极坐标方程
1附录1 曲线的极坐标方程一. 极坐标我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.图 F —1对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点.2极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1 在极坐标系中画出下列各点：.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.46333A B C D E F −解图 F —2注意：()()4π2π3,3,33D F −与是同一点.上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.不仅如此， 在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.例如，上例中的点()π2,4A 也可以表示为()π2,(21)π()4M k k −++∀∈Z .3图F —3如果限定0, 02πρθ≥≤<（或πθπ−<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二. 曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.例2 （1）求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程；（2）求过极点且倾角为π4解 （1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得π4θ= （0ρ≥）.图F —4这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为()π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来4表示，故其至少有一个坐标满足方程π4θ= （0ρ≥）.（2）易知所求直线的极坐标方程为π4θ= （ρ∀∈R ）（见图F —4 ）.图F —5例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.解 设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为a ρ= （θ∀∈R ）.如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程a ρ=（02πθ≤<）的解是一一对应的.图F —65例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为2cos a ρθ= （ππ22θ−≤≤）.图F —6 例5 阿基米德螺线由极坐标方程a ρθ= （0a >为常数）确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线. 解 在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.对于a ρθ=（0a >为常数）有：O6图F —7如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ−−也是a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.例6 心脏线用同样的方法，可画出由极坐标方程(1cos )a ρθ=+ （0a >为常数）确定的曲线（见图F —8），称为心脏线 （或心形线），它是外摆线的一种.更多曲线的极坐标方程请见同济附录II7三. 直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示，把直角坐标系 的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极 轴，并在两种坐标系中取相同的单位 长度.设M 为平面上任意一点，其直角 坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有“极—直”关系转换式：cos sin (0)x y ρθρθρ⎧≥⎨⎩==. 图F —9 由此也有关系转换式：,tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1） 将点M 的极坐标()π5,6化为直角坐标； （2）将点P 的直角坐标()1−化为极坐标.解 （1）x = π55sin ,62y ==即点M 的直角坐标为)52.（2）2, tan ρθ====因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6θ=. 因此，P 的极坐标为()7π2,6.例8 化圆的直角坐标方程2220(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.8解 将cos (0)sin x y ρθρρθ=⎧≥⎨=⎩2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=（0θπ≤≤）.图F —10*例9 广义极坐标变换co s n s i x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221y x a b+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.习题F-11． 极坐标方程22cos 2 (0)a a ρθ=>的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.2． 指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：（1）3ρ=； （2）π ()3θρ=−∞<<+∞；（3）cos 2ρθ=； （4）10sin ρθ=； （5）10(1cos )ρθ=+.。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
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( R) 或 5 ( R)
4
4
求直线的极坐标方程步骤:
1、根据题意画出草图； 2、设点M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
例 4 设点P的极坐标为(ρ0,θ0,) ，
M
直线l过点P且与极轴所成的角为a, 0 P
5
(3) sin 4
(4) sin(2 ) 3
3
小结：直线的几种极坐标方程。
1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度
若圆心的坐标为M(ρ0,θ0)，圆的半径为r，求圆的方程。
解：当0 0时，设圆上任意一点为P(， )，在
MOP中，由余弦定理知
MP2 =OM2 +OP2 -2OM OP cos POM .
(４)圆心在Ｃ(0 , ０)，半径为r 2 -20 cos( - ０) + 0 2-
r2=0
练习2、按下列条件写出圆的极坐标方程：
(1)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；
(2)以B(8， )为圆心，且过极点的圆；
2 (3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆；
(4)圆心在极轴上，且过极点与点D(2 3， )的圆。
立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极 坐标系，它们的统一方程什么？
= ep 1 e cos
2、统一方程中的p、e分别是什么？
p表示焦准距；e表示离心率。
练习1
1、已知抛物线的极坐标方程为= 3 ,则 1- cos
抛物线的准线的极坐标方程为： cos 3
则2、椭椭圆圆的的极长坐轴标长方为程10为，：短轴=长5-为4 c96o，s
3、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的
距离为4，则双曲线的极坐标方程为： 1
4 5
5
cos
数学运用
例1、2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五 号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的 返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点 的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点 （离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km， 然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取 6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的 极坐标方程。
上式是过（0，0），倾斜角为a的直线的极坐标方程.
练习：按下列条件写出直线的极坐标方程： (1)经过极点和点A(6，5 )的直线； (2)经过点B(5， )，且垂直于极轴的直线；
(3)经过点C(8， )，且平行于极轴的直线；
6
(4)经过点D(2 3,0)，且倾斜角为 2 的直线；
3
(1)
(2) cos 5
思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程 就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后 列出方程f (,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授
例1、求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程。
分析：如图，所求的射线上
M
任一点的极角都是π/4，
其极径可以取任意的非负数。故所
2 sin
4
C. 2 cos 1 D. 2 sin 1
例3、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中， 求过极点O的弦的中点的轨迹。
练习5:在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3, /6),半径
r=3 ① 求圆C的极坐标方程。 ② 若Q点在圆C上运动 ,P在QO的延长线上,且 OQ:OP=3:2, 求动点P的轨迹方程。
数学运用
例2、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两 部分的倒数和为常数。
练习2、
已知抛物线y2=x的焦点为F。 ① 以F为极点, x轴正方向为极轴的正方向, 写出此抛 物线的极坐标方程； ② 过F作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|＝4,运用 抛物线的极坐标方程, 求直线l的倾斜角。
练习3
求直线的极坐标方程为
( 0)
4
﹚4 o
x
引申1：求过极点, 倾角为5π/4的射线的极坐标方程 引申2：求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较 起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两 条射线组合而成。原因在哪？
原因在ρ≥0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体 实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的 几何定义，求出曲线的极坐标方程．
设到定点F到定直线l的距离为p，求到定 点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 的极坐标方程。
F l
对圆锥曲线的统一极坐标方程 = ep ， 1 e cos
请思考讨论并深入了解下述几个要点： 1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建
曲线 =
2
3-2cos
的一条准线方程是
cos
1,
其另一条准线方程是： cos 13
5
课堂小结
圆锥曲线的统一极坐标方程= ep 中，极点的位置，p的意义，e1的 e意co义s 分别是什么？
我们已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有 两种几何定义，其中，第二定义把三种圆 锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆 锥曲线的第二定义．
到定点F(焦点)的距离与到定直线l(准线)的 距离比是一个常数e(离心率)的点的轨迹。 当e∈(0，1)时，轨迹为椭圆， 当e∈(1，+∞)时，轨迹为双曲线， 当e=1时，轨迹为抛物线．
常用曲线的极坐标方程 ----直线和圆的极坐标方程
新课引入
思考1：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为_x_=_3_; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为__x_=_3__ 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为_x_=_a_
特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可 以取任意值。
1、当圆心位于M(r, 0)时，由上式可得圆的极坐
标方程是; =2rcos
2、当圆心位于M(r, )时，由上式可得圆的极坐
2
标方程是 =2rsin
练习1: 求下列圆的极坐标方程 (１)圆心在极点，半径为2； (２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)圆心在(a ,/2)，半径为a；
＝2 ＝2acos ＝2asin
可得 2 -20 cos( 0 ) 02 r 2 0
当0 =0时，圆心位于极点，圆的 极坐标方程是 =r，亦满足上面
的方程。故圆心为(0，0 )，半径
O
P
r
0
0
M x
为r的圆的极坐标方程是 2 -20 cos( 0 ) 02 r2 0
运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。
求直线l的极坐标方程。
﹚0 ﹚a
o
x
解：如图，设点M(ρ,θ) 为直线上除点P外的
任意一点，连接OM，在△MOP中有
OP OM sinOMP sin OPM
0 sin(a ) sin(a 0)
sin(a ) 0 sin(a 0 )
显然点P的坐标也是它的解。
sin(a ) 0 sin(a 0 )
6
(1) =6 cos
(2) 16sin
(3) 4cos (4) 4cos
辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征.
练习3: 极坐标方程分别是 ＝cos 和 ＝sin 的
两个圆的圆心距是多少?
2
2
练习4: 以极坐标系中的点(1,1)为圆心, 1为半径的圆
的方程是 (C
)
A.
2 cos
4
B.