概率论与数理统计习题课资料

H 0 : µ = µ0 ; H1 : µ = µ1 > µ0 ，则当检验水平为 α 时犯第二类错误的概率为
⎛ µ − µ1 ⎞ (B) Φ ⎜ 0 + zα / 2 ⎟ ⎜σ / n ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ µ − µ0 ⎞ (D) Φ ⎜ 1 +z ⎜σ / n α ⎟ ⎟ ⎝ 0 ⎠
8、设总体 X ~ N (µ , σ 2 ), µ 未知， x1 , x2 , L , xn 为来自总体 X 样本观测值，记 x 为样本均值，
2 s 2 为样本方差，对假设检验 H 0 : σ ≥ 2; H1 : σ < 2 应取检验统计量 χ 为
（A）
(n − 1)s 2 8
（B）
(n − 1)s 2 6
⎛ µ − µ1 ⎞ （A ） Φ ⎜ 0 + zα ⎟ ⎜σ / n ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎛ µ − µ1 (C) 1 − Φ ⎜ 0 +z ⎜σ / n α ⎝ 0
三、解答题(本题共 4 大题，解答应写出文字说明和演算步骤.)
13、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩 为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 α = 0.05 下，是否可以认为这次考试的考 生平均成绩为 70 分？并给出检验过程。 14、糖厂用自动包装机包装糖果，包得的袋装糖重量是一个随机变量，它服从正态分布。当 机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015 公斤。每天开工时，需要先检验包装 机工作是否正常，某日开工后，随机地抽取它所包装的糖 9 袋，称得净重为（公斤） ： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问这一天包装机工作是否正常？（取显著性水平： α = 0.05 ） 15、在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，实验是在同一 只平炉上进行的。每炼一炉钢 时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标 准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉以后交替进行，各炼了 10 炉，其得率分别 为 （1）标准方法： 78.1 （2）新方法： 79.1 72.4 81.0 76.2 77.3 74.3 79.1 77.4 80.0 78.4 79.1 76.0 79.1 75.5 77.3 76.7 80.2 77.3 82.1
设这两个样本相互独立且来自正态总体 N (µ1 , σ 12 ) 和 N ( µ2 , σ 2 2 ), µ1 , µ2 , σ12 , σ 22 均未 知， 试问： （1）在显著水平 α = 0.01 下可否认为两总体方差相等？ （2）新操作方法能否提高钢的得率？ 16、某工厂生产一种螺钉，标准要求长度是 68mm ，实际生产的产品其长度服从正态分布
α = 0.05 下检验假设 H 0 : µ = 5; H1 ≠ 5 的拒绝域为
；
2 、设 X 1 , X 2 , L , X n 是来 自 正 态 总 体 N ( µ , σ 2 ) 的样 本 ， 其 中 参 数 µ 和 σ 2 均未 知 ， 记
X =
n 1 n ∑ X i , Q 2 = ∑ ( X i − X )2 ，则假设 H 0 : µ = 0 的 t 检验使用的统计量 T = ________ ； n i =1 i =1
（1） 犯第一类错误的概率 α ； （2） 犯第二类错误的概率 β , （设 ), µ 0 为已知常数， ( X 1 , X 2 , L, X n ) 为来自总体 X 的样本，则检验假设
H 0 : σ 2 = σ 0 2 ; H1 : σ 2 ≠ σ 02 的统计量是
；当 H 0 成立时， 服从
分布 ；
4、设总体 X ~ N (µ1 , σ12 ), Y ~ N (µ2 , σ 2 2 ), µ1 , µ2 未知， ( X 1 , X 2 , L, X n1) 与 (Y1 , Y2 ,L , Yn1 ) 分别是 来自总体 X 与 Y 的样本，且两样本独立，则检验假设 H 0 : σ 12 = σ 22 ; H1 : σ12 ≠ σ 2 2 的检验 统计量 F = ________ ；其拒绝域 W = ________ ； 5、假设检验的统计思想是 ________________________________________________. 6 、在假设检验问题中，原假设为 H 0 ，备择假设为 H1 ，拒绝域为 W ，取得的样本值为 ( x1 , x2 , L, xn ) ，则 假 设 检 验 的 第 一 类 错 误 的 概 率 α = ________ ，第 二 类 错 误 的 概 率 β = ________ .
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中国人民大学 信息学院 计算机系 数理统计 习题课资料 ——统计学院 石武斌 2010-3-31
s 为样本标准差，对假设检验 H 0 : µ ≥ µ0 ; H1 : µ < µ0 ，取检验统计量 t =
x−µ n ，则在 s
显著性水平 α 下拒绝域为 （A） {| t |> tα / 2 (n − 1)} （B） {| t |≤ tα / 2 (n − 1)} (C) {t > tα / 2 (n − 1)} （D） {t < tα (n − 1)} 12 、设 总 体 X ~ N (µ , σ 2 ) ， σ 2 已知 ， X 1 , X 2 , L , X n 为来 自 总 体 X 的样 本 ， 检 验 假 设
二、选择题（本题共 6 小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求， 把所选项前的字母填在下面的表格内． ）
7、设总体 X ~ N (µ , σ 2 ), σ 2 未知， x1 , x2 ,L , xn 为来自总体 X 样本观测值，现对 µ 进行假设检 验。若在显著水平 α = 0.05 下接受了 H 0 : µ = µ0 ，则当显著性水平改为 α = 0.01 时，则下 列说法正确的是 （ A） H 0 必为真； （ C） H 0 可能为真也可能为假； （B）必拒绝 H 0 ； （D）犯第一、二类错误的概率都增加
（C）
(n − 1)s 2 4
（ D）
(n − 1)s 2 2
9、在假设检验中， H 0 表示原假设， H1 表示备择假设，则犯第一类错误的情况为 （A） H1 真，接受 H1 （C） H1 真，拒绝 H1 （B） H1 不真，接受 H1 （D） H1 不真，拒绝 H1
10、假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率 （A）都增大 （B）都减少 （C）都不变 （D）一个增大一个减少 11、设总体 X ~ N (µ , σ 2 ), σ 2 未知， x1 , x2 ,L , xn 为来自总体 X 样本观测值，记 x 为样本均值 ，
中国人民大学 信息学院 计算机系 数理统计 习题课资料 ——统计学院 石武斌 2010-3-31
第八章 假设检验测试题
一、填空题(本题共 6 小题,把答案填在题中横线上.)
1 、设 X 1 , X 2 , L , X 16 是来 自 正 态 总 体 N (µ , 2 2 ) 的样 本 ， 样 本 均 值 为 X ，则 在 显 著 水 平
N (µ , 3.62 ) ，考虑假设检验问题 H 0 : µ = 68; H1 : µ ≠ 68
记 X 为样 本 均 值 ， 按 下 列 方 式 进 行 假 设 ： 当 X − 68 > 1 时， 拒 绝 假 设 H 0 ；当
X − 68 ≤ 1 时，接受假设 H 0 . 当样本容量 n = 64 时，求：